Bat dang thuc thi thù

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠIHỌC NĂM 2012 Diễn đàn:http://boxmath.vn... Bất đẳng thức Minkowski... Suy ra điều phải chứng minh.. Suy ra điều phải chứng minh... Tìm giá trị nhỏ nhất

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI

HỌC NĂM 2012

Diễn đàn:http://boxmath.vn

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an.

Tuy nhiên, khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n = 2và n = 3 Mà ta thường đượcbiết đến dưới phát biểu:

1 Cho a, b ≥ 0 Khi đó ta có: a + b ≥ 2√

ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b

Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là:

2

≥ ab(a + b)2 ≥ 4ab

Với hai bộ số thực tùy ý a1, a2, , anvà b1, b2, , bn ta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1

số đánh giá quen thuộc sau:



≥ 9III Bất đẳng thức Minkowski

Nhưng ta quan tâm nhiều nhất là các bất đẳng thức quen thuộc sau:

• √a2+ b2+√

c2+ d2 ≥

q(a + c)2+ (b + d)2

• √a2+ b2+ c2+pm2+ n2+ p2 ≥

q(a + m)2+ (b + n)2+ (c + p)2

• pa1 + b12+pa2 + b22+ +pan2 + bn2≥

q(a1+ a2+ + an)2+ (b1+ b2+ + bn)2

Phần 2: TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC GIAI ĐOẠN 2007-2012.

Bài 1 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức:

y√

y + 2z√

z +

2y√y

z√

z + 2x√

x +

2z√z

x√

x + 2y√

yĐặt a = x√



= 29

+ a

b +

b

a +

ca

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1

Bài 2 Cho x, y, zlà các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = x x

2 +

1yz

+ y y

2 +

1zx

+ z z

2 +

1xy

+ y2

2 +

1y

+ z2

2 +

1z

2.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Bài 3 Cho a ≥ b > 0 Chứng minh rằng:

Do f (x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞) và a ≥ b > 0nên f (a) ≤ f (b).

4.Với P 6= 2,phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Bài 5 Cho x, y là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:

P = (x − y) (1 − xy)(1 + x)2(1 + y)2

Đề thi đại học khối D -2008

Lời giải:

Ta có: |P | =

(x − y) (1 − xy)(1 + x)2(1 + y)2

4.Khi x = 1, y = 0 thì Min P = 1

4Phép chứng minh hoàn tất

Bài 6 Cho hai số thực thay đổi x, ythỏa mãn x2+ y2 = 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P = 2 (x3+ y3) − 3xy Đề thi Cao đẳng khối A-2008



2 − t

2− 22

2 và Min P = −7.

Bài 7 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, zthỏa mãn x (x + y + z) = 3yz,ta có:

(x + y)3+ (x + z)3+ 3 (x + y) (y + z) (z + x) ≤ 5(y + z)3

Đề thi đại học khối A-2009

Lời giải:

Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x

Điều kiện bài toán trở thành: c2 = a2+ b2− ab

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a3+ b3+ 3abc ≤ 5c3 a, b, c là các số thực dươngthỏa mãn điều kiện trên

.c ≤ 3c2 Suy ra điều phải chứng minh

Bài 8 Cho các số thực thay đổi x, y thỏa mãn (x + y)3+ 4xy ≥ 2.Tìm giá trị nhỏ nhât của biểuthức :

16 khi x = y =

1

2.Bài 9 Cho a và b là hai số thực thỏa mãn 0 < a < b < 1 Chứng minh rằng:

Do đó f (t) là hàm đồn biến trên (0; 1)

Mà 0 < a < b < 1, nên f (a) < f (b) Suy ra điều phải chứng minh

Bài 10 Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của biểu thức:

Ta tiến hành khảo sát hàm số trên và tìm được giá trị nhỏ nhất của S là 191

16 khi(x; y) = 2 +

√3

4 ;

2 −√34

!hoặc (x; y) = 2 −

√3

4 ;

2 +√34

Đề thi cao đẳng khối A-2010

83x + y ≥ 8Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = 1

4.Bài 12 Cho các sô thực không âma, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức :

, ta có :f0(t) = 2t + 3 − √ 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 xảy ra khi (a; b; c) = (1; 0; 0) , (0; 1; 0) , (0; 0; 1)

Bài 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

=p(x + 3) (5 − x) − p(x + 2) (7 − x)2+ 2 ≥ 2

Suy ra y ≥√

2 đẳng thức xảy ra khi x = 1

3.

Bài 14 Cho x, y, zlà ba số thực thuộc đoạn [1; 4]và x ≥ y; x ≥ z.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức

2x + 3y +

1

1 + zy

1 + xz

2 + 3yx

1 +

rxyĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z

y =

x

z hoặc x = y (1)Đặt t =



Theo AM-GM ta có: (a + b) + 2 1

a +

1b

2

Ta có: f0(t) = 6 (2t2− 3t − 2) > 0

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là −23

4 khi (a; b) = (2; 1) hoặc (a; b) = (1; 2).

Bài 16 Cho các số thực x, y, zthỏa mãn điều kiệnx + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức :

Bài 17 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2+ z2 = 1 Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức

3 ≤ x ≤

√6

3 (∗)Khi đó:

P = x5+ (y2+ z2) (y3+ z3) − y2z2(y + z)

= x5+ (1 − x2) [(y2 + z2) (y + z) − yz (y + z)] +



x2−12



+



x2− 12

2

x = 5

4(2x

3− x)Xét hàm số f (x) = 2x3− x với −

√6

3 ≤ x ≤

√6

3 Suy ra f

0(x) = 6x2− 1; f0(x) = 0 ⇔ x = ±

√66

Ta có: f −

√

66

!

= f

√66

!

= −

√6

9 , f

√63

!

= f −

√66

!

=

√69

Do đó f (x) ≤

√6

9 Suy ra P ≤

5√6

36 khi x =

√6

3 ; y = z = −

√6

2t

2− 3t + 6 trên đoạn [0; 8]

Ta có f0(t) = 3t2− 3t − 3, f0(t) = 0 ⇔ t = 1 +

√5

2 hoặc t =

1 −√5

2 (loại)

Ta có: f (0) = 6, f 1 +

√52

!

= 17 − 5

√5

4 , f (8) = 398Suy ra A ≥ 17 − 5

√5

4 Khi x = y =

1 +√5

4 thì đẳng thức xảy ra.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 − 5

√5

x − 1

2

+

y

y − 1

2

+

z

c4(c2− ab)2 ≥

(a2 + b2+ c2)2(a2− bc)2 + (b2 − ca)2+ (c2− ab)2

Mà ta có : (a2+ b2+ c2)2−(a2− bc)2+ (b2− ca)2+ (c2− ab)2= (ab + bc + ca)2 ≥ 0

Phép chứng minh hoàn tất

Bài 2 Cho các số thực a, b, c ∈ (0, 1) Chứng minh rằng:

ab (1 − a) (1 − b)(1 − ab)2 <

14

Đề thi thử trường Chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội lần 1

4 <

1

4 do a, b, c ∈ (0, 1)Bài 3 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

1(1 + x)2012 +

1(1 + y)2012 +

1(1 + z)2012

Đề thi thử trường THPT chuyên Lê Hồng Phong-Thành phố Hồ Chí Minh

Lời giải:

Ta có bổ đề sau: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1thì ta có 1

(1 + x)2 +

1(1 + y)2 +

1(1 + z)2 ≥ 3

4

1(1 + z)2 ≥ z

z + 1+

1(z + 1)2 =

z2+ z + 1(z + 1)2 =

3

4+

(z − 1)24(z + 1)2 ≥ 3

4Quay trở lại bài toán ta đặt : a = 1

(1 + x)2; b =

1(1 + y)2; c =

1(1 + z)2

Ta quy về tìm giá trị nhỏ nhất của a1006+ b1006+ c1006với a + b + c ≥ 3

3 a

2 = f (a) Khảo sát hàm số trên ta được f (a) ≤ 25

27Trường hợp 2: 1

3 ≤ a ≤ 1

Ta có: 3 − 2a2 ≥ (a − 2)2 ⇒ M ≤ 5a − 4a2(2 − a) = 4a3− 8a2+ 5a = f (a)

Khảo sát hàm số trên ta được f (a) ≤ f (1) = 1

Từ đây suy ra Mmax = 1 khi a = b = c = 1

Bài 5 Cho hai số dương x, y thỏa mãn 12x2+ 5y2 = 5 Chứng minh rằng:

x + y + 1

xy ≥ 72

Đề thi thử trường THPT Uông Bí

2, y = 1.

Bài 6 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ y ≥ z v`a x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏnhất của:

y + 3y − 1 đến đây ta khảo sát là xong.

Bài 7 Cho x, y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (x

3+ y3) − (x2+ y2)(x − 1) (y − 1)

Đề thi thử THPT Quảng Xương

Lời giải:

Ta sử dụng bổ đề sau : 1

x − 1 ≥ 4

x2 với x > 1Chứng minh bổ đề:

Bất đẳng trên tương đương với : x2 ≥ 4x − 4 ⇔ x2− 4x + 4 = (x − 2)2 ≥ 0

Bài 8 Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x2+ y2+ z2+ 4xyzLời giải:

Giả sử x ≤ y ≤ z ⇒ x ∈

0;13

Ta có : f0(x) = 3x2− x = 0 ⇔ x = 0, x = 1

3.Khảo sát trên nửa khoảng

0;13

27 ⇔ x = y = z = 1

3Bài 9 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = x + y + z + 2 Chứng minh rằng :

√

x +√

y +√

z ≤ 32

√xyz

Đề thi thử trường THPT Trần Quốc Tuấn lần 3

√xyz

Từ (1) , (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 10 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1

 

b + 1c

 

c + 1a

 

b + 1c

 

c + 1a

3

abcĐặt t =√3

 

b + 1c

 

c + 1a

0;13

2 ≤ a ≤ 1 ⇒ 1 − 2a ≤ 0

27 ⇔ a = b = c = 1

3Bài 12 Cho các số dương a, b, c, m, n, p thỏa mãn a + m = b + n = c + p = k Chứng minh rằng :

3a2+ 3b2+ 9a2b2 + 2 =

29b4 − 36b3 + 42b2− 12b + 14Xét hàm số f (x) = 9x4− 36x3+ 42x2− 12x + 14với x ∈ [0, 2]

+

y

√

x+

√x

√

x +

1

√y

√

r x + y2

= 2√2

Suy ra P ≥√

2Vậy Pmin =√

2 ⇔ x = y = 1

2

Bài 15 Cho các số thực dương x, y, zthỏa mãn 4 (x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức :

xy2z2

2Tương tự ta có :

14

√

xy +

14

√

yz +

14

√zx

+ 2

√2

4 .

94

# (1)

Mặt khác từ điều kiện ta suy ra : 3xyz = 4 (x + y + z) ≥ 12√3

Bài 16 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

2ca(b + c) (a + b) ≥ 5

bc (b + c)Suy ra : (a2+ 4bc) (b + c) + a (b2+ c2) ≥ 2abc + 4a√

bc (b + c) ≥ 10abc (AM − GM )Đẳng thức xảy ra khi a = 1

2, b = c =

1

4.

Bài 17 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

r y

z+3

r z

x+

198

Đề thi thử đại học trường THPT Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh

(z + 1)4+ 1(z + 1)3

= x2− x + 1 + y + 1 + z + 1 + 1

(x + 1)3 +

1(y + 1)3 +

1(z + 1)3 ≥ 3

rx

y +3

r y

z +3

r z

x +

198

Mà x2 − x + 1 + y + 1 + z + 1 + 1

(x + 1)3 +

1(y + 1)3 +

1(z + 1)3

≥ 2x − x + y + z + 2 + 1

(x + 1)3 +

1(y + 1)3 +

1(z + 1)3

= x + y + z + 2 + 1

(x + 1)3 +

1(y + 1)3 +

1(z + 1)3

Ta có: (x + x + z) + (y + y + x) + (z + z + y) ≥ 3px3 2y +py3 2z +√3

z2x

⇔ x + y + z ≥px3 2y +py3 2z +√3

z2xSuy ra: x + y + z ≥ 3

rx

y +3

r y

z +3

r z

x (1)Mặt khác theo AM-GM : 1

(x + 1)3 +

1(y + 1)3 +

1

2(x + 1)2Nên suy ra: 1

(x + 1)3 +

1(y + 1)3 +

1(z + 1)3 ≥ 3

4

1(x + 1)2 +

1(y + 1)2 +

1(z + 1)2



− 316

Mà : 1

(x + 1)2 +

1(y + 1)2 +

1(z + 1)2 ≥ 1

xy + 1+

1(z + 1)2 ≥ 3

4Nên : 1

(x + 1)3 +

1(y + 1)3 +

1(z + 1)3 ≥ 9

16 − 3

16 =

3

8(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Bài 18 Cho hai số a, b thỏa mãn 0 < b ≤ a ≤ 4b Chứng minh rằng :

ln a + 7b − a2b + a ≤ ln b + 2

Đề thi thử Đại Học THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội

2 + ab

Bài 19 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab + bc + ca = 3abc.Tìm giá trị nhỏ nhất của :

⇒ a√3

1 − b + c ≤ 3a − ab + ac

3Tương tự ta có:

12c + a + 6

Đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm lần 5

2v2+ 4u2+ 6 +

12u2+ 4v2+ 6

4 ⇔ a = b = c = 2

Bài 22 Chứng minh rằng với mọi 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 ta có:

x√

y − y√

x ≤ 14

Đề thi thử Đại học lần 1 trường THPT Hậu Lộc -Thanh Hóa

Từ đó có điều phải chứng minh

Bài 23 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức:

Bài 24 Cho các số thực dương a, b, c, d sao cho tổng bình phương của chúng bằng 4 Chứng minhrằng:

y = bc

Từ đó suy ra bài toán cần chứng minh tương đương với :







min P = 1max P = 11

6

Bài 26 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab2+ bc2+ ca2 = 3 Chứng minh rằng:

a + 2312Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có:√3

Ta lại sử dụng AM-GM : a4+ 1 + 1 + 1 ≥ 4a

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta được:

a4+ b4+ c4 + 9 ≥ 4(a + b + c) ⇔ a + b + c ≤ a

4+ b4+ c4+ 9

4 ≤ a4+ b4+ c4

Từ đó ta có : 24(a4+ b4+ c4) ≥ a + b + c + 69

Điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài 27 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

a

b + c

π

+

b

c + a

π

+

c

c + a

π

+

c

a + c

π

+

2c

a + b

π

≥ 3Theo Bernoulli :

b + c − 1

π

≥ 1 + π

2a

b + c− 1



⇒ V T ≥ 3 + π

2a

(c − a)2(c + b)(a + b)

!

≥ 3 = V PBài 28 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

z) Bài toán được viết lại thành:

Với x, y, z ≥ 0 v`a xyz = 1 Chứng minh rằng :

⇔ xy + yz + xz ≥ 3 hiển nhiên đúng theo AM-GM.

Bài 29 Cho các số thực x, y thỏa mãn x2+ y2− xy = 1.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của:

√

3 33

√xyz + 6
= √49

3Bài 31 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện :

27khi x = y = z =

13Bài 32 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

nhỏ nhất của :

P ≥ (2x + 3y + 3z)(3x + 2y + 3z)(3x + 3y + 2z)

xyzTheo bất đẳng thức AM-GM ta có : 2x + 3y + 3z ≥ 8px8 2.y3.z3

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại ta có P ≥ 512 khi x = y = z = 1 hay

2+ 4u + 96

3u − 4Xét f (t) = −t2+ 4t + 96

Đặt a = x6, b = y6, c = z6, xyz = 1 khi đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng:

Cho xyz = 1tìm giá trị lớn nhất của :

Bài 35 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

12a2+ bc +

12b2 + ca +

12c2+ ab ≤

Áp dụng tương tự cho các bất đẳng thức còn lại,rồi cộng lại ta có:

1

2a2+ bc+

12b2+ ca +

12c2+ ab ≤ a

2+ b2+ c2 + 2(ab + bc + ca)(ab + bc + ca)2 =



a + b + c

ab + bc + ca

2

Dấu 00=00 xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c

Bài 36 Cho hai số a, b ∈ (0; 1)và a 6= b.Chứng minh rằng:

Bài 37 Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

P = 2x − y − 3z

Đề thi thử lần 2 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn

Lời giải:

Câu này thì dựa vào đánh giá sau: 6 ≥ 2x ≥ 2x − y − 3z ≥ −3(x + y + z) ≥ −9

Bài 38 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:

(

x + y + z = 0

x2+ y2+ z2 = 1 Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức :

"

−r 2

3,

r 23

Dễ dàng tìm được max f (t) = √1

6Bài 39 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 15 1

+ 2011 Tìm giá trịlớn nhất của



= 19

 203

+ 1407715

Từ đây suy ra max P

Bài 40 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhât của :

3r

1(ab + bc)(bc + ca)(ca + ab) ≥ 9

x +√

yz +

√y

y +√

zx +

√z

z +√

xy ≤ 2012

Đề thi thử trườngTHPT Đông Hưng Hà

y +√

zx +

√z

2√4xyz

Từ giả thiết ta có : √4

x +√4

y +√4

z ≤ 4024√4

xyz từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 43 Cho các số thực a, b, cthỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 và a2+ b2+ c2 = 6 Chứng minhbất đẳng thức sau:

ap(b + 2) (b2− b + 2) +

bp(c + 2) (c2− c + 2) +

cp(a + 2) (a2− a + 2) ≥

32

Đề thi thử lần 3 trường chuyên Lê Qúy Đôn Bình Định

a2p(b + 2) (b2− b + 2)

Bài 45 Cho a, b, c ∈ (0; 1] Chứng minh rằng

⇒ 3abc ≥ 2 (ab + bc + ca) − (a + b + c)

2+ 4u + 96

3u − 4Xét f (t) = −t2+ 4t + 96

1 + x3+ y3 + 1

1 + y3+ z3 + 1

1 + z3+ x3 = 1 Chứngminh rằng:

x +1

y)

a3 + 1

b3 + 1

c3 ≥ 8abc + 3

abcĐặt t = abc ta khảo sát hàm số f (t) = 8t +3

t, t ≤

14Bài 49 Cho a, b, c là các số thực a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 50 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x2− xy + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất,giátrị nhỏ nhất của biểu thức :

3; 1] ta được max F = 6 − 2

√

6 khi x = y = ±p−2 + 2√6min F = 11

15 khi x = −y = ±

1

√3Bài 51 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ c và

⇒ max P = 6 ⇔ (0; 0; 0) , (1; 0; 0) và các hoán vị của nó

Bài 53 Cho ba số thực x, y, zthỏax > 1, y > 2, z > 3 và 1

A = (x − 1)(y − 2)(z − 3)

Đề thi thử trường THPT Chuyên Lí Tự Trọng Cần Thơ

4 khi x =

3

2, y = 3, z =

92Bài 54 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = 9

2 Tìm giá trị lớn nhất của:

a + 2b + 3 +

12b + 3c + 3+

⇒ T ≤ 1

mnp =

13Vậy Tmax = 3 khi a = 2b = 3c = 3

Bài 55 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của S là 3

Bài 56 Cho a, b ∈

1;32



và c ∈  1

2;

34

Tìm giá trị lớn nhất của:

P =a



2√

a −√b

+ b



2√

b −√a

+ 2√

c 3√

c +√2
+ 5

#.Khi đó biểu thức cần chứng minh tương đương với:

3 + 22y − x

+ 3z2+ 2z + 5

Vậy min P = 5 khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

Bài 57 Cho a, b, c là các số thực thỏa

(

a > −1, b > −2, c > −3(a + 1) (b + 2) + (c + 3) (b + 2) + (c + 3) (a + 1) = 3tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(a + 1)(b + 2)(c + 3) +

4(a + b + 3)(b + c + 5)(c + a + 4)

Đề thi thử đại học trường THPT Thuận Thành 3

4

3pxyz(xy + yz)(yz + zx)(zx + xy) =

3

2.Vậy min S = 3

Đề thi thử THPT Hòn Gai-Quảng Ninh

2 .

Bài 59 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng :



≥ 2 (x + y + z)Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 60 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 < a; b; c ≤ 1 Chứng minh rằng:



1 + 1abc

(a + b + c) ≥ 3 + 1

a +

1

b +

1c

Đề thi thử trường THPT Tây Thụy Anh –Thái Bình

P = a

√a

√

b2+ c2 + b

√b

√

c2+ a2 + c

√c

√

c2 + a2 + c

√c

√

a2+ b2 = a

√a

√

1 − a2 + b

√b

√

1 − b2 + c

√c

2 (a

2+ b2+ c2) = 3

√32Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a = b = c =

√3

3 .

Bài 62 Cho các số thực x, y, z ≥ 0 không có hai số nào đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

y2+ z2 + 2

r2yz

y2 + z2.2

r2yz

y2+ z2 = 6Đẳng thức xảy ra khi : y

2+ z2

yz = 2

r2yz

Điều phải chứng minh

Bài 64 Cho các số thực dương x, y, z thỏa 13x + 5y + 12z = 9Tìm giá trị lớn nhất của:

A = xy2x + y +

3yz2y + z +

6zx2z + x

Đề thi thử trường THPT Chuyên Lam Sơn -Thanh Hóa

Lời giải:

Ta có theo AM-GM thì: x + x + y ≥ 3px3 2y → xy

2x + y ≤

3pxy2

3 ≤ x + 2y

9Mà

2z + x ≤ 2√3

zx2 ≤ 2(z + 2x)

3Suy ra A ≤ x + 2y

Bài 65 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = 1abc − 3 (a + b + c)

Đề thi thử chuyên Hà Tỉnh lần 3

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

(ab + bc + ca)2 ≥ 3abc (a + b + c) ⇔ 1

3abc − (a + b + c) ≥ 0Bài 66 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn :x2+ y2+ z2 = xyz.Chứng minh rằng:

xy + yz + zx + 9 ≥ 4 (x + y + z)Thpt Trần Hưng Đạo –Hưng Yên

Lời giải:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :4 (x + y + z) − 9 ≤ xy + yz + zx

Ta có: (x + y + z)2 ≤ 3 (x2+ y2 + z2) = 3xyz, xy + yz + zx ≥ 3q3

(xyz)2Khi đó : 4 (x + y + z) − (xy + yz + zx) ≤ 4√

xyz − 33

q(xyz)2Đặt t = xyz ≥ 3q3

Thật vậy f0(t) = 0 ⇔ t = 0 , t = 27.Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh

Bài 67 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x2+ y2+ z2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(y + z)2 +

y(z + x)2 +

z(x + y)2

Đề thi thử đại học lần 2-THPT Tỉnh Gia 1-Thanh Hóa

(y + z)2 +

y(z + x)2 +

z(x + y)2 ≥ 27

4(x + y + z)3 ≥ 3

√34Đẳng thưc xảy ra khi:x = y = z

Bài 68 Cho hai số thực dương a, b Chứng minh rằng:

⇒ điều phải chứng minh.

Bài 69 Cho a, b, c là ba số thực dương.Chứng minh rằng:

2√3ap(a + b) (a + c) +

6bp(a + b) (b + c) +

6cp(c + a) (b + c) < 5

√3

2√3cp(c + a) (b + c) ≤ 5

c

c + a +

3c

c + bCộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức không xảy ra được nên 2

√3ap(a + b) (a + c) +

6bp(a + b) (b + c) +

6cp(c + a) (b + c) < 5

√3

Bài 70 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:a2+ b2+ c2+ ab − 2bc − 2ca = 0 Tìm giá trị nhỏnhất của :

a + b.Khi đó ta sẽ khảo sát hàm số y = 4x

2+ 2x với x ∈ 1

2;

32



Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của y = 2khi x = 1

2 ⇔ a = b = c

a + 231 2Thi? ??t lập bất đẳng thức tương tự cộng lại ta có:√3

Ta lại sử dụng AM-GM : a4+ + + ≥ 4a

Thi? ??t lập bất đẳng thức tương...

Đề thi thử đại học trường THPT Thuận Thành

4

3pxyz(xy + yz)(yz + zx)(zx + xy) =

3

2.Vậy S = 3

Đề thi thử... −√34

!hoặc (x; y) = 2 −

√3

4 ;

2 +√34

Đề thi cao đẳng khối A-2010

83x + y ≥ 8Đẳng thức xảy khi: x = y = 1

4.Bài