b Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?. Câu 4: 2.0 điểm.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường
Trang 1phòng giáo dục & đào tạo
Huyện nga sơn
(Đề thi gồm có 01 trang)
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh
năm học: 2010 - 2011
Môn thi:Toán
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25/ 01/ 2011
Câu 1: ( 4.0 điểm)
y x
y y x x y x
y x y y x x
y x
ư
ư
ư
ư
ư +
) (
1) Rút gọn biểu thức A
2) So sánh A và A
Câu 2: (2.0 điểm)
x+ x + y+ y + = Tính giá trị của biểu thức P = x + y
Câu 3: (4.0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình:
3x - 4y = m2 - m + 3
a) Cho biết khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) bằng 1, tìm m
b) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Câu 4: (2.0 điểm)
Tìm các số nguyên dương n để n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 là số chính phương
Câu 5: (6.0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có
đường kính AB, AC Một đường thẳng (d) thay đổi luôn đi qua điểm A và cắt hai nửa
đường tròn theo thứ tự ở M và N ( M, N khác A)
a) Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh IM = IN
b Khi (d) thay đổi nhưng vẫn đi qua điểm A thì trung điểm của MN chạy trên
đường nào?
c Giả sử tam giác ABC vuông tại A, xác định vị trí của M và N sao cho chu vi của
tứ giác BCNM lớn nhất
Câu 6: (2.0 điểm)
Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1 Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
-Hết -
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…………
Đề chính thức
Trang 2Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện nga sơn
Hướng dẫn chấm
Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
a
(2đ)
Điều kiện để A có ngha là x≥0, y≥ 0 ; x≠y Khi đó:
2
.
.
A
=
2
.
xy
+
ư
=
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu1
4đ
b
(2đ)
Vì x≥ 0; y≥0 và x≠y nên 2
) ( xư y >0 0
≥
>
+
ư
⇒ x xy y xy
Do đó : 0 ≤A = < = 1
+
xy y
xy x
xy
hay 0 ≤ A<1
Ta có : A - A = A( Aư 1 ) ≤ 0 Vậy A ≤ A
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0 ⌠ x=0 hoặc y = 0
0.5 0.5 0.5
0.5 Câu2
x+ x + y+ y + = (1) Nhân hai vế của (1) với x - 2
3
x + để được:
-3( 2 ) 2
y+ y + = xư x +
(y y 3) x x 3
⇔ ư + + = ư + (2) Nhân hai vế của (1) với y - 2
3
y + và biến đổi tương tự được:
- (x + 2 2
x + = ưy y + (3) Cộng vế với vế của (2) và (3) rồi thu gọn ta được:
-2(x + y) = 0 ⇔ (x + y) = 0 Vậy P = 0
0.5 0.5
0.5
0.5
Câu3
4đ
a)
2đ
Tính được khoảng cách từ O đến (d) là:
2 2
2
) 4 ( 3
3
ư +
+
ưm m
=
5
3
2 ưm+
m ( Vì m2 - m + 3 > 0 )
Trang 3Vì khoảng cách bằng 1 nên ta có
5
3
2 ưm+
Giải ra tìm được m = -1; m = 2
1.0
0.5 0.5
b
2đ Theo câu (a) ta có khoảng cách từ O đến (d) là h =
5
3
2 ưm+
m
h nhỏ nhất khi m2 - m + 3 nhỏ nhất Biến đổi m2 - m + 3 = (m - 2
) 2
1 + 4
11 có giá trị nhỏ nhất bằng
4 11
khi m =
2 1
Vậy khoảng cách từ O đến (d) nhỏ nhất bằng
20
11 khi m =
2 1
0.5 0.5
0.5 0.5
Câu4
2đ Giả sử n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = k2 ( k nguyên dương )
⇔(n2 + n)2 + (n2 + n + 7) = k2
⇒ k2 > (n2 + n )2 (1)
Ta lại có k2 = (n2 + n + 1)2 - (n2 + n - 6)
Mà n2 + n - 6 = (n - 2)(n + 3) > 0 khi n > 2 Nếu n2 + n - 6 > 0 ta có k2 < (n2 + n + 1)2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (n2 + n )2 < k2 < (n2 + n + 1)2
⇒ n2 + n < k < n2 + n + 1, không tìm được k
Vậy n2 + n - 1 ≤ 0 khi 0 < n ≤2
- Nếu n = 1, thay vào ta có n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 13 không là số chính phương
- Nếu n = 2 thay vào ta có n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 47 = 72 là số chính phương Vậy n = 2
0.5
0.5
0.5
0.5 Câu5
6 đ
a)
2.0đ
- Chứng minh được tứ giác BCNM là hình thang vuông
- Gọi E là trung điểm của MN thì IE là đường trung bình của hình thang nên IE ⊥MN,
Do đó IE là đường trung trực của MN Vậy IM = IN
0.5
1.0 0.5
b)
2đ
- Khi (d) thay đổi ta luôn có IE vuông góc với MN
- Ta có A, I cố định
- Vậy E luôn nhìn AI cố định dưới một góc 900 nên E chạy trên
đường tròn đường kính AI
0.5 0.5
1.0
c)
2đ
∆AMB vuông tại M nên MA2 + MB2 = AB2
Chứng minh được (MA + MB)2 ≤2(MA2 + MB2)
Trang 4⇒ MA + MB ≤ 2AB Chứng minh tương tự ta có: NA + NC ≤ 2AC Chu vi tứ giác BCNM là P = BC + (MA + MB) + (NA + NC)
⇒ P ≤ BC + 2(AB + BC ) Tam giác ABC vuông tại A nên (AB + AC)2 ≤ 2(AB2 + AC2 ) = 2BC2
⇒AB + AC ≤ 2BC
⇒ P ≤ BC + 2 BC = 3BC
P = 3BC khi MA = MB; NA = NC, hay M, N lần lượt là điểm chính giữa của hai nửa đường tròn đường kính AB, AC
0.5
0.5
0.5 0.5
Câu6
2đ
Gọi x, y, z lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác
Nhận xét rằng: Đường cao của một tam giác luôn lớn hơn đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa là:x>2, y>2, z>2
Vì x, y, z là các số nguyên dương nên: x≥3,y≥3,z≥3 Suy ra: 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3
x+ + ≤ + + =y z (1)
2
+ +
Từ (1) và (2) suy ra x=y=z=3 Suy ra tam giác đa cho là tam giác
đều
0.5 0.5
0.5 0.5