ôn tập phần đại số Chuyên đề rút gọn căn bậc hai 1.. Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa - Biểu thức ch-á căn bậc hai : Cho biểu thức d-ới dấu căn 0 nếu biểu thức d-ới dấu căn ở d-ới m
Trang 1ôn tập phần đại số
Chuyên đề rút gọn căn bậc hai
1 Thực hiện phép tính:
+ Sử dụng các công thức: A B. A. B ; 2
( 0)
A B A B A ; 2
( 0)
A B A B A
2
( )
A A ; A A
B
B ; A A. B AB
B
B B B
.
A A B
B B ; C C( A B2 )
A B
A B ; C C( A B2 )
A B
A B
C C A B
A B
A B ; C C( A B)
A B
A B
+ Biến đổi về hằng đẳng thức:
A B C C D D C C D D C D C D
A B C C D D C C D D C D C D
2 2
2
A B
2 2
2
A B
Chuyên đề rút gọn biểu thức
1 Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
- Biểu thức ch-á căn bậc hai : Cho biểu thức d-ới dấu căn 0( nếu biểu thức d-ới dấu căn ở d-ới mẫu thì cho các biểu thức đó >0 )
- Biểu thức rút gọn chứa ẩn ở mẫu không chứa căn bậc hai thì cho các mẫu khác 0, nếu các mẫu trùng nhau thì xác định 1 mẫu
2 Rút gọn
- Biểu thức có dấu ngoặc ta làm trong ngoặc tr-ớc ( Quy đồng), đồng thời các phép tính làm song song
Trang 23 Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của ẩn
- Ta thay giá trị của ẩn vào biểu thức đã đ-ợc thu gọn rồi th-c hiện phép tính
4 Tìm giá trị của ẩn để biểu thức : > 0, < 0, 0, 0
- Ta cho biểu thức đã đ-ợc thu gọn > 0, < 0, 0, 0 rồi th-c hiện giải bất ph-ơng trình
5 Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nguyên
- Ta thực hiện phép chia biểu thức đã đ-ợc thu gọn đ-ợc kết quả gồm 1 phần nguyên
và 1phần phân thức có tử là 1 số nguyên, mẫu là đa thức chứa ẩn Sau đó ta cho mẫu là các -ớc của tử, rồi tìm các giá trị của ẩn thông qua giải các ph-ơng trình vừa tìm, so sánh giá trị của ẩn vừa tìm với ĐKXĐ để đ-a ra giá trị của ẩn thoả mãn , từ đó kết
luận bài toán
Chuyên đề Giải hệ ph-ơng trình
1 Hệ ph-ơng trình không chứa mẫu
a Giải hệ ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp thế:
- B-ớc 1: Biểu diễn x theo y hoặc y theo x Nếu biểu diễn x hoặc y ở ph-ơng trình
1 thì phải giữ ph-ơng trình 2 Còn biểu diễn x hoặc y ở ph-ơng trình 2 thì phải giữ nguyên ph-ơng trình 1
- B-ớc 2: Thế x hoặc y vừa biểu diễn vào ph-ơng trình còn lại (Chú ý các phép
biến đổi hệ ph-ơng trình t-ơng đ-ơng)
- B-ớc 3: Giải ph-ơng trình 1 ẩn vừa thế để tìm giá trị của ẩn từ đó tìm giá trị còn
lại
- B-ớc 4: Kết luận nghiệm của ph-ơng trình
B Giải hệ ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp cộng đại số
+ Tr-ờng hợp 1: hệ số a = a’ ; b = b’ ; hoặc a và a’ đối nhau, b và b’ đối nhau
- B-ớc 1: Ta thực hiện phép trừ hoặc cộng khi hệ số a = a’ ; b = b’ ; hoặc a và a’
đối nhau, b và b’ đối nhau
- B-ớc 2: Đ-a ra hệ PT mới có 1 ph-ơng trình là kết quả của phép tính ở b-ớc 1,
ph-ơng trình còn lại là 1 trong 2 ph-ơng trình đã cho ( Các phép biến đổi hệ ph-ơng trình t-ơng đ-ơng)
- B-ớc 3: Giải ph-ơng trình 1 ẩn trong hệ trên
- B-ớc 4: Thế giá trị của ẩn vừa tìm đ-ợc vào ph-ơng trình còn lại để tìm giá trị
ẩn kia
- B-ớc 5: Kết luận nghiệm của ph-ơng trình
+ Tr-ờng hợp 2: Hệ số a khác a’ ; b khác b’
- Nhân cả 2 vế của 1 ph-ơng trình với 1 số khác 0 để đ-a về cùng hệ số a = a’ ; hoặc b = b’ Rồi đ-a hệ ph-ơng trình về tr-ờng hợp 1
Trang 3- Các b-ớc tiếp theo giải nh- tr-ờng hợp 1
2 Hệ Ph-ơng trình có mẫu không chứa ẩn
- Nhân cả 2 vế của ph-ơng trình với mẫu chung để khử mẫu rồi đ-a về tr-ờng hợp
1 hoặc 2 sau đó giải hệ ph-ơng trình vừa tìm đựơc
3 Hệ Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu ( Th-ờng là những hệ ph-ơng trình phải đặt ẩn
phụ )
Cách giải
- B-ớc 1: Đ-a hệ về dạng
'
c
x y
c
x y
hoặc
'
c
x a y b
c
x a y b
- B-ớc 2: Đặt 1 u;1 v
x y ta có hệ ph-ơng trình mới
'
u v c
u v c
- B-ớc 3: Giải hệ ph-ơng trình tìm u, v
- B-ớc 4: Thay giá trị u, v vừa tìm đ-ợc vào b-ớc 2 ta vừa đặt 1 a;1 b
x y =>x; y
- B-ớc 5: Kết luận nghiệm của hệ
Chuyên đề Giải và biện luận hệ ph-ơng trình
- Th-ờng là những hệ ph-ơng trình chứa tham số m ( Xác định chính xác hệ số a; a’ ; b; b’ )
Dạng 1: Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm
Câu 1: Giải hệ ph-ơng trình với m = a Thay giá trị a của m vào hệ ph-ơng trình rồi
giải hệ nh- phần trên
Câu 2:
Loại 1: Tìm giá trị của m để hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất:
Cách giải:
Để hệ có nghiệm duy nhất thì a a' b b' a b ' a b'. từ đó suy ra giá trị m cần tìm
Loại 2: Tìm giá trị của m để hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất là các số d-ơng thoả mãn x > y; x < y; …
Cách giải:
B-ớc 1: Để hệ có nghiệm duy nhất thì ' '.
a b
a b a b
a b từ đó suy ra giá trị m cần tìm
B-ớc 2: Giải hệ ph-ơng trình với tham số m rồi tìm nghiệm (x, y)d-ới dạng tham
số m
Trang 4B-ớc 3: Cho nghiệm x > 0 tìm giá trị m Kết hợp 2 giá trị của m để tìm giá trị Cho nghiệm y > 0 tìm giá trị m chung của m
Loại 3: Tìm giá trị của m để hệ sau vô nghiệm, vô số nghiệm
Cách giải:
B-ớc 1: Để hệ có vô số nghiệm ( vô nghiệm) thì 0 ' ' 0
' '
a b b a
từ đó suy ra giá trị m cần tìm
B-ớc 2: Thay lần l-ợt giá trị m vào hệ ph-ơng trình rồi kết luận hệ vô nghiệm hay
có vô số nghiệm
Loại 4: Tìm giá trị của m để hệ sau có nghiệm nguyên
Cách giải:
B-ớc 1: Giải hệ ph-ơng trình với tham số m rồi tìm nghiệm (x, y)d-ới dạng tham
số m bằng cách dùng ph-ơng pháp thế hoặc cộng đại số
B-ớc 2: Thực hiên phép chia ở x hoặc y kết quả thu đ-ợc gồm 1 phần nguyên và 1
phần phân thức có tử là 1 số nguyên, mẫu là đa thức chứa ẩn Sau đó ta cho mẫu là các -ớc của tử, rồi tìm các giá trị của ẩn thông qua giải các ph-ơng trình vừa tìm từ đó kết luận bài toán
Dạng 2: Giải và biện luận hệ ph-ơng trình theo m
Cách giải :
B-ớc 1: Dùng ph-ơng pháp thế hoặc cộng để tìm x hoặc y theo m
B-ớc 2: Tìm điều kiện của m 0 ở x hoặc y hệ có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó
Tr-ờng hợp còn lại là vô số nghiệm tìm nghiệm tổng quát của hệ hoặc vô nghiệm
Chuyên đề Giải hàm số đồ thị y= ax +b (a khác 0)
Dạng 1 : Tìm a để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Cách giải:
Hàm số đồng biến khi a > 0; Nghịch biến khi a < 0
Dạng 2: Cho hàm số y = ax + b (a khác 0; b là số cho tr-ớc)
Tìm a để đồ thị ( đ-ờng thẳng ) đi qua gốc toạ độ
Cách giải:
Đồ thị đi qua gốc toạ độ O(0;0) nên x = 0; y = 0 thay vào hàm số tìm a
Dạng 3: Cho hàm số y = ax + b (a khác 0) và đ-ờng thẳng y = a’ x + b’
Đ-ờng thẳng y = ax + b và y = a’ x + b’ song song khi a = a’ và b khác b’
Đ-ờng thẳng y = ax + b và y = a’ x + b’ trùng nhau khi a = a’ và b = b’
Đ-ờng thẳng y = ax + b và y = a’ x + b’ cắt nhau khi a khác a’
Đ-ờng thẳng y = ax + b và y = a’ x + b’ vuông góc với nhau khi a.a’ = -1
Dạng 4: Xác định hàm số y = ax + b ( Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng)
Đồ thị hàm số ( ph-ơng trình đ-ờng thẳng ) đi qua điểm A( x0;y0) cho tr-ớc và song song hoặc trùng với đ-ờng thẳng y = ax hoặc có hệ số góc là k :
y = k(x – x0) + y0
Trang 5Dạng 5: Xác định hàm số y = ax + b ( Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng) đi qua 2 diểm
A(x0;y0); B(x1;y1) : 0 0
Dạng 6: Xỏc định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(x0; y0) và B(x1; y1)
Thay điểm A(x0; y0) vào đồ thị hàm số ta có ph-ơng trình 1
Thay điểm B(x1; y1) vào đồ thị hàm số ta có ph-ơng trình 2
Kết hợp ph-ơng trình 1 và ph-ơng trình 2 ta có hệ ph-ơng trình
Giải hệ ph-ơng trình ta tìm đ-ợc a và b Từ đó suy ra ph-ơng trình đ-ờng thẳng cần tìm
PHƯƠNG TRèNH CHỨA THAM SỐ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
A/ Lý thuyết cần nhớ
Ph-ơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a 0) = b 2 – 4ac
0 ph-ơng trình có hai nghiệm phan biệt
x1 =
a
b
2 và x2 =
a
b
2
= 0 ph-ơng trình có nghiệm kép x1,2
=-a
b
2
< 0 ph-ơng trình vô nghiệm Nếu b = 2b’ (b chẵn)
' = b’2- ac
' > 0 ph-ơng trình có hai nghiệm phan biệt
x1 =
a
b' '
và x2 =
a
b' '
' = 0 ph-ơng trình có nghiệm kép x1,2=
a b'
' < 0 ph-ơng trình vô nghiệm
* Nếu : a+ b+ c = 0 thì PT có hai nghiệm x1 =1 ; x2 =
a c
* Nếu : a- b+ c = 0 thì PT có hai nghiệm x1 =-1 ; x2 =-
a c
* Hệ thức Viet
Ph-ơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1,x2 thì:
S = x1 + x2 =
-a
b
, P = x1.x2 =
a c
Chú ý: S và P chỉ đ-ợc dùng khi ph-ơng trình bậc hai có nghiệm tức là 0
* u + v =S
u.v =P u và v là hai nghiệm của ph-ơng trình
x 2 - Sx + P = 0
Dấu các nghiệm của ph-ơng trình bậc hai
ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
Trang 6Ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu P =
a
c
<0 Hay x1.x2 <0 Ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm cïng dÊu 0
P>0 Hay x1.x2 >0 C¸c hÖ qu¶: cho ph-¬ng tr×nh: ax 2
+ bx + c = 0 (a 0)th×
-Pt cã Ýt nhÊt mét nghiÖm d-¬ng 0 vµ - b/a 0 Hay x1 + x2 0 -Pt cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ©m 0 vµ -b/a 0 Hay x1 + x2 0 -Pt cã hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ c/a > 0 Hay x1.x2 >0 -Pt cã hai nghiÖm cïng d-¬ng 0 vµ c/a > 0; -b/a > 0
-Pt cã hai nghiÖm cïng ©m 0 vµ c/a > 0; -b/a < 0
-Pt cã hai nghiÖm kh¸c dÊu a.c <0