Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian Phần 1: Cơ sở lý thuyết 1.. Các dạng toán - phơng pháp chung và ví dụ minh hoạ... MA MBuuur uuur+
Trang 1Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian Phần 1: Cơ sở lý thuyết
1 Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) thì AB=(x1−x2,y2 −y1,z2 −z1)
ABuuur = x - x + y - y + z - z
2 Cho 2 vectơ: u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
* u = x12 +y12 +z 1 v = x2 2 +y22 +z 2
dấu đẳng thức p xảy ra khi và chỉ khi u, vcùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0
* u vr r+ ≤ +ur vr
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u, vcùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0
*Điều kiện để hai véc tơ ar và br cùng phơng là ∃ ∈t R để ar=tbr
*Điều kiện để ba véc tơ ar
;cr
và br
không đồng phẵng là a b cr r r; ≠ 0
*Điều kiện để ba véc tơ ar
;cr
và br
đồng phẵng làa b cr r r; = 0
* ur ^ vr Û uvr r = 0 Û x x1 2 +y y1 2 +z z1 2 = 0
* Cho VABC Thì AB+BC ≥BC và AB BC− ≤AC dấu đẳng thức sãy ra khi
ba điểm A;B;C thẳng hàng
Phần II Các dạng toán - phơng pháp chung và ví dụ minh hoạ
Trang 2I Dạng 1 Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = và hai điểm A và B
Sao cho AB//∆ Hãy tìm trên ∆ điểm M sao cho :
1 MA+MB nhỏ nhất
2 MA MBuuur uuur+ nhỏ nhất
3 MA k MBuuur+ uuur ngắn nhất
A B
M
Câu 1; Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = Và hai điểm A và B sao cho //
AB ∆ hãy tìm trên ∆ điểm M∈∆ Sao cho MA+MB nhỏ nhất
1 Ph ơng pháp chung
Cách 1:
I
A B
M M'
:x x0 y y0 z z0
A'
*chứng minh cho AB// ∆
*Gọi I là trung điểm của AB Gọi M là hình chiếu của I trên ∆ Ta chứng minh
M là điểm cần tìm nh sau : Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆ hiển nhiên 3
điểm A’;M;B là thẳng hàng Giả sử M’ là 1 điểm tuỳ ý trên ∆ ta có
M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + ≥ = + = +
Cách 2: Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆,Gọi M là giao điểm của A’B và ∆
Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M’ là 1 điểm tuỳ ý trên ∆ ta có
M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + ≥ = + = +
2 Ví dụ minh hoạ: cho∆: 1 1
1 2 1
x− = =y z+
− Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên ∆ điểm M sao cho :MA+MB nhỏ nhất Cách 1: Nhận xét đờng thẳng ∆ có vectơ chỉ phơng là vuur∆ = − ( 1, 2,1)
Và uuurAB= (2, 4, 2) // − − vuur∆ Thay toạ độ A vào phơng trình ∆ đợc: 2 2 3
1 2 1
− ≠ ≠
− Vâỵ điểm A không thuộc ∆nên AB// ∆
Trang 3Ta có phơng trình tham số của ∆ là:
1
2 ( ) 1
= −
= − +
Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên ∆thì M=(1-t , 2t , t-1) (1) Vậy:uuurIM = −(1 , 2 ,t t t−1) Ta có:
1
3
v IM∆ = ⇔ − + + − = ⇔ =t t t t
uuruuur
Thay 1
3
t= vào (1) ta đợc 2 2, , 2
3 3 3
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ∆ vì AB//∆ nên A’,M, B thẳng hàng và MA’=MB Lấy điểm M’ tuỳ ý thuộc ∆
Ta có: M’A +M’B=M’A’+M’B≥ A’B= MA’+ MB = MA+ MB
Cách 2: Nhận xét đờng thẳng ∆có vectơ chỉ phơng là vuur∆ = − ( 1, 2,1)
Và uuurAB= (2, 4, 2) // − − vuur∆
Thay toạ độ A vào phơng trình ∆ đợc: 2 2 3
1 2 1
− ≠ ≠
− Vâỵ điểm A không thuộc
∆nên AB// ∆ Ta có phơng trình tham số của ∆là:
1
2 ( ) 1
= −
= − +
Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ Thì H=(1-t,2t,-1+t) (1)
Vậy uuurAH = − +( t 2, 2t−2,t−2) Ta có
4
3
v AH∆ = ⇔ − + − + − = ⇔ = ⇔ =t t t t t
uuruuur
Thay
4
3
t=
vào (1) đợc toạ độ điểm 1 8 1, ,
3 3 3
= ữ Gọi A' =(x y z1 , , 1 1) là điểm đối xứng với A qua ∆
Ta có: ' 2, 16, 2 // (1, 8, 1)
3 3 3
Vậy phơng trình đờng thẳng A’B là:
Vậy phơng trình tổng quát của ∆là: 2 2 2 2
Trang 4Gọi M=(x,y,z) là giao điểm của A’B và ∆thì toạ độ M là nghiệm của hệ:
2
2
2 2
3
x
x y
y z
y
x y
=
+ =
− =
−
vậy 2 2, , 2
3 3 3
Nhận xét M là điểm cần tìm thật vậy lấy điểm M tuỳ ý trên ∆
Ta có: M’A+M’B=M’A’+M’B≥ A’B=MA’+MB=MA+MB
Câu 2 : Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = và hai điểm A và B
Sao cho AB//∆ Hãy tìm trên ∆ điểm M sao cho :MA MBuuur uuur+ nhỏ nhất
1.Ph ơng pháp chung
Cách 1:
A I B
M M' :x x0 y y0 z z0
Gọi I là trung điểm của AB Gọi M là hình chiếu của I trên ∆ Tìn toạ độ M và chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Gọi M' là điểm tuỳ ý trên ∆ ta có
' '
M A M B+
uuuuur uuuuur
=2M'I ≥2MI =MA MBuuur uuur+ Cách 2: Lấy M x( 0 +at y; 0 +bt z; 0 +ct) tính độ dài của MA MBuuur uuur+ tù đó tim đợc giá
trị nhỏ nhất
2.ví dụ ninh hoạ: cho∆: 1 1
1 2 1
x− = =y z+
− Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên ∆
điểm M sao cho : MA MBuuur uuur+ nhỏ nhất
Cách 1: Nhận xét đờng thẳng ∆có vectơ chỉ phơng là vuur∆ = − ( 1, 2,1)
Và uuurAB= (2, 4, 2) // − − vuur∆
Thay toạ độ A vào phơng trình ∆ đợc: 2 2 3
1 2 1
− ≠ ≠
− Vâỵ điểm A không thuộc ∆nên AB// ∆
Trang 5Ta có phơng trình tham số của ∆ là:
1
2 ( ) 1
= −
= − +
Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên ∆thì M=(1-t , 2t , t-1) (1)
Vậy:uuurIM = −(1 , 2 ,t t t−1)
3
v IMuuruuur∆ = ⇔ − + + − = ⇔ =t t t t
Thay 1
3
t= vào (1) ta đợc 2 2, , 2
3 3 3
Ta chứng minh điểm M cần tìm:
Thật vậy Gọi M’ là điểm tuỳ ý thuộc ∆
Ta có: M A M Buuuuur uuuuur' + ' = 2 M Iuuuur' = 2M I' ≥ 2MI = MA MBuuur uuur+
Cách 2: Ta có phơng trình tham số của ∆ là:
1
2 ( ) 1
= −
= − +
Lấy điểm
M (1 t− ;2t;− +1 t) Ta có uuuurAM = (2-t;2t-2;t-2) và uuuurBM = − ( ; 2t t+ 2; )t
Nên uuuur uuuurAM BM+ =(2-2t;4t;2t-2) vậy MA MBuuur uuur+ = (2-2t) +16t +(2t-2) 2 2 2 = 24t2 − 16t+ 8
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất khi t=1
3 tức 2 2, , 2
3 3 3
Câu 3: Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = Và hai điểm A và B sao cho //
AB ∆ hãy tìm trên ∆ điểm M∈∆ Sao cho MA k MBuuur+ uuur ngắn nhất
1 Phơng pháp giải
*Viết phơng trình ∆ về tham số
0 0 0
( )
x x at
y y bt t R
z z ct
= +
= +
*Lấy M tuỳ ý thuộc ∆: M=(x0+at;y0+bt;z0+ct)
Thay vào P= MA k MBuuur+ uuur = f t( ) với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P
2 Ví dụ minh hoạ: cho∆: 1 1
1 2 1
x− = =y z+
− Với A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) Tìm trên ∆
điểm M sao cho : MAuuur− 3MBuuur nhỏ nhất
Trang 6Ta có phơng trình tham số của ∆là:
1
2 ( ) 1
= −
= − +
Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc
∆điểm M=(1-t , 2t , t-1)(*)
Ta có MAuuur= −(t 2, 2 2 , 2− t −t MB);uuuur= − −( , 2 2 , )t t t− → −3MBuuur= −( 3 , 6t t+6,3 )t
3 4 8 4 16 64 64 4 8 4 24 80 72
uuur uuur
uuur uuur
P nhỏ nhất 5
3
t −
3
t=− vào (*) ta đợc 8 10 8
, ,
3 3 3
II Dạng 2 Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = và hai điểm A và B Sao cho AB cắt ∆ Hãy tìm trên ∆ điểm M sao cho :
1.MA+MB nhỏ nhất B
2 MA MBuuur uuur+ nhỏ nhất A
3 MA k MBuuur+ uuur ngắn nhất ∆
Câu1: Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = Và hai điểm A và B sao cho AB
và ∆ cắt nhau ,và A;B nằm cùng phía so với ∆ hãy tìm điểm M∈∆ Sao cho MA+MB nhỏ nhất
1 Phơng pháp giải
Cách 1:
*chứng minh cho AB và ∆ cắt nhau và A;B nằm cùng phía so với ∆
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆,Gọi M là giao điểm của A’B và ∆
Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M’ là 1 điểm tuỳ ý trên ∆ ta có
M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + ≥ = + = +
Cách 2: *Lấy M tuỳ ý thuộc ∆: M=(x0+at;y0+bt;z0+ct) ta tinh MA và MB
( ) ( )
P MA MB= + = f t + g t Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P
2.ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng : 2 5
x− = y+ = z
và 2 điểm M1(2 ; 1; 5) ; M2(4 ; 3 ; 9)
Tìm điểm I ∈ (d) sao cho IM1 + IM2 nhỏ nhất
(d) có véc tơ chỉ phơng là :ar = − −(1, 5, 3) và đi qua điểm A(2 ; -5 ; 0)
Trang 7Phơng trình tham số của :
−
=
∈
−
−
=
+
=
t 3 z
) R t ( t 5 5 y
t 2 x : ) d (
Ta có M Muuuuuur1 2 =(2, 2, 4)nên phơng trình tham số đờng thẳng M1M2 là :
+
=
∈ +
=
+
=
m 2 5 z
) R m ( m 1 y
m 2 x
Toạ độ giao điểm nếu có của (d) và đờng thẳng M1 M2 là nghiệm hệ phơng trình :
−
=
−
=
=
⇔
+
=
−
+
=
−
−
+
= +
1 t
1 m
m t m
2 5 t 3
m 1 t 5 5
m 2 t 2
Giao điểm E (1, 0, 3)
(1 , 1 , 2); E M (3 , 3 , 6)
M
E
:
có
Ta → 1 = → 2 = Vậy :
→
→
M E nên M1 và M2 ở về cùng 1 phía đối với đờng thẳng (d)
Gọi (α) là mặt phẳng qua M1 và (α) ⊥ (d) nên phơng trình mặt phẳng (α) là : 1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0 ⇔ x - 5y - 3z + 18 = 0
Giao điểm H của (d) với mặt phẳng (α) :
=
=
=
−
=
⇔
−
=
−
−
+
=
= +
−
−
7
27 , 7
10 , 7
5 H
7
27 z 7
10 y 7
5 x 7
9 t
t
3
z
t
5
5
y
t
2
x
0 18 z 3
y
x
Gọi M' là điểm đối xứng của M1 qua (d) nên H là trung điểm M1M', do đó :
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
7
19 , 7
13 , 7
4 ' M 7
19 z z
2
'z
7
13 y y
'
y
7
4 x x
'
x
1 H
1 H
1 H
Khi đó mọi điểm trên (d) cách đều 2 điểm M1 và M'
Nên : FM1 + FM2 = FM' + FM2, ∀F ∈ (d)
Trang 8Tổng này nhỏ nhất khi và chỉ khi F là giao điểm của (d) với đờng thẳng M2M' (vì M2 và M' ở hai bên đờng thẳng (d)) Ta có : 1 2
32 8 44
; ;
7 7 7
uuuuuur
Phơng trình đờng thẳng qua M' M2 là:
) R 't ( 't
11 9 z
't 2 3 y
't 8 4 x
∈
+
=
+
=
+
=
Giao điểm của (d) với M'M2 là nghiệm hệ phơng trình :
−
=
−
=
+
=
−
+
=
−
−
+
= +
7
10 t 7
3 't 't
11 9 t
3
't 2 3 t 5 5
't 8 4 t
2
(d) E
M 2
M 1
M' I
Toạ độ điểm I cần tìm là : ( ;4 15 30; )
7 7 7
I
Ví dụ 2: cho ∆: 1 1
1 2 1
x− = =y z+
− với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3) tìm M thuộc ∆sao cho MA MB− lớn nhất
Giải:
Cách 1: Phơng trình tham số của ∆ là:
1
2 ( ) 1
= −
= − +
Do M∈∆ →M = − (1 , 2 ,t t t− 1)
Suy ra uuuurAM = − (2 t t, 2 1, + t− 1)
BMuuuur= − −( 4 t t, 2 −2,t+2)
đặt P= MA MB− = (2 −t) 2 + (2 1)t+ 2 + − ( 1)t 2 − (t+ 4) 2 + (2t− 2) 2 + + (t 2) 2 = 6t2 − + − 2t 6 6t2 + + 4t 24
6
P
Chọn M’=(t, 0) ; ' 1, 35 ; ' 1, 35 ' ' ' '
P
Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M’,A’,B’ thẳng hàng
HayMAuuuur'=k MB k Ruuuur'( ∈ )
Vậy ' 1 , 35
= − ữữ
uuuur
; ' 1 , 35
= − ữữ
uuuur
Trang 9Mà
1
1 6
' // '
3
t
t
−
− −
2
3 t 3 t t 3
−
Vậy 1 4, , 1
3 3 3
= ữ là điểm cần tìm.
Cách 2: Đờng thẳng ∆ đi qua điểm C=(1, 0, -1) và có vectơ chỉ phơng là
( 1, 2,1)
vuur∆ = − Suy ra: uuurAB=(6,3, 3)− và uuurAC=(2,1, 1)−
Ta có: , 3 3 , 3 6 , 6 3 (9, 3,15)
2 1 1 1 1 2
AB v∆ − −
uuur uur
và
, 18 3 15 0
AB v∆ AC
uuur uur uuur
Vậy 2 đờng thẳng AB và ∆ đồng phẳng
1
y z
⇔ + = −
Phơng trình ∆: 2 2 2 2
Gọi D là giao điểm của AB và ∆ Toạ độ D là nghiệm của hệ:
1 0
0 (1,0, 1) 1
1
2 1
x y
x
x z
y z
z
x y
+ =
+ =
Ta có :x A <x D <x B vậy A và B nằm khác phía so với đờng thẳng∆ gọi H là hình chiếu của của B trên đờng thẳng ∆ Toạ độ H=(1-t, 2t, t-1) là 1 điểm thuộc ∆ Tacó:HBuuur= +(t 4, 2 2 , 2− t − −t) HB vuuur uur. ∆ = ⇔ − + + 0 (t 4) 2(2 2 ) 2 − t − − =t 0
1
4 4 4 2 0 6 2
3
3 3 3
Gọi B là điểm đối xứng với B qua đờng thẳng ∆ thì H là trung điểm của BB’
Nên toạ độ ' 7, 10 1, ' 4, 7 1, // ' (4,7, 1)
B =− − →AB =− − v = −
uuuur uuur
Vậy phơng trình đờng thẳng AB’ là:
7 7 4 4 7 4 3
Gọi M’ là điểm bất kỳ trên đờng thẳng ∆thì:
Trang 10' ' ' ' ' ' '
M A M B− = M A M B− ≤AB = MA MB− = MA MB−
Vậy toạ độ M là nghiệm của hệ:
1
, ,
1 0
3
x
x y
x z
x y
=
−
Câu2: Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = và hai điểm A và B
Sao cho AB cắt ∆ Hãy tìm trên ∆ điểm M sao cho : MA MBuuur uuur+ nhỏ nhất
1.Ph ơng pháp chung
A
I
B
M M' :x x0 y y0 z z0
Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB Gọi M là hình chiếu của I trên ∆ Tìn toạ độ
M và chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Gọi M' là điểm tuỳ ý trên ∆ ta có ' '
M A M B+
uuuuur uuuuur
=2M'I ≥2MI =MA MBuuur uuur+ Cách 2: Lấy M x( 0+at y; 0+bt z; 0+ct) tính độ dài của MA MBuuur uuur+ tù đó tim đợc giá
trị nhỏ nhất
cho ∆: 1 1
1 2 1
x− = =y z+
− với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3)
tìm M thuộc ∆sao cho : MA MBuuur uuur+ nhỏ nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 2 dạng 1)
Câu3: Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = Và hai điểm A và B sao cho AB
cắt∆ hãy tìm trên ∆ điểm M∈∆ Sao cho MA k MBuuur+ uuur ngắn nhất
1 Phơng pháp giải
*Viết phơng trình ∆ về tham số
0 0 0
( )
x x at
y y bt t R
z z ct
= +
= +
*Lấy M tuỳ ý thuộc ∆: M=(x0+at;y0+bt;z0+ct)
Trang 11Thay vào P= MA k MB+ = f t( ) với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P
cho ∆: 1 1
1 2 1
x− = =y z+
− với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3)
tìm M thuộc ∆sao cho : MAuuur+ 2MBuuur nhỏ nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 3 dạng 1)
III.Dạng 3 : Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = Và hai điểm A và B sao cho AB và ∆ chéo nhau ; hãy tìm điểm M∈∆ Sao cho
1 P=MA+MB nhỏ nhất
2 P= MA MB− Đạt giá trị lớn nhất
3.P= MAuuur+ 2MBuuur ngắn nhất (tơng tự câu 3 dạng 2)
Câu 1: Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = Và hai điểm A và B sao cho AB
và ∆ chéo nhau ; hãy tìm điểm M∈∆ Sao cho P=MA+MB nhỏ nhất
1.Phơng pháp:
Lấy M tuỳ ý thuộc ∆: M=(x0+at;y0+bt;z0+ct) ta tinh MA và MB
( ) ( )
P MA MB= + = f t + g t Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P
2.Ví dụ minh hoạ : cho đờng thẳng ∆: 1 1
x− = =y z+
− và 2 điểm A=(0,1,1), B=(1,0,0) Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất
Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất
Giải:
Nhận xét đờng thẳng ∆ đi qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ chỉ phơng là
(1,1, 1)
vuur∆ = − Ta có uuurAC= − −(1, 1, 2)và uuurAB= − −(1, 1, 1)
Và , 1 1 , 1 1 , 1 1 ( 2,0, 2)
1 1 1 1 1 1
AB v∆ − −
uuur uur
, 2 4 2 0
AB v∆ AC
uuur uur uuur
Trang 12nên đờng thẳng chứa AB và ∆ chéo nhau Vậy phơng trình tham số của ∆ là:
1
( )
1
= +
= − −
Lấy điểm M=(t+1, t, -t-1) (*) là điểm tuỳ ý thuộc ∆
Ta có: uuuurAM = + (t 1,t− − − → 1, t 2) AM = (t+ 1) 2 + − ( 1)t 2 + + (t 2) 2 = 3t2 + + 4t 6
Và BMuuuur= ( , ,t t t− − → 1) BM = t2 + + +t2 (t 1) 2 = 3t2 + + 2 1t
Cách 1: ta có P MA MB= + = 3t2 + + 4t 6 + 3t2 + + 2t 1
(1) Chọn
' , , ' , , ' ( ,0)
Thay vào (1) có: ' ' ' ' ' '
3
P
M A M B A B
Vậy P nhỏ nhất khi và chỉ khi 3 điểm A’, B’, M’ thẳng hàng
Ta có: ' ' 1, 2 14 , ' ' 2, 14
uuuuur uuuuuur
để 3 điểm A’, M’, B’ thẳng hàng điều kiện là
2
3
t
+
Thay vào (*) đợc: 13 7, 7 5, 7 13
Cách 2: ta có phơng trình tham số của đờng thẳng ∆ là:
1 ( ) 1
= +
= − −
Ta lấy điểm M∈∆, toạ độ M=(t+1, t, -t-1)
Gọi E là hình chiếu của B trên ∆ điểm E=(t+1,t,-1-t)
Ta có uuurBE= ( , ,t t t− − 1)
Vì E là hình chiếu của B trên đờng thẳng ∆ nên v BEuuruuur∆ = ↔ + + + = 0 t t t 1 0
2
3
→ = + + + + + = + ữ + + + ữ +
Trang 133
t −
↔ = Vậy toạ độ điểm 2, 1 2, 4 1 1 6
Gọi I là hình chiếu của A trên đờng thẳng ∆thì I=(t+1, t, -1-t)
Và uurAI = =(t 1,t− − −1, t 2). nên 0 1 1 2 0 2
3
AI v∆ = ↔ + + − + + = ↔ =t t t t − uur uur
Ta có 1, 2, 1 1 25 16 42
I = − − →AI = + + =
Vậy M∈∆ sao cho MI AI MI AI.ME
−
= →uuur= uuur Hay MIuuur= − 7.MEuuur (1)
Ta có: 2 , 2 , 2 , 1 ; 1 ,1
MI = − −t − −t t+ ME= − −t − −t +t
Thay vào (1) ta có: 2 7 7 ( 7 1) 2 7
2 7 ( 2 7)( 7 1) 7 5
3( 7 1)
+
Thay t vào toạ độ M ta đợc: 13 7, 7 5, 7 13
Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Gọi P là mặt phẳng chứa I và P vuông góc với∆ Trên mặt phẳng dựng đờng tròn tâm I, bán kính IA, trên đ-ờng tròn này lấy điểm A’ sao cho A’, B nằm về hai phía so với ∆ và A, B đồng phẳng ta lấy điểm M tuỳ ý trên ∆
Ta có : M’A+M’B=M’A’+M’B≥ A’B=MA’+MB=MA+MB
Câu 2: Cho đờng thẳng :x x0 y y0 z z0
∆ = = Và hai điểm A và B sao cho AB
và ∆ chéo nhau ; hãy tìm điểm M∈∆ Sao cho P= MA MB− Đạt giá trị lớn nhất
1 Phơng pháp :Lấy M tuỳ ý thuộc ∆: M=(x0+at;y0+bt;z0+ct) ta tinh MA và
MB
( ) ( )
P= MA MB− = f t − g t Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị lớn nhất của P
2.Ví dụ minh hoạ: cho đờng thẳng ∆: 1 1
x− = =y z+
− và 2 điểm A=(0,1,1), B=(1,0,0) Tìm điểm M sao cho: MA MB− lớn nhất
Giải : Nhận xét đờng thẳng ∆ đi qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ chỉ phơng là (1,1, 1)
vuur∆ = − Ta có uuurAC= − −(1, 1, 2)và uuurAB= − −(1, 1, 1)