Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn- Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau..

Căn thức và biến đổi căn thức

1 CĂN THỨC VÀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC

A B

thì điều kiện xác định của biểu thức là B>0

(vì B ở mẫu nên B≠0

thì điều kiện xác định của biểu thức là

00

A B

x x

−

−

có nghĩa khi và chỉ khi

A B

x x

x x

thì điều kiện xác định của biểu thức là cả A

và B

cùng dấu,

tức là

00

A B

x x

x x

x x

Căn thức và biến đổi căn thức

Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

−+

x x

x

−

− +

+

1.2 BIẾN ĐỔI, ĐƠN GIẢN CĂN THỨC

1.2.1 Các công thức biến đổi công thức

Chú ý: Khi thực hiện biến đổi, đơn giản biểu thức cần chú ý đến việc đưa biểu thức trong căn

Căn thức và biến đổi căn thức

Để rút gọn một biểu thức chứa căn thức ta làm như sau:

- Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu đề bài chưa cho)

- Tìm các nhân tử để thu gọn, đơn giản được

- Tìm các lượng liên hiệp (nếu có)

a≠

Căn thức và biến đổi căn thức

Bài 2 Cho biểu thức

3

x P

x y

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một

ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

- Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn

- Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

x y

- Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)

X x Y y

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

19783

3.2.1 Công thức nghiệm đầy đủ

Để giải phương trình bậc hai ta làm như sau:

thì phương trình vô nghiệm

3.2.2 Công thức nghiệm thu gọn

Để giải phương trình bậc hai ta làm như sau:

của phương trình đã cho.

- Biện luận bài toán:

+ Nếu hệ số a có chứa tham số m thì ta xét các trường hợp sau:

* TH1: a=0

ta tìm giá trị của tham số m rồi thế vào phương trình đã cho để được một phương trình mới (thường là phương trình bậc nhất một ẩn), giải phương trình mới này tìm nghiệm

.Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆ =0

.Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ >0

.+ Nếu a là một số thì ta biện luận giống như TH2 trên

- Kết luận

• m=1

, phương trình đã cho có nghiệm

34

x=

• m≠1

117

m>

, phương trình đã cho vô nghiệm

117

m=

, phương trình đã cho có nghiệm kép

117

Bài 4 Cho phương trình x2+2(m−1)x m+ 2+ =4 0

.a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1 và tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Hãy tìm nghiệm kép đó

Bài 5 Cho phương trình (m−1)x2−2(m−3)x m+ − =2 0

a) Giải phương trình khi m=2

.b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng -1 và tìm nghiệm còn lại

c) Xác định m để phương trình vô nghiệm

Bài 6 Cho phương trình

x − x+ m+ =

a) Giải phương trình khi m=0

Phương trình bậc hai một ẩn

b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tìm nghiệm còn lại

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 7 Cho phương trình

2

2x −7x−2m+ =3 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Giải phương trình khi m= −1

Bài 8 Cho phương trình mx2+2(m−2) x m+ + =1 0

a) Giải phương trình khi m=1

.b) Xác định m để phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 9 Cho phương trình (m+1)x2−2(m−1)x m+ − =3 0

a) Giải phương trình khi m=0

.b) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm kép Hãy tìm nghiệm kép đó

Bài 10 Cho phương trình (2−m x) 2−2 1( −m x) + − =3 m 0

a) Giải phương trình khi m=3

.b) Xác định m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Bài 11 Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm

Nếu phương trình bậc hai

- Tìm tổng và tích hai nghiệm thông qua các hệ số của phương trình

Phương trình bậc hai một ẩn

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P< ⇔0 ac <0

• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ

000

P S

P S

và P u v= . =169c) S = + =u v 10

và P u v= . = −39d) S = + = −u v 33

và P u v= . =252

Bài 3 Cho phương trình x2−2(m+1)x+4m=0

.a) Xác định m để phương trình trên có nghiệm kép Hãy tìm nghiệm kép đó

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm dương

Bài 4 Cho phương trình

2

3 0

.a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Khi phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 2 2)

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa tích hai nghiệm không lớn hơn tổng hai nghiệm

Bài 6 Cho phương trình x2−2(m+2) x m+ 2+4m+ =3 0

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt 1

x

và 2

x

với mọi m.b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm 1

Bài 7 Cho phương trình x2−(4m−1)x+3m2−2m=0

Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2

Bài 14 Cho phương trình 8x2−4(m−2) x m m+ ( − =4) 0

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phục thuộc vào tham số m

Bài 15 Cho phương trình

4 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH



Bài 1 Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h

thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu

Bài 2 Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước Sau khi

được 1/3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút

Bài 3 Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B

trở về A Thời gian xuối dòng ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêngcủa canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau

Bài 4 Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km Biết thời gian xuôi dòng

nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là 6 km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược

Bài 5 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu người thứ nhất

làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai thì cả hai người chỉ làm được 3/4 công việc Hỏi một người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?

Bài 6 Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được 4/5 hồ Nếu vòi A chảy trong 3

giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được 1/2 hồ Hỏi nếu chảy một mình mỗi vòi chảy trong bao lâu mới đầy hồ

Bài 7 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một mình

cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể?

Bài 8 Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức

15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy Tính xem trong tháng giêng mỗi

tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 9 Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người Dân số tỉnh A năm nay tăng

1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân của của hai tỉnh năm nay là 4.045.000 người Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?

Bài 10 Một khu vường hình chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm lối đi xung quanh

vườn (thuộc đát trong vườn) rộng 2 m Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2

Bài 11 Cho một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5m thì diện

tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bài 12 Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích

tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông

Bài 13 Tìm một số tự nhiện có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số

hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị

Bài 14 Tìm một số có hai chữ số, biết rằng só đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu

số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3

Bài 15 Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số

bằng 1/4 Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24 Tìm phân số đó

Bài 16 Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1 Nếu bớt 1

vào cả tử và mẫu, phân số tăng 3/2 Tìm phân số đó

, hàm số đồng biến với mọi x>0

, nghịch biến với mọi x<0

- Khi a<0

, hàm số đồng biến với mọi x<0

, nghịch biến với mọi x>0

y= − x

Gọi R

là giao điểm của hai đường thẳng AB

và CD.a) Chứng minh

AQ =QB QC

.b) Chứng minh tứ giác

cắt đường thẳng BI

tại C Chứng minh O I' là tia phân giác của · 'AO C

Bài 3 Cho đường tròn (O; r) và hai đường kính AB , CD vuông góc với nhau Trên cung nhỏ DB,

lấy điểm N (N khác B và D) Gọi M là giao điểm của CN và AB

a) Chứng minh ODNM là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AN.MB = AC.MN

c) Cho DN = r Gọi E là giao điểm của AN và CD Tính theo r độ dài các đoạn ED, EC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2013-2014 Môn Toán

x 2

+

=+

Tính giá trị của A khi x = 36

Bài IV (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

Một số đề thi

3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM

là tam giác vuông cân tại C.

Bài V (1.0 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y≥

, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x yM

xy

+

=

1

11

a a

a a M

a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa và rút gọn M.

b) So sánh M với 1.

Bài 2 (2 điểm):

Cho phương trình: x 2 -3x + m = 0 (x là ẩn, m là tham số)

a) Giải phương trình với m = -10

b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn

11

3 2 1 2

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 66m Nếu tăng chiều dài lên 3 lần và giảm chiều rộng một nửa thì chu

vi hình chữ nhật mới là 128m Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn ban đầu.

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O;R) có cạnh BC cố định còn điểm A thay đổi trên đường tròn (O) Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp được đường tròn.

b) Kéo dài AO cắt đường tròn tại F Chứng minh BF//CE và góc FAC=BCE

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì độ dài đoạn AH không đổi.

Bài 5 (0,5 điểm):

Cho a + b = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a 2 + b 2 )