1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. 2 Viết phương trình mặt cầu S’ có bán kính bằng 2, có tâm nằm trên đường thẳng ∆ đồng thời mặt cầu S’ tiếp xúc với mặt phẳng P.
Trang 1SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
-ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn: TOÁN - LỚP 12 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
-I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7.0 điểm)
Câu I: (3.0 điểm) Cho hàm số y= − +x4 2x2+5 có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
x x − − + m=
Câu II: (2.0 điểm)
1) Tính tích phân: = ∫ ( − + )
3
0
2 16
x I
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3 + x – 2 và y = 5x – 2
3 2 1
5
i i
i
+
−
Câu III: (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 4y + 3 = 0, đường
thẳng ∆:
1
5 1
3 2
x
và mặt cầu (S): ( 1) (2 2)2 2 9
= +
− +
1) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
2) Viết phương trình mặt cầu (S’) có bán kính bằng 2, có tâm nằm trên đường thẳng ∆ đồng thời
mặt cầu (S’) tiếp xúc với mặt phẳng (P)
II PHẦN RIÊNG: (3.0 điểm)
(Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó)
1) Dành cho thí sinh học sách cơ bản:
Câu IV.a: (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho:
điểm A(1; 2; -1), đường thẳng ∆ :
2 3
3 1
x− = − = và mặt phẳng (α) : x + y – z + 3 = 0. 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng ∆
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt ∆ và song song với mặt phẳng (α)
Câu V.a: (1.0 điểm) Giải phương trình: z2 - 4z +7 = 0
2) Dành cho thí sinh học sách nâng cao:
Câu IV.b: (1.5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho:
điểm A(1; 2; -1), đường thẳng ∆ :
2 3
3 1
x
=
−
=
−
và mặt phẳng (α): x + y – z + 3 = 0
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α)
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Câu V.b: (1.5 điểm)
1) Giải phương trình sau trên tập số phức: z2 + (i – 2)z – 2i = 0
2) Giải bất phương trình: log log (4 ) log 3
2 1 2
2
1 x− −x > .
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012
* Sự biến thiên:
3
y = − x + x, y’ = 0
0 1
x x
=
⇔ = ±
* Bảng biến thiên:
* Hàm số đồng biến trên (−∞ −; 1 ; 0;1) ( ) , nghịch biến trên (−1;0 ; 1;) ( +∞)
* Hàm số đạt cực đại tại x = 1± , yCĐ= 6
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 5
* Đồ thị: Điểm đặc biệt:
x= ±2=> y = -3
6
4
2
-2
-4
-6
-8
2
* x x2( 2− − +2) 7 2m= ⇔0 x4−2x2− +7 2m= ⇔ − +0 x4 2x2+ =5 2m−2
P.trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y=2m-2 cắt đồ
thị (C) tại 2 điểm phân biệt
m 8 2m 2 6
7
2
=
− =
− < <
(sửa m = 8 bằng m = 4)
* I=∫3
0
xdx
- ∫3x x + dx
0
2 16
= −J
2
9 , với J =
3 2 0
x x + dx
∫
* Tính J =
3 2 0
x x + dx
∫
: Đặt t = x2+16 , tính được J =
5 2 4
61 3
t dt=
∫
Vậy I =
95 6
−
2 *Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:
x3 + x - 2 = 5x - 2 <=> x3 – 4x = 0 <=>
Trang 30 2 2
x x x
=
=
= −
* Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S =
(x 4x)dx (x 4x)dx
−
−
3
* Ta có: 5 i ( )2
1 i
−
(1 i)(1 i)
= 2-3i – (-5-12i) = 7 + 9i
* |z| = 72+92 = 130
III * (S) có tâm I(-1;2;0) và bán kính R = 3
* Gọi J là tâm mặt cầu (S’) , J thuộc ∆ nên J(1+2t; 3+t; -5+t)
(S’) tiếp xúc với (P) nên :
( ) 3(1 2 ) 4(32 2 ) 32
−
=
=
⇔
2
8
t t
* Với t = 8, suy ra J(17;11;3) ⇒(S’) : (x-17)2 + (y-11)2 + (z-3)2=4
* Với t = -2 suy ra J(-3 ;1 ;-7) ⇒(S’) là : ( ) (2 )2 2
x+ + −x + +z =
IVa 1 * Đường thẳng ∆ có VTCP u∆ =(1;3;2)
(P) qua A và nhận u∆ =(1;3;2) làm VTPT nên có phương trình :
1(x-1)+3(y-2)+2(z+1) = 0 ⇔x + 3y +2z -5 = 0
2
* Viết lại phương trình (∆) ở dạng tham số:
=
+
=
+
=
∆
t z
t y
t x
2
3 3
3 :
* Gọi M là giao điểm của ∆ và (d) suy ra: M(3+t; 3+3t; 2t)
⇒ AM =(t+2;3t+1;2t+1)
* Ta có: nα =(1;1;−1)
∆// (P) nên ta có:
0 ) 1 2 (
1 ) 1 3 (
1 ) 2 (
1
0
= +
− + + +
⇔
=
⇔
⊥
t t
t
AM n AM
1 0
2
Suy ra AM =(1;−2;−1)
* Vậy (d) qua A(1;2;-1) và có VTCP là AM =(1;−2;−1)nên có phương trình là:
1
1 2
2 1
1
−
+
=
−
+
=
x
Va •∆’ = - 3 < 0
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 2 ± 3i
IVb 1 * (α) có VTPT là nα =(1;1;−1)
d qua A và nhận nα =(1;1;−1) làm VTCP nên có phương trình:
Trang 41 1
2 1
1
−
+
=
−
=
x
2 * Gọi H là hình chiếu của A lên (P), K là hình chiếu của A lên ∆
(P) : 3x – y – 6 = 0
2 * Điều kiện: x∈(0;4)
Với điều kiện đó bất phương trình tương đương với:
log x 4−x >log 3⇔x 4− <x 3
Đối chiếu đk ta được tập nghiệm bpt trên là: S = (0;1)∪( )3;4
(Chú ý: Mọi cách giải đúng và hợp lý khác đều cho điểm tối đa)
K H
P A