Xác định m để tiệm cận xiên của Cm đi qua gốc tọa độ và hàm số 1 có cực đại, cực tiểu.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB= a,AD= 2a.. Tính thể tích khối chóp S.B
Trang 1TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1
LỚP 12A1
Ngày ……/8/2013
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ 1
NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
2
1
y
mx
(1), có đồ thị là (Cm), m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2 Xác định m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua gốc tọa độ và hàm số (1) có
cực đại, cực tiểu
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình lượng giác: cot 1 1 2 os4x 2 sin 2 3
2
2 Cho hệ phương trình:
3 3
2
x y
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt (x1; y1), (x2; y2) và (x3; y3) sao cho x1, x2, x3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
Câu III (1,0 điểm) (Học sinh tự chọn một trong hai phần)
1 Tính tích phân:
/4
2 /4
sin 1
x
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 1 2
sinx.cos
f x
x
biết rằng
( ) 0 4
F
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB= a,AD= 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3
3
a
, mặt phẳng
(BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Câu V (1,0 điểm) Cho a, b là các số thực thoả mãn a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2012a 2013b 2014c 2012b 2013c 2014a 2012c 2013a 2014b
Câu VI (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d:x2y 1 0,
d x y và điểm A(-1 ; 1) Tìm tọa độ tâm đường tròn thuộc đường thẳng d, biết rằng đường tròn đi qua điểm A và cắt đường thẳng d’ tại hai phân biệt điểm B, C sao cho BC=2
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;-1), B(8;1;-2) , C(1;2;1) , và
đường thẳng
0 5
0 3 :
y x
z y x
d Tìm M (d) sao cho |MA MB MC|
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII (1,0 điểm)
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển Newton:
12
4 1
1 x
Trang 24
2
-2
-4
- Hết -
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Nội dung Điểm I.1 (1,0) 1 m=1, 2 1 1 1 1 x x y x x x , TXĐ: D=R\{1} 2 Sự biến thiên a Giới hạn, tiệm cận 1 1 lim ; lim x x y y đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số lim ( ) 0 x y x đường thẳng y=x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số b Chiều biến thiên 2 2 2 ' , x 1 ( 1) x x y x ; y’ = 0 x = 0, x = 2 Bảng biến thiên: x 0 1 2 +
y' + 0 0 +
y -1 + +
3
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2; +∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ=-1; Hàm số đạt cực tiểu tại x=2, yCT=3
3 Đồ thị
+ Giao Ox: y=0 vô nghiệm
|+ Giao Oy : x=0 y=-1
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm I(1; 1) làm tâm
đối xứng
0.25
0.25
0.5
I.2
(1,0)
2
1
y
mx
2
'
( 1)
y
mx
Mặt khác
( 1)
y
2 2 1
y
là tiệm cận xiên với điều kiện 2m32m2 1 0 và m 0
YCBT
2 2
2 2 2 =0 co 2 nghiem phan biet 1
0 0
m m m
m=1
0.25 0.25 0.25
0.25
II.1
(1,0)
Điều kiện sinx 0xk (*)
Với điều kiện (*), phương trình cosxs inx 1 2 os4xc 2 os2x.sinxc 0.25
Trang 3Câu Nội dung Điểm
2
cos s inx 1 2 os4x 2( os x-sin x).sinx
cos s inx 1 2 os4x-2sinx.cosx-2sin 0
cos s inx os2x-sin2x 2 os4x 0
osx-sinx=0 (2)
cos2x-sin2x- 2 os4x=0 (3)
c
c
Giải (2) ta được
4
x k
(thỏa mãn (*))
Giải (3) :
x=
4x=2x+ 2
8 4
4
4x=-2x- 2
k k
k k
Đối chiếu điều kiện ta được 3 họ nghiệm
0.25
0.25
0.25
II.2
(1,0)
Xét hệ:
3 3 ( ) (1)
2 (2)
x y
(2) y = x 2 thay vào (1) ta có : (2x - 2)[x2 - 2x + 4 - m] = 0
2 1
2 4 0 (*)
x
Nhận xét : Nếu pt (*) có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thì : x1 < 1 < x2 và x1 + x2 = 2
Vậy để hệ có 3 nghiệm và x1, x2, x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng pt (*) có 2
nghiệm phân biệt ' = 1 - 4 + m > 0 m > 3
Vậy m>3 là giá trị cần tìm
0.25 0.25 0.25 0.25
III.1
(1,0)
1
2
2
sin
1
x
Xét I1=
/4
2 /4
1 x sin xdx
:
dx dt
I1=
1
1 t sin( t dt ) 1 x sin xdx I
Xét I2=
/4
/4
sin
x xdx
, đặt
I2=
/4
/4
2 4
0.25
0.25
0.25
0.25
III.2
(1,0) Đặt t c osx dt=-sinxdx 2 sinx2 2
sinx.cos sin x.cos
Trang 4A
S
M
N
D
ln
C
1 osx 1 1
ln
2 osx 1 osx
c
C
Mặt khác ( ) 0
4
F
1 ln 2 2 2 0
C= 1 ln 2 2 2
2 2 2
Vậy một nguyên hàm cần tìm là:
F(x)= 1 ln osx 1 1
2 osx 1 osx
c
1 2 2
2 2 2
0.25
0.25
0.25
IV
(1,0)
Do ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD
Ta có : BC AB BC BM
BC SA
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM
là đường cao
Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
3
3
a a
Suy ra MN = 4
3
a
; BM = 2
3
a
Diện tích hình thang BCMN là :
SBCMN =
2
4 2
2 10 3
a a
BM
Hạ AH BM Ta có SH BM và BC (SAB) BC SH
Vậy SH ( BCNM) SH là đường cao của khối chóp S.BCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM
SB MS =
1
2 Vậy BM là phân giác của góc SBA SBH300 SH = SB.sin300 = a
Gọi V là thể tích chóp S.BCNM ta có V = 1
3SH S BCNM =
3
10 3 27
a
0.25
0.25
0.25
0.25
V
(1,0)
Xét véc tơ u 2012 ; 2013 ; 2014a b c,v 2012 ; 2013 ; 2014b c a,
w 2012 ; 2013 ; 2014c a b
0.25
Trang 5Câu Nội dung Điểm
Ta có
2012a 2013b 2014c 2012b 2013c 2014a 2012c 2013a 2014b
w
u v
Mặt khác: 2012 a 2012 b 2012c33 2012a b c 3 2012
2013 a 2013 b 2013c33 2013a b c 3 2013
2014 a 2014 b 2014c 33 2014a b c 3 2014
M 3 6039, dấu “=” a=b=c=1
0.25
0.25
0.25
VI.1
(1,0)
Gọi I(2t-1;t)(d) , H là hình chiếu của I trên d’ khi đó H là trung điểm của BC
HC=HB=1 d I d( ; ')IH IC2HC2 IA21
( 2 ) ( 1) 1 ( 2) 2(5 2 )
1 ( 1)
9t2-4=0 2
3
t
Vậy có hai tâm đường tròn thỏa mãn là: 1 1 2; , 2 7; 2
I I
0.25 0.25
0.25
0.25
VI.2
(1,0)
Gọi M(5-t;t;2-2t)(d), khi đó:
( 4; 2 ; 2 3), ( 3;1 ; 2 4), ( 4; 2 ; 2 1)
MA t t t MB t t t MC t t t
(3 5;5 3 ; 6 8)
MA MB MC t t t
P=|MA MBMC| 3t52(5 3 ) t 26t82
= 54t2156t114 f t( ), f(t) là Parabol quay bề lõm lên trên
Pmin f(t)min t=13
9 32 13; ; 8
0.25
0.25 0.25 0.25
VII
(1,0) Ta có:
12
12 0
k
k k k
Trang 6Câu Nội dung Điểm
12
12
0 0
1
( 1)
i
k
k
k i
x
C C x
Ta chọn: i, k N, 0 i k 12; 4k 5i = 8
i = 0, k = 2; i = 4 , k = 7; i = 8, k= 12
Vậy hệ số cần tìm là: C C122. 20 C C127. 74 C C1212. 128 27159
0.25
0.25
0.25
Ghi chú: Các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng