Khi sắp khởi hành thỡ 1 xe phải điều đi làm cụng việc khỏc, nờn mỗi xe cũn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định.. Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt vớ
Trang 1ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MễN TOÁN
NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian 120 phỳt
Bài 1:( 2,0 điểm) Cho biểu thức : A 3 1 .a 9
−
với a > 0, a ≠ 9
a Rút gọn biểu thức A.
b Tỡm x nguyờn để A nguyờn.
B
ài 2: (1.5 điểm).
Một đoàn xe vận tải nhận chuyờn chở 15 tấn hàng Khi sắp khởi hành thỡ 1 xe phải điều
đi làm cụng việc khỏc, nờn mỗi xe cũn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự
định Hỏi thực tế cú bao nhiờu xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng mỗi xe
chở như nhau)
Bài 3: (2.0 điểm) Cho phương trỡnh: x2 - 2(m-3)x - 2(m-1) = 0 (1)
a Giải phương trỡnh khi m=1
b Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của m;
c Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trỡnh (1) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của x12 + x22
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường trũn (O; R) và dõy AB cố định (AB < 2R) Từ điểm C bất
kỳ trờn tia đối của tia AB, kẻ tiếp tuyến CD với đường trũn ( D ∈(O)) Gọi I là trung điểm của dõy AB Tia DI cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai K Kẻ đường thẳng KE// AB ( E ∈(O) Chứng minh rằng:
a) CD2 = CA.CB
b) Tứ giỏc CDOI nội tiếp
c) CE là tiếp tuyến của đường trũn (O)
d) Khi C chuyển động trờn tia đối của tia AB thỡ trọng tõm G của tam giỏc ABD chuyển động trờn một đường trũn cố định
Bài 5: (1,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức:
a +2b 2ab 2a 4b 2 0− + − + ≥ với mọi số thực a, b
-
Hết-Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……….
Giám thị 1: ………… Giám thị 2: ……….
Đáp án và biểu điểm
MÃ ĐỀ: 123
Phũng GD- ĐT Đan Phượng
Trường THCS Phương Đỡnh
Trang 2a A
−
.
a A
( 3)( 3)
A
=
( 9).( 3)( 3)
( 3)( 3)
A
=
9
a
A
a
+
=
b A a 9
a
+
= = 1+ 9
a
A nguyªn khi 1+ 9
a nguyªn, mµ 1 nguyªn nªn 9
anguyªn ⇔ a ∈ ¦(9)
}
{ 9; 3; 1;1;3;9
a∈ − − −
§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn a > 0, a ≠ 9 vµ a Z∈ ta lo¹i a=-9, a=-3,a=-1,a=9
KL: Nh÷ng gi¸ trÞ a thâa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: a∈{ }1;3
0.5 ® 0.25 ® 0.25 ® 0.25 ®
0.25 ® 0.25 ®
2
Gọi số xe thực tế chở hàng là x xe ( x ∈ N*) thì số xe dự định chở hàng
là x +1 ( xe )
Theo dự định mỗi xe phải chở: 15
x 1 + ( tấn ) Nhưng thực tế mỗi xe phải chở : 15
x ( tấn )
Ta có phương trình : 15
x
-1
15 +
Giải phương trình ta được : x1 = - 6 ( loại ) ; x2 = 5 ( nhận)
Vậy thực tế có 5 xe tham gia vận chuyển hàng
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
3
a x2-2(1-3)x-2(1-1)=0
⇔x2+4x=0 ⇔ x(x+4)=0
0
4
x x
=
⇒ = −
b ∆ '= m2 - 4m + 7 = (m-2)2 + 3 > 0 : Phương trình luôn có 2 nghiệm
phân biệt với mọi giá trị của m
c Áp dụng hệ thức Viet: 11 2 2 ( )
x x m 3
x x 2 m 1
Ta có: x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2
= 4(m - 3)2 + 4(m - 1)
= 4m2 - 20m + 32
0.5® 0.25® 0.5®
0.25®
0.25®
MÃ ĐỀ: 123
Trang 3=(2m - 5)2 + 7 ≥ 7 Đẳng thức xảy ra ⇔2m – 5 = 0⇔m = 2,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 là 7 khi m = 2,5
0.25®
4
Ta cã
( )
Luôn đúng với mọi a, b
Vëy a2 +2b 2ab 2a 4b 22 − + − + ≥ ∀ 0 a b,
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
5
Vẽ hình đúng
a Chứng minh:CD 2 = CA.CB
b Tứ giác CDOI nội tiếp:
● Cm: · CDO 90 = 0 (CD là tt của (O))
● Cm: · CIO 90 = 0 ( quan hệ về góc giữa đk và dây)
● Do đó · CDO CIO 180 + · = 0 , hai góc đối diện nhau
● Kluận đúng,
c Cminh CE là tt của (O):
● Cm ·COD COE= ·
● Suy ra CE là tt của (O)
d C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của tam giác ABD chuyển
động trên một đường tròn cố định.
● G là trọng tâm ∆ABD thì IG = 1
3 ID, kẻ GO’//OD(K thuộcOI), suy ra IO’ = 1
3OI ( kđổi )
⇒O’ cố định, và O’G = 1
3R không đổi
● Kết luận G ∈(O’; 1
3R)
0.25đ
0,75đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
0 5đ
0 5đ
0 25đ
0 25đ
NĂM HỌC 2011 – 2012 Thời gian 120 phút
MÃ ĐỀ: 321
Phòng GD- ĐT Đan Phượng
Trường THCS Phương Đình
Trang 4
Bài 1:( 2,0 điểm) Cho biểu thức : B 3 1 .b 9
−
với b > 0, b ≠ 9
a Rút gọn biểu thức B
b.Tỡm b nguyờn để B nguyờn.
B
ài 2: (1.5 điểm).
Một đoàn xe vận tải nhận chuyờn chở 30 tấn hàng Khi sắp khởi hành thỡ được bổ sung thờm 2 xe, nờn mỗi xe chở ớt hơn 0,5 tấn hàng so với dự định Hỏi lỳc đầu đoàn xe cú
mấy chiếc? (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
Bài 3: (2.0 điểm) Cho phương trỡnh: x2 - 2(n-3)x - 2(n-1) = 0 (1)
a Giải phương trỡnh khi n =1
b.Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của n
d Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trỡnh (1) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của x12 + x22
Bài 4 :(3,5 điểm) Cho đường trũn (O; R) và dõy MN cố định (MN < 2R) Từ điểm E bất
kỳ trờn tia đối của tia MN, kẻ tiếp tuyến EF với đường trũn ( F ∈(O)) Gọi I là trung điểm của dõy MN Tia FI cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai K Kẻ đường thẳng KL// MN ( L ∈(O)) Chứng minh rằng:
a EF2 = EM.EN
b Tứ giỏc EFOI nội tiếp
c EL là tiếp tuyến của đường trũn (O)
d Khi E chuyển động trờn tia đối của tia MN thỡ trọng tõm G của tam giỏc MNF chuyển động trờn một đường trũn cố định
Bài 5: (1,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức:
-
Hết-Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……….
Giám thị 1:……… Giám thị 2: ……….
Đáp án và biểu điểm
b A
−
0.5 đ
MÃ ĐỀ: 321
Trang 51 3 1 . 9
b A
( 3)( 3)
A
=
( 9).( 3)( 3)
( 3)( 3)
A
=
9
b
A
b
+
=
b A b 9
b
+
= = 1+ 9
b
A nguyªn khi 1+ 9
b nguyªn, mµ 1 nguyªn nªn 9
b nguyªn ⇔ b ∈ ¦(9)
}
{ 9; 3; 1;1;3;9
b∈ − − −
§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn b > 0, b ≠ 9 vµ x Z∈ ta lo¹i b=-9, b=-3,b=-1,b=9
KL: Nh÷ng gi¸ trÞ b thâa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: b∈{ }1;3
0.25 ® 0.25 ® 0.25 ®
0.25 ® 0.25 ®
2
Gọi số xe lúc đầu là x ( x ∈ N*)
Theo dự định mỗi xe phải chở: 30
x ( tấn ) Nhưng thực tế mỗi xe phải chở : 30
x 2 + ( tấn )
Ta có phương trình : 30
x - 30
x 2 + =
1
2 Giải phương trình ta được : x1 = -12 ( loại ) ; x2 = 10 ( nhận)
Vậy lúc đầu đoàn xe có 10 chiếc
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
3
a x2-2(1-3)x-2(1-1)=0
⇔x2+4x=0 ⇔ x(x+4)=0
0
4
x x
=
⇒ = −
b ∆ '= n2 – 4n + 7 = (n-2)2 + 3 > 0 : Phương trình luôn có 2 nghiệm
phân biệt với mọi giá trị của n
c Áp dụng hệ thức Viet: 11 2 2 ( )
x x n 3
x x 2 n 1
Ta có: x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2
= 4(n - 3)2 + 4(n - 1)
= 4n2 - 20n + 32
=(2n - 5)2 + 7 ≥ 7
Đẳng thức xảy ra ⇔2n – 5 = 0⇔n = 2,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 là 7 khi n = 2,5
0.5® 0.25® 0.5®
0.25®
0.25®
0.25®
Trang 6Ta cã
( )
Luôn đúng với mọi x, y
VËy x2 +2y2 −2xy 2x 4y 2+ − + ≥ ∀ 0 x y,
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
4
Vẽ hình đúng
a Chứng minh:EF 2 = EM.EN
b Tứ giác EFOI nội tiếp:
● Cm: · 0
EFO 90 = (EF là tt của (O))
● Cm: · 0
EIO 90 = ( quan hệ về góc giữa đk và dây)
● Do đó · · 0
EFO EIO 180 + = , hai góc đối diện nhau
● Kluận đúng,
c Cminh EL là tt của (O):
● Cm ·EOF EOL= ·
● Suy ra EL là tt của (O)
d E chuyển động trên tia đối của tia MN thì trọng tâm G của tam giác MNF chuyển
động trên một đường tròn cố định.
● G là trọng tâm ∆MNF thì IG = 1
3 IF, kẻ GO’//OF (O’ thuộc OI), suy ra IO’ = 1
3OI ( kđổi )
⇒ O’ cố định, và O’G = 1
3R không đổi
● Kết luận G ∈(O’; 1
3R)
0.25đ
0,75đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
0 5đ
0 5đ
0 25đ
0 25đ