bài giảng lý thuyết điều khiển hiện đại

-Đối với hệ tuyến tính hoán chuyển hai phần tử trong một tầng không ảnh hưởng đến hoạt động.. Khái niệm Phương pháp tuyến tính hóa điều hoà hay còn được gọi là phương pháp hàm mô tả đã

Trường Đại học Công nghiệp Tp Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Điện tử Bộ môn Điều khiển tự động

Bài giảng Lý thuyết điều khiển hiện đại

Biên soạn: Huỳnh Minh Ngọc

Lưu hành nội bộ

Tp Hồ Chí Minh, tháng 1 năm 2012

MỤC LỤC

Lời nói đầu 3

Chương 1: Hệ thống điều khiển phi tuyến 4

Chương 2: Điều khiển tối ưu 28

Chương 3: Điều khiển thích nghi 119

Chương 4: Điều khiển mờ và mạng nơron 130

Chương 5: Các ưÙng dụng 151

Tài liệu tham khảo 209

Chương trình chi tiết Môn học: Lý thuyết điều khiển hiện đại

1.6 Phương pháp ổn định tuyệt đối Popov

Chương 2: Điều khiển tối ưu

2.1 Tối ưu hóa tĩnh

2.1.1 Tối ưu hóa không có rang buộc

2.1.2 Tối ưu hóa với rang buộc đẳng thức

Bộ nhân Lagrange và hàm Hamilton

2.1.3.Phương pháp nghiệmsố

2.2.LQR cho hệ thời gian hữu hạn

2.3 Điều khiển tối ưu của hệ thống rời rạc thời gian

2.4 Điều khiển tối ưu của hệliên tục thời gian

2.5 LQR bám theo

2.6.Nguyên lý cực tiểu Pontryagin

2.6.1 Bài toán trạng thái cuối tự do: thiết kế LQR

2.6.2 Nguyên lý cực tiểu Pontryagin

Hệ có rang buộc

Nguyên lý cực tiểu Pontryagin

2.7.Phương pháp quy họach động của Bellman

2.8 LQR với hồi tiếpngõ ra

2.9.Bộ lọc Kalman

Lọc Kalman

LQG

2.10 Thiết kế điều khiển H∞

Chương 3: Điều khiển thích nghi

3.1 Khái niệm

3.2 Điều khiển thích nghimô hình tham chiếu MRAS

3.2.1 MRAS

3.2.2 Luật MIT

3.2.3 Điều khiển thích nghi sử dụnglý thuyết ổn định Lyapunov

3.3 Điều khiển thích nghi tự chỉnh STR So sánh với bộ điều khiển PID số

Chương 4: Điều khiển mờ vàmạng nơron

5.1 Điều khiển thích nghi tựchỉnh dung phương phápđặt cực

5.2 Điều khiển mờ nhiệt độlò điện

5.3 Điều khiển tối ưu cho đối tượng robot (tay máy)

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết điều khiển hiện đại là môn học chuyên ngành của ngành điện tử tự

động Sinh viên phải học qua môn lý thuyết điều khiển tự động trước để có thể học tốt

hơn môn lý thuyết điều khiển hiện đại Nội dung bài giảng gồm có các chương sau:

Chương 1: Hệ thống điều khiển phi tuyến

Chương 2: Điều khiển tối ưu

Chương 3: Điều khiển thích nghi

Chương 4: Điều khiển mờ và mạng nơron

Chương 5: Các ứng dụng

Nội dung bài giảng bám theo đề cương chi tiết môn học của khoa Công nghệ

điện tử Đối tượng giảng dạy là sinh viên đại học ngành điện tử- tự động Đây còn là

tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên các ngành Viễn thông, máy tính và điện tử công

nghiệp

Vì bài giảng được biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi sai sót Tôi chân

thành cảm ơn các góp ý của đồng nghiệp, và bạn đọc để bài giảng được hoàn thiện

hơn Thư góp ý xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Điện tử tự động, khoa Công nghệ điện tử,

trường đại học Công nghiệp Tp HCM, số 12 Nguyễn Văn Bảo, P.4, Q Gò vấp, Tp

HCM ĐT: 38940390, email: huynhminhngoc@hui.edu.vn hay minhngoch@yahoo.com

Tháng 1 năm 2012 Tác giả

Huỳnh Minh Ngọc

Chương 1: Hệ thống điều khiển phi tuyến

1.1 Khái niệm về đối tượng phi tuyến :

Thí dụ : Xét hệ sau

X M(ω) N(ω) y

-

Hình 1.1

G1(s), G2(s) là khâu tuyến tính

N là khâu phi tuyến

Hàm truyền hệ kín :

1)(

)(

s

G k , với G0(s)=G1(s).G2(s)

Phương trình đặc trưng: 1+ G0(s)=0

Thường ngõ vào hệ phi tuyến M(ω)=M.sinωt

Ngõ ra hệ phi tuyến N(ω)=N1.sin(ωt+φ1)+ N2.sin(2ωt+φ2)+ N3.sin(3ωt+φ3)+

Tính chất và đặc điểm riêng của hệ phi tuyến:

-Nguyên lí xếp chồng không áp dụng cho hệ phi tuyến

-Sự ổn định của hệ phi tuyến lại phụ thuộc điều kiện và bản chất của tín hiệu vào như các thông số hệ

-Đối với hệ tuyến tính hoán chuyển hai phần tử trong một tầng không ảnh hưởng đến hoạt động Điều này không đúng nếu một phần tử là phi tuyến

Các đặc điểm riêng của hệ phi tuyến:

-Các chu trình giới hạn

-Dao động tự kích

-Nhảy cộng hưởng

-Phát sinh hài phụ

Các phương pháp nghiên cứu hệ phi tuyến :

-Phương pháp mặt phẳng pha

-Phương pháp cân bằng điều hòa

-Tiêu chuẩn ổn định Liapunov

-Tiêu chuẩn ổn định tuyệt đối Popov

1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ phi tuyến

1.2.1 Phương pháp mặt phẳng pha

Mặt phẳng pha và tính chất của nó

Xét hệ phi tuyến bậc hai (n=2) được mô tả ở dạng hai phương trình vi phân bậc nhất với các biến trạng thái x1 và x2 :

),(

),(

2 1 2

2 2

.

2 1 1

1 1

.

x x f dt

dx

x

x x f dt

),(

2 1 1

2 1 2 1

2

x x f

x x f dx

dx

với các điều kiện đầu x1(0) và x2(0)

Điểm cân bằng xc thỏa:

0),(

0),(

2 1 2

2

2

.

2 1 1

dt

dx

x

x x f

0),()

,

+g x x x h x x x

x&& & & &

Thay thế vào

dx

dy y x dx

dy y

x

y

x&= , &&= & = &=

Sau đó phương trình giảm thành phương trình bậc nhất:

0),(),

x

g

x y

dy = −(2ξϖn +ϖn2 )

Phương trình isocline:

m

x y

ϖ22

Đường isocline là các đường thẳng qua gốc tọa độ, minh họa ở hình vẽ với nhiều giá trị của m

1.2.2 Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa:

1.2.2.1 Khái niệm

Phương pháp tuyến tính hóa điều hoà hay còn được gọi là phương pháp hàm mô tả đã xuất hiện đồng thời trong vòng một tháng của năm 1948 ở nhiều nước Nga, Mỹ , Anh,

Việc dùng hàm mô tả là một cố gắng để mở rộng gần đúng hàm truyền đạt rất đắc lực của hệ tuyến tính sang hệ phi tuyến Phương pháp tuyến tính hóa điều hoà là

phương pháp khảo sát trong miền tần số đã được ứng dụng cho các hệ phi tuyến bậc cao (n>2) do dễ thực hiện và tương đối giống tiêu chẩn Nyquist

Ý tưởng cơ bản : Hàm mô tả hay còn gọi là hệ số khuếch đại phức của khâu phi tuyến được định nghĩa là tỉ số của thành phần cơ bản của đáp ứng đầu ra một dụng cụ phi tuyến đối với biên độ tín hiệu sin của tín hiệu vào Nói chung hàm mô tả phụ thuộc vào biên độ và tần số của tín hiệu vào và phức tạp bởi vì dịch pha có thể xảy ra giữa đầu vào với thành phần cơ bản ở đầu ra Ta sẽ nghiên cứu phương pháp phân tích hàm mô tả và so sánh nó với khái niệm hàm truyền đối với hệ tuyến tính

Nếu đầu vào phần tử phi tuyến là tín hiệu hình sin, phép phân tích hàm mô tả giả sử là đầu ra cũng là tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kì cơ bản như của tín hiệu ngõ nhập Vì vậy việc phân tích chỉ liên quan đến các thành phần cơ bản của dạng sóng ngõ

ra Tất cả các hài phụ và thành phần một chiều đều bỏ qua Sự thừa nhận trên là có lí, bởi vì các thành phần hài thường rất nhỏ so với thành phần chính Hơn nữa, hệ hồi tiếp thường làm suy giảm các thành phần hài do tác dụng lọc vốn có của nó Nhiều phần tử phi tuyến không tạo ra các thành phần một chiều do tính đối xứng và cũng không tạo ra bất kì hài phụ nào Vì vậy trong nhiều trường hợp(không phải là tất cả) thành phần cơ bản là những thành phần có ý nghĩa ở đầu ra ở dụng cụ phi tuyến

Nếu một hệ chứa nhiều hơn một phi tuyến, ta phải gộp tất cả lại với nhau và được một hàm mô tả tổ hợp

Cần kiểm tra sự chính xác của phương pháp hàm mô tả vì đó là một phương pháp gần đúng Tuy nhiên phương pháp này đưa ra các kết quả hợp lí và có lợi là có thể dùng cho các hệ thống bậc bất kì nào và áp dụng khá đơn giản Kết quả nhận được phải thẩm tra bằng các kỹ thuật khác hay mô phỏng trên máy tính

Mặc dù có nhược điểm, kỹ thuật hàm mô tả là công cụ có ích để phân tích và thiết kế các hệ phi tuyến Hàm mô tả như một dạng hàm truyền tổng quát hóa cho hệ phi tuyến

Để rút ra biểu thức toán học cho hàm mô tả ta hãy xét một hệ phi tuyến tổng quát mô tả ở hình 8.2 Theo định nghĩa về hàm mô tả, ta giả sử đầu vào đối với phần tử phi tuyến N(M,ω) được cho bởi:

m(ωt)=Msin ωt (1)

Tổng quát , đầu ra trạng thái xác lập của dụng cụ phi tuyến được biểu diễn bằng chuỗi:

)3

sin(

)2

sin(

)sin(

Chú ý là hàm mô tả phụ thuộc vào biên độ và tần số của tín hiệu vào Do đó phần tử phi tuyến được đề cập có độ lợi và dịch pha thay đổi theo biên độ và tần số tín hiệu vào

1.2.2.2.Hàm mô tả của các phi tuyến thông dụng:

Trong phần này , dẫn ra các hàm mô tả đối với các phi tuyến thông dụng Thủ tục được sử dụng phổ biến nhất là chuỗi Fourier của dạng sóng ngõ ra dụng cụ phi tuyến và chỉ xét thành phần cơ bản Ta hãy xét thành phần phi tuyến N(M,ω) trong một hệ hồi tiếp tổ hợp trình bày ở hình 1.2 Giả sử đầu vào m(ω,t) được cung cấp bởi tín hiệu sin

=

1 1

2 / 2

2

/

t d t k t n

2 / 2

2

/

t d t k t n

/ 1 2 1 2 1 1

A M

B M

A j M

B

M

a)Hàm mô tả của vùng chết (Dead zone)

Hình 1.3 mô tả đặc tính của vùng cheat, mối liên hệ giữa vào và ra được biểu diễn bằng các phương trình:

)

nϖ = ϖ − ϖ khi m>D (10)

)sin(sin

)(sin)(

)(sin

t M K t

d t B

t

t

ϖϖϖ

ϖϖ

ϖπ

π ϖ

)cos

2(

2

1 1

1

M

D M

K

Từ (14) vì hàm mô tả là tỉ số của biên độ thành phần cơ bản của đầu vào B1 đối với M, có thể biểu diễn như sau:

)cos

2(

2)

M

D K

2)

M

D M

D M

D K

M

B M

π n(ωt)

-D 0 +D m(ωt)

K1

Hình 1.3 Đặc tính phi tuyến của vùng chết

Hình 1.4 Dạng sóng vào và ra từ dụng cụ phi tuyến có đặc tính vùng cheat ở hình 1.3

b)Khâu bảo hòa(Saturation)

Hình 1.5 minh họa đặc điểm phi tuyến bảo hòa Sự liên hệ giữa vào và ra của phi tuyến này có thể biểu diễn bằng các phương trình sau:

t M

k

t

n(ϖ )= 1 sinϖ khi –S<+m<S (16)

Hình 1.5 Đặc tính phi tuyến của khâu bão hòa

Hình 1.6 Đầu vào và dạng tổng quát của dạng sóng ngõ ra từ dụng cụ phi tuyến có đặc tính bão hòa

Dạng sóng ngõ ra hàm lẻ nên Ak=0 Đối xứng qua bốn phần tư chu kì cho phép ta xác định biểu thức của hệ số Fourier B1 bằng cách lấy bốn lần tích phân trên một phần tư chu kì:

)(sin)sin(

[

1 1

M K t

d t t M K

B

t

t

ϖϖϖ

ϖϖϖπ

π ϖ

)cos

(

2

1 1

1

M

S M

(

2)

M

S K M

S M

S K M

B M

π

c)hàm mô tả của khâu khe hở (Blacklash)

)1

M

D t

M M

D t

=

)/(tan

1)

N backlash = + ∠ −

d)Hàm mô tả của phần tử on/off có từ trễ

e)Khâu Rờle 3 vị trí có trễ

)sin(sin

)(

2)

cos(cos

)(

2

2 1

2

πα

α

=

h D A

K j h

M A M

f)Khâu so sánh có trễ

Trigger Schmitt không đảo

)sin(cos

4 0max

αα

M D

M A

= 1 ;

sinα

1.3 Chế độ tự dao động

Hàm mô tả của một phần tử phi tuyến có thể dùng xác định sự tồn tại của chu trình giới hạn trong hệ điều khiển hồi tiếp phi tuyến bằng phương pháp xấp xỉ Chúng ta xét lại hệ phi tuyến ở hình 1.2 Nếu ta giả sử hàm phi tuyến là N(M,ω) và R(jω)=0, ta hãy xác định các điều kiện tồn tại dao động trong hệ

Với m(ωt)=Mcos ωt

Thành phần cơ bản của n(ωt) được cho bởi:

)]

,(cos[

),(

1)

()

1)

(

0)()

,

(

1

ϖϖ

ϖϖ

M N j

G

j G

Nếu tổ hợp biên độ và tần số có thể tìm được mà thỏa mãn phương trình (**), khi đó hệ điều khiển hồi tiếp tồn tại chế độ dao động

1.4 Xấp xỉ của mô hình toán học phi tuyến:

*Hệ thống phi tuyến:

Một hệ là phi tuyến nếu nguyên lí xếp chồng không áp dụng được

*Tuyến tính hóa hệ phi tuyến:

* Xấp xỉ tuyến tính của mô hình toán học phi tuyến:

Xét hệ có ngõ vào x(t) và ngõ ra y(t) Quan hệ giữa y và x là:

!2

1)()

(

)

(

2 2

2

+

−+

−+

=

=

x x dx

f d x

x dx

df , được tính tại x= Nếu x x− đủ nhỏ, ta bỏ qua thành x

phần bậc cao trong x− Phương trình (2-219) được viết x

)(x x

k

y

y− = − (2-221)

chỉ ra y− tỉ lệ với y x− Phương trình (4)(2-228) cho mô hình toán học tuyến tính x

đối với hệ phi tuyến (2-219) gần điểm làm việc

Đối với hàm hai biến

y= f(x1,x2)

Khai triển Taylo:

])(

))(

(2

)(

([)

,

(

2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 2 1

2 2

1 1

2

1

2

2 2 2 1 1 1 2

−

∂

∂+

=

x x x

f x

x x x x x

f x

x

x

f

x x x

f x x x

f x

x

f

y

trong đó vi phân từng phần được tính tại x=x1, x=x2

Mô hình toán học tuyến tính của hệ phi tuyến trong lân cận điểm làm việc được cho bởi:

)(

2 2

x

x

x x

Giải:

Vì 5≤x≤7, 10≤y≤ 12 nên chọn x =6,y=11⇒ z =6.11=66

Mở rộng phương trình (2-222) vào chuỗi Taylo quanh điểm x= ,x y= y và bỏ qua thành phần bậc cao:

)()(x x b y y

,

(

11)

y y x x

Vì vậy phương trình tuyến tính là:

)11(6)6(

Giá trị chính xác z=xy=50 Sai số là 50-49=1 hay 2%

1.5 Tiêu chuẩn ổn định Liapunov

1.5.1 Khái niệm về ổn định

Để xác định ổn định sử dụng phương trình biến trạng thái dạng thường

Bu

Ax

x&= + cho hệ tuyến tính

và x&= f(x,t,u)cho hệ phi tuyến

Ký hiệu chuyển động không bị nhiễu là x*[t,u(t),x0] với x0 là giá trị x tại t=0

Chuyển động không kích thích có dạng x[t,u(t),x0 +Δx0]

Đặc trưng cho độ leach của chuyển động bị nhiễu so với chuyển động không bị nhiễu là

* 2 2 2

* 1 1

1.5.2.Phương pháp thứ nhất của Liapunov

Để giải quyết bài toán ổn định chuyển động, Liapunov đã xây dựng những phương pháp riêng, độc đáo, chúng có thể phân thành hai loại chủ yếu Loại thứ nhất bao gồm những phương pháp khảo sát trực tiếp chuyển động bị nhiễu dựa trên việc xác định các nghiệm tổng quát hoặc nghiệm riêng của phương trình vi phân của chuyển động bị nhiễu Hệ thống ổn định hay không ổn định được xác định từ lời giải này SỬ dụng phương pháp tuyến tính hóa viết phương trình vi phân phi tuyến của chuyển động bị nhiễu bằng một hệ phương trình tuyến tính gần đúng đã bỏ qua các số hạng bậc cao, về thực chất là thay thế một bài toán này bằng một bài toán khác mà chúng có thể không có tính chất nào chung với nhau Tuy nhiên cũng có trường hợp trong đó từ sự ổn định hoặc không ổn định của nghiệm phương trình gần đúng thứ nhất có thể biết được sự ổn định hay không ổn định của phương trình vi phân phi tuyến Hay nói cách khác, đáp số gần đúng trong phương pháp thứ nhất của Liapunov thường cung cấp thông tin hữu ích về tính ổn định của chuyển động bị nhiễu

Giả thiết hàm phi tuyến đơn trị và tồn tại đạo hàm ở mỗi cấp trong lân can điểm can bằng xc Hàm phi tuyến

)

(x f

x&i = i ; i=1,2, ,n

có thể khai triển thành chuỗi taylor như sau:

++Δ

∂

∂+Δ

x x

f x x

x

i

i

Với I là ma trận đơn vị có rank là n (bậc của phương trình)

Liapunov chứng minh rằng nếu nghiệm của phương trình đặc trưng (1) có phần thực khác không thì các phương trình xấp xỉ tuyến tính luôn cho đáp số đúng với câu hỏi ổn định của hệ phi tuyến

* Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm thì hệ phi tuyến sẽ ổn định trong phạm vi hẹp

Thí dụ: Xét một hệ tùy động đơn giản có sơ đồ như hình

UM

-

φv=0 θ UN u φ

-

Hình 1.7: Sơ đồ hệ tùy động đơn giản

UN=sinθ (đặc tính phi tuyến)

Hàm truyền của động cơ G(s):

)1()(

+

=

Ts s

K s

G

UM-điện áp tương ứng với moment tải đặt vào động cơ

Xét ổn định của hệ ở trạng thái can bằng theo phương pháp thứ nhất của Liapunov Giải:

Thành lập hệ phương trình biến trạng thái cho hệ

Đặt x1=θ ta có:

K x T

x T

1 ; ( ));

(

f

f x f x

x x

0

2

1

f f

Phương trình trạng thái cân bằng là

0

2 =

x

1sin

x T

K x

1 2

1(1cos

11

cos

10

0

0

1 1

K T s s T s x T

K s T

x T

K

s

s

(2)

Xét các trường hợp cụ thể:

1.UM=0 không có tác động nhiễu

Từ phương trình của trạng thái cân bằng ta có

* Sinx1=UM=0

, )4,2,

với K>0, Res1,2<0 theo tiêu chuẩn Hurwitz

Aùp dụng được phương pháp thứ nhất Liapunov, hệ ổn định trong phạm vi hẹp

*x1 = m(2 +1)π; m là số nguyên bất kì

cosx1=-1

Phương trình đặc trưng (2) có dạng

0)

Một nghiệm có phần thực dương và một nghiệm có phần thực âm, áp dụng phương pháp thứ nhất kết luận hệ không ổn định trong phạm vi hẹp và điểm cân bằng không ổn định trong phạm vi hẹp

2

0

cos

1 sin

1

1

1

=

=

=

=

x

U

x

U

m

M

Phương trình đặc trưng có dạng

0

)

1

( + =

T

s

s

Một nghiệm s=0 và một nghiệm s=-1/T<0, không áp dụng được phương pháp thứ nhất của Liapunov

Nhấn mạnh quan trọng là phương pháp thứ nhất của Liapunov xác định sự ổn định trong lân cận tức thời của điểm cân bằng

Thí dụ 2: Mô tả hệ con lắc ngược

Hệ con lắc ngược ở hình vẽ Hệ gồm có thanh cứng và xe trên đó thanh được treo Xe di chuyển trên đường ray tới phải hay trái, phụ thuộc vào lực tác động vào xe Thanh chỉ có một bậc tự do (quay quanh điểm treo) Nhiệm vụ điều khiển chính là giữ con lắc cân bằng thẳng đứng và

xe trong phạm vi đường ray

1.Mô hình hóa

Mô hình tóan hệ con lắc ngược trên xe :

y

x2 =θ&

x1 =θ

G x

l mg

X 0

fx=u M

Hình 1: Hệ con lắc ngược Giả sử khối lượng vật nặng tập trung ở giữa con lắc

Xem xét con lắc trên xe minh họa ở hình 1 Chúng ta ký hiệu θ là góc

so với phương thẳng đứng, L=2l , m và J là chiều dài, khối lượng và moment quán tính ở tâm trọng lượng con lắc; M thể hiện khối lượng xe, và G thể

hiện tâm trọng lượng con lắc Tọa độ theo trục hoành và trục tung của con lắc được cho bởi :

x= + = + (1)

θ

θ coscos

Hình 2: Sơ đồ thân tự do của hệ con lắc ngược trên xe

Sơ đồ thân tự do của xe và con lắc được minh họa ở hình 2, trong đó F x và F y thể hiện lực phản ứng tại điểm trục Xem xét con lắc ngược trước Tổng lực ta có các phương trình sau :

θθθ

θ&&cos &2sin

&& ml ml X

m

F x = + − (3)

θθθ

θ&&sin ml&2cos

ml mg

F y − =− − (4)

θθ

M && = − (6)

Thay (6) vào (3), ta được :

x f ml

ml

X

m

M + ) + (cos ) − (sin ) 2 =

( && θ θ&& θ θ& (7)

Sử dụng (3), (4), (5) và tính toán rút gọn , ta đạt được :

0sin3

4

cosθ + mlθ −mg θ =

X

m && && (8)

Phương trình (7) và (8)mô tả động lực học hệ con lắc ngược

Định nghĩa biến trạng thái x1 =θ , và x2 =θ.

Ta suy ra :

2

2

)(cos3

4

.coscos

sinsin

θ

θθ

θθθ

θ

aml l

f a aml

hay :

2

2

)(cos3

)(

4

.coscos

sinsin

)(

θ

θθ

θθθθ

ml m M l

f ml

g m

−+

−

−+

a

+

Vị trí xe :

m M

= [sin(θ)θ&2 cos(θ)θ&&]

(34

)cos(

)sin(

)sin(

3

43

4

θ

θθθ

θ

m m M

mg ml

f

−+

trong đó , thông số con lắc là :

Khối lượng xe M=1 kg, khối lượng con lắc m=0,1 kg, nửa chiều dài con lắc

l=0,5 m (chiều dài con lắc L=2l=1m), gia tốc trọng trường g=9,8 m/s 2

Phương trình (9) và (10) được dùng mô tả đặc tính động của đối tượng

Phương trình phi tuyến (7)và (8) mô tả hệ

Để điều khiển PID ta phải tuyến tính hóa hệ tại vi trí cân bằng θ =0 Giả sử góc θ đủ

nhỏ để chúng ta xấp xỉ sinθ =θ , cosθ =1 và θ θ& =0 Khi đó thay các xấp xỉ này vào (7) 2

và (8) ta có

x f ml

X

m &&+ &&= (12)

Trước tiên chúng ta tìm hàm truyền của hệ con lắc ngược Lấy biến đổi Laplace

hai vế (11)và (12) với điều khiện đầu zero ta được:

u s mls s X

(3

.4)

)()()

(.3

.4)

s

U

s

)(

)

3

)(

4(

1)

M

l

u g

+

=

=

u m M

x m M

mg x

x x

u ml m M l

x ml m M l

g m M

x

x x

.)4

(

4)

4)(

3/1(

.)(

)

3/4(

1)

1 4

4 3

1 2

2 1

ml m M l

x x x x

m M mg

ml m M

l

g m M

(40

)(

34

10

000)4

(3

1

1000

000)

−+

00

100

0001

463,10

000717

,

0

1000

00078

,

15

0010

4 3 2 1

1.5.3.Phương pháp thứ hai của Liapunov

Một trong những phương pháp có hiệu lực nhất để khảo sát bài toán ổn định chuyển động là phương pháp thứ hai hay còn gọi là phương pháp trực tiếp của Liapunov Theo phương pháp này tiêu chuẩn ổn định chuyển động có thể áp dụng trực tiếp vào hệ phương trình vi phân của chuyển động bị nhiễu mà không thông qua việc tích phân hệ phương trình

Động học hệ phải được mô tả bởi không gian trạng thái

Thí dụ, hệ phi tuyến có thể được mô tả bởi tập hợp n phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất

),, ,,(x1 x2 x t f

x&i = n i=1,2, ,n

Dạng mô hình không gian trạng thái là :

),

),, ,(),(

;

;

1

1 1 1

1

t x x f

t x x f

t x f

Định lí Liapunov về ổn định tiệm cận :

Nếu tìm được một hàm V(x)=V(x1,x2, ,xn) xác định dấu , sao cho đạo hàm của nó dựa theo phương trình vi phân của chuyển động bị nhiễu

), ,

Trong thực tế dễ tìm một hàm là xác định dương, nhưng thêm vào đó hàm V có đạo hàm dV/dt<0 dọc theo các quỹ đạo lại rất khó tìm

Chú ý : V xác định âm và ở dạng toàn phương và V(0)=0 Bây giờ cho

n n

x dx

V x

và chứng minh dV/dt xác định âm để hệ ổn định tiệm cận

*Dạng toàn phương của hàm V(x)

31

23 22

21

13 12

11

q q

q

q q

q

q q

12 11 2 11

q q q

(5)

Nếu hàm V(x) xác định âm thì điều kiện (5) được thay thế bằng điều kiện

12 11 2 11

q q q

*Dạng bình phương của hàm V(x)

Qx

x

x

V( )= T

trong đó xT là chuyển vị của x

Q là ma trận đối xứng qij=qji

2

2 1)

(x x x

0110

01

;

0

1

10

01

Thỏa định lí Sylvester, hàm V(x) là xác định dương

Chọn hàm V(x) xác định dương sao cho :

dV không âm, không dương Vấn đề về ổn định của hệ còn để ngõ

Phương pháp thứ hai Liapunov là điều kiện đủ, nếu điều kiện thỏa mãn thì hệ ổn định Phương pháp trực tiếp của Liapunov phụ thuộc vào

-Cách chọn biến trạng thái

-Cách chọn hàm Liapunov

*Định lí về không ổn định :

Nếu tìm được một hàm V(x) sao cho đạo hàm dV/dt dựa vào phương trình vi phân của chuyển động bị nhiễu là hàm xác định dấu, còn trong lân cận tùy ý bé của gốc tọa độ có những điểm tại đó hàm V lấy giá trị cùng dấu với V thì chuyển động không bị nhiễu không ổn định

1.6.Tiêu chuẩn ổn định tuyệt đối V M Popov

Tiêu chuẩn Popov cho điều kiện đủ về ổn định của hệ phi tuyến trong miền tần số Chúng có diễn đạt đồ họa trực tiếp giống phương pháp hàm mô tả, và thuận tiện cho phân tích và thiết kế Khuyết điểm là giới hạn ổn định dự báo thường quá kín đáo Hình 1.8 minh họa cấu hình hệ thống cần xem xét G(s) thể hiện phần phi tuyến, và thành phần phi tuyến f bị ràng buộc tới phần bị chặn bởi độ dốc α(= và ε) β( k= ) Thành phần phi tuyến được xem xét như sau :

(i) giá trị đơn và bất biến theo thời gian : một ngõ ra duy nhất u đối với mỗi ngõ

vào u

(ii) Với hiện tượng trễ : tính phi tuyến với bộ nhớ, trong đó u phụ thuộc vào lịch

sử thời gian của e ; thí dụ : khâu rờle vớ trễ, khâu khe hở trong liên nối cơ khí

(iii) Tính phi tuyến tổng quát : thay đổi theo thời gian và có lẽ bao gồm hiện

Hình 1.8 : Hệ thống và tính phi tuyến

Giả sử là r(t) và ngõ vào nhiễu bất kì là bị chặn và tích phân vuông, nghĩa là

r Chú ý là điều này ám chỉ rằng rỈ0 khi tỈ∞

Phương pháp Popov :

1/G(s) là giả sử ổn định vòng hở

2/Tính phi tuyến là giả sử thỏa mãn

SỬ dụng được thực hiện bằng hàm đáp ứng tần số hiệu chỉnh G*(jω) được định nghĩa bởi

Re G*=Re G Im G*= ω Im G ω≥0 (2)

Trong diễn đạt đồ họa sau của điều kiện Popov cho ổn định tiệm cận toàn cục

Định lí Popov : Với bất kì điều kiện đầu, ngõ ra hệ thống là bị chặn và có khuynh hướng tiến về zero khi tỈ∞ nếu đồ thị của G*(jω) nằm hoàn toàn về bên phải của đường Popov, mà cắt trục thực tại -1/K ở độ dốc 1/q Ở đây giới hạn về q và K phụ thuộc vào tính phi tuyến :

(i) -∞<q<∞ nếu 0<K<∞ ; 0≤q<∞ nếu K=∞

Hình 1.9: Phương pháp Popov

Trong hình 1.9 (a) đồ thị cực của G*(ϖ ≥0) nằm bên phải của đường thẳng Popov như minh họa, vì vậy hệ thống là ổn định tiệm cận Trong hình 1.9 (b), đường giao nhận dạng bởi -1/K cho giá trị K cực đại mà định lí đảm bảo ổn định, và thế thì chỉ cho tính phi tuyến giá trị đơn, bất biến theo thời gian (i), mà trong đó q>0 là cho phép Đối với tính phi tuyến (iii) ràng buộc về q thì chặt chẽ hơn Như được minh họa ở hình 1.9 (c) với

q bị ràng buộc là 0 (zero), giá trị cực đại của K bây giờ mà tương ứng với tan thẳng đứng của G* Nếu trong (c) tình phi tuyến là loại (i), giá trị cực đại K sẽ tương ứng tới phần giao của G* với trục thực âm bởi vì tan tại điểm này là đường thẳng Popov chấp nhận được Thật là quan trọng quan sát rằng phần giao của G và G* với trục thực âm là giống nhau, và rằng phần giao này cũng cho độ lợi ổn định cực đại của hệ tuyến tính, bằng tiêu chuẩn Nyquist Như vậy, với tính phi tuyến (i) phần ổn định Popov cho hình 1.9 (c), và cũng như (a), là giống như phần Hurwitz (nghĩa là phạm vi độ lợi ổn định nếu hệ là tuyến tính)

Bài tập

Chương 1 : Hệ thống điều khiển tự động phi tuyến

1 Đặc điểm và tính chất của hệ phi tuyến Cho thí dụ về hệ phi tuyến

2 Trình bày phương pháp mặt phẳng pha

3 Trình bày phương pháp tuyến tính hóa điều hòa (hàm mô tả)

4 Tiêu chuẩn ổn định Liapunov

5 Một hệ ĐKTĐ gồm một khâu phi tuyến bão hòa và một khâu tuyến tính có hàn truyền G(s)

D K

Chương 2: Điều khiển tối ưu

2.1.Tối ưu hóa tĩnh

2.1.1.Tối ưu hóa tĩnh không có ràng buộc (hạn chế)

Chỉ số chất lượngvô hướng L(u) được cho là moat hàm của tín hiệu điều khiển hay là vectơ điều khiển u∈R m Chúng ta muốn chọn giá trị của u mà dẫn kết quả đến giá trị tối thiểu của L(u)

Để giải bài toán tối ưu hóa này, chúng viết chuỗi Taylor mở rộng cho sự tăng trong L như sau:

)3(2

1

O du L du du L

Luu được gọi làma trận độ cong

Điểm thỏa mãn hay điểm tới hạn diễn ra khi sự tăng dL bằng zero tới bậc nhất đối với tất cả sự tăng du trong tín hiệu điều khiển Vì vậy

0

=

u

L (2.1.1-4)

Đối với moat điểm tới hạn

Giả sử rằng chúng ta ở điểm tới hạn, như vậy L u =0 trong (2.1.1-1) Để điểm tới hạn là tối thiểu cục bộ, chúng ta yêu cầu rằng

)3(2

1

O du L

Nhớ lại rằng L uu là xác định dương (âm) nếu tất cả trị riêng của nó là dương (âm), và không xác định nếu nó có cả trị riêng âm và dương, tất cả khác 0 L uu là bán xác định nếu nó moat vài trị riêng bằng 0 Vì vậy nếu L uu =0, thành phần bậc 2 không hoàn toàn chỉ ra loại của điểm tới hạn

Thí dụ 2.1.1-1: Bề mặt toàn phương

Cho u∈R2 và

[ ]

)2(2

1

)1(2

1

)

22 21

12 11

u S

Qu

u

u s s u q q

q q

Điểm tới hạn được cho bởi

Trong đó u* kí hiệu tín hiệu điều khiển tối ưu

Loại của điểm tới hạn được xác định bởi xem xét ma trận độ cong

Bằng cách thay (4) vào (2) chúng ta tìm giá trị ngoài của chỉ số chất lượng là

L

L

T

T T

−

−

−

− Δ

01

u= 1 2 Mũitên thể hiện građien

u u

u u S

Hình 2.1.1-1: Đồ thị và vectơ građien

Thí dụ 2.1.1-2: Tối ưu hóa bằng sự vận hành vô hướng

Chúng ta đã thảo luận tối ưu hóa trong thuật ngữ vectơ và građien Như là tiếp can thay thế (tương đương), chúng ta cũng làm việc hoàn toàn trong thuật ngữ đại lượng vô hướng

Đểminh họa, cho

2

2 2 2 1

2 1 2

1

1

=+

2 2

1

2

=++

1 = u =−

u (3)

Như vậy điểm can bằng là (1,-1)

Chú ý rằng (1) là phiên bản mở rộng của (7) trong thí dụ 2.1.1-1, vì vậy chúng ta vừa dẫn ra cùng đáp số bởi moat cách khác

Kí hiệu vectơ đơn giản hóa sự giữ sách trong chi tiết với đại lượng nhiều chiều, hay vì lí

do mà nó rất thu hút cho mục đích của chúng ta

2.1.2 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức

Bây giờ cho chỉ số chất lượng vô hướng L(x,u), hàm của vectơ điều khiển u∈R m và vectơ phụ (trạng thái) x∈R n Bài toán là chọn lựa u để tối thiểu hóa L(x,u) và đồng thời thỏa mãn phương trình ràng buộc

Bộ nhân Lagrange và hàm Hamilton:

Tại điểm tới hạn, dL là bằng 0 tới bậc nhất đối với tất cả sự tăng du khi df là zero Như vậy chúng ta yêu cầu

0

=+

T u u

T u x

T x

T

u

df

L f f L f

f L L

Đây là điều kiện can cho tối thiểu Bây giờ chúng ta dẫn ra điều kiện đủ

Chúng ta hãy phát triển sâu hơn và moat công cụ giá trị bằng cách xem xét hai cách để đạt (2.1.2-8)

Viết lại (2.1.2-2) và (2.1.2-3) như sau

L L

df

dL

u x

T u

T u

Và thay vào (2.1.2-12) ta cũng đạt được (2.1.2-8)

Vectơ λ∈R n được gọi là bộ nhân Lagrande,và nó sẽ là công cụ hữu ích cho chúng ta D(ể tìm thêm thông tin bay giờ, cho du=0 trong (2.1.2-2), (2.1.2-3) và loại trừ dx để có được

Như là phương pháp thứ ba để đạt (2.1.2-8), chúng ta hãy phát triển tiếp can mà chúng

ta sẽ dùng cho phân tích chương kế tiếp Thêm ràng buộc tới chỉ số chất lượng để định nghĩa hàm Hamilton

),()

,()

( u x f

Thế thì x được xác định đối với u cho trước bởi f(x,u)=0, mà là quan hệ ràng buộc Trong tình huống này hàm Hamilton bằng chỉ số chất lượng:

Trong hầu heat các ứng dụng chúng ta không quan tâm giá trị λ, nhưng chúng ta phải tìm giá trị của nó vì nó là biến trung gian mà cho phép chúng ta xác định các đại lượng quan tâm, u và u và giá trị tối thiểu của L

Sự hữu ích của tiếp can bộ nhân Lagrande có thể được tóm tắt như sau Trong thực tế

dx và du không là sự tăng d9ộc lập, bởi vì (2.1.2-4) Bằng cách giới thiệu bộ nhân λ chưa xác định , tuy nhiên chúng ta đạt được bậc tự do phụ, và λ có thể được chọn để làm cho dx và du hành xử như thể chúng là sự gia tăng độc lập Thiết lập độc lập về zero các phần của H đối với tất cả các đối số trong (2.1.2-25) vì vậy đạt được điểm thỏa mãn (điểm tới hạn) (so sánh điều này với thí dụ 2.1.1-2) Bằng cách giới thiệu bộ nhân Lagrande, chúng ta có thể thay thế bài toán tối thiểu hóa L(x,u) theo ràng buộc f(x,u)=0 bằng bài toán tối thiểu hàm Hamilton H(x,u,λ) không có ràng buộc

Điều kiện (2.1.2-25) xác định điểm thỏa mãn Bây giờ chúng ta sẵn sàng dẫn ra moat kiểm tra mà đảm bảo điểm này là tối thiểu

Viết ra chuỗi Taylor đối với sự tăng trong L và f như sau

2

1

O du

dx L L

L L du dx du

dx L

L

dL

uu ux

xu xx T T T

[ ] [ ] (3)

2

1

O du

dx f f

f f du dx du

dx f

f

df

uu ux

xu xx T T u

H H du dx du

dx H H df

dL

uu ux

xu xx T T T

u

T x

Để tìm điều kiện đủ cho tối thiểu, chúng ta hãy xem xét thành phần bậc hai.Đầu tiên, can thiết đưa vào trong (2.1.2-28) sự phụ thuộc của dx trên du Như8 vậy, chúng ta hãy giả sử chúng ta đang ở điểm tới hạn để mà H x =0 và H u =0, và df=0 Thế thì bởi (2.1.2-27)

)2(

f f H

H

H H I f f du

uu ux

xu xx T

x

T u

T x

T u u x ux xu

T x

T

u

uu

u x uu ux

xu xx T

x

T u f

uu

uu

f f H f f f f H H f

f

H

I

f f H

H

H H I f f L

Lf

1 1

Thí dụ 2.1.2-1: Bề mặt toàn phương với ràng buộc tuyến tính

Giả sử chỉ số chất lượng được cho như ở thí dụ 2.1.1-1:

x u

112

−++++

+

=x u λ

H x (5)

01

Đây là xác định dương,như vậy (7) là cực tiểu

Đồ thị của L(x,u) và ràng buộc (2) được minh họa ở hình 2.1.2-1

Hình 2.1.2-1: Đồ thị của L(x,u) và ràng buộc f(x,u)

Thật là đáng giá để thực hiện moat điểm quan trọng Građien của f(x,u) trong mặt phẳng (x,u) là

Giá trị của L tại tối thiểu có ràng buộc được tìm bằng cách thay x=3, u=-2 vào (1) để có L*=0,5

Vì λ=-1 giữ u không đổi tại 2 và thay đổi ràng buộc bởi df (nghĩalà di chuyển đường thẳng ở hình 2.1.2-1 tới bean phải bởi df) sẽ dẫn đến sự tăng giá trị của L(x,u) của dL=-λdf=df (xem (2.1.2-15)

Thí dụ 2.1.2-2: Chỉ số chất lượng toàn phương với ràng buộc tuyến tính-Trường hợp vô hướng

Xem xét chỉ số chất lượng dạng toàn phương:

Đồ thị của L(x,u) là đường elip;nếu L(x,u)=F/2, thế thì trục bán chính và trục bán phụ là

al và bl Ràng buộc f(x,u) là họ đường thẳng có tham số bởi c Xem hình 2.1.2-2 (chú ý rằng u là biến độc lập, với x được xác định bởi f(x,u)=0)

Hàm Hamilton là

2

1

2

2 2

2

c mu x b

Hình 2.1.2-2: Đồ thị củaL(x,u) và ràng buộc f(x,u)

Và điều kiện cho điểm thỏa mãn là

m

b

λ (8) Giải ra đạt được giá trị điểm thỏamãn

Trở lại (7), chúng ta đạt được tín hiệu điều khiển tối ưu u:

Điều này that sự lớn hơn 0, như vậy chúng ta đã tìm được tối thiểu có ràng buộc

Thay (9) và (11) vào (1) đạt được giá trị chỉ số chất lượng tối ưu là

2 2

*

1 a b m

c m

2.1.3 Phương pháp nghiệm số

Nghiệm giải tích cho điểm thỏamãn (x,u)* và giá trị tối thiểu L* của chỉ số chất lượng không thể tìm được ngoại trừ cho các hàm đơn giản L(x,u) và f(x,u) Trong hầu heat trường hợp thực tế, phương pháp tối ưu hóa số phải được sử dụng.Nhiều phương pháp tồn tại,nhưng phương pháp suy giảm độ dốc hay građien là đơn giản nhất

Các bước trong tối ưu hóa có ràng buộc bằng phương pháp suy giảm độ dốc là:

1 Chọn giá trị ban đầu cho u

u L f

5.Cập nhật vectơ điều khiển bởi Δu=−KH u, trong đó K là hằng số vô hướng dương (để tìm cực đại sử dụng Δu=KH u)

6.Xác định thay đổi dự báo trong giá trị của L, T u

u

T

u u KH H H

L= Δ =−

nhỏ, dừng.Ngược lại, đi đến bước 2

Thí dụ 2.1.3-1 minh họa làm thế nào đơn giản sử dụng các điều này để giải bài toán tối thiểu có ràng buộc

Thí dụ 2.1.3-1: Sử dụng chương trình con của công cụ tối ưu hóa trong Matlab

Nghiệm số của bài toán tối ưu hóa tối thiểu L(x,u) với ràng buộc f(x,u)=0 có thể đạt được sử dụng hàm Matlab constr.m trong công cụ tối ưu hóa.Hàm này lấy chương trình con funct.m định nghĩa bởi người sử dụng, mà tính giá trị của hàm,ràng buộc,và điều kiện đầu Chúng ta minh họa sử dụng hàm bằng số để giải thí dụ 2.1.2-2

Cho a=3,b=2,m=1.Ở nay

)1()(

2

2 X X

X

G(X)=X(1)+X(2)-1=0

Chương trình con funct.m được minh họa ở 2.1.3-1

Hình 2.1.3-1: Chương trình Matlab cho thí dụ 2.1.2-2

%chương trình co cho sử dụng với hàm Matlab constr(.)

Sơ đồ khối điều khiển tối ưu:

Vectơ hồi tiếp hệ

Hình 2.1 Hiện thực hồi tiếp của điều khiển tối ưu

Cho hệ sau

x&= với x(t0) cho trước (2.1-1)

tìm điều khiển tối ưu u*(t), t∈[t0,T] mà tối thiểu hóa

Hệ

)),((x t t u