60 đề thi HSG 8

Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chéo AC, BD chia thành 3 phần bằng nhau.. gọi P là giao điểm của AC và KEatính các góc của ta

Đ ề thi HSG

I Trắc nghiệm:

Hãy chọn chữ cãi đứng trớc câu trả lời đúng trong các câu sau:

Câu 1: Để đa thức f(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b là bình phơng của một đa thức thì:

A a = 3; b = 1 B a = 3; b = 0 C a = 4; b = 1 D a = 1; b = 1

Câu 2: Cho phân thức x(x-1)2

2x Giá tri của phân thức bằng 0 khi:

A x = 0 B x = 0 hoặc x = 1 C x = 1 D Không có giá trị của x

Câu 3: Kết quả của phép tính (a6 - 1) : (a2 - 1) là:

Bài 1: Trên cạnh AB<BC<AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy

các điểm M,N,P sao cho Tính diện tích MNP theo diện tích ABC theo k

Tính k Sao cho diện tích MNP đạt GTNN

Bài 2: Cho tú giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O Kí Hiệu S là diện tích

Cho diện tích AOB và diện tích COD với a,b là 2 số cho trước

1, Hãy tìm GTNN của diện tích ABCD ?

2, Giả sủ diện tích ABCD nhỏ nhất Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chéo AC, BD chia thành 3 phần bằng nhau

Bài 3 Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=4

chứng minh rằng: a2+b2+c2 lớn hơn hoặc bằng 4

Bài 4 cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB),đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vuông AHKE gọi P là giao điểm của AC và KEa)tính các góc của tam giác ABP

b)gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và QA.cm H,I,K thẳng hàng

c)Gọi F là giao điểm AK và HE cm AI.AK=AF.AQ

Đề 3

Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x4-7x3-2x2+13x+6

1) Phân tích P(x) thành nhân tử

2) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x thuộc Z

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD) Vẽ CE vuông góc với AB và CF vuông góc với AD Chứng minh rằng: AB.AE+AD.AF=

Bài 3: Cho phân thức F(x)=

a,CMR nếu các số x,y,z có tổng là 1 số ko âm thì:

4.(1,5đ).trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m - 4)x+ (m-3)y=1( m là tham số ).tìm m để KC từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất

5.(2,5đ).Cho (O) đường kính BC = 2R từ điểm P trên tia tiếp tuyến tại B của đường tròn,vẽ tiếp tuyến thứ hai PA với đường tròn(A là tiếp điểm).Gọi H là hình chiếu của A trên BC,E là giao điểm của PC và AH

a,CM : E là TĐ của AH

b,tính AH theo R và khoảng cách d=PO

Së GD-§T Hµ TÜNH §Ò THI häC SINH GiáI LíP 8 N¡M HäC 2008-2009

PHßNG GD-§T H¦¥NG S¥N M¤N : TO¸N(Thêi gian 120 phót)

C©u: 1Cho biÓu thøc A= )( 1004)

1

1 4 1

1 1

x x x

x x

−

−

− + +

C©u :2 Cho hai sè d¬ng x vµ y tho¶ m·n x+y=1

a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M= x(x+34) +y(y+34) +2xy +65

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P =(1- 12)( 1 12)

y

C©u :3 §a thøc P(x) bËc 4 cã hÖ sè bËc cao nhÊt lµ 1

Gi¶ sö P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

Q= P(-2)+7P(6)

Câu : 4 Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn

(n+5)2 =[4(n-2)]3

Câu :5 Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB; vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB Lấy điểm C trên Ax, lấy điểm D trên By sao cho góc COD=900

a) Chứng minh ∆ACO đồng dạng với ∆ BOD

Cõu 4( 2đ): a) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giỏc thỡ:

b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2

Cõu 5( 2đ): Giả sử AC là đường chộo lớn của hỡnh bỡnh hành ABCD Từ C, vẽ đường vuụng gúc CE với đường thẳng AB, đường vuụng gúc CF với đường thẳng AD ( E, F thuộc phần kộo dài của cỏc cạnh AB và AD) Chứng minh rằng:

AB AE + AD AF = AC2

C©u Néi dung §iÓm1

+ x - 1 = 0 ⇔ =x 1( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)

+ x - 3 = 0 ⇔ =x 3 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1

1®iÓm

0.5®iÓ m

y − = y− y + + = −y x y + +y v× xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0

BC = ìBC = ìAC (do ∆BEC: ∆ADC)

mà AD AH= 2 (tam giác AHD vuông cân tại H)

BC = ìAC = ì AC = AB = BE (do ∆ABH : ∆CBA)

Do đó ∆BHM : ∆BEC (c.g.c), suy ra: ãBHM =BECã = 135 0 ⇒ãAHM = 45 0

1.5điể m

1điểm

1 Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau: 64 6 = + 4

Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng

d-ới dạng nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó

2 Tìm số d trong phép chia của biểu thức (x+ 2) (x+ 4) (x+ 6) (x+ + 8) 2008 cho đa thức

2

10 21

x + x+

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy

điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo

m AB=

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC

đồng dạng Tính số đo của góc AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD

BC = AH HC

+ .

Đề bài

Bài 1 (4 điểm)

Cho biểu thức A = 2 3

2 3

1

1 :

1

1

x x x

x x

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên

4 đơn vị thì sẽ đợc phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đờng chéo cắt nhau tại O Đờng thẳng qua O

và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng

MN CD AB

2 1

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD

hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp

)(

1 (

) 1 )(

1 ( :

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

+

− +

− +

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( : 1

) 1

x x x

x x x x

+

− +

+

−

−

− + +

5 (

3

5 1

b a ac a

c bc c

b ab

b

a2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 + 4 2 + 4 2 − 4 − 4 − 4 0,5đBiến đổi để có (a2 +b2 − 2ac) + (b2 +c2 − 2bc) + (a2 +c2 − 2ac) = 0 0,5đBiến đổi để có (a−b) 2 + (b−c) 2 + (a−c) 2 = 0 (*) 0,5đVì (a−b) 2 ≥ 0;(b−c) 2 ≥ 0;(a−c) 2 ≥ 0; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a−b) 2 = 0;(b−c) 2 = 0 và (a−c) 2 = 0;

0,5đ0,5đ

a a

a + 2 )( − 1 ) + 3 ≥ 3 ∀

0,5đ

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a− 1 = 0 ⇔a = 1 0,25đ

Bài 5 (3 điểm)

a,(1 điểm)

Chứng minh đợc AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

OM = ,

AC

OC AB

Lập luận để có

AC

OC DB

M

B A

b, (1,5 điểm)

Xét ∆ABDđể có

AD

DM AB

OM = (1), xét ∆ADCđể có

AD

AM DC

OM = (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OM.(

CD AB

1 1

AD

AD AD

DM AM

0,5đ

Chứng minh tơng tự ON.( 1 + 1 ) = 1

CD AB

2 1

⇒ S AOB.S DOC =S BOC.S AOD 0,5đ

⇒ S AOB.S DOC = (S AOD) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

: y

4xy A

x xy y

x y x

a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định.

33 104

22 115

Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n∈ N thỡ n 5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau

Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC Từ C vẽ

một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECBã =ã

(với x và y cựng dấu)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2

2 3y

I P

* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm)

- Chứng minh ∆EBD đồng dạng với ∆ECA (gg) 0,5 điểm

- Từ đó suy ra EB ED EA EB ED EC

* Chứng minh EAD ECBã = ã (1 điểm)

- Chứng minh ∆EAD đồng dạng với ∆ECB (cgc) 0,75 điểm

Câu b: 1,5 điểm

- Từ ãBMC = 120 o ⇒ ãAMB = 60 o ⇒ ãABM = 30 o 0,5 điểm

- Xét ∆EDB vuông tại D có àB= 30 o

⇒ ED = 1

2 EB ⇒

12

Câu d: 1 điểm

- Chứng minh ∆ BMI đồng dạng với ∆ BCD (gg)

- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC 2 có giá trị không đổi 0,5 điểm

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB 2 + AC 2 = BC 2

⇒ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 ⇔x = y (1)

- Nếu x; y trỏi dấu thỡ x 0

- Vỡ đa thức chia (x – 2)(x 2 – x + 1) là đa thức bậc 3 nờn đa thức dư R(x) cú bậc ≤ 2

- Từ (1) ⇒ dư trong phộp chia f(x) : (x – 2) chớnh là dư trong phộp chia R(x) : (x – 2), mà R(x)

Giải các pt sau:

1

3 1

2 1

1

2 2

−

+ +

3 2002

2 2001

1 2

1

2 2

2

2 + + + + <

n

Bài 3 (3đ)

Hai bể nớc chứa đầy cùng một lợng nớc và mỗi bể có1 vòi để xả nớc ra Nừu mở vòi ở bể thứ nhất thì trong 20 phút bể sẽ hết nớc Nếu mở vòi ở bể thứ hai thì trong

10 phút bể sẽ hết nớc Hỏi nếu mở hai vòi cùng một lúc thíau bao lâu số nớc còn lại trong bể thứ nhất nhiều hơn số nớc còn lại trong bể thứ hai là 3 lần, biết vận tốc dòng chảy của mỗi vòi là không đổi

Bài 4(3đ)

Cho tam giác ABC cân tại A Một điểm D bất kì lấy trên cạnh BC, kẻ DE⊥AB,

DF⊥ac Chứng minh rằng tổng DE+DF không đổi khi D di chuyển trên cạnh BC.Bài 5 (4đ)

Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 20cm, Trên cạnh CD lấy điểm M Đờng vuông góc với BM cắt AD tại N

a) Tính DN biết MC=5cm

b) Tìm vị trí điểm M để độ dài DN lớn nhất

Bài 6 (2đ)

Xác định a để phơng trình 4x2+31y2=a + 6 - 17xy có nghiệm nguyên duy nhất

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 8 QUẬN 1 TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002-2003

( Thời gian làm bài : 90 phỳt)

I/ Trắc nghiệm khách quan: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:

Câu 1: Rút gọn biểu thức P=

36 3 3

4 3

2 − −

−

x x

Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB// CD); AB = 3cm, CD = 5cm Gọi O là giao

điểm của các đờng thẳng AD và BC Biết diện tích tam giác OAB bằng 27cm 2 Tính diện tích hình thang ta đợc:

1 (n+ n+

n

Câu 3: Giải và biện luận phơng trình ẩn x

1 8

) 2 ( )

1 ( ) 1 2

( 2 8

) 2

2 2

2

+

− +

+

= + +

−

m m

x x

m

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y 2 xy x + y + 1– –

Câu 5: Cho tam giác ABC có B và C là các góc nhọn, đáy BC dài 20cm, đờng cao

AH dài 10cm Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho M thuộc

AB, N thuộc AC , P và Q thuộc BC.

a Đặt MQ = x; MN = y; Hãy biểu thị y theo x.

b Tìm giá trị của x để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

Hớng dẫn chấm khảo sát chất lợng hsg

Môn: Toán 8I/Trắc nghiệm khách quan ( 1 điểm)

II/Tự luận

C©u Néi dung §iÓm

1

(2 ®)

Ta cã: A +B+C+7=44 4 22 2 88 8 7

1 2

+ +

n

=4*11  1 2 * 11  1 8 * 11  1 7

1 2

+ +

+

n n

9

1 10

* 8 9

1 10

* 2 9

1 10

* 4

1 2

+

− +

− +

66 3

7 10

* 2

1 (n+ n+

n

(®pcm)

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

- NÕu m=2 th× pt (*) 0x=4, pt v« nghiÖm

- NÕu m=-2 th× pt (*)  0x=0, pt v« sè nghiÖm

0,25 0,25 0,5 0,5

0,25 0,25

3 2

y x

0,25

0,25

1 ( 4

3 2

x y

AH

AK BC

suy ra y=20-2x

b/SMNPQ= (20 - 2x)x

= 20x- 2x 2 =-2(x 2 -10x+25)+50=-2(x-5) 2 +50

suy ra SMNPQ ≤ 50 nên SMNPQ lớn nhất là 50m 2 khi và chỉ

khi x=5m ( khi đó MN là đờng trung bình của tam giác

ABC)

0,5

0,5 0,25 0,5

0,25

Đề thi học sinh giỏi toán 8

Bài 1: C/m rằng

A=75( + + + +4+1)+25 là số chia hết cho 100

Bài 2: Cho a+b+c=1 và Chứng minh

Bài 3: Tớnh giỏ trị của đa thức

Bài 4:

An và Bỡnh cựng lỳc từ làng sang làng B ở cựng một bờ sụng rồi quay về A ngay An đi bộ, Bỡnh đi thuyền với vận tốc riờng của thuyền bằng vận tốc đi bộ của An Hỏi ai quay về sớm hơn?

Bài 5:

Cho tam giỏc ABC Gọi M là trung điểm của BC C/m rằng AM<

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A Trực tâm H chia đờng cao AE theo tỉ số 7:1 Hỏi giao điểm I các đờng phân giác trong tam giác chia đờng cao AE theo tỉ số nào

Đề thi học sinh giỏi trờng

b Cho x-2y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2+4

c Tìm số d của phép chia đa thức x2008 – x3 + 5 cho đa thức x2 – 1

Câu3: Cho AD là đờng phân giác của tam giác nhọn ABC(AB<AC), phân giác ngoài tại

A của tam giác ABC cắt BC tại K và cắt đờng vuông góc với AC qua D tại N AC cắt DN tại M