vô địch bất đẳng thức

Yêu cầu: Chứng minh các bất đẳng thức hệ quả trên, coi nh bài tập... Sau đây xin đợc giới thiệu tới bạn đọc một số cách nh sau:Theo bất đẳng thức AM – GM thì biểu thức trong ngoặc không

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi THCS và THPT

I

Một số bất đẳng thức cơ bản

1 Bất đẳng thức AM - GM (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng vàtrung bình nhân)

• Nội dung bất đẳng thức:

Cho n số thực không âm a1, a2, a3,…, an (n∈Ơ,n≥2) Ta có bất đẳng thức sau:

a

a n

i

i i

a

a n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = = a n

• Bất đẳng thức trên là dạng tổng quát với n số thực dơng, khi cho n nhận các giá trị đặc biệt, tanhận đợc những bất đẳng thức rất quen thuộc sau đây:

b a+ ≥ (ab>0) (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 1 hay a = b)

Ta cũng chứng minh đợc bất đẳng thức tổng quát hơn: a 1 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = = a n

Yêu cầu: Chứng minh các bất đẳng thức hệ quả trên, coi nh bài tập

Ví dụ 1 Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = 1 Chứng tỏ rằng: − 2≤ + ≤x y 2

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c –

x+ =y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÕt thøc (x + y).



 − ≥

 , điều này làm ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM.

áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm x và (2 – x) ta đợc:

41

32

2

x

x x

b) ( )

4 2 2

11

8

x

x x

2

x x

x

y f x

++

Có rất nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit Sau đây xin đợc giới thiệu tới bạn đọc một số cách nh sau:

Theo bất đẳng thức AM – GM thì biểu thức trong ngoặc không nhỏ hơn 6, ta có bất đẳng thức (1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z= = ⇔ = =a b c

Bất đẳng thức (2) đúng, theo hệ quả (3) của bất đẳng thức AM – GM

Ngoài ra còn nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbitt mà không cần dùng bất đẳng thức

AM – GM Ví dụ: Biến đổi tơng đơng:

Và còn rất nhiều các cách chứng minh khác nữa –

Ví dụ 8 (Đề thi TS lớp 10 trờng ĐHSP Hải Phòng năm học 2003 – 2004)

Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

Ví dụ 9 (Đề thi học sinh giỏi lớp 9thành phố Yên Bái năm học 2011 – 2012)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: ( ) 5 32

Với giá trị x thuộc tập xác định, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

VÝ dô 10 (§Ò thi häc sinh giái líp 9 tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2011 – 2012)

Cho x, y, z lµ ba sè d¬ng tháa m·n xyz = 1 Chøng minh r»ng:

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z = 1 –

b) (§Ò thi Violympic cÊp quèc gia dµnh cho líp 9 n¨m häc 2011 – 2012)

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = a2b 3

21

2

a b

b a b

12

31

2

a b

a b b

b b a b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2013

Giải Vì x + y = 1 nên (x + y)3 = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1

Vế trái của bất đẳng thức có thể viết lại nh sau:

2 2 6

3 3 11

2 2 6

3 3 11

Ví dụ 16 Cho tam giác ABC Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, p là nửa chu vi và S là

diện tích tam giác Chứng minh:

Bất đẳng thức (*) đúng theo hệ quả (2) của bất đẳng thức AM – GM.

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (**) là đúng Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác thì:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều

Chú ý: Dựa vào bất đẳng thức (2) ta có thể chứng minh 1 1 1 2 2 2 9

Tạo thêm hai bất đẳng thức nữa, ta rút ra bất đẳng thức (3)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều

Chú ý: Bất đẳng thức (3) chính là bất đẳng thức sau: abc≥8( p a p b p c− ) ( − ) ( − )

d) Ta có

3(i)2(4)

Bất đẳng thức (i) chính là bất đẳng thức Nesbitt cho ba số dơng

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều

Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (ii) Trớc hết, ta có bất đẳng thức phụ sau:

“Với mọi số dơng m, nếu có 0 < a < b thì cóa a m

Nên abcp≥8S2 ⇔abc≥8( p a p b p c− ) ( − ) ( − ) (đúng, theo kết quả câu c)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều –

Ví dụ 17 (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Đại học Vinh năm học 2009 – 2010 vòng 2)

Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 Chứng minh rằng:

Ví dụ 18 (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Lê Hồng Phong, TP HCM năm học 2000 – 2001)

Cho ,x y>0 và x y+ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 1 2 2 4xy

= + ≥ ì = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Lời giải quả thật ngắn gọn đến khó tin phải không các bạn Nhng thực chất đây là một lời giải sai! Các bạn không tin ? Nào, các bạn cùng để ý nhé, khi thay x = y vào x 1 1

y

+ ≤ thì ta sẽ có ngay1

216

x y

x x

Ví dụ 20 Cho các số dơng x, y thỏa x y+ ≥4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

3 4 24

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2 –

Ví dụ 21 (Đề thi đại học khối D năm 2008)

Cho ,x y≥0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2 –

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

Kĩ thuật Cauchy ngợc dấu

Kĩ thuật Cauchy ngợc dấu là một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khá mới mẻ và độc

đáo Cơ sở của kĩ thuật này là: “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm, ta đợc mộtbất đẳng thức mới ngợc chiều với bất đẳng thức đã cho”

Bây giờ chúng ta sẽ xét các ví dụ cụ thể sau:

Ví dụ 21 (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Phan Bội Châu, Nghệ An năm học 2007 – 2008)

2/ Hoµn toµn t¬ng tù ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n sau:

VÝ dô 22 Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a, b, c, d tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b+ c + d = 4 ta cã:

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = d = 1 –

VÝ dô 23 Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c, d d¬ng cã tæng b»ng 4 th×:

Giải Theo bất đẳng thức AM – GM: ( 2 ) 2 2 2

11

Thực hiện tơng tự với b, c và d rồi cộng vế các bất đẳng thức lại ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1 –

Ví dụ 24 Chứng minh rằng với mọi số dơng a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 4 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. –

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d –

2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là bất đẳng thức do ba nhà toán học nổi tiếng: Cauchy(ngời Pháp), Bunyakovksy (ngời Nga), Schwarz (ngời Đức) phát minh ra, nên nó còn có các tên gọikhác sau đây: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz (viết tắt làbất đẳng thức CBS) hay bất đẳng thức Schwarz Tuy nhiên ngời Việt Nam hay gọi là bất đẳng thứcBunhiacopxki Đây là cách gọi không đúng và có sự nhầm lẫn

Mặc dù có những tên gọi khác nhau, nhng nội dung của bất đẳng thức nh sau:

• Nội dung của bất đẳng thức: Cho hai bộ n số thực ( )

- Khi n = 3: ( 2 2 2) ( 2 2 2) ( )2

a + +a a b + +b b ≥ a b +a b +a b (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∃ ∈k Ă :a1=kb a1, 2 =kb a2, 3 =kb3)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∃ ∈k Ă :a i =kb i, ∀ =i 1,n

Yêu cầu: Chứng minh các bất đẳng thức hệ quả trên, coi nh bài tập.

Ví dụ 27 Chứng minh bất đẳng thức Nesbitt cho 3 số dơng.

Giải Sử dụng hệ quả (2) (bất đẳng thức Schwarz) ta có:

VÝ dô 28 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: y=3u+8v víi u2+4v2 =100.

Gi¶i Ta chän c¸ch t¸ch 3u vµ 8v sao cho vÕ ph¶i xuÊt hiÖn u2+4v2

Ta cã: 3u+ ≤8v 3u+8v = 3.u+4.2v ≤ (32+42) (u2+4v2) =50

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi

3 8 50

64

b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt c¶u hµm sè f x( ) =2x+ 5−x2 .

b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f x( ) = x2+ +1 2x2− +4 21 3− x2 .

c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cñaδ th× hµm sè ( ) 1 2 1 2

(do hệ quả (1) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và hằng đẳng thứcsin2α +cos2α = ∀1, α )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 5 1 2 2 2 1

4 x x 2 y y z z

(bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Giải Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì:

Ví dụ 33 Cho x, y, z là ba số thực thỏa hệ

163

2 2

316

.3

Ví dụ 34 Cho a c> >0, b c> >0 Chứng minh rằng: c a c( − +) c b c( − ≤) ab

Giải áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

ab ab

Chứng minh: Chứng minh tơng tự nh trên hoặc ta cũng có thể chứng minh bằng hệ quả (1) nh trên

hoặc theo cách sau đây:

2 2

+ + − + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c= = –

Chú ý: Bạn đọc có thể giải bài toán trên bằng phơng pháp đổi biến:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = = a n –

Ví dụ 39 Giả sử a, b, c là các số thực dơng, chứng minh rằng:

94

VÝ dô 40 (Iran Mathematical Olympiad 1998 – Iran MO 1998)

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z = 1 –

VÝ dô 42 (International Mathematical Olympiad Shortlist 1993 – IMO Shortlist 1993)

Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a, b, c, d:

4

23

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = d –

VÝ dô 43 Chøng minh r»ng nÕu a2+2b2+9c2 =3 th× a+2b+9c≤6.

Giải Ta thấy: 1 1.1, 2 = 2 2, 9 = 3.3= Từ đó ta suy ra cách làm nh sau:

⇒ + + ≤ + + = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c= = –

( ) ( ) ( )

2 2

Dấu “=” trong tất cả các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi a = b = c –

Ví dụ 48 Cho các số thực , , x y z≥0, x y z+ + ≤6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

ứng dụng của các bất đẳng thức cơ bản

Chúng ta đã đợc học hai bất đẳng thức cổ điễn, đó là bất đẳng thức AM – GM và bất đẳngthức Cauchy – Schwarz Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz còn có dạng mở rộng hơn nữa– bất đẳng thức Holder Nội dung của bất đẳng thức này nh sau:

Ngoài ba bất đẳng thức cổ điển trên, ta còn có các bất đẳng thức rất quan trọng sau và là bất

đẳng thức xuất phát của nhiều bất đẳng thức khác:

1/ a2n ≥0, ∀ ∈a Ă , n∈Ơ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=0

2/ a ≥0, ∀ ∈a Ă Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=0

3/ a≥0, ∀ ≥a 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=0

4/ a + ≥ +b a b, ∀a b, ∈Ă Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab≥0

5/ a − ≤ −b a b, ∀a b, ∈Ă Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab≥0

6/ a+ b≥ a b+ , ∀a b, ≥0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=0hoặc b=0

7/ a− b≤ a b− , ∀ ≥ ≥a b 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = 0 hoặc a = b

Bây giờ, ta sẽ xét đến các ứng dụng của chúng, không những trong việc chứng minh bất

đẳng thức mà còn dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của bài toán đại số cũng nh bài toánhình học, ứng dụng trong việc giải phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình, hệ bất ph-

ơng trình và nhiều dạng toán khác…

1 Chứng minh bất đẳng thức – Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểuthức

Ví dụ 52 a) Chứng minh: bc ca ab a b c, a b c, , 0

b) (Canada Mathematical Olympiad 2002 – Canada MO 2002)

Chứng minh rằng với mọi , , x y z>0, ta có: x3 y3 z3 x y z

yz+zx +xz ≥ + + .

Giải.

a + b ≥ a bì = Tơng tự: bc ab 2 ,b ca ab 2a

a + c ≥ b + c ≥ Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Cách 2: Sử dụng hệ quả (2) bất đẳng thức AM – GM:

Cách 2: Đa bất đẳng thức đã cho về dạng: x4 +y4 + ≥z4 xyz x y z( + + ) (đúng, xem Ví dụ 3.) –

Ví dụ 53 Giả sử , , x y z là các số dơng thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng:

≥ ì ì = ì = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 –

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab = 1 hoặc a = b –

1 3 abc 3 abc abc 1 abc

≥ + + + = + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

c) Tổng quát: Cho n số thực không âm a a1, , ,2 a Chứng minh: n

n

n a a a a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = = a n –

Ví dụ 56 (IMO – Poland đề nghị)

Chứng minh rằng nếu các số thực , , x y z thỏa mãn điều kiện 2 2 2

Do đó ⇒ + + −x y z xyz≤ 4 2+ y z yz2 2( − ≤1) 4 2= Ta có bất đẳng thức càn chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi trong ba số , ,x y z có hai số bằng 1 và một số bằng 0 –

Ví dụ 57 Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

• Giả sử mệnh đề (1) đúng với n k k= ( ∈Ơ,k≥3) , nghĩa là a1 + a2 + + a k ≥ a1+ + +a2 a k .

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là ta phải chứng minh:

Bạn đọc áp dụng bất đẳng thức trên khi n = 3, ta sẽ tìm đợc giá trị nhỏ nhất của hàm số –

Ví dụ 58 Cho , , a b c>0, a b c+ + =3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1 –

Ví dụ 59 Cho , , x y z là ba số thực thỏa mãn xyz=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Cách 1: (Xem Ví dụ 23.)

Cách 2: Theo hệ quả (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

Ví dụ 61 (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 thành phố Yên Bái năm học 2011 – 2012)

Cho 2011 số không âm x x1, , ,2 x n thỏa mãn x x1 2 x n =1 Chứng minh rằng:

1 1 2 1 n 1 2

Giải Không quá khó cho các bạn nhận ra bất đẳng thức này chính là một trờng hợp đặc biệt của bài

toán tổng quát ở Ví dụ 55 với n = 2011 –

2 Những ứng dụng của bất đẳng thức trong cực trị hình học

Cùng với những bất đẳng thức cơ bản trên, để làm đợc những bài toán cực trị về hình học, ta cầnnắm vững thêm một số bất đẳng thức sau:

(1) Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AB BC− ≤AC≤ AB BC+

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B, C

(2) Cho đờng thẳng d, một điểm A không thuộc đờng thẳng d và điểm B nằm trên đờng thẳng d

Từ A kẻ AH ⊥d tại H Ta có: AB AH≥

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B H≡

Một điểm C khác B cũng nằm trên d Ta có: AB AC≥ ⇔BH CH≥

(3) Xét tam giác ABC Ta có: góc B > góc C ⇔ AC>AB

(4) Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là bán kính

Ví dụ 62 Chứng minh:

a) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Giải Gọi chu vi hình chữ nhật là P và diện tích hình chữ nhật là S.

Ví dụ 63 (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Yên Bái năm học 2007 – 2008)

Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c Chứng minh

, khi đó tính giá trị của c theo a và b.

Giải Theo định lí Pythagoras ta có: c2 =a2+b2

Theo hệ quả (1) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: ( )2

c =a + ≥b + ⇒ ≥c + .Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi c a= 2=b 2 –

1sin sin sin

Giải Kẻ tia phân giác AD của tam giác ABC Hạ BH ⊥ AD={ }H

Khi đó sin sin

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB = BC = CA ⇔tam giác ABC đều –

Ví dụ 65 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 thành phố Hà Nội năm học 2009 – 2010)

Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

đờng tròn (B, C là các tiếp điểm).

1 Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2 Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc vói AO và

OE.OA = R2.

3 Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O ; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C) Tiếp

tuyến tại K của đờng tròn (O ; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4 Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các

điểm M, N Chứng minh PM QN MN+ ≥ .

Giải.

2 Sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông OAC.

3 Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau thì: PK = PB, QK = QC.

Từ đó suy ra AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + QK = AP + AQ + PB + QC = 2AB = const

4 Sử dụng tính chất của tam giác cân, tứ giác nội tiếp và tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra hai

góc POQ và PMO bằng nhau, do đó góc OPM bằng góc QON Dẫn tới ∆QON~∆OPM Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi PM =QN ⇔ K là điểm chính giữa cung BC –

Ví dụ 66 (Đề thi TS lớp 10 trờng Lê Hồng Phong, TP HCM năm học 2001 – 2002)

Cho đờng tròn cố định tâm O, bán kính bằng 1 Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp

đờng tròn (O) Một đờng thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB, AC lần lợt tại M, N Xác

định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.

Giải Gọi H, K lần lợt là các tiếp điểm của (O) với AB và AC.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi I A≡

⇔tam giác ABC vuông tại A

O