Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi

Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3.. Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. ĐỀ CHÍNH THỨC... Do đó có điề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH

Môn thi: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: (5,0 điểm) Giải các phương trình sau :

1 sin 3 4cos 6 3

0 sin 3 1

x

π

−

5 x + 14 x + − 9 x − − x 20 5 = x + 1

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho dãy số ( ) un biết: 1 32 53 2 1

n

Tính lim un

2 Cho dãy số ( ) un xác định bởi : 1 1 ( )

1

n n

n

u

+

+ + Tính tổng:

2012 1 2 3 2012

S = + + + + u u u u

Bài 3: (3,0 điểm) Cho tứ diện đều SABC Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua đường cao SO của tứ diện; mặt phẳng ( ) P cắt các mặt phẳng ( SBC ) ( , SCA và ) ( SAB lần lượt theo các giao tuyến ) , ,

SM SN SP Các giao tuyến này lần lượt tạo với mặt phẳng ( ABC các góc , , ) α β γ Chứng minh: tan2α + tan2β + tan2γ = 12

Bài 4: (4,0 điểm) Cho hàm số f x ( ) = a1sin x a + 2sin 2 x + + ansin nx Chứng minh rằng: Nếu ( ) sin

f x ≤ x ; với mọi x ∈ − [ 1;1 ] thì a1+ 2 a2+ 3 a3+ + nan ≤ 1

Bài 5: (4,0 điểm) Từ các số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong

đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3.

Hết

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

GIẢI ĐỀ TOÁN KỲ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 11 TỈNH QUẢNG NGÃI

NĂM HỌC 2011 - 2012

Bài 1: (5,0 điểm) Giải các phương trình sau :

sin 3 1

x

π

−

(1)

sin

x

x



 ( )

3

2

2

1 sin 3 2 3 cos 2sin 3 0 4sin sin 2 3 cos 3 0

3 cos

cos

2

1

sin

2

2sin cos 3

x

x

x

−

= ±

⇔

−

1 sin

2

x



2

sin

7 2

2 6

x

−

 = +



= − ⇔ 



 sin 2 x − 3 = 3 sin x ⇒ sin 22 x − 2 3 sin 2 x + = 3 3sin2x

2

4sin cos 4 3 sin cos 3cos 0 4sin cos 4 3 sin 3cos 0

Chia hai vế cho c os3x ta được 4 tan2x − 4 3 tan 1 tan x ( + 2x ) ( + 3 1 tan + 2x ) = 0

4 3 tan 7 tan 4 3 tan 3 0

1 sin

tan

cos

2

x x

x

−





(rơi vào TH 1)

Vậy phương trình có nghiệm là

2 6 7 2 6

−

 = +







4 5 x2+ 14 x + − 9 x2− − x 20 5 = x + 1 ⇔ 5 x2+ 14 x + = 9 5 x + + 1 x2− − x 20 1 ( )

Điều kiện:

2

2

9

5

 ∈ −∞ −   ∪ − +∞





x

1 ⇔ 5 x + 14 x + = 9 x + 24 x + + 5 10 x + 1 x − − x 20

2

Chia hai vế của (2) cho ( x2− 4 x − 5 ) ( x + 4 ) ta được:

2

2

Đặt

2

4

=

+

t

x được phương trình

2

1 3

2

=





 =



t



( ) ( )

2

2

5 61

2

=



=



x

( )

2

2

7

4

−

 =

=



Bài 2: (4,0 điểm)

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được 1 12 12 2 1 2 3

u = +  + + + −  − − = − + n ≥

1

u + − u = + = ⇒ u + − u = + ⇒ u + = + +

hay 1 2 ( ) ( )

n

u

+ + + +  + +  Do đó

, 1, 2,

n

n n

+

Vậy 2012 1 2 3 2012 1 1 1 1

2 2 2013 2014

S = + + + + u u u u =  + − −  =

Bài 3: (3,0 điểm) Cho tứ diện đều SABC Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua đường cao SO của tứ diện; mặt

phẳng ( ) P cắt các mặt phẳng ( SBC ) ( , SCA ) và ( SAB ) lần lượt theo các giao tuyến SM SN SP , , Các

giao tuyến này lần lượt tạo với mặt phẳng ( ABC ) các góc α β γ , , Chứng minh:

tan α + tan β + tan γ = 12

Giả sử S ABC là tứ diện đều cạnh a Khi đó 3 3 2 3 2 6

AH= AO= SO= a − = Đpcm:

6

Vậy thay vì chứng minh (1), ta chứng minh (2)

Gọi góc ·BMP m=

 Xét MHO∆ có 3 (3)

sin 6sin

OH a OM

.cot

−

3 cos 3 cos 3 sin 6sin 2 6sin

BM HM HB

+

 Áp dụng định lí Mênêlauýt cho OHM∆ có

3 cos 3 sin 3

2 6sin

2

a

−

2sin 3 cos sin 6sin 3cos 3 sin

ON

−

 Áp dụng định lí Mênêlauýt cho OHM∆ có

3 cos 3 sin 3

2 6sin

2

a

+

3 cos 3sin 3 cos 3sin 3 cos 3sin 2sin

3 cos sin 2sin 3

2sin 3 cos sin 6sin 3cos 3 sin

OP

+

Do đó

2

Vậy (2) đúng Do đó có điều phải chứng minh

Bài 4: (4,0 điểm) f x ( ) ≤ sin x ⇔ a1sin x a + 2sin 2 x + + ansin nx ≤ sin x

n

n

1 2 2 3 3 n 1

⇔ + + + + ≤ (đpcm)

Bài 5: (4,0 điểm) Từ các số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó chữ

số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Trong các số tự nhiên nói trên,

chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3

Giải

*) Gọi a a a a a là số tự nhiên có năm chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại 1 2 3 4 5

có mặt không quá một lần với a a a a a1, , , ,2 3 4 5∈{1;2;3;4;5}

 Sắp chữ số 3 vào 3 vị trí, có 3

5 10

C = cách

 Còn lại 2 vị trí, 4 chữ số Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí đó, có 2

4 12

C = cách Vậy không gian mẫu có 10.12 120= phần tử

*) Có (1 5 3; 2 4 3+ ) (M + )M

Gọi biến cố A: “số được chọn chia hết cho 3” có 2 phương án

 2 chữ số còn lại là 1,5 có 3

5.2! 20

C = số

 2 chữ số còn lại là 2,4 có 3

5.2! 20

C = số Vậy biến cố A có 40 phần tử

*) Xác suất của biến cố A là