3doc tài liệu hóa học vô cơ

3.phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên 2 chiều3.1.Trường hợp rời rạc - cho biến ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều X,Y và hàm x,y.. Lập bảng phân phối xác suất của Z=x,y.. Ta tiến hành

3.phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên 2 chiều

3.1.Trường hợp rời rạc

- cho biến ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều (X,Y) và hàm (x,y) Lập bảng phân phối xác suất của Z=(x,y)

Ta tiến hành:

-tìm tập của Z tương ứng với các giá trị của X,Y;

-tìm các xác suất:

Ví dụ: cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X,Y Lập bảng phân phối của Z=2X-3Y+1

GIẢI: tính các giá trị của Z

Y

Z Y

X

*P=P=0,05

*P=P=0,25

*P=P=0,2

*P=P=0,25

*P

*P

Ta có:

Z -3 -1 0 2 3 5

P 0,05 0,25 0,2 0,25 0,1 0,15

Ví dụ 2: cho XP(),YP(), X,Y độc lập Tìm phân phối xác suất của Z=X+Y

GIẢI: Z(Ω)=

P (tính độc lập)

= =

= Vậy z

3.2 Trường hợp liên tục

-Giả sử (X,Y) là biến ngẫu nhiên 2 chiều có hàm mật độ xác suất f(x,y) các hàm U = u(x,y); T = t(x,y) liên tục cùng với các hàm ngược x = x(u,t) của chúng; các đạo hàm riêng

; tồn tại Liên tục và jacôbi J =

Khi đó hàm mật độ của biến ngẫu nhiên 2 chiều (u,t) được xác định:

g(u,t) = f(x(u,t), y(u,t)) |J| (1.1)

ví dụ 3: cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ xác suất f(x,y) Chứng tỏ rằng hàm mật độ của T = X+Y là:

hay (1.2)

Nếu X,y độc lập thì:

hoặc (1.3)

GIẢI: Xét u=x; t = x+y suy ra x=u, y = t-u

Jacobi: J = = 1

Từ công thức (1.1) ta có hàm mật độ đồng thời của (u,t):

g(u, t) = f(u, t-u).

từ đó hàm mật độ của T:

Tương tự ta cũng có:

Nếu X, Y độc lập thì: f(u, t-u) = :

Tương tự:

Ví dụ 4: cho X N(), Y ), độc lập Chứng minh T = X+Y có phân phối chuẩn N( GIẢI: Trước tiên ta chưng minh cho X N(0,

Ta có :

- = - (1.4)

Đặt v =

=

Từ ví dụ 3:

= =

=

Chứng tỏ là hàm mật độ phân phối chuẩn N(0, 1+).

Với X ); Y = N(

(1.6)

Từ mệnh đề ta có:

Theo chứng minh phần trên:

Do đó từ (1.6):

Từ ví dụ 4 ta có kết quả:

Định lý 1: nếu

Định lý 2: X aX+bY+b) với ab