Mér $6 BAI TOAN eve TRI HINA HOC PRONG RNORNG COLIN NGUYEN TH] THU HUONG GV THPT chuyên Hưng Yên ọc sinh THPT thường lúng túng khi H gặp các bài toán cực trị, nhất là cực trị hình
Trang 1
Mér $6 BAI TOAN
eve TRI HINA HOC
PRONG RNORNG COLIN
NGUYEN TH] THU HUONG
(GV THPT chuyên Hưng Yên)
ọc sinh THPT thường lúng túng khi
H gặp các bài toán cực trị, nhất là cực
trị hình học Bài viết sau đây sẽ góp
phần giúp các bạn tự tín hơn khi gặp các dạng
toán nảy trong các kì thi tuyển sinh vào Đại
học và Cao đẳng
Các bài toán tổng quát được xét trong không,
gian với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc
Oxyz Õ phần áp dụng, ngoài thí đụ |, thí dụ 2
được giải chỉ tiết, các thí dụ khác chúng tôi
chỉ hướng dẫn giải hoặc đưa ra kết quả để bạn
đọc tự giải
Bài toán 1 Trong không gian với hệ tọa
d6 Descartes vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
(a) có phương trình (PT) Ax * By + C:+ D= 0
và hai điểm MẸ ;yi ïzì), NG; ;y: ;=:) không
thuộc (a) Tìm điểm 1 trên mặt phẳng (a)
sao cho:
a) IM + IN là nhỏ nhất ;
b) |[M — IMỊ là lớn nhất
Cách giải a) Trước hết ta xác định vị trí
tương đối giữa M và N so với mặt phẳng (ø)
bằng cách xét
T= (An + By, + Cz + D Ax, + Byr + Cz + D)
e Nếu 7> 0 thì A⁄, N cing phia déi với mp(2);
Khi Ä⁄ N cùng phía với nhau đối với mp(4) ta làm như sau:
Xác định điểm M' đối xứng với ă qua mp(2),
lúc đó 1M = TM“ Ta có IM + IN = IM! + IN >
MIN Dang thức xảy ra khi và chỉ khi 7 M,N
thing hang Do đó điểm 7 thỏa mãn a) là giao điểm của Aƒ'N và mp(a)
s Nếu 7 < 0 thì M, M khác phía đối với mp(2)
Khi đó điểm 7 cần tìm chính là giao điểm của
đường thing MN voi mp(a)
b) © Néu M va N ndm vé cling mét phia déi
với mp(@) va MN // mp(a) thi cd WM — IM <
MN Dang thức xây ra khi và chỉ khi , M N thẳng hàng Điểm / cẩn tìm là giao của AZM'
với mp(g) Còn nếu MM//mp(Ø) thì không xác định được điểm 7
© Néu M và N khác phía đối với mp(ø) thi lấy
điểm M' đối xứng với 8 qua mp(a) Khi đó [IM — IN| = |IM" — IN| < MỊN Đăng thức xây
ra khi và chỉ khi 7, AZ“ N thẳng hàng Điểm 7
cần tìm là giao của M'N với mp(2)
Thí dụ 1 Trong không gian với hệ rọa độ
Descartes Oxyz cho hai điểm M(I ; 2 ; 3) và
ÁN :4; 5) Tìm điềm 1 thuộc mặt phẳng (xOy)
sao cho IM + IN nhỏ nhất
Lời giải PT mặt phẳng (xOy) là z = 0 (4 = B
=D=0,C a có 7 = 3.5 > 0, đo đó A/,
(xOy) Ta xác định ƒ như sau:
Gọi AZ' là điểm đối xứng với M qua mp(xOy)
Đường thing (d) qua M vuông góc với
mp(xOy) có vectơ chỉ phương ¡ = (0; 0; 1) nên
x=l
z=3+
Lúc đó 3 + + = 0, suy ra (1 ; 2 ; 0)
co IM + IN= IM'+ IN> M'N
Đẳng thức xây ra khi và chỉ khi ƒ = AfW ¬
2 8
Trang 2Điểm /( + 3m ; 2 + 2m ; - 3 + 8m) cần tìm
thuge M'N, và mp(xOy) nên -3 + 8m = 0
171
Vậy! » G 4# } 30
Thí dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ
Đescartes vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (2)
cóPT 2x—y+z+ 1 =0 và hai điểm M(3 ; 1 ; 0),
N(-9 ; 4; 9) Tìm điểm ï trên mp(@) sao cho
JĂM— INỊ đạt giá trị lớn nhất
Lời giải Ta có T = 6.(—12) < 0 nên M N nằm
về hai phía của mp(ø) Gọi & là điểm đối
xứng của Ä/ qua mp(a), khi đó đường thẳng
MR qua MG ; Ì; 0) vuông góc với mp(ø) có PT
x-3_y-l_z
2 +1 T7 Gọi #= MR ¬ mp(a), suy ra #3 + 2; Ì ~f; 0)
e MR Vì H e mp(Ø) nên #f(1 ;2; ˆL), suy ra
RC1;3;~2)
Ta có |fM — IN| = [IR ~ IN| < RN Ding thie
xy ra khi va chi khi J, N, R thẳng hàng, Lại cỏ
RN = 8; 1; 11), do đó RN cé PT tham số
x=-I-
yo3et teR
Điểm 7 cần tìm là giao của RN v6i mp(2)
f—L—8í; 3 +; ~2 + L1?) e mp(2) suy ra
1;2;-13)
Bài toán 2 Trong không gian với hệ trục
tọa độ Descartet Oxyz cho đường thằng d và
cdc diém M(x, ; yy 321) va (xa 3 yo 5 22) không
thuộc d Tim diém I trên đường thẳng d sao
cho IM + IN bé nhất
Cách giải
® Trường hợp 1 M, N và d nằm trong một mặt
phẳng Khi đó ta thực hiện bài toán trong mặt
phẳng: Nếu đoạn AZM cất đ thì giao điểm đó
chính là điểm J can tim Néu doan MN khéng
ct d thi lay M’ déi ximg voi M qua d khi đó
IM = IM’, Ta cé IM + IN = IM' + IN > MIN
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 7, À#, N thang,
hàng, khi đó JM + IN bé nhất Từ đó 7 là giao
điểm của M'N và d, suy ra tọa độ điểm J
« Trường hợp 2 MN và d chéo nhau Có hai
khả năng: x
* Nếu MNLd Í
(h 1) thì ta lâm
như sau: Gọi (P)
là mặt phẳng qua _ „ N
MN vuông góc
với đtại J, khi đó — 'đ
MJLd;NJLad M
va MJ + NJ =k Hink 1
(không đổi) Với
mọi ¡ e đ: IM > JM ; IN > JN © IM +IN >
JM + JN Đẳng thức xây ra khi và chỉ khi
T= J, từ đó tìm được tọa độ điểm /, giao của
(P) vad
*) Néu MN khéng
vudng géc vi d ta
chuyển bài toán về
mặt phẳng, để giải
như sau (xem h.2):
~ Xác định hình
chiếu vuông góc /ƒ
của W xuống đ
~ Gọi (#) là mặt
phẳng (N; đ) ; (P)
là mặt phẳng qua # vuông góc đ ; (Ó) là mat phẳng chứa đ và điểm Mƒ; A = (P) ¬ (Ø) >
A 1 đtại H Trên A lấy K sao cho KH = NH và
K M-nằm về hai phía so với mặt phẳng (R)
Khi đó với mọi J e 4 thì ANJH = AKJH => JK
=JN = JM + JN = JM + JK = MK Dang thite xay ra khi J, M, K thắng hàng từ đó tìm được toa d6 diém / = J giao cia MK và đ là điểm
cần tìm
Thí dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho MÀ ; 2 ; ~l),
NI ; ~2 ; 3) và đường thẳng đ có PT
xtl_y-2_ 2-2
Tìm điểm I thuộc d sao cho IM + IN nhỏ nhất
Hướng dẫn Dường thẳng d có veetơ chỉ phương 1=(;-2:2): MỸ =(6:-4;4)= MN =2u ;
M £ d nên MN /í đ, do đỗ trên mặt phẳng (a, MN) goi M” là điểm đối xứng của M thì mặt phẳng (2) qua À⁄(1 : 2 ; —1) với vecto chi phương (3 ; ~2 : 2) có phương trình:
3v~2y+2z+3=0
Goi H= dn (a) => HCH 5252) => M'(-332;5)
1 = dO MIN = HINIMN = I teung điểm MN nên /(2 ; 0; 4) la diém can tim
Thí dụ 4 Trong không gian với hệ
tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho
MG:1:1), Ma: 33 ? và đường thẳng d có
pr acl Tim I thuée d sao cho
1 7 _
IM + IN nhỏ nhất
Hưởng dẫn Ta có MA = (1 ; 2; 3); d cô vectơ chỉ phương # =(I;~2; 1) nên AÝ.z= 1.1 + 2.(-2) +3.1 =0, suy ra AM L đ
Mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với đ tại 7
cóPTx—2y+z—
Điểm / = (P) ¬ đ nên i 17,233),
3°3°3
Cuối cùng mời các bạn giải một số bài toán
tương tự trên hệ trục tọa độ Ox)z
1) Cho mặt phẳng (2) có PT 2x — y +z + ] =0
và hai điểm AZ@ ; I : 0); M(-9 ; 4; 9)
a) Tìm điểm 7 thuộc mặt phẳng (2) sao cho + | dat gi hỏ nhất
b) Tìm điểm 7' thuộc mặt phẳng (2) sao cho
\/'M ~ I'N| dat giả trị lớn nhất
2) Cho M(1 : 1; 0), NG
thẳng đ có PT te =
: 4) và đường +2
—— Tim diém
2
¬l
J trén d sao cho mm + 7N bé nhất
3) Cho M(—1 ; 3 - 2), M9 ; 4 ; 9) và mặt phẳng (P) có PT 2x ~ y + z + I =0 Tìm điểm
1 trên mặt phẳng (P) sao cho /M + IN bé nhất.