DE THI THU DAI HOC LAN 2

Câu VI1 điểm.. Theo chương trình chuẩn.. Câu VIIa1 điểm.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M1;2 và đường tròn C tâm I có phương trình x +y − x+ y− = .Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LẦN 2

TRƯỜNG THPT NAM ĐÔNG QUAN NĂM HỌC 2012-2013

(Thời gian làm bài 180 phút )

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)

Câu I(2 điểm) Cho hàm số y 2x 12

x

−

= + (1) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2.Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (1) Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho trọng tâm tam giác IAB thuộc đường thẳng (d) có phương trình 2x - y - 2 = 0

Câu II(1 điểm).Giải phương trình sau 5 os2

2cos

3 2 tan

x x

+

Câu III(1 điểm).Giải hệ phương trình sau:

3 3

2 2

2x - 9y = (x - y)(2xy + 3)

x + y = 3 + xy







Câu IV(1 điểm).Tính tích phân

1

2 2

1 2

x x dx x

−

+

∫

Câu V(1 điểm).Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC=a;BC=2a;·ACB=120o.Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300.Gọi M là trung điểm của BB’.Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a

Câu VI(1 điểm).

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz và x > 1, y > 1, z > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x 1 y 1 z 12 2 2

II.PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình chuẩn.

Câu VIIa(1 điểm).Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) và đường tròn (C) tâm I có phương trình

x +y − x+ y− = Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có một góc bằng 1200

Câu VIIIa(1 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết

phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Câu IXa(1 điểm).Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn z i− = − +z 1 2i

B Theo chương trình nâng cao.

Câu VIIb(1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) (x-4)2 + y2 = 4 và điểm E(4;1).Tìm điểm M thuộc trục Oy để từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA;MB đến đường tròn (C) (A;B là hai tiếp điểm )sao cho

ba điểm A;B;E thẳng hàng

Câu VIIIb(1 điểm).

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;2;0);B(-1;1;-1); C(1;0;3);D(0;-2;1).Chứng minh rằng bốn điểm A;B;C;D lập thành một tứ diện.Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A;B và cách đều hai điểm C;D

Câu IXb(1 điểm) Lớp kĩ sư tài năng của trường đại học Bách khoa có 30 sinh viên trong đó có 10 sinh

viên nữ Chọn ra 10 sinh viên đi dự đại hội Tính xác suất để trong số sinh viên được chọn có ít nhất 4 sinh viên nữ và 4 sinh viên nam

… Hết …

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………; Số báo danh: ………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2012-2013

I.1 Tập xác định D = R\{- 1}

Sự biến thiên:

-Chiều biến thiên: 4 2

( 1)

x

= > ∀ ∈

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ∞; - 1) và (- 1 ; + ∞)

- Cực trị: Hàm số không có cực trị

0,25

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang

Đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng

0,25

-Bảng biến thiên:

y

0,25

Đồ thị:

0,25

I.2

Phương trình hoành độ giao điểm:2 2

2 1

x

x m

x − = +

+

⇔ 2x2 + mx + m + 2 = 0 (1) (x≠ −1)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

⇔ m2 - 8m - 16 > 0 (2)

0,25

Vì I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (1) nên I(-1;2)

Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1)

;

x +x = − x x = +

0,25

0,25

y

x

2

1 -2

Gọi G là trọng tâm tam giác IAB Ta có

1 2

1 2

3 3

G G

y y





m

− − − + − = ⇔ = −

(thoả mãn (2)) Vậy m = - 5

0,25

II

Điều kiện : cos 0

x x

≠



 ≠ −



0,25

Pt⇔ +5 cos2x=6 cosx+4sinx

5 cos x sin x - 6 cosx 4sinx 0

0,25

(cos sinx-1)( cos sinx 5) 0

x

0,25

ox sinx 1 0 ox-sinx 5 0 (VN)

4 2

c c

x k

π

π

+ − =





 = +



 =



Vậy phương trình có họ nghiệm x = k2π(k∈Z)

0,25

2 2

3

Hpt

⇔  + − =



0,25

2 9 8

3 3





0,25

2

2

y

=



⇔  =



0,25

t = + x+ x ⇒ = +t x+ x ⇒tdt= x+ dx

x= ⇒ =t x= − ⇒ =t

0,25

0,25

os

3

t = ⇒ =u ⇒ =u π

0,25

0,25

V Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.Có CH⊥AB ;CH⊥AA’ suy ra CH⊥(ABB’A’)

Do đó góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc ·CA H' =300

Ta có

2 0

.sin120

ABC

a

0,25

Trong tam giác ABC : AB2 = AC2 +BC2 −2AC BC c os1200 =7a2 ⇒AB a= 7

+)

2

ABC

a

7

7

0,25

+)

3 ' ' '

15 '

2 7

a

+)d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))= 3

7

VI.

(1)

0,25

− + − + − + − + − + −

0,25

Từ (1) và (2) suy ra

1

0,25

A’

C’

A

B B’

H

 + +  ≥  + + ⇒ + + ≥

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra P ≥ 3 1 −

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z= = = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 1−

0,25

VII.a Đường tròn (C) có tâm I(2 ;-1) và bán kính R=6

Gọi H là trung điẻm của AB suy ra IH = IA.cos600 = 3

⇒Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua M và khoảng cách từ I đến (d) bằng 3

0,25

+)Đường thẳng (d) có dạng a(x -1)+ b(y - 2) = 0 (a2+b2>0)

⇔ax+by a− −2b=0

2 2

0,25

+)Với a = 0 Phương trình đường thẳng (d) là y=2

+)Với 4a =-3b ;Chọn a=3 ;b=-4 Phương trình đường thẳng (d) là 3x-4y+5=0

0,25 VIII.a Ta có uuurAB=(2; 3; 1),− − uuurAC= − − − ⇒ =( 2; 1; 1) nr (2; 4; 8)− là 1 vtpt của (ABC) 0,25

Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 0,25

M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7

Vậy M(2 ;3 ;-7)

0,25

Từ giả thiết ⇒ + − = + − +a bi i a bi 1 2i

0,25

3 2 0 (1)

⇔ − − =

0,25

+)Có |z|2 = a2 + b2

+)Từ (1) a = 3b+2 thay vào A = (3b + 2)2 + b2 = 10b2 +12b + 4=10 ( 3)2 1 2

b

 + + ≥

Đẳng thức xảy ra khi 3

5

5

a

⇒ =

Vậy số phức cần tìm là 1 3

5 5

0,25

VII.b +) Đường tròn (C) có tâm I(4 ;0) và bán kính R=2

+)IM2 =16+a2 ⇒MA2 =MI2 −IA2 =12+a2

+)Phương trình đường tròn (C’) tâm M bán kính MA là 2 ( )2 2

12

0,25

+)Thấy A ;B là hai giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’) nên toa độ 2 điểm A ;B thoả

2 2

12

 + − + =



Phương trình đường thẳng (AB) là 8− +x 2ay+24 0=

0,25

+)Để 3 điểmA ;B ;E thẳng hàng thì E∈(AB)⇒2a− = ⇒ =8 0 a 4

Vậy điểm M(0 ;4)

0,25

VIII.b +)uuurAB(0; 1; 1); − − uuurAC(2; 2;3); − uuurAD(1; 4;1)−

+)uuur uuurAB AC,  = − − ( 5; 2; 2)

0,25

+)uuur uuur uuurAB AC AD,  = − + + = ≠5 8 2 5 0.Vậy 4 điểm A ;B ;C ;D lập thành một tứ diện 0,25

Gọi ( ; ; )n a b cr

(với a2+b2+c2>0 ) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) +)Do (P) đi qua 2 điểm A và B nên n ABr uuur= ⇔ + =0 b c 0 (1)

+)Vì mặt phẳng (P) đi qua A nên có phương trình là

a(x+1)+b(y-2)+cz=0⇔ax+by cz a+ + −2b=0

+)Giả thiết d(C ;(P))=d(D ;(P))⇔ 2a−2b+3c = −a 4b c+ (2)

0,25

Từ (1) và (2) Chọn b=1 ;c=-1

0

3

a

a

=





 =



+)Vậy có hai mặt phẳng (P) là y - z -2 = 0 và 10x + y – z + 4 = 0

0,25

IX.b +)Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 10 sv trong số 30 sv 10

30

C

+)Gọi A là biến cố ‘‘trong số 10 sv được chọn có ít nhất 4 sv nữ và 4sv nam’’

Có 3 trường hợp

+)TH 1 :Chọn ra 4 nam và 6 nữ Số cách chọn là C C204 106

+)TH 2 :Chọn ra 5 nam và 5 nữ Số cách chọn là 5 5

20 10

C C

+)TH 3 :Chọn ra 6 nam và 4 nữ Số cách chọn là C C206 104

0,25

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là :ΩA =C C +204 106 5 5

20 10

20 10

Xác suất của biến cố A là P(A)= ΩA

Ω =

0,25

Chú ý :+)Mọi cách làm khác đúng cho điểm tối đa

+) Điểm toàn bài không làm tròn