Bài tập phân tích và thiết kế thuật toán

Bài tập 1 : Viết chương trình con để tính tích của 2 ma trận A và B có kích thước là Am,n và Bp,q. Từ đó xác định độ phức tạp của thuật toán này. . 2 Bài tập 2 : Viết hàm tính an mà có độ phức tạp O(1). 5 Bài tập 3 : Chứng minh rằng thủ tục Sort(n), có độ phức tạp hàm mũ 5 Bài tập 4 : Viết thuật toán đệ quy nhằm xóa tất cả các phần tử có giá trị bằng x trong dãy số nguyên a1,a2,…..,an. 6 Bài tập 5 : Xét danh sách F như phần lý thuyết. Viết thuật toán để liệt kê giá trị trường info của tất cả các nút thuộc danh sách F theo thứ tự ngược. 8 Bài tập 6 : Viết thuật toán để xóa tất cả các nút có giá trị trường info bằng x của danh sách tăng dần F. Từ đó cho biết độ phức tạp của thuật toán. 9 Bài tập 7 : Viết thuật toán để điều chỉnh cây T bất kì thành 1 đống 13 Bài tập 8: Bài toán xác suất 19 Bài tập 9 : Bài toán túi xách 20 Bài tập 10 : Bài toán phép nhân tổ hợp nhiều ma trận 25 Bài tập 11 : Bài toán xâu cực đại 28 Bài tập 12 : Bài toán du lịch 32 Bài tập 13 : Bài toán sinh viên ôn thi 38

MỤC LỤC

Bài tập 1 : Viết chương trình con để tính tích của 2 ma trận A và B có kích

thước là A[m,n] và B[p,q] Từ đó xác định độ phức tạp của thuật toán này 2

Bài tập 2 : Viết hàm tính anmà có độ phức tạp O(1) 5

Bài tập 3 : Chứng minh rằng thủ tục Sort(n), có độ phức tạp hàm mũ 5

Bài tập 4 : Viết thuật toán đệ quy nhằm xóa tất cả các phần tử có giá trị bằng x trong dãy số nguyên a[1],a[2],… ,a[n] 6

Bài tập 5 : Xét danh sách F như phần lý thuyết Viết thuật toán để liệt kê giá trị trường info của tất cả các nút thuộc danh sách F theo thứ tự ngược 8

Bài tập 6 : Viết thuật toán để xóa tất cả các nút có giá trị trường info bằng x của danh sách tăng dần F Từ đó cho biết độ phức tạp của thuật toán 9

Bài tập 7 : Viết thuật toán để điều chỉnh cây T bất kì thành 1 đống 13

Bài tập 8: Bài toán xác suất 19

Bài tập 9 : Bài toán túi xách 20

Bài tập 10 : Bài toán phép nhân tổ hợp nhiều ma trận 25

Bài tập 11 : Bài toán xâu cực đại 28

Bài tập 12 : Bài toán du lịch 32

Bài tập 13 : Bài toán sinh viên ôn thi 38

BÀI LÀM

Bài tập 1 : Viết chương trìn h con để tính tích của 2 ma trận A và B có kích thước là

A[m,n] và B[p,q] Từ đó xác định độ phức tạp của thuật toán này Chú ý ( n=p)

Write('Nhap so hang cua Ma tran :');Readln(m);

Write('Nhap so cot cua Ma tran :');Readln(n);

For j:=1 to n dobegin

Write('Gia tri phan tu thu [',i,',',j,']=');Readln(A[i,j]);

C[i,j]:=0;

For d:=1 to n do C[i,j]:=A[i,d]*B[d,j] + C[i,j];

end;

Độ phức tạp tính toán của CTC trên là : O(m*n*p)

Dữ liệu chạy thử :

Nhap so hang cua Ma tran :3 Nhap so cot cua Ma tran :2 Gia tri phan tu thu [1,1]=1 Gia tri phan tu thu [1,2]=0 Gia tri phan tu thu [2,1]=1 Gia tri phan tu thu [2,2]=1 Gia tri phan tu thu [3,1]=0 Gia tri phan tu thu [3,2]=0

Ma tran 1 :

1 0

1 1

0 0 Nhap so hang cua Ma tran :2 Nhap so cot cua Ma tran :4 Gia tri phan tu thu [1,1]=1 Gia tri phan tu thu [1,2]=0 Gia tri phan tu thu [1,3]=1 Gia tri phan tu thu [1,4]=1 Gia tri phan tu thu [2,1]=0 Gia tri phan tu thu [2,2]=1 Gia tri phan tu thu [2,3]=1 Gia tri phan tu thu [2,4]=0

Ma tran 2 :

1 0 1 1

0 1 1 0 TICH HAI MA TRAN :

Chứng minh:

- Phép toán tích cực là phép toán so sánh n>1

- Gọi g(n) là số lần thực hiện của phép toán tích cực của chương trình con sort(n)

- Công thức truy hồi của g(n) trong trường hợp xấu nhất g(n)=2g(n -1) + 1

- Dùng phương pháp thế để giải hệ thức truy hồi

Bước 1 : Suy đoán nghiệm g(n)=O(2n)

Bước 2 : Sử dụng phương pháp qui nạp để chứng minh

Chứng minh đúng, với b≥1 và hằng c đủ lớn để thỏa mãn điều kiện biên

Vậy độ phức tạp tính toán của chương trình con Sort(n) là O(2n)

Bài tập 4 : Viết thuật toán đệ quy nhằm xóa tất cả các phần tử có giá trị bằng x trong

dãy số nguyên a[1],a[2],… ,a[n]

Function XoaM_DQ(Var n:integer;x:integer):Mang;

{Hàm đệ quy trả về mảng sau khi đã thực hiện xóa các phần tử có giá trị x}

Function XoaM_DQ(Var n:integer;x:integer):Mang;

n:=n-1;

XoaM_DQ(n,x);

endelsebegin

Write('Nhap gia tri can xoa : ');Readln(gtxoa);

Write('Mang sau khi xoa :');

Nhap gia tri can xoa : 4

Mang sau khi xoa : 1 6

3

Nhap so phan tu cua mang: 5

Phan tu A[1]=1Phan tu A[2]=3Phan tu A[3]=6Phan tu A[4]=4Phan tu A[5]=3Mang : 1 3 6 4 3Nhap gia tri can xoa : 1Mang sau khi xoa : 3 6

4 3

Nhap so phan tu cua mang: 5

Phan tu A[1]=2Phan tu A[2]=4Phan tu A[3]=6Phan tu A[4]=8Phan tu A[5]=9Mang : 2 4 6 8 9Nhap gia tri can xoa : 6Mang sau khi xoa : 2 4

8 9

Bài tập 5 : Xét danh sách F như phần lý thuyết Viết thuật toán để liệt kê giá trị trường

info của tất cả các nút thuộc danh sách F theo thứ tự ngược, với điều kiện giá trị

trường info của nút đó phải lớn hơn số nguyên x cho trước Từ đó đánh giá độ phứctạp của thuật toán này.

Day in nguoc voi gia tri lon hon x17

Bài tập 6 : Viết thuật toán để xóa tất cả các n út có giá trị trường info bằng x của danh

sách tăng dần F Từ đó cho biết độ phức tạp của thuật toán

Procedure XoaGT(Var F:TroNut;x:integer);

XoaGT(F^.next,x);

IF F^.info=x thenbegin

{In danh sách ngược}

Write('Nhap so nguyen x : ');Readln(x);

Nhap gia tri can xoa : 12

8 10 10 11 14 16 16 17

Danh sach F theo thu tutang dan

8 10 10 11 12 12 14 16 1617

Nhap gia tri can xoa : 17

If (T<>nil) and ((T^.left <> nil) or (T^.right<>nil)) then

If (T^.left = nil) and (T^.right<>nil) then

If T^.left^.info>T^.right^.info thenbegin

If T^.info<T^.left^.info thenbegin

Swap(T^.info,T^.left^.info);

DieuChinh(T^.left);

end;

endElse

{Trường hợpT^.left^.info<=T^.right^.info }begin

If T^.info<T^.right^.info thenbegin

If T=nil then TimNut:=nil

else if T^.info=x then TimNut:=T

elsebegin

else if T^.right=nil then LaDong:=(T^.info>T^.left^.info) andLaDong(T^.left)

else LaDong:=(T^.info>T^.right^.info) and LaDong(T^.right) and(T^.info>T^.left^.info) and LaDong(T^.left);

If (T<>nil) and ((T^.left <> nil) or (T^.right<>nil)) then

If (T^.left = nil) and (T^.right<>nil) thenbegin

DieuChinh(T^.right);

If T^.info<T^.right^.info then Swap(T^.info,T^.right^.info);DieuChinh(T^.right);

endElse if (T^.right = nil) and (T^.left<>nil) then

DieuChinh(T^.left);

If T^.left^.info>T^.right^.info thenbegin

If T^.info<T^.left^.info thenbegin

Swap(T^.info,T^.left^.info);

DieuChinh(T^.left);

end;

endElse {Trường hợpT^.left^.info<=T^.right^.info }begin

If T^.info<T^.right^.info thenbegin

Kiem tra cay T co la dong khong? : FALSE

Cay T sau dieu chinh

9: 8 7

8: 4 5

4: 2 1

7: 6 3

Kiem tra cay T co la dong khong? : TRUE

Bài tập 8: Bài toán xác suất

1 Phát biểu bài toán:

Tính giá trị xác suất P(i, j) (i, j: byte) Biết rằng:

= 1 nếu i=0 và j>0P(i, j) = (P(i-1, j)+ P(i, j-1))/2 nếu i>0 và j>0

= 0 nếu ngược lại

2 Phương pháp thực hiện, sử dụng phương pháp quy hoạch động với 4 bước là:

Bước 1: Phân tích bài toán

Gọi P(r,s) là bài toán xác suất để tính giá trị xác suất

=> Bài toán ban đầu P(i,j)

Trong đó:

r: tham số thứ nhất, 0 ≤ r ≤ i của bài toán P(r,s)

s: tham số thứ hai, 0 ≤ s ≤ j của bài toán P(r,s)

⇒ Cần tìm P(r,s) là giá trị xác suất của bài toán P(r,s)

Bước 2: Giải pháp đệ quy

- Nếu r>0 và s>0 thì P(r,s) = (P (r-1,s) + P ( r, s-1))/2

- Nếu r=0 và s>0 thì P(r,s) = 1

Bước 4 Tổng hợp kết quả P(i,j) = a[i,j]

CODE TÍNH GIÁ TRỊ XÁC SUẤT P(i,j)

End;

p:=a[r,s];

End;

BEGIN

write('nhap cac gia tri i:'); readln(i);

write('nhap cac gia tri j:');readln(j);

write(' Gia tri xac suat do la: ',P(i,j):4:2);

END

1 Phát biểu bài toán:

Phát biểu bài toán: Một cái kho chứa n loại đồ vật có kích thước và giá trị khácnhau Cụ thể: Loại đồ vật i (i=1 n) có: kích cỡ m[i]∈ N*; gía trị c[i] ∈R; số lượng:không hạn chế

Một tên trộm mang theo chiếc túi có kích cỡ là p∈N* Vậy hắn phải chọn lựamột danh sách các đồ vật sẽ mang đi như thế nào để cho tổng giá trị lấy cắp được làlớn nhất

Tức: Tìm x[1], x[2], , x[n] (với x[i]∈ N : số lượng loại đồ vật thứ i cần lấy)sao cho:∑x[i].m[i] ≤p và∑x[i].c[i] đạt giá trị cực đại

Input: Một cái túi chứa n loại đồ vật có kích thước và giá trị khác nhau.

Output: Tìm x[1], x[2], , x[n] (với x[i] ∈ N: số lượng loại đồ vật thứ i cầnlấy) sao cho:Σx[i].m[i] ≤p vàΣx[i].c[i] đạt giá trị cực đại

2 Phương pháp thực hiện, sử dụng phương pháp quy hoạch động với 4 bước là:

Bước 1: Phân tích bài toán

- Gọi P(r, s) là bài toán chiếc túi xách, với:

Bước 2: Xây dựng giải pháp đệ quy

{(1) có nghĩa là: + k∗c[s] là giá trị mang lại khi lấy k đồ vật thứ s,

+ r – k∗m[s] kích thước của cái túi giảm đi k∗m[s],+ (s - 1) số loại đồ vật giảm đi 1

bài toán lớn được tính thông qua bài toán nhỏ hơn}

Bước 3: Lập bảng

Procedure LapBang;

Begin

For s:=1 to n doFor r:=0 to p do

CODE BÀI TOÁN CHIẾC TÚI XÁCH

Dữ liệu vào được lưu trong file Input.txt gồm 2 dòng:

+ Dòng đầu là số nguyên n (số đồ vật) và p (cỡ của túi xách)

+ Dòng i+1 (1<=i<=n) ghi 2 số nguyên dương m[i], c[i]

k1:= 0;

max:= l[r,s-1];

for k:=1 to r div m[s] dobegin

writeln('Do vat ', s, ' can lay ', x[s], ' cai');

writeln('Gia tri toi uu: ', l[p,n]);

end;

begin

Doc_DL;

Do vat 1 lay 0 cai

Do vat 2 lay 0 cai

Do vat 3 lay 0 cai

Do vat 4 lay 0 cai

Do vat 5 lay 8 cai

Gia tri toi uu : 40

Kết quả:

Do vat 1 lay 4 cai

Do vat 2 lay 0 caiGia tri toi uu : 12

Kết quả:

Do vat 1 lay 0 cai

Do vat 2 lay 0 cai

Do vat 3 lay 6 cai

Do vat 4 lay 0 cai

Do vat 5 lay 0 cai

Do vat 6 lay 0 cai

Do vat 7 lay 1 caiGia tri toi uu : 36

Bài tập 10 : Bài toán phép nhân tổ hợp nhiều ma trận

1 Phát biểu bài toán:

Cần tính M = M1×M2× ×Mn

Trong đó: Milà ma trận cấp m[i-1]×m[i] (i=1 n)

Hãy xác định thứ tự thực hiện các phép nhân sao cho số phép tính là tối thiểu.Cần tính M = M1×M2× ×Mn, trong đó: Mi là ma trận cấp m[i-1]×m[i] (i=1 n),thể hiện điều này thông qua bảng sau, đây cũng chính là thông tin vào của bài toán

n: số các ma trậnCấp của các ma trận

m[i] m[0] m[1] m[n]

Output: Hãy xác định thứ tự thực hiện các phép nhân sao cho số phép tính là

if tam < min then

Lan thu 2 thuc hien phep toanthu 1

Lan thu 3 thuc hien phep toanthu 3

Bài tập 11 : Bài toán xâu cực đại

1 Phát biểu bài toán:

Định nghĩa xâu trong: S là xâu trong của T nếu S nhận được bằng cách xoá đimột số ký tự nào đó của T Ví dụ: ‘ABC’ là xâu trong của ‘GAHEBOOC’ bằng cáchxóa đi các ký tự GHEOO của xâu ‘GAHEBOOC’

Bài toán: Cho 2 xâu T1, T2 Tìm một xâu S là xâu trong chung của T1 và T2 có

2 Phương pháp thực hiện, sử dụng phương pháp quy ho ch động với 4 bước là:

Bước 1: Phân tích bài toán

- Gọi P(r,s) là bài toán xâu trong cực đại, với:

r: là số ký tự đầu tiên của xâu T1s: là số ký tự đầu tiên của xâu T2

Ví dụ : T1=‘x1x2…xr…xm’ (m=length(T1))

T2=‘y1y2…ys…yn’ (n=length(T2))

⇒Bài toán ban đầu: P (m,n)

- Giá trị cần tìm:

l[r,s] : độ dài xâu trong chung cực đại của bài toán P (r,s)

Bước 2: Giải pháp đệ quy

if T1[r] = T2[s] then F[r,s]:= F[r-1,s-1] + 1else

while (r>0) and (s>0) do

begin

if T1[r]= T2[s] then

beginSt:= T1[r]+St;

r:= r-1;

s:= s-1;

endelse

if F[r-1,s] > F[r,s-1] then r:=r-1else

if T1[r] = T2[s] then F[r,s]:= F[r-1,s-1] + 1else

r:= r-1;

s:= s-1;

endelse

if F[r-1,s] > F[r,s-1] then r:=r-1else

Kết quả:

Xau X: ABCDAE

Xau Y: XYACADKE

-Do dai cuc dai cua xau trong chung la: 4

Xau trong chung cuc dai la: ACAE

Kết quả:

Xau X: DINHVUXau Y: NINHCU -

Do dai cuc dai cua xau trong chung la: 4Xau trong chung cuc dai la: INHU

Bài tập 12 : Bài toán du lịch

1 Phát biểu bài toán:

Một người đi từ thành phố 0 đến thành phố n và có thể đi qua n-1 thành phốkhác 1, 2, , n-1, theo lộ trình: 0→i1→i2 … →ik→n, trong đó: 0 < i1 < i2 < …<

ik < n Giá vé của xe đi từ thành phố i đến thành phố j là c[i,j]

Tìm một lộ trình từ thành phố 0 đến thành phố n sao cho tổng chi phí về giá véđạt cực tiểu.

Input:

+ n: số thành phố tối đa có thể đi qua

+ c[i,j]: Ma trận chi phí trong đó c[i,j] là chi phí trực tiếp để đi từ thành phố iđến thành phố j (nếu i và j có đường đi trực tiếp) Nếu không có đường đi trực tiếp đếnc[i,j]=∞

Output:

+ Chi phí nhỏ nhất đến từ thành phố 0 đến thành phố n

+ X[i]: số thứ tự thành phố đi qua

2 Phương pháp thực hiện theo 4 bước sau:

Bước 1 Phân tích bài toán

- Gọi P(r) là bài toán du lịch với r là đỉnh cần đến, điểm xuất phát là 0 Bài toánban đầu P(n)

- Cách giá trị cần tìm:

l[r]: Chi phí nhỏ nhất để đi từ đỉnh 0 đến đỉnh r

u[r]: Đỉnh kế cuối trong đường đi từ đỉnh 0 đến đỉnh r

Bước 2 Giải pháp đệ quy

- Trường hợp chung: khi r > 0

v1:= 0;

min:= c[0,r];

for v:=0 to r-1 do

var u,l: array [0 nMax] of integer;

C: array [0 nMax,1 nMax] of integer;

x: array [1 nMax] of integer;

v1:= 0;

min:= c[0,r];

for v:=0 to r-1 dobegin

Kết quả:

Chi phi toi thieu de di la: 5

Lo trinh duong di ngan nhat:

0 ->1 ->3 ->4

Kết quả:

Chi phi toi thieu de di la: 7

Lo trinh duong di ngan nhat:

0 ->2 ->3

Bài tập 13 : Bài toán sinh viên ôn thi

1 Phát biểu bài toán

Một sinh viên còn m ngày để ôn thi n môn Theo kinh nghiệm của anh ta, nếu

ôn môn j trong i ngày thì được điểm là c[i,j] Giả sử cho biết các c[i,j] (với

n ∈N* : số môn ôn thi.

c[i,j] ∈R: điểm đạt được khi ôn thi môn j trong i ngày

Output:

x[j]: số ngày ôn thi môn j (j=1 n) sao choΣx[j]=n và Σc[x[j],j] đạt max

2 Phương pháp thực hiện theo 4 bước sau:

Bước 1 Phân tích bài toán

Gọi P(r,s) là bài toán ôn thi với

r : là số ngày ôn thi

s : là số môn ôn thi

=> Bài toán ban đầu: P(m,n)

Tìm:

l[r,s]: tổng điểm lớn nhất Σc[x[j],j]

u[r,s]: số ngày ôn thi môn s (tức là x[s])

Bước 2 Giải pháp đệ quy

- Trường hợp chung: khi s > 1

u[r,s]:= r;

endelse

begink1:= 0;

writeln('So diem toi da co the duoc la: ',l[m,n]);

writeln('So ngay can on cho cac mon la: ');

for i:= 1 to n do writeln ('Mon ',i,':',x[i]:4);

var c,l,u: array [0 nMax,1 nMax] of integer;

x: array [0 nMax] of integer;

k1:= 0;

max:= l[r,s-1];

for k:=0 to r dobegin

writeln('So diem toi da co the duoc la: ',l[m,n]);

writeln('So ngay can on cho cac mon la: ');

for i:= 1 to n do writeln ('Mon ',i,':',x[i]:4);

So diem toi da co the duoc la: 27

So ngay can on cho cac mon la:

Mon 1: 0

Mon 2: 2

Mon 3: 1

Kết quả:

So diem toi da co the duoc la: 20

So ngay can on cho cac mon la:

Mon 1: 1Mon 2: 2Mon 3: 0