Mạng các đối tượng tính toán

Mạng các đối tượng tính toán

CHƯƠNG III MẠNG CÁC ĐỐI TƯỢNG TÍNH TOÁN

I.- MẠNG CÁC ĐỐI TƯỢNG TÍNH TOÁN :

Trong chương trước chúng ta xét một mạng tính toán bao gồm một tập các biến M và một tập các quan hệ F thể hiện tri thức về sự liên hệ tính toán giữa các biến trong mạng Một ví dụ điển hình về một mạng tính toán đã nêu trong chương II là mạng tính toán của một tam giác Bây giờ nếu ta xét một bài toán gồm có hai tam giác có một số liên hệ với nhau, chẳng hạn cạnh a của tam giác nầy bằng cạnh b của

tam giác kia, thì ta có một mạng tính toán bao gồm 2 “đối tượng” có cùng loại (đều

là tam giác) Mỗi đối tượng trong trường hợp nầy có thể được thay thế bởi một mạng tính toán tương ứng, và từ đó ta được một mạng tính toán trong đó có 2 bộ phận (hay

2 mạng con) có cùng loại.

Hình 1.1 Mạng tính toán gồm 2 tam giác.

Hình 1.2 Mạng tính toán gồm 2 bộ phận,

mỗi bộ phận là mạng tính toán của 1 tam giác

1 Mạng con, đối tượng tính toán :

Một mạng tính toán (M,F) được gọi là một mạng con của mạng tính toán

(M’,F’) nếu thỏa các điều kiện sau đây :

(2) Cho mạng tính toán (M,F), M1 ⊆ M Đặt :

F1 = {f ∈ F  M(f) ⊆ M}

Ta có (M1,F1) là một thu hẹp của mạng (M,F)

(3) Cho mạng tính toán (M,F), F1 ⊆ F Đặt :

Ta có (M1,F1) là một thu hẹp của mạng (M,F)

(4) Cho mạng tính toán (M,F), B ⊆ M Đặt :

F(B) = {f ∈ F  M(f) ∩ B ≠∅},M(B) = f F(B)∈ M(f)

Ta có (M(B),F(B)) là một thu hẹp của mạng (M,F)

Ghi chú : Lời giải tốt của một bài toán trên mạng thu hẹp không nhất thiết là tốt

trên mạng lớn hơn vì nó chỉ sử dụng “kiến thức” gồm một tập quan hệ ít hơn Tuy nhiên, có thể nói lời giải đó là tốt trong một phạm vi tri thức giới hạn

Một mạng tính toán còn được xem là một đối tượng tính toán Theo quan

niệm nầy, từ bên ngoài phạm vi của mạng tính toán ta xem nó như một tổng thể bao gồm một số yếu tố ta quan tâm và các yếu tố khác (xem như phần nội bộ bên trong của đối tượng) mà ta ít quan tâm hơn Trong hình 1.1 TAM GIAC 1 là một đối tượng tính toán mà trong mạng gồm 2 tam giác ta đặc biệt quan tâm đến cạnh a của nó, còn các yếu tố khác của TAM GIAC 1 như cạnh b, cạnh c, diện tích S, nửa chu vi p, v.v tạm thời chưa được quan tâm

Như vậy đối với mỗi đối tượng tính toán O, có một tập biến và một tập các quan hệ tương ứng Tập các biến và tập các quan hệ của đối tượng O lần lượt được ký hiệu là M(O), F(O) Từ đó ta có thể viết :

O = ( M(O),F(O) )

Hình vẽ dưới đây biểu diễn cho một đối tượng O, trong đó tập { 1, , xk}⊆ M(O) là một tập biến đang được quan tâm xem xét của đối tượng O

Hình 1.3 Đối tượng tính toán O.

Ngoài ra đối tượng tính toán, giả sử là O, còn có khả năng đáp ứng lại một số thông điệp yêu cầu từ bên ngoài Trong các khả năng đó của đối tượng tính toán ta có thể kể đến những điểm sau đây :

(1) Xác định bao đóng (trong đối tượng O) của một tập A ⊆ M(O)

(2) Xác định tính giải được của một bài toán A → B,

trong đó A ⊆ M(O), B ⊆ M(O)

(3) Tìm một lời giải tốt cho bài toán A → B trên mạng (M(O),F(O)),

trong đó A ⊆ M(O), B ⊆ M(O)

2 Mạng các đối tượng tính toán :

Trong mục nầy trình bày một số khái niệm về mạng các đối tượng tính toán Trong đó có khái niệm về quan hệ giữa các đối tượng Ta gọi một quan hệ f giữa các

biến của các đối tượng tính toán là một quan hệ giữa các đối tượng đó Quan hệ nầy

cho phép ta tính được một hay nhiều biến của các đối tượng từ một số biến khác

Ví dụ 1: Giả sử có 2 đối tượng O1, O2 Trong các biến của đối tượng O1 có một biến, ký hiệu a, có liên hệ f với một biến của đối tượng O2, ký hiệu b, được xác định bởi hệ thức :

Hình 1.4 f là một quan hệ giữa O1 và O2

Ví dụ 2: Giả sử có 3 đối tượng O1, O2, O3 Giữa biến a của O1, biến a và b của

O2, biến c của O3 có một quan hệ f xác định bởi hệ thức:

O3.c = O1.a + O2.a - O2.b

Ta có f là một quan hệ giữa các đối tượng O1, O2, O3

Hình 1.5 f là một quan hệ giữa O1, O2, O3

Bây giờ ta xét một bài toán mà việc tính toán có liên quan đến một số đối tượng tính toán và giữa các đối tượng nầy có những quan hệ nhất định Việc giải bài

toán sẽ dựa trên một mạng các đối tượng tính toán Mạng các đối tượng tính toán bao

gồm một tập hợp các đối tượng tính toán :

O = {O 1 ,O 2 , , O n}

và một tập hợp các quan hệ giữa các đối tượng :

F = {f 1 ,f 2 , , f m}.Đặt :

M(f i ) = tập hợp các biến có liên quan với nhau bởi quan hệ fi.

hay M(O) ⊇ M ⊇ M(F).

Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho các ký hiệu ở trên

Ví dụ 3 : Cho tam giác cân ABC, cân tại A, và cho biết trước góc đỉnh α, cạnh đáy a Bên ngoài tam giác có hai hình vuông ABDE và ACFG Tính độ dài EG

Bài toán có dạng một mạng các đối tượng tính toán bao gồm :

1 Bốn đối tượng :

O1 : tam giác cân ABC,

O2 : tam giác AEG,

O3 : hình vuông ABDE,

O4 : hình vuông ACFG,

trong đó mỗi tam giác có các biến: a, b, c, α, β, γ, ha, hb, hc, S, p, R, r, ,

mỗi hình vuông có các biến: a (cạnh), c (đường chéo), S (diện tích),

2 Các quan hệ giữa các đối tượng :

f1 : O1.c = O3.a // cạnh c của tam giác ABC = cạnh của hình vuông ABDE

f2 : O1.b = O4.a // cạnh b của tam giác ABC = cạnh của hình vuông ACFG

f3 : O2.b = O4.a // cạnh b của tam giác AEG = cạnh của hình vuông ACFG

f4 : O2.c = O3.a // cạnh c của tam giác AEG = cạnh của hình vuông ABDE

M = { O1.b, O1.c, O1.α, O2.b, O2.c, O2.α, O3.a, O4.a, O2.a}.

Lưu ý rằng O2.a (cạnh EG của tam giác AEG) là biến cần tính

II.- VẤN ĐỀ TRÊN MẠNG CÁC ĐỐI TƯỢNG:

Cho một mạng các đối tượng tính toán (O,F), trong đó O là tập hợp các đối tượng tính toán và F là tập hợp các quan hệ giữa các đối tượng Xét một tập hợp biến

M trên mạng :

M(O) ⊇ M ⊇ M(F)

Giả sử có một tập biến A ⊆ M đã được xác định (tức là tập gồm các biến đã biết trước giá trị), và B là một tập biến bất kỳ trong M

Các vấn đề đặt ra là:

1 Có thể xác định được tập B từ tập A nhờ các quan hệ trong F và các đối tượng

thuộc O hay không? Nói cách khác, ta có thể tính được giá trị của các biến thuộc B với giả thiết đã biết giá trị của các biến thuộc A hay không?

2 Nếu có thể xác định được B từ A thì quá trình tính toán giá trị của các biến

thuộc B như thế nào?

3 Trong trường hợp không thể xác định được B, thì cần cho thêm điều kiện gì để

có thể xác định được B

Tương tự như đối với một mạng tính toán, bài toán xác định B từ A trên mạng (O,F) được viết dưới dạng:

A → B,trong đó A được gọi là giả thiết, B được gọi là mục tiêu tính toán (hay tập biến cần tính) của bài toán Trường hợp tập B chỉ gồm có một phần tử b, ta viết vắn tắt bài toán trên là A → b

Chúng ta có thể nhận thấy rằng nếu gộp lại tất cả các biến của các đối tượng

Oi (i=1,2, ,n) thành một tập biến lớn và gộp tất cả các quan hệ nội bộ của từng đối tượng cùng với các quan hệ giữa các đối tượng thành một tập các quan hệ thì ta có một mạng tính toán như đã xét trong chương II Như vậy nếu đặt :

Bài toán A → B trên mạng các đối tượng tính toán (O,F) được gọi là giải được

khi bài toán đó là giải được trên mạng tính toán tương ứng (M, F ) , hay nói chung ta có thể tính toán được giá trị các biến thuộc B xuất phát từ giả thiết A Tất nhiên một lời giải của bài toán trên trên mạng (M, F ) cũng được xem là một lời giải trên mạng các đối tượng Tuy nhiên lời giải đó có thể có chứa các quan hệ nội bộ bên trong của các đối tượng mà nhiều khi ta không cần quan tâm chi tiết Do đó ta

gọi một lời giải như thế là một lời giải chi tiết của bài toán trên mạng các đối tượng

tính toán Chẳng hạn như trong tình huống nêu trong ví dụ sau đây:

Ví dụ 1 : Giả sử đang xét bài toán A → B trên mạng các đối tượng (O,F), và khi giải bài toán trên mạng tính toán (M, F ) tương ứng ta tìm được một lời giải gồm 10 quan hệ (thuộc F ) là {f1, f2, , f10}, trong đó ta có:

{f1, f4, f7, f8, f10}⊆ F,

{f2, f3}⊆ F(O2),

{f5, f6}⊆ F(O1),

{f9} ⊆ F(O2)

Theo khái niệm nêu ở trên thì {f1, f2, , f10} là một lời giải chi tiết của bài toán A →

B Quá trình tính toán theo lời giải nầy có thể được biểu diễn như sau:

tương ứng Từ đó ta được một dãy chỉ gồm các quan hệ giữa các đối tượng (tức là các

quan hệ thuộc F) và các đối tượng; dãy nầy được gọi là một lời giải gọn (hay vắn tắt

là một lời giải) của bài toán trên mạng các đối tượng tính toán (O,F).

Trong ví dụ trên {f1, O2, f4, O1, f7, f8, O2, f10} là một lời giải (gọn) của bài toán A →

B Quá trình tính toán theo lời giải nầy được biểu diễn như sau :

A = A’0  →f1 A’1  →O2 A’2  →f4  →f8 A’6  →O2 A’7  →f10 A’8

trong đó ta có : A’0⊆ A’1⊆ A’2⊆ ⊆ A’6 ⊆ A’7⊆ A’8⊆ M,

A’8⊇ B

Tóm lại ta nói rằng một dãy {t1, t2, , tk} gồm các phần tử thuộc F hay thuộc

O là một lời giải của bài toán A → B trên mạng (O,F) nếu như ta lần lượt áp dụng các ti (i=1, ,k) xuất phát từ giả thiết A thì sẽ tính được các biến thuộc B Lời giải {t1,

t2, , tk} được gọi là lời giải tốt nếu không thể bỏ bớt một số “bước tính toán” trong

quá trình giải, theo nghĩa là không thể bỏ bớt một số quan hệ hay đối tượng trong lời

giải Lời giải được gọi là lời giải tối ưu khi nó có số “bước tính toán” ít nhất, tức là số

quan hệ hay đối tượng áp dụng trong tính toán là ít nhất

Việc tìm lời giải cho bài toán là việc tìm ra một dãy các quan hệ hay các đối tượng để có thể áp dụng tính ra được B từ A Điều nầy cũng có nghĩa là tìm ra được một quá trình tính toán để giải quyết bài toán.

III.- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :

1 Tính giải được của bài toán :

Cũng tương tự như trong chương II, để xét tính giải được của bài toán A → B trên mạng các đối tượng tính toán (O,F) với M là tập biến được xem xét, ta có thể khảo sát bài toán trên mạng tính toán (M, F ) tương ứng của mạng các đối tượng (O,F) Theo cách nầy, ta tìm bao đóng ~A của A trên mạng (M, F ) rồi xem bao đóng nầy có chứa B không Tuy nhiên, trong ~A có thể chứa các biến của các đối tượng mà ta không cần quan tâm; đó là các biến thuộc tập hợp ~A \ M Ở đây, trên mạng các đối tượng (O,F), ta chỉ cần quan tâm đến tập hợp biến lớn nhất trong M có thể tính được từ giả thiết A; và chúng ta có thể thấy rằng tập hợp biến lớn nhất nầy là tồn tại do tính hữu hạn của tập hợp M Từ đó ta có thể định nghĩa bao đóng của của một tập hợp biến trên mạng các đối tượng tính toán như sau:

Định nghĩa 3.1:

Cho (O,F) là một mạng các đối tượng tính toán với tập biến được xem xét là

M, A là một tập hợp con của M Ta gọi bao đóng của A trên mạng các đối tượng tính

toán là tập hợp lớn nhất trong M gồm các biến có thể tính được từ A, và ký hiệu bao

đóng nầy là A

Lưu ý rằng bao đóng A của A trên mạng các đối tượng tính toán không phải là bao đóng ~A của A trên mạng tính toán tương ứng Tuy nhiên ta có thể thấy rằng giữa ~A và A có một sự liên hệ rất tự nhiên được nêu lên trong mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 3.1 : Bao đóng A của một tập hợp biến A trên một mạng các đối

tượng tính toán bằng phần giao giữa bao đóng ~A của tập biến đó trong mạng tính

toán tương ứng và tập biến M được xem xét của mạng các đối tượng tính toán, tức là

A trên mạng các đối tượng tính toán Để thực hiện điều nầy, không những phải áp dụng các quan hệ giữa các đối tượng mà ta còn phải áp dụng chính các đối tượng; bởi vì chính bản thân đối tượng có khả năng tính toán thêm được một số biến nào đó

Giả sử ta đang có một tập biến được xác định A ⊆ M Đối với một quan hệ giữa các đối tượng f ∈ F, ta có f áp dụng được khi và chỉ khi:

Card (M(f) \ A) ≤ r(f) nếu f là quan hệ đối xứng,

M(f) \ A ⊆ v(f) nếu f là quan hệ không đối xứng;

và trong trường hợp nầy việc áp dụng f sẽ mở rộng A thành tập hợp A ∪ M(f), được ký hiệu là {f}(A) hay ký hiệu vắn tắt là f(A) Như vậy, ta có thể viết :

A f → f(A)

Đối với một đối tượng Oi∈ O, ta cũng ký hiệu {Oi}(A), hoặc Oi(A), là tập hợp biến trong M mở rộng từ A nhờ áp dụng đối tượng Oi Tập biến Oi(A) có thể được xác định như trong mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 3.2 : Cho A ⊆ M là một tập hợp biến của mạng các đối tượng tính toán (O,F), Oi∈ O Gọi A’ là bao đóng của A ∩ Mi (ký hiệu Mi như trong mục I.2) trong mạng tính toán Oi (xét đối tượng Oi như một mạng tính toán), ta có :

Oi(A) = A ∪ (A’ ∩ M).

Nhận xét :

(1) Với mọi t ∈ F ∪ O áp dụng được trên A, ta có t(A) ⊇ A

(2) Không giống như các quan hệ giữa các đối tượng, mỗi đối tượng Oi coi như áp dụng được trên một tập biến bất kỳ A ⊆ M Tuy nhiên rất có thể xảy ra truờng hợp Oi(A) = A, tức là việc áp dụng đối tượng Oi không cho ta thêm thông tin gì mới

Cũng tương tự như trong mục II, chương II ta có thể định nghĩa khái niệm về

tính “áp dụng được” của một dãy D các đối tượng và các quan hệ giữa các đối tượng

trên một tập biến A ⊆ M, và cũng ký hiệu D(A) là tập hợp biến mở rộng từ A nhờ áp dụng dãy D Từ đó, chúng ta có thể kiểm chứng dễ dàng mệnh đề sau:

Mệnh đề 3.3 : Trên mạng các đối tượng tính toán (O,F), M là tập biến được

xem xét, cho A ⊆ M, một dãy D = {t1, t2, , tm}⊆ F ∪ O áp dụng được trên tập hợp A Đặt :

Định lý 3.2 Cho một mạng các đối tượng tính toán (O,F), M là tập biến được

xem xét, A và B là hai tập con của M Ta có các điều sau đây là tương đương:(1) B ⊆ A

(2) Có một dãy D ⊆ F ∪ O thỏa các điều kiện :

(a) D áp được trên A

A ← t(A);

Until (A = A’);

2 Lời giải của bài toán :

Xét bài toán A → B trên mạng các đối tượng tính toán (O,F) Chúng ta sẽ nêu lên cách tìm một lời giải tốt cho bài toán theo cách tương tự như đối với một mạng tính toán Theo cách nầy công việc sẽ được tiến hành qua các giai đoạn sau đây :

1 Đầu tiên ta tìm một lời giải cho bài toán

2 Xuất phát từ một lời giải đã tìm được, tìm cách trích ra một lời giải tốt

Trước hết ta có :

Mệnh đề 3.4 : Dãy D ⊆ F ∪ O là một lời giải của bài toán A → B khi và chỉ khi D áp dụng được trên A và D(A) ⊇ B

Do mệnh đề trên, để tìm một lời giải ta có thể làm như sau: Xuất phát từ giả thiết A, ta thử áp dụng các quan hệ giữa các đối tượng cùng với các đối tượng để mở rộng dần tập các biến có giá trị được xác định cho đến khi đạt đến tập biến B Tuy nhiên để định hướng nhanh hơn đến mục tiêu, quá trình trên có thể được tiến hành theo thứ tự ưu tiên xem xét như sau :

1/ xét các quan hệ f ∈ F trước, rồi đến

2/ các đối tượng có chứa yếu tố cần xác định, và cuối cùng là

3/ các đối tượng Oi khác mà tập Mi chưa được xác định hết

Dưới đây là thuật toán tìm một lời giải cho bài toán A → B trên mạng các đối tượng tính toán (O,F) có tập biến được xem xét là M

Thuật toán 3.2 tìm một lời giải cho bài toán A → B :

Nhập : Mạng các đối tượng tính toán (O,F), với tập biến là M,

tập giả thiết A ⊆ M,tập biến cần tính B ⊆ M

Xuất : lời giải cho bài toán A → B

Thuật toán :

1 Solution ← empty; // Solution là dãy các quan hệ giữa các đối tượng

// hay các đối tượng sẽ áp dụng

2 if B ⊆ A then

begin

Solution_found ← true; // biến Solution_found = true khi bài toán

goto 5;

end else

Solution_found ← false;

3 Repeat

Aold← A;

Chọn ra một f ∈ F chưa xem xét (trong bước 3 lần nầy);

while not Solution_found and (chọn được f) do begin

if ( f đối xứng and 0 < Card (M(f) \ A) ≤ r(f) ) or ( f không đối xứng and ∅≠ M(f) \ A ⊆ v(f) ) then

Until Solution_found or (A = Aold);

4 if not Solution_found then

end;

5 if not Solution_found then

Bài toán không có lời giải;

2 Lời giải (nếu có) tìm được trong thuật toán trên chưa chắc là một lời giải tốt

Ta có thể bổ sung thêm cho thuật toán ở trên thuật toán để tìm một lời giải tốt từ một lời giải đã biết nhưng chưa chắc là tốt

Thuật toán 3.3 tìm một lời giải tốt từ một lời giải đã biết.

Nhập : Mạng các đối tượng tính toán (O,F),

lời giải {t1, t2, , tm} của bài toán A→ B

Xuất : lời giải tốt cho bài toán A → B

Thuật toán :

1 D ←{t1, t2, , tm};

2 for i=m downto 1 do

if D \ {ti} là một lời giải then

D ← D \ {ti};