Bai Viet Ve Bat Dang Thuc

LỜI NÓI ĐẦUBất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính vì thế hầu hết các kì thi

I LỜI NÓI ĐẦU

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính

vì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS;… mà do chính người VN ta tìm ra Để chứng minh bất đẳng thức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào cũng giải được Nhưng liệu khi đi thi chúng ta có đủ thời

gian để sử dụng chúng không? Nên việc tìm ra lời giải bằng các đẳng thức

cổ điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đối với những người yêu bất đẳng thức Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đẳng thức quen thuộc: côsi (AM-GM) bunhia (Cauchy – swarchz) trong giải các bài bất đẳng thức đại số Hai bất đẳng thức này tuy nhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phải

dễ dàng Tất cả được chỉ ra qua một lượng đáng kể những ví dụ đa dạng, từ nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt là những kì thi Olympic toán hoặc trên những trang web làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động

II HAI BẤT ĐẲNG THỨC: AM – GM; Cauchy – swarchz và ứng dụng

1 Bất đẳng thức AM – GM.

Với a1, a2…; an là n số thực không âm ta có:

a1+ a2+ … + an-1 + an  n n

n

n a a a

a1 2 1 Dấu “=”  a1 = a2 =…= an

Chứng minh bất đẳng thức này có khoảng hơn 40 cách nên xin dành lại cho bạn đọc

* Bất đẳng thức này rất quen thuộc và ứng dụng lớn nên nó sẽ là bất

đẳng thức đầu tiên mà các bạn cần nhớ và chú ý là dấu “=” xảy ra khi :

a1+ a2+ … + an-1 = an

2 Bất đẳng thức Cauchy – swarchz (cs)

*Với hai dãy số thực tùy ý a1;a2 … an và b1, b2, bn ta luôn có:

( 2 2

2

2

1 a a n

2 2

1 b b n

b    )  (a1b1+a2+b2+ anbn)2 Dấu “=”  J số k sao cho aj = k.bj (Với J = 1 ,n)

*Hệ quả: (dạng cộng mẫu số)

n n n

n

a a a x

a x

a

x

a

















)

(

2 1

2 2

1 2 2

2 1

2

1 (Với x i> 0 , v =1 ,n)

Bất đẳng thức này còn có tên gọi là Engel hay Swarchz

Chứng minh bất đẳng thức (*) có nhiều cách nhưng có một cách này các bạn nên nhớ:

2 2

(a a  a n (b12 b n2)- (a1b1+a2+b2+ anbn)2=

; 1

n

i j (ajbJ- aJbi)

3 Ứng dụng.

*Bài toán 1: cho a, b, c  o CMR

2

3











c a c

b c

b

a

(*)(BĐT Nesbit) Cách 1:

BĐT: (*)  ( 1) ( 1) ( 1) 0

2 3

2

0

3 3 [( )( )( )]

2 2 [( )( )( )]

(Đúng)

Ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức Am-Gm để làm chặt.Với cùng điều kiện trên ta có bất đẳng thức khoẻ hơn sau:

2 3

2

3 3 [( )( )( )]

2 2 [( )( )( )]

Cách 2:

2 2 2 2

 

(Cauchy – swarchz dạng Engel)

Mà :

) (

2

)

ca bc ab

c b a







2

3 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)  0

(a-b)2 + (b – c)2 + (c – a)2  0

Cách 3: Từ nhận xét: 2

) 2

1

c b

a

 0



c b

a

1

1

1 8









c b a c b

a

=

) (

4

8

c b a

c b a









Tương tự: b

ca 

8

a b c

 

c

a b 

8

c b a

a b c

 

 

Cộng ba bất đẳng thức lại thì ta có:

b a

c a c

b c

b

a









3 )

( 4

) 8

( ) 8

( ) 8





















c b a

b a c a c b c b a

Đpcm

Ngoài cách giải trên ta còn có khoảng hơn 30 cách nữa để chứng minh bất đẳng thức Nesbit này.Lời giải bằng CS rất hiệu quả trong việc chứng minh bất đẳng thức 3 biến đối xứng 

Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 CMR

b

ca a

bc

c

ab   a + b + c

*Đây là bất đẳng thức 3 biến đối xứng với cách giải khá quen thuộc .Thông

thường ta sẽ nhóm lần lượt 2 số rồi sử dụng Am-Gm Và 1 chú ý nữa là dấu

‘=’a=b=c

*Lời giải:

Sử sụng liên tiếp bất đẳng thức AM – GM cho 2 số không âm:

) (

2

1

a

bc c

ac

bc

ab. 

2 2 1

) (

2

1

b

ca a

bc

) (

2

1

c

ab b

Cộng lại ta được Đpcm

Bài toán 3: Cho a, b, c > 0 CMR:

a

c c

b

b

abc

a b c

 

 Lời giải:

*Nhận thấy dấu ‘=’  a=b=c

Đối với những bất đẳng thức hoan’ vị:

a

c c

b b

a   thì ta cần phải sử dụng bất đẳng

thức phụ để đưa về đối xứng thì việc giải quyết sẽ dễ dàng hơn 

*Dự đoán.Nếu có:

a

c c

b b

3

a b c abc

 

 (cũng có dấu ‘=’  a=b=c)

Thì theo AM – GM :

3 abc

c b

+

c b a

abc





3

Thì bài toán được chứng minh 

Bây giờ ta sẽ kiểm chứng ‘dự đoán’ trên xem bất đẳng thức có đúng không ?

Với x, y, z > 0 ta có: x y z

y z x 

3 ) (

xyz

z y

Thật vậy: nếusử dụng bất đẳng thức AM – GM thì ta có:

3

3

3 3

.

y  y z y y z  xyz

Tương tự:

z  z x 

3

3

xyz

y

;

y

x x

z x

3

3

xyz z

Cộng chúng lại ta được: (

x

z z

y y

3

(x y z)

xyz

 

Dự đoán của chúng ta là hoàn toàn chính xác !.Bài toán được giải quyết trọn vẹn 

*Bài toán tương tự: (APMO 1998) CMR với x, y, z > 0 ta có:

) 1 )(

1 )(

1

(

x

z z

y y

x





3

) (

2

xyz

z y

(*)

* Bất đẳng thức (*) sau khi khai triển ta được:

(

x

z z

y

y

x  ) + (

y

z x

y z

x



3

) (

2

xyz

z y

Đến đấy nhìn rất quen thuộc so với bài toán 3

Thì ta sử dụng kết quả x y z

y z x

3

(x y z)

xyz

 

 thì bài toán “APMO 1998” được

giải quyết .Lại 1 lần nữa cho thấy được hiệu quả khi sử dụng Am-Gm Bài toán 4:Cho a;b;c>0.CMR:

3

*Nhận thấy:

3

  nên chúng ta thường nghĩ ngay đến

việc sử dụng SOS

Chú ý:

2 1 [(a-b) ( ) ( ) ] 2

a b c

 

Nên bđt

1

a b c

a b

 



Thật may mắn cho chúng ta là đến đây không phải đánh giá nhiều vì có luôn

(a b c a  )( b c )  9abc

Nhưng đằng sau mỗi bài toán bao giờ cũng tồn tại lời giải cổ điển và việc của chúng ta là phải tìm ra nó mà thôi

Nhận thấy:

3

(a  b c )(a b c   ) (a b c ) (CS)

(ab bc ca  )  3abc a b c(   )

Phép chứng minh hoàn tất 

Không dừng lại ở đó chúng ta còn có:

3

n

  với mọi n nguyên dương.

Đến đây liệu phân tích SOS còn được nữa không? Nhưng chỉ với chú ý nhỏ

là: n ab bc ca2 2 2

ab bc ca



  thì bài toán được giài quyết.

Qua mấy bài trên phần nào chúng ta cũng đã thấy được sự lợi hại của nó trong việc chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 5: Cho a, b, c > 0 CMR:

Ở đây nếu ta sử dụng luôn bất đẳng thức CS dạng Engel thì:

1

Nhưng

1

   thì lại không đúng nên ta sẽ phải tìm cách khéo léo hơn để sử dụng được CS

*Lời giải:

BĐT: (*) 

2

2 1

1

a

b a

b



+

2

2 1

1

b

c b

c

2

2 1

1

c

a c

a



 1

*Đến đây ta sẽ đổi biến đặt

a b c  thì ta có:x’.y’.z’=1

Nếu đổi biến 1 lần nữa cho: x= yz2;y zx2;z xy2

x  y  z để xem dung CS dạng Engel

còn được nữa không

Thì BĐT về dạng:

4

x

x  x y z  y z

Áp dụng BĐT CS dạng Engel ta được:

VT 

2 2 2 2

x y z

x xyz x y z x y

Và thật may mắn là ta có:

1

(Do 2 2 2 2

) (x  y z   4 

x x2y2xyz(xyz)

y

x  xyz (x + y + z)

) ( )

( ) ( 2

1

x z y z y x y x

Phép chứng minh hoàn tất

Bài toán trên là bài toán khó.Việc tìm ra lời giải bằng CS là không phải dễ !

* BĐT trên còn có thể phát biểu dưới dạng

* Với x, y, z > 0, xyz = 1 CMR

1 2

2



x

x

x

+

1 2

2



y y

y

+

1 2

2



z z

Cùng với cách tương tự trên ta có với x, y, z > 0, xyz = 1

1

2 x

1

1

2 y

1

1

2 z

(Võ Quốc Bá Cẩn, Vascle Cutoaje) Bài toán 6: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3

CMR:

2



2



2



  3 (*)

(Trần Quốc Anh)

*Lời giải:

Để cho việc chứng minh dễ dàng ta thường đưa về bất đẳng về dạng đồng bậc

 Nên sẽ đưa tất cả các mẫu số về bậc 2 

Ta có: 3 (b + ca) = (a + b + c) b + 3 ca

Theo bất đẳng thức AM – GM : 2ca  c2 + a2

Nên: 3 (b + ca)  (a + b + c) b + c2 + a2 + ca = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca

Vậy:

2



2



2



3(a bc) 3(b ca) 3(c ab)

Phép chứng minh hoàn tất 

*Bài toán trên là 1 sự khéo léo trong việc sử dụng côsi và 1 lần nữa cũng cho thấy được sức mạnh của nó

Bài toán 7:Cho các số thực x;y;z khác 1 thoả mãn tích của chúng bằng 1

Cách 1:

   khi đó từ giả thiết xyz=1 nên:

( 1)( 1)( 1)

abc a b c suy ra được a  b c ab bc ca   1

Mà bài toán bây giờ trở thành chứng minh:

a b c 2(a  b c ab bc ca  )-1

Phép chứng minh hoàn tất.

Nhưng liệu lời giải bằng cổ điển còn có hiệu quả nữa không ?

Cách 2: Chúng ta sẽ thử sử dụng CS xem sao! 

Thông thường với điều kiện xyz=1 thì ta thường đổi biến để đưa về đồng bậc



Đặt x =

a

b; y =

c

b

; z =

a

c

; (xyz = 1)

BĐT (*)

2

)

a

2

) (b c

b

2

) (c a

c

Áp dụng BĐT Cauchy – swarchz

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ab ac  bc ba  ca  cb

) ( ) ( ) (a c b b a c c b

Đặt m = (a-b) (a-c); n (b-c) (b-a); p = (c – a) (c-b)

Hiển nhiên  mn + np + mp = 0

Dễ dàng chứng minh được:

) ( ) (ab ac = (m + n + p)2 (1)

Lại có m + n + p = (ab)(ac) a(ac) b(ba) c(cb)

Nên: (m n p) 2  [a(a-c)+b(b-a)+c(c-b)] 2]2 (2)

Từ (1) và (2) bài toán được giải quyết

Lại 1 lần nữa đã cho ta thấy được sức mạnh khi dung bđt cổ điển 

Bài toán 8: Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác.CMR:

5 2



Phạm Kim Hùng

Nhìn vào bài toán thì nhiều người sẽ sử dụng ngaySOS

2



Với chú ý là:

2



 

Và:

1

Nên bất đẳng thức của chúng ta:

a b



2

a b



Đến đây việc đánh giá của chúng ta không còn đơn giản như bài toán 4 nữa

Đặt

c

S



b

S



a

S



Giả sử: a b c Thì chúng ta có:

0

a

S

0

b

S

0

(3)

Ta đang cần chứng minh:

Mà:a c b

Xét a khác b thì từ (1);(2);(3);(4) ta suy ra được:

(a b) [S (a b c) S b( )b S c] 0





Trường hợp a=b thì từ (1);(2) suy ra đpcm

Bài toán giải quyết trọn vẹn

*Lời giải bằng SOS khá cồng kềnh và phức tạp.Nhưng liệu bất đẳng thức cổ

điển có giải được bài toán này không?.Câu trả lời có :)

BĐT cần chứng minh:



2





Thật vậy:

2

Mà:(b c a b c  )(  )= 2 2 2

2(a b c )

Suy ra bài toán được giải quyết

*Ẩn

* Lời giải vô cùng đẹp nhưng để tìm ra nó cần phải trải qua thời gian và sự rèn luyện bất đẳng thức hàng ngày của chúng ta

4.Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách sử dụng 2 bất đẳng thức cổ điển.

Bài toán 9: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3

a (a-b) (a-c) + b(b-a) (b-c) + c(c-a) (c-b)

2 2 2





*Lời giải này của: Nguyễn Đình Thi

VT = a3 + b3 + c3 + 3abc – ab (a+b) – bc (b+c) – ca (c+a)

= a3 + b3 + c3- a (b2 – bc + c2) – b (c2 ca + a2) – c (a2 – ab + b2)

= a3 + b3 + c3

-c b

c b a



( 3 3

-a c

a c b



( 3 3

-b a

b a c



( 3 3

=

c b

c a ac b

a

ab







+

a c

a b ba c b bc







+

b a

b c bc a c ca







=

) )(

(

) )(

a c

c

b

b a

b

a

ab









+

) )(

(

) )(

b c a c

c b c b bc









+

) )(

(

) )(

c b b a

a c a c ca









=

) )(

)(

(

) (

) (

)

a c c b b a

a c ca c b bc b

a

ab

















) )(

)(

(a b b c c a

abc





b

a2 2)2 ( 

+

a

c

b2 2)2 ( 

+

b

a

c2 2)2 ( 

]

Áp dụng BĐT CS dạng Engel được:

c

b

a2 2)2

( 

+

a

c

b2 2)2 ( 

+

b

a

c2 2)2 ( 

c b a

b a







 4( 2 2)

 Đpcm

*Đây là 1 trong những cách sáng tạo bất đẳng thức khá phổ biến là làm mạnh

1 bất đẳng thức Sử dụng CS để sáng tạo chúng thì việc tìm ra lời giải không

dễ như là làm chặt bằng Am-Gm qua bài toán 1 

NX: Bất đẳng thức này rất hay và khác hơn bất đẳng thức shur

*BĐT shur của chúng ta là:

a (a-b) (a-c) + b (b-a) (b-c) + c (c-a) (c-b)  0

Bài toán 10: (Lương Hải Đăng)

Cho a, b, c > 0 a3b + b3c + c3a = 3 CMR:

c b a

a c c b b

a









(

) (

24

a c c b b

16

*Ý tưởng khi nghĩ ra bài này của mình là dựa vào bất đẳng thức quen thuộc:

(a + b) (b + c) (c + a) 

9

8 (a + b + c) (ab + bc + ca) và từ dấu ‘=’ a=b=c=1.Thì ta suy ra được:

c

b

a

a c

c

b

b

a









c b a

ca bc ab c b a











( 9

8

= 9

8 (ab + bc + ca)

Đến đây ta sẽ dùng Am-Gm để chế tiếp .Nên chúng ta phải cộng thêm 1

lượng x

dung Am-Gm

Nếu như thế bài toán khá dễ nên phải che đậy bằng biểu thức: 2 242 2 2

(a b b c c a  ) cùng với điều kiện bài toán 

Áp dụng CS ta có: (a3b + b3c + c3a) (ab + bc + ca)  (a2b + b2c + c2a)2

) (

24

a c c b b

8

Mà: (a + b) (b + c) (c + a) 

9

8 (a + b + c) (ab + bc + ca)

ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)  6abc

c (a - b)2 + b (a - c)2 + a (b – c)2  0

Vậy

c b a

a c c b b a









(



c b a

ca bc ab c b a











( 9

8

= 9

8 (ab + bc + ca)

Nên theo AM – GM:

9

8 (ab + bc + ca) +

ca bc

8

13

6



 Đpcm

Bài toán 11: Cho a, b, c > 0 CMR:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 3

  + 2 (ab + bc + a – 1)

2  1

(Với a + b + c = 1)

(Lương Hải Đăng)

*Lời giải:

Sử dụng BĐT sau: (x + y) (y + z) (z + x) 

9

8 (x + y + z) (xy + yz + zx)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 3

   3 ( 2 2 2)

2 2 2 2 2 2

c b a

a c c b b a









) (

9

) (

c b a

ca bc ab









(Cauchy – swarchz)

Đặt x = ab + bc + ca  2 2 2

c b

a   = 1 – 2x  0  x 

3 1 Nên ta chỉ cần chứng minh:

2 2

) 2

1

(

x

 + 2 (1 – x)

2  1 (*)

Đến đây có nhiều cách có thể sử dụng côsi điểm riêng hoặc:

BĐT: (*)  (3x-1) (24x3– 64x2 + 45x – 9)  0

Mà x 

3

1

 3x – 1  0

Và : 64x2 + 9 = 81x2 + 9 – 17x2  54x – 17x2 (côsi hay AM – GM)

Nên (24x2 – 64x2 + 45x – 9)  24x – 54x + 17x2 + 45x

= 24x3 – 9x + 17x2

2

(1 3 ) (1 9 ) 0

3 x x 9 x x 3x

( Đúng do:(0 1)

3

x

 

Vậy: (3x – 1) (24x2– 64x2 + 45x – 9)  0

 Bài toán giải quyết

Mình nghĩ ra bài này cũng dựa trên:

(x + y) (y + z) (z + x) 

9

8 (x + y + z) (xy + yz + zx) mà thôi rồi đưa về 1 biến để chứng minh 

Bài toán 12: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác

CMR:

a

bc a c



(chọn đội dự tuyển sư phạm 2009)

BĐT (*) đưa về dạng:

a

c

b

a





 bc  a + b + c

Theo voirn_shur : a ( a b)( a c)

 

=>ĐPCM

Cách 2: Chỉ hoàn toàn sử dụng côsi với CS 

Đặt a = y + z; b = x + z; c = x + y

Ta chỉ cần chứng minh

) )(

(

2x x y x z

z

2x x y x z

z

Theo Cauchy – swarchz thì: (xy)(xz)  x yz

2x x y x z

z

 = 2 (x + y + z) +

x

yz

z

( 



Theo AM – GM:

x

yz z

y ) ( 

x

yz

2



Nên: yx z

) )(

(xy xz  2 (x + y + z) + 2yx z

 4 (x + y + z)

 Điều phải chứng minh

Lời giải trên đơn thuần chỉ dùng 2 bđt cổ điển thong qua cách 1 ta thấy được

sự ưu việt của việc sử dụng chúng 

*Ngoài ra với điều kiện trên ta cũng có bài toán chặt hơn sau:

2 2 2

a

 



*Nhận xét: BĐT trên cũng chỉ sử dụng hai bất đẳng thức quen thuộc.Các bạn có thể thử nhé ! Sau một số ví dụ trên chúng ta cũng thấy phần nào sức mạnh của hai bất đẳng thức cổ điển làm cho lời giải trở nên rất

đẹp !

Sau đây chúng ta sẽ đến với bài toán cuối cùng

Bài toán 13: (MIC vòng 1)

Cho a, b, c không âm và không có 2 số nào cùng bằng 0 CMR:

2

c bc b

bc a







2

a ca c

ca b







2

b ab a

ab c







 3 Nhận thấy dấu “=”  có 1 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau .Ta sẽ đi

đến với lời giải sau 

*Lời giải:

Cách 1:

Giả sử c = min {a, b, c}

Do: a2 + bc  a2 ; b2 + ca  a2 ; c2 + ab  ab

Và: b2 – bc + c2 = b2 + c (c – b)  b2; c2– ca + a2  a2

Nên A  22

b

a

+ 2 2

a

b

b ab a

ab





Áp dụng BĐT AM – GM thì:

2

2

b

b

a

; 2 2

a

a b

 A  (2  1

b

a

) + (2  1 )

a

b

b ab a

ab





2 2

















a

b b

a b ab a

ab ab

b ab a

3 1 2

2   



(AM – GM)

 Bài toán được giải quyết

Cách 2:

Sử dụng bất đẳng thực CS thì ta có

VT





Ta cần chứng minh:

3



a4  7abc a b c(    ) ab a( 2 b2 )

Mà theo shur thì ta có 

a abc a b c   ab a b

Đpcm 

Làm chặt bất đẳng thức

Ở cách 1 ta còn đánh giá hơi yếu.Rõ rang thừa ra hẳn 1 lượng 

ab

a ab b

 từ đây ta có thể suy ra được  bài toán cũng rất đẹp sau 

2

c bc b

bc a







2

a ca c

ca b







2

b ab a

ab c







3+

2 3

( ) 3

abc

a ab b b bc c c caa

Một cách sáng tạo khác 

A

2

3( ) 3

abc

 

      -Các bạn thử chứng minh xem sao

hoàn toàn chỉ sử dụng đến 2 bất đẳng thức quen thuộc 

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1 Cho a, b, c > 0, abc = 2 CMR:

a3 + b3 + c3  a bc + b ca + c ab

(JBMO 2002)

2 Cho a, b, c; x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:

ax + by + cz + 2 (xy yzzx)(abbcca)  a + b + c

(Ukrame, 2001)

3

c bc b

a



3

a ca c

b



3

b ab a

c



) (

3

c b a

ca bc ab









Với a, b, c > 0

4 Cho a, b, c > 0 CMR:

a3 + b3 + c3  ab 2 (a2b2) + bc 2 (b2 c2) + ca 2 (c2 a2)

5 (Việt Nam 2002) cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2+ c2 = 9 CMR:

2(a + b + c) – abc  10

(vascle artoajre)

6 Cho a, b, c > 0 CMR:

b

a

a



2

+

c b

b



2 +

a c

c



2  3

Bài 7: (Trần Quốc Anh) Cho a, b, c không âm thỏa mãn:

a + 2b + 3c = 4 CMR:

P(a,b,c) = (a2b + b2c + c2a + abc) (ab2 + bc2 + ca2 + abc)  8

+ Gợi ý: Dấu “=”  a = 2, b = 1, c = 0

8 (Trần Quốc Luật) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a2 + b2+ c2 = 3 CMR: 8(2 - a) (2 - b) (2 - c)  (a + bc) (b + ca) (b + ca) (c + ab)