đề khảo sát học sinh giỏi
năm học 2010-2011 Môn Toán lớp 8 Thời gian: 120 phút Câu 1: (2đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x ∈ Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (1.5đ)
Cho x,y,z ≠0 thoả mãn x+ y +Z = xyz và
x
1 +
y
1
+
z
1 =
3
Tính giá trị của biểu thức P = 12 12 12
z y
x + +
Câu 3: (2đ) Tìm x biết
a, 3x+2 < 5x -4
b,
57
43 +
x +
54
46 +
x =
48
52 51
49+ +
x
Câu 4: (2đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n ∈N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
y x
z x
z
y z
y
x
+
+ +
+ +
Câu 5: (2.5đ)
Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b
Vẽ các đờng phân giác BD, CE
a, Chứng minh rằng DE // BC
b, Tính DE từ đó suy ra
b a DE
1 1 1
+
=
Câu 6:
Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn x2 = y2 + 2y +13
-Hết -Họ tên Thí sinh:
-Hớng dẫn chấm hsg toán 8
Trang 2a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1
⇒A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x2 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +
(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1
⇒A x4 + x2 + 1
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
Cau 2 :
(1.5đ)
Có (1 1 1) 2
z y
x+ + = 12 12 12
z y
x + + + 2( 1 1 1 )
yz xz
xy+ +
( 3 ) 2= p + 2
xyz
x y
z+ + ; 3 = p+2 ( vì x +y+z=xyz)
suy ra P = 1
0.5đ 0.5đ 0.5đ
Câu 3:
(2đ) a, giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đúng đợc x> 3
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung
(x+100)(
48
1 51
1 54
1 57
1 + − − ) = 0 ⇒ S = {− 100}
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 3Câu 4:
(1.5đ) a, = n
3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+3n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )
3(n+1) 3 ⇒ B 3 ⇒ A =3B =3.3K =9K 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒x+y+z =
2
c b
a+ +
⇒ x =
2
c b
a+ +
− ; y =
2
c b
a− + ; z=
2
c b
a+ −
P =
c
c b a b
c b a a
c b a
2 2
2
− + + +
− + + +
) 1
1 1
( 2
1
c
b c
a b
c b
a a
c a
b
+ +
− + +
− + +
)) (
) ( ) ( 3 ( 2
1
b
c c
b c
a a
c b
a a
b
+ + + + + +
2
3 Min P =
2
3 ( Khi và chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Câu 5:
(2đ)
Câu 6: 1đ
a, à à
1 2
B =B ⇒
a
b BC
BA DC
AD
=
à à
1 2
C =C ⇒ AE CA b
EB =CB =a (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD AE
DC = EB ⇒DE//BC
b, ∆DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có DE AD
BC = AC hay
x b x
−
=
; ax +bx =ab ; x = ab
a b+ = DE Suy ra 1 a b 1 1
DE ab a b
+
= = +
x
2 1 2
1
x A
D E
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Trang 4-HS biến đổi đợc
x2 = y2 + 2y +13 ⇔x2 = (y + 1)2 + 12
⇔ (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y ∈ N* nên
(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai
số nguyên dơng chẵn
Mà 12 = 2.6 ⇒ Chỉ xảy ra một trờng hợp
(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2 ⇒ x = 4 và y = 1
0.5đ
Trên đây chỉ là gợi ý chấm Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa