Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 2.. Giả sử H là trung điểm của AB, mặt phẳng SHC và mặt phẳng SHD đều vuông góc với mặt phẳng đáy.. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD nế
Trang 1KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1
ĐỀ THI MÔN: Toán KHỐI: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm: 02 trang
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm):
CâuI(2 điểm):
Cho hàm số: 1
2x-2
x
y= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB2 = 37
2 , với O là gốc tọa độ.
CâuII(3điểm):
1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sinx + sin3x + 4cos2x
2 Giải phương trình:
3 a) sin 2x 2 os
3 ) 3x+2 2x-1
2
c x b
+
CâuIII(1điểm):
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Giả sử H là trung điểm của AB, mặt phẳng (SHC) và mặt phẳng (SHD) đều vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chóp S.ABCD nếu hình chóp có ba mặt bên là các tam giác vuông
CâuIV(1điểm):
Giải hệ phương trình: 2 2
4x+4y-2xy+z 4
x y z+ + =
II PHẦN RIÊNG(3điểm):
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần 1 hoặc 2)
1. Theo chương trình chuẩn(3điểm):
CâuVa(2điểm):
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;2) và đường thẳng d có phương trình 2x + 3y – 6 = 0 Gọi B, C là giao điểm của d với hai trục ox, oy Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC
2
log x+log x =log x −1
CâuVIa(1điểm): Tìm hệ số cuả số hạng không chữa x trong khai triển
20
2
x x
x
với x > 0, n N∈ *
2. Theo chương trình nâng cao(3điểm):
CâuVb(2điểm):
Trang 21 Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 6x – 2y +1 = 0 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng x – 2y – 6 = 0 và cắt (C) theo một dây cung
có độ dài bằng 4
2 Giải phương trình: 2x+1.x = 2x + x + 1
CâuVIb(1điểm): Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển nhị thức (x3 + 2)n
biết A n3 −8C n2 +C n1 =49, n N∈ *
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 3ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
I 1 1.TXĐ: R\{ }1
2.Sự biến thiên:
'
) 2 2 (
6
−
−
=
x
y có y' < 0 ∀x≠ 1
⇒Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞ ; 1)và (1 ; +∞)
+Giá trị: Hàm số không có cực trị
+Tiệm cận:
2
1 2 2
2 lim ) (
−
+
=
+∞
→ +∞
x x
f
x
2
1 2 2
2 lim ) (
−
+
=
+∞
→ +∞
x x
f
x x
⇒ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=1/2 là tiệm cận ngang
−
+
2 lim ) ( lim
1
x x
f
x
−
+
2 lim ) ( lim
1
x x
f
x x
⇒ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng
+Bảng biến thiên:
x − ∞ 1 + ∞
y’ -
y
3.Đồ thị:
Cho x=0⇒ y=−1⇒ Đồ thi hàm số giao với truc Oy tại (0;-1)
Cho y=0⇒x=−2⇒ Đồ thi hàm số giao với truc Ox tại (-2;0)
Đồ thị nhận điểm I(1;1/2) là tâm đối xứng
-4 -2
2 4
x
y
-1 O
0.25
0.25
0.25
0.25
I 2 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là
m x x
x
+
=
−
+
2
2
2
1/2
∞
−
Trang 4
=
−
−
− +
≠
⇔
(*) 0 2 2 ) 3 2 ( 2
1
x x
- Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
m
∀
⇔
- Khi đó ∀mđường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1);B(x2;y2)
trong đó x1;x2 là 2 nghiệm của phương trình (*)
Với
m x y m x
x
m x y
m x
x
+
=
−
−
=
+
=
−
= +
2 2 2
1
1 1 2
1
; 1
; 2
2 3
2
2 2
2 1
2 1 2
(
2 OA +OB =x + x +m +x + x +m
17 2 4
2 ) (
2 4
) (
2
2
2 2
1 2
1
2 2 1
+ +
=
+ +
=
− +
=
m m
m x
x m x x x
x
−
=
=
⇔
= + +
5 1
2 37
17 2
4 2
m
m m
m
Vậy
−
=
=
5 1
2
m
m
là giá trị cần tìm
0.25
0.25
0.25
0.25
II 1 1 y = f(x) = sinx + sin3x + 4cos3x
= sinx + 3sinx – 4sin3x + 4 – 4sin2x
= - 4sin3x – 4sin2x + 4sinx + 4
Đặt t = sinx, t∈[ ]− 1 ; 1
Ta được f(t) = − 4t3 − 4t2 + 4t+ 4, t∈[ ]− 1 ; 1
Khi đó max[−1;1] f(t)=maxR f(x);min[−1;1] f(t)=minR f(x)
Xét hàm số f(t) = − 4t3 − 4t2 + 4t+ 4
f ' (t) = − 12t2 − 8t+ 4
=
−
=
⇔
=
3 1
1 0
) (
'
t
t t
f
f(1) = 0 ; f(-1) = 0 ; f(1/3) =
27 128
Vậy
27
128 ) ( max f x =
∏ +
−
∏
=
∏ +
=
⇔
=
2 3
1 arcsin
2 3
1 arcsin 3
1 sin
k x
k x
minR f(x)=0tại
2 1
sin =± ⇔ = ∏
k x
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 5II 2 2 )
5 cos(
2 ) 2 5
3 sin( ∏+ x = x−∏
) 5 cos(
2 ) 5 cos(
) 5 sin(
2
) 5 cos(
2 ) 2 5
2 sin(
) 5 cos(
2 ) 2 5
3 sin(
x x
x
x x
x x
−
∏
=
−
∏
−
∏
⇔
∏
−
=
−
∏
⇔
∏
−
=
−
∏
−
∏
⇔
=
−
∏
=
−
∏
⇔
1 ) 5 sin(
0 ) 5 cos(
x x
⇔x= − ∏+k∏
10
3
, k∈Z
Vậy phương trình có nghiệm là x= − ∏+k∏
10
3
, k∈Z
0.25
0.25
0.25
0.25
II 3 3
2
3 1
2 2
3 + − − = x+
x x
Điều kiện:
2
1
≥
x
0 1 2
0 2
+
=
−
⇒
≥
−
=
≥ +
=
x v u x
v
x u
Khi đó ta có phương trình
= +
=
−
⇔
−
=
−
2
0 2
2 2
v u
v u v
u v u
-Với
−
= +
≥
−
⇔
−
= +
⇔
=
−
1 2 2 3
0 1 2 1 2 2 3 0
x x
x x
x v
-Với u+v= 2 ⇔ 3x+ 2 + 2x− 1 = 2
= +
−
≤
≤
⇔
0 17 34 5
3 2
1
x
x
vô nghiệm
Kết luận: Phương trình vô nghiệm
0.25
0.25
0.25
0.25
III
Trang 6Vì ( )
) ( ) (
) (
) (
) (
) (
ABCD SH
SH SHD SHC
ABCD SHD
ABCD SHC
⊥
⇒
=
⊥
⊥
SH AD
BC AD
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
) (
SAD
∆
Tương tự ta chứng minh được ∆SBCvuông tại B
SCD
∆ có SC = SD( vì HC = HD) nên không thể vuông tại C hoặc D
Giả sử ∆SCDvuông tại S thì SC<CD = a
mà SC>BC = a ( do∆SBCvuông tại B)
⇒Vô lý ⇒ ∆SCDkhông vuông
Vậy ∆SABvuông tại S (do SA=SB)
Từ đó có
2 2
AB
SH = =
Vậy
6 2 3
1
3
a S
SH
0.25
0.25
0.25
0.25
IV
Ta có
+
−
=
−
=
+
⇔
= +
− +
= + +
2
4 4
2 4
2 4 4
2
2
xy
z y
x z
xy y x
z y x
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
2
) 2 ( ) 2 (
2
X
Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ − (z− 2 ) 2 ≥ 0 ⇔ z= 2
0
0
=
=
⇒
=
= +
y x xy
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(0;0;2)
0.25
0.25 0.25
0.25
Va
1
) 2
; 0 (
) 0
; 3 (
C Oy d C
B Ox d B
⇒
=
⇒
=
0.25
S
A
B
D H
C
Trang 7Giả sử H(x;y) là trực tâm của ∆ABC
Ta có BC = ( − 3 ; 2 );AC = ( − 1 ; 0 );AH = (x− 1 ;y− 2 );BH = (x− 3 ;y)
Vì H là trực tâm của ∆ABCnên ta có:
=
=
⇔
= +
−
−
=
− +
−
−
⇔
=
=
5
3 0
0 ) 3 (
0 ) 2 ( 2 ) 1 ( 3 0
.
0
y
x y
x
y x
AC
BH
BC
AH
Vậy H(3;5)
0.25 0.25 0.25
2 log log log4 2 1
2 1
2
2
1 log
2 2
2
≥
≤
<
⇔
≥
≤
>
⇔
≥
−
>
2
1 0
2 1
0 0
) 1 (log log
0
2
x x
x
x x
x x
Khi đó: ( 1 ) log 2 log2 log2 1
TH1: 0 <x≤ 1thì log2 x− 1 < 0
Vậy phương trình (2) vô nghiệm hay phương trình (1) vô nghiệm ∀x∈(0 ; 1]
TH2: x≥ 2ta có: ( 2 ) log log log 2 2 log2 1
2 2
2
⇔ log2 x= 1 ⇔ x= 2 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
0.25 0.25
0.25
0.25
VIa Ta có ( 2) 20 ( 3 / 2 2) 20
x
x x
x
∑ ∑
=
−
−
=
− =
0
20 20 2 5 20 20
0
20 2 3
k
k
k k k
k
k
x x C
Số hạng không chứa x trong khai triển 20 0 8
2
5 − = ⇔ =
Khi đó hệ số của số hạng không chứa x là 8 12
20 2
C
0.25
0.25 0.25
0.25
Vb 1
9 ) 1 ( ) 3 (
0 1 2 6 :
) (
2 2
2 2
=
− +
−
⇔
= +
−
− +
y x
y x y x C
⇒Đường tròn (C) có tâm I(3;1) và bán kính r = 3
Vì đường thẳng d song song với đường thẳng x - 2y – 6 = 0 nên
Phương trình đường thẳng d có dạng: x – 2y + c = 0 (c≠ − 6 )
Vì đường thẳng d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 4 nên ta có
−
=
=
⇔
= +
⇔
=
− +
+
−
6
4 5
1 5
) 2 ( 1
1 2
3
2
c c
c
mà c≠ − 6 ⇒c= 4
⇒ Vậy phương trình đường thẳng d là: x – 2y + 4 = 0
0.25
0.25
0.25 0.25
Trang 82 2x+ 1 x= 2x +x+ 1
1 )
1 2 ( 2
1 2
2 2
+
=
−
⇔
+
=
−
⇔
x x
x x
x
x x
1 2
1 2
−
+
=
⇔
x
x
x vì x = 1/2 không là nghiệm Xét hàm số y = f(x) = 2x đồng biến trên R
y = g(x) =
1 2
1
−
+
x x
) 1 2 (
3 )
−
−
x x
g
Chứng tỏ g(x) nghịch biến trên các khoảng
∞ −
2
1
; và
+∞ ; 2 1 Lại có f(1) = g(1)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
0.25
0.25 0.25
0.25
VIb Ta có:
A n3 − 8C n2 +C n1 = 49 , n≥ 3 ,n∈N*
7
0 49 7 7
49 )!
1 (
! )!
2 ( 2
! 8 ) 3 (
!
2 3
=
⇔
=
− +
−
⇔
=
−
+
−
−
−
⇔
n
n n n
n
n n
n n
n
=
−
=
0
7 3 7 7
(
k
k k
k x C x
Số hạng chứa x9 ⇔ 3k = 9 ⇔k = 3
Khi đó hệ số của số hạng đó là 3 4
7 2
C
0.25
0.25
0.25 0.25