Tìm chữ số tận cùng của M.. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông.. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I.. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC.
Trang 1MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
-Bài 1: ( 2 điểm)
1 Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất:
A = 2010 x 2011 10052010 x 2010 1005−
+
2 Thực hiện phép tính:
B =
−
−
−
99
2 1
5
2 1 3
2 1 33
Bài 2: (2 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5
b Tìm chữ số tận cùng của M
Bài 3: ( 2 điểm )
1 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho :
n + 5 n – 2
2 Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :
(2x + 1)(y – 3) = 10
Bài 4: ( 3 điểm)
1 Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N là trung điểm của CB Hãy chứng tỏ rằng MN =
2
a
2 Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC
Bài 5 (1 điểm)
Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2 điểm)
1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất:
A = 2010 x 2011 10052010 x 2010 1005−
2010 x (2010 1) 1005 2010 x 2010 2010 1005
= 2010 x 2010 1005 1
2010 x 2010 1005
+ 2) Thực hiện phép tính:
−
−
−
99
2 1
5
2 1 3
2
1
3
1
99
97
7
5 5
3
= 33
99
1
=
3 1
Bài 2: (2 điểm)
Cho M = 2 + 22 + 23 + … + 220
a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 :
M = 2 + 22 + 23 + … + 220
= (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220)
= 2.(1 + 2 + 22 + 23 ) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) + … +217.(1 + 2 + 22 +23)
= 2 15 + 25.15 + …+ 217.15 = 15 2(1 + 24 + …+ 216) = 3 5 2 (1 + 24 + …+ 216) 5
b) Tìm chữ số tận cùng của M:
Dễ thấy M 2 ; M 5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M 10
Do đó M tận cùng bằng chữ số 0
Bài 3: ( 2 điểm )
1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7 n – 2 ⇒ 7 n – 2
⇒ n – 2 ∈ Ư(7) = {±1;±7}
Vậy : n ∈ {3;1;9;−5}
2) Ta có x , y ∈ N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10 Hơn nữa 2x + 1 > 0
và là số lẻ nên 10 = 1 10 = 5 2
Do đó :
=
−
= +
10 3
1 1 2
y
x
hoặc
=
−
= +
2 3
5 1 2
y
x
Suy ra :
=
=
13
0
y
x
hoặc
=
=
5
2
y x
Bài 4: ( 3 điểm)
Trang 3N là trung điểm của CB nên : CN = NB =
2
1
.CB Suy ra : MC + CN =
2
1
( AC + CB )
C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N
C nằm giữa M và N ⇒ MC + CN = MN
C nằm giữa A và B ⇒ AC + CB = AB = a
Do đó : MN =
2
a
2) Nối BD Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD)
SBDH = SDBA (=
2
1
SABHD) ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)
Do đó :
SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC
Vậy : SBHC = SIDC
Bài 5 (1 điểm)
Rút gọn A ta có:
A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
= (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1)
= [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1)
= (24-1).(24+1).(28+1).(216+1)
= (28-1).(28+1).(216+1)
= (216-1)(216+1)
= 232 - 1
Biết 232 tận cùng là 2 A = 232 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS)