Thi thử ĐH Trường THPT Tân KỳI-Nghệ An Lời giải : Ta thực hiện giải liên tiếp 6 bài toán cơ bản sau đây 1-Viết pt đường thẳng d3 đi qua điểm M4;1 và song song với đường thẳng d1.. 2- G
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN HỌC TRÒ HỎI
Trần Đức Ngọc – Yên sơn Đô lương Nghệ an - GV Trường THPT Tân Kỳ I Nghệ an
Ta đã làm được những gì trong những năm tháng qua?
1)Giaỉ bất phương trình: log7(𝑥2+ 𝑥 + 1) ≥ log2𝑥
Lời giải : Đk :x > 0
*1 Thấy rằng bất phương trình thỏa mãn với ∀𝑥𝜖 (0 ; 1 (1)
( Vì lúc đó VT = log7 𝑥2+ 𝑥 + 1 > 0 và Vp = log2𝑥 < 0 )
*2 Xét x > 1 : Đặt t = log2𝑥 > 0 Thì ta có x = 2 t và viết được t = log77𝑡
Bất phương trình đã cho trở thành : log7 22𝑡 + 2𝑡+ 1 ≥ log77𝑡 4𝑡+ 2𝑡+ 1 ≥ 7𝑡
Chia hai vế bpt cho 7𝑡 > 0 ta được : ( 47 )𝑡 + ( 27 )𝑡+ ( 17 )𝑡 ≥ 1 (*) 0< 𝑡 ≤ 1
Như vậy ta có : 0 < log2𝑥 ≤ 1 1< 𝑥 ≤ 2 (2)
Từ (1) , (2) Ta có tập nghiệm của bất phương trình là : x 𝜖 ( 0 ; 2
-Chú ý VT của (*) là một hàm nghịch biến, còn VP là hằng số y = 1.Dấu bằng ở (*) xẩy ra khi t = 1
Kẻ bảng biến thiên minh họa sẽ thấy nghiệm bpt (*) là 0< 𝑡 ≤ 1
(Nhóm HS 12A1-Năm học 2008-2009.Học tối thứ 4 và tối thứ 6 từ 19h00 đến 21h00 )
2)Phương trình đường thẳng trong HH phẳng
Bài toán1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC cân tại A, đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình là :
2x+3y+5= 0 (d1) Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình x – y + 5 = 0 (d2).Đường thẳng chứa cạnh
AC đi qua điểm M(4;1) Xác định tọa độ các đỉnh của ABC (Thi thử ĐH Trường THPT Tân KỳI-Nghệ An)
Lời giải : Ta thực hiện giải liên tiếp 6 bài toán cơ bản sau đây
1-Viết pt đường thẳng (d3) đi qua điểm M(4;1) và song song với đường thẳng (d1)
2- Giải hệ phương trình : pt đường thẳng (d2) và pt đường thẳng (d3) được toạ độ điểm B1
3-Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H’ của điểm M trên đường thẳng (d2)
4- Xác định toạ độ điểm C đối xứng với điểm B1 qua điểm H’;Như vậy hai tam giác cân :ABC và MB1C có
Các đáy thuộc đường thẳng (d2) , AB song song với MB1 và M , C , A thẳng hàng
5- Viết phương trình đường thẳng (d4) đi qua hai điểm M , C Đây là đường thẳng chứa cạnh AC
6- Giải hệ phương trình : pt đường thẳng (d1) và pt đường thẳng (d4) được toạ độ điểm A
Bài toán2 :
Cho Tam giác ABC cân,cạnh đáy BC có phương trình x+y+1= 0 (d1).Đường thẳng chứa đường cao BH có
phương trình x - 2y – 2 = 0 (d2).Điểm M(2;1) thuộc (đường thẳng chứa) đường cao CK.Viết phương trình các
đường thẳng chứa các cạnh bên của tam giác ABC (Thi thử ĐH Trường THPT Đào Duy Từ - Thanh Hoá)
Lời giải : Ta thực hiện giải liên tiếp 8 bài toán cơ bản sau đây
1-Viết phương trình đường thẳng (d3) đi qua điểm M(2;1) và vuông góc với (d2),như vậy (d3) song song với
đường thẳng AC ,vì chúng cùng vuông góc với (d2)
2- Giải hệ phương trình: pt (d1) và pt (d3) được toạ độ của điểm C’
3 - Xác định hình chiếu vuông góc H’ của điểm M trên (d1)
4- Xác định toạ độ điểm B’ đối xứng với điểm C’ qua điểm H’;Như vậy hai tam giác cân: ABC và MB’ C’có
các cạnh đáy đều thuộc đường thẳng (d1) , AB song song với MB’ , AC song song với MC’
5-Viết phương trình đường thẳng (d4) đi qua điểm M (2;1) và vuông góc với MB’ đây chính là đường thẳng
chứa đường cao CK của tam giác ABC
6- Giải hệ phương trình :pt đường thẳng (d1) và pt đường thẳng (d4) được toạ độ điểm C
7- Viết phương trình đường thẳng (d5) qua điểm C và song song với (d3) tức là vuông góc với (d2) Đây là
đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác ABC
8-Viết phương trình đường thẳng (d6) đi qua điểm B và
song song với MB’ tức là vuông góc với (d4) ; Đthẳng (d6) là đường thẳng chứa cạnh AB của ABC
Bài toán3 :
Cho Tam giác ABC có A(3;5) ; B(4;-3),đường phân giác trong vẽ từ đỉnh C là x+2y – 8 = 0 (d)
Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Thi thử ĐH Trường THPT Đào Duy Từ - Thanh Hoá)
Lời giải : Ta thực hiện giải liên tiếp 4 bài toán cơ bản sau đây
Trang 2MỘT SỐ BÀI TOÁN HỌC TRÒ HỎI
Trần Đức Ngọc – Yên sơn Đô lương Nghệ an - GV Trường THPT Tân Kỳ I Nghệ an
Ta đã làm được những gì trong những năm tháng qua?
1- Xác định được toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d)
2- Viết phương trình đường thẳng BA’ ,gọi là đường thẳng (d’) -Tức là đường thẳng chứa cạnh BC, A’ thuộc
đường thẳng BC vì tam giác ACA’ cân và lại có đường thẳng (d) là phân giác trong vẽ từ đỉnh C
3- Giải hệ hai phương trình : pt (d) và pt (d’) được toạ độ của đỉnh C
4- Giải bài toán cơ bản : Viết pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đã biết toạ độ ba đỉnh
3)Tính tích phân :
Bài toán 1 I = 𝑒01 𝑥+𝑒𝑥𝑑𝑥
Lời giải : Ta có I = 𝑒01 𝑥+𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒𝑒 𝑥
𝑑𝑥
1
)
1
0 = 𝑒𝑒 - e
Bài toán 2 I = 4
0 5
xdx tg
Lời giải : Ta có tan5
x = (1+ tan2x)tan3x – tan3x = (1+ tan2x)tan3x – (tan2x + 1)tanx + tanx Do đó :
I = 4
0
5
xdx
tg = (1 + 𝑡𝑎𝑛4 𝜋 2𝑥 )𝑡𝑎𝑛3𝑥 − 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 tan 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥
= (1 + 𝑡𝑎𝑛4 𝜋 2𝑥)𝑡𝑎𝑛3𝑥
0 𝑑𝑥 - 1 + 𝑡𝑎𝑛4 𝜋 2𝑥 tan 𝑥
= 1
4 𝑡𝑎𝑛4𝑥 − 1
2 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + ln 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝜋4
0 =
1
4 - 1
2 + ln 2
2 = - 1
4 + ln 2
2
Bài toán 3 I = 𝑐𝑜𝑠 8𝑥−𝑐𝑜𝑠 7𝑥
𝜋 4 0
Lời giải :
Ta có :𝑐𝑜𝑠 8𝑥−𝑐𝑜𝑠 7𝑥
2𝑐𝑜𝑠 5𝑥+1 = (𝑐𝑜𝑠 8𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥)−(𝑐𝑜𝑠 7𝑥+𝑐𝑜𝑠 3𝑥 )+(𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 )2𝑐𝑜𝑠 5𝑥+1
= 2𝑐𝑜𝑠 5𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥−2𝑐𝑜𝑠 5𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 +(𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 )2𝑐𝑜𝑠 5𝑥+1 = (2𝑐𝑜𝑠 5𝑥 +1 )(𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 )2𝑐𝑜𝑠 5𝑥+1 = cos3x – cos2x
Do đó : I = 𝑐𝑜𝑠 8𝑥−𝑐𝑜𝑠7𝑥
𝜋 4
0 = (𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥01 = ( 13 sin3x−12 sin2x )
𝜋 4
0 = ( 2
2 ) = 2−3
6
Bài toán 4 : I = 𝑐𝑜𝑠 8𝑥−𝑐𝑜𝑠 7𝑥
𝑐𝑜𝑠 3𝑥−𝑐𝑜𝑠 2𝑥
𝜋 4
Lời giải : Ta có : 𝑐𝑜𝑠 8𝑥−𝑐𝑜𝑠 7𝑥
𝑐𝑜𝑠 3𝑥−𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = sin152 x.sinx2
sin52x.sinx2 = 3sin
5
2x−4sin352x sin52x = 3 – 4sin2 5
2𝑥 = 1 + 2cos5x
Do đó : I = 𝑐𝑜𝑠 8𝑥−𝑐𝑜𝑠7𝑥
𝑐𝑜𝑠 3𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝜋 4
0 .dx = 1 + 2𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥𝜋4
5 sin5x)
π 4
0 = 𝜋4 - 25