Đề ôn thi môn Toán đại học

HẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢCÁC THÍ SINH (7,0 điểm)Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y 3 26 9 4 x x x = − + − +1)Khảo sát sựbiến thiên và vẽ đồthị ( ) C của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồthị ( ) C tại giao điểm của ( ) C với trục hoành. 3) Tìm m đểphương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: 3 26 9 4 0 x x x m − + − + =Câu II (3,0 điểm): 1)Giải phương trình: 2 12 3.2 2 0x x +− − =2)Tính tích phân: 10(1 )xI x e dx = +∫3)Tìm giá trịlớn nhất và nhỏnhất của hàm số: 2( 1)xy e x x = − − trên đoạn 0;2. Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCDcó cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính thểtích của hình chóp. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm):Trong không gian với hệtoạ độ Oxyz, cho (2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2) A B C − − . 1)Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Viết

Trang 1

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông

Đề số 01 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

- -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y 3 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành

3) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: 3 2

I = ∫ +x e dx

3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y =e x x( 2− − trên đoạn [0;2] x 1)

Câu III (1,0 điểm):

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của hình chóp

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây

1 Theo chương trình chuẩn

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2) A − B − C

1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng ( ABC)

2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng ( ABC)

Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: z+2z = +6 2i

2 Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho (2; 0; 1), (1; 2; 3), (0;1;2) A − B − C

1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng ( ABC)

2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC

Câu Vb (1,0 điểm): Tính môđun của số phức z = ( 3−i)2011

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Trang 2

y′′ = − +6x 12= ⇔ = ⇒ = Điểm uốn là I(2;2) 0 x 2 y 2

Giao điểm với trục hoành: 0 3 6 2 9 4 0 1

Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng như hình vẽ bên đây

( ) :C y = − +x3 6x2−9x+ Viết pttt tại giao điểm của ( )4 C với trục hoành

Giao điểm của ( )C với trục hoành: (1;0), (4; 0)A B

Trang 3

2 a

O C B

2

1 2

Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO ⊥(ABCD) do đó SO là đường cao

của hình chóp và hình chiếu của SB lên mặt đáy là BO,

do đó SBO =600 (là góc giữa SB và mặt đáy)

Ta có, tan tan tan

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu IVa: Với (2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)A − B − C

Ta có hai véctơ: AB= − −( 1; 2; 4), AC = −( 2;1; 3)

Trang 4

Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm là ( 1 1)

2 21; ;

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu IVb: Với (2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)A − B − C

Bài giải hoàn toàn giống bài giải câu IVa (phần của ban cơ bản): đề nghị xem lại phần trên

Đường thẳng AC đi qua điểm (2; 0; 1) A − , có vtcp u=AC= −( 2;1; 3)

14( 2) (1) (3 )

Trang 5

Đề số 02 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - -

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 2

y =x − x + x

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y =3x

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và có độ dài là a 3, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600 Tính diện tích toàn phần của hình chóp

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm (2;1;1) A và hai đường thẳng

1) Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm A đồng thời vuông góc với đường thẳng d

2) Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d ′

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:

( )z −2( )z − = 8 0

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu (S) lần lượt có phương trình

( ) :P x−2y+2z+ = và 1 0 2 2 2

( ) :S x +y +z – 4x+6y+6z +17= 0

1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng

2) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng

Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dưới dạng lượng giác 1

2 2

z

i

=+

- Hết -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

Trang 6

y′′ =6x − = ⇔ = ⇒ = Điểm uốn là I(1;1) 6 0 x 1 y 1

Giao điểm với trục hoành:

Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):

( ) :C y =x3−3x2+3x Viết của ( )C song song với đường thẳng ∆:y =3x

Tiếp tuyến song song với ∆:y =3x nên có hệ số góc k = f x′( )0 = 3

Trang 7

a 3

A B

C S

Với 2

0cos

Theo giả thiết, SA⊥AB , SA⊥AC , BC ⊥AB , BC ⊥SA

Suy ra, BC ⊥(SAB) và như vậy BC ⊥SB

Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác vuông

Ta có, AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên SBA =600

Trang 8

d'

α

A B

Giao điểm của ( )α và d ′ là (4; 1; 3) B − −

Đường thẳng ∆ chính là đường thẳng AB, đi qua (2;1;1) A , có vtcp u=AB =(2; 2; 4)− − nên

Từ pt của mặt cầu (S) ta tìm được hệ số : a = 2, b = –3, c = –3 và d = 17

Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R = 22 + −( 3)2 + −( 3)2−17 = 5

Vì ( ,( ))d I P < nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) R

Gọi d là đường thẳng qua tâm I của mặt cầu và vuông góc mp(P) thì d có vtcp

Trang 9

Vậy, 1 1 2 2 2 2 cos sin

Trang 10

Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

- -

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = − +x4 4x2− 3

2) Dựa vào ( )C , hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x4−4x2+ +3 2m = 0

3) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ ( , , , )O i j k , cho OI =2i+3j−2k và mặt phẳng

( )P có phương trình: x−2y−2z− = 9 0

1) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là điểm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P

2) Viết phương trình mp( )Q song song với mp( )P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( )S

Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:

3 4 2 3 1

y =x − x + x− và y = −2x + 1

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) và đường thẳng d có

phương trình: 2 1

1) Hãy tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d

Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ pt log4 log4 1 log 94

Trang 11

BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I :

Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞ −; 2),(0; 2), NB trên các khoảng (− 2; 0),( 2;+∞ )

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1 tại xCÑ = ± 2, đạt cực tiểu yCT = –3 tại xCT =0

Giao điểm với trục hoành: cho

2

11

33

x x

f x′ = f′ =y′= − x + x = −

i

Trang 12

2a I

C B

Câu III Theo giả thiết, SA⊥AC , SA⊥AD , BC ⊥AB , BC ⊥SA

Hoàn toàn tương tự, ta cũng sẽ chứng minh được CD ⊥SD

A,B,D cùng nhìn SC dưới 1 góc vuông nên A,B,D,S,C cùng thuộc

đường tròn đường kính SC, có tâm là trung điểm I của SC

Trang 13

Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là:

Vậy, toạ độ hình chiếu của A lên d là (3; 3;1) H

Tâm của mặt cầu: A(–1;2;7)

Trang 14

1

x y x

−

=

−

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC= 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ ( , , , )O i j k , cho OM=3i+2k, mặt cầu ( )S có

phương trình: (x−1)2 +(y+2)2 + −(z 3)2 =9

1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính của mặt cầu ( ) S Chứng minh rằng điểm M nằm trên mặt

cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu tại M

2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu, song song với mặt phẳng ( ) α , đồng thời vuông góc với đường thẳng : 1 6 2

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh là

A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1)

1) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD

2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây

ln

y = x , trục hoành và x = e

- Hết -

Trang 15

Hàm số đã cho NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị

Giới hạn và tiệm cận: lim 2 ; lim 2 2

2

2 13

2

2 11

Trang 16

a a

A B

C S

Với 3

1 0

sin cos

x dx I

m m

Vậy, với m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 =2

Câu III Theo giả thiết, SA⊥AB , BC ⊥AB , BC ⊥SA

Trang 17

21

Trang 18

(4 )

2) Tìm điều kiện của tham số b để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt:

=

+

∫

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =e x +4e−x +3x trên đoạn [1;2]

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau, SB =SC = 2cm, SA =

4cm Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, từ đó tính diện tích của mặt cầu đó

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho điểm ( 3;2; 3) A− − và hai đường thẳng

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P)

Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

2) Viết phương trình mp(P) chứa d1 và song song với d2 Tính khoảng cách giữa d1 và d2

Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:

2

y = x , x + = và trục hoành y 4

Hết

Trang 19

x x

= ⇔ − + = ⇔  = ⇔  = ±

Giao điểm với trục tung: cho x = ⇒ = 0 y 0

Bảng giá trị: x − 2 − 2 0 2 2

Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:

x4 −4x2 +logb = ⇔ − +0 x4 4x2 =logb (*)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = logb

Dựa vào đồ thị, (C) cắt d tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi

4

0<logb< ⇔ < <4 1 b 10

Vậy, phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1< <b 104

 Giả sử A x y( ; )0 0 Do tiếp tuyến tại A song song với : d y =16x +2011 nên nó có hệ số góc

Trang 20

I M

H

B A

e e

Dễ thấy IH là trung trực của đoạn SA nên IS = IA

H là tâm đường tròn ngoại tiếp SBC∆ và IH ⊥(SBC) nên

IS =IB=IC (=IA)⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

d1 đi qua điểm M1(1; 2; 3)− , có vtcp u1 =(1;1; 1)−

d2 đi qua điểm M2(3;1;5), có vtcp u2 =(1;2; 3)

Trang 21

d1 đi qua điểm M1(1; 2; 3)− , có vtcp u1 =(1;1; 1)−

d2 đi qua điểm M2( 3;2; 3)− − , có vtcp u2 =(1;2; 3)

Suy ra, [ ,u u 1 2].M M1 2 =5.( 4)− −4.4+1.( 6)− = −42≠0, do đó d1 và d2 chéo nhau

Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2

Trang 22

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y =2x3+(m+1)x2+(m2−4)x−m+ 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m = 2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung

3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

x

y =x e− Chứng minh rằng, xy′ = −(1 x y2)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB)

và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp

S.ABCD

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho (0;1;2), ( 2; 1; 2), (2; 3; 3), ( 1;2; 4) A B − − − C − − D− −

1) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông Tính diện tích của tam giác ABC

2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Tính thể tích tứ diện ABCD

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:

2

2ω −2ω+ = 5 0

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho (0;1;2), ( 2; 1; 2), (2; 3; 3) A B − − − C − −

1) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông Tính diện tích của tam giác ABC

2) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (ABC) Xác định toạ độ điểm D trên ∆ sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 14

Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:

2

z + z = i

- Hết -

Trang 23

y

1 2

Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞ −; 1),(0;+∞ , NB trên khoảng ( 1;0)) −

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 0 tại xCÑ = − , đạt cực tiểu y1 CT = –1 tại xCT =0

Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây

Giao điểm của ( )C với trục tung: (0; 1)A −

m m

2

x x

Trang 24

a a

0 0

1(e x 2 e x)dx (e x 2x e x) (e 2.1 e ) (e 2.0 e ) e 2

0

2

x x

e

e e

+

Hàm số

2 2

Suy ra hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC, do đó SCA =600

tanSCA SA SA AC tanSCA AB2 BC2 tan 600 a2 (2 ) 3a 2 a 15

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Điểm trên mp(ABC): A(0;1;2)

Trang 25

Hoàn toàn giống như bài giải câu IVa.1 dành cho chương trình chuẩn

Đường thẳng ∆ đi qua điểm B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Trang 26

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 1 3 2

3

y = − x + x − x

2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 4 Vẽ tiếp tuyến này lên cùng hệ trục toạ độ với đồ thị ( )C

Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 9x+1−3x+2−18= 0

2) Tính tích phân:

2 1

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của hình chóp

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3) A − B − − C −

1) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C đồng thời

vuông góc với đường thẳng AB

2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng AB Viết phương trình mặt cầu

tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB.

Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: 3 z + =9 2iz +11i

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; 1), ( 4; 1; 3), (1; 2; 3)− B − − C −

1) Viết phương trình đường thẳng AB và tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm C, tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm toạ độ tiếp điểm của

đường thẳng AB với mặt cầu ( )S

Câu Vb (1,0 điểm): Tính môđun của số phức z = ( 3 +i)2011

- Hết -

Trang 27

y

d

4 2

Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng (–∞;1), (3;+∞)

Hàm số đạt cực đại yCÑ =0 tại xCÑ =3 ; đạt cực tiểu CT 4

I −

Giao điểm với trục hoành: cho 0 1 3 2 2 3 0 0

33

Trang 28

60

M O

C B

Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là 10− và số lớn nhất là 2

Câu IVa: Với (2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)A − B− − C −

Điểm trên đường thẳng AB: (2;1; 1) A −

vtcp của đường thẳng AB: u =AB = − −( 6; 2; 4)

Suy ra, PTTS của đường thẳng AB:

Trang 29

Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm là ( 1; 0;1)H −

Vì mặt cầu (S) tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB nên nó đi qua điểm H

Câu IVb: Với (2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)A − B− − C −

Đường thẳng AB: xem bài giải câu IVa.1 của chương trình chuẩn

Đường thẳng AB đi qua (2; 0; 1) A − , có vtcp u =AB = − −( 6; 2; 4)

Gọi tiếp điểm cần tìm là H ∈AB thì H có toạ độ (2 6 ;1 2 ; 1 H − t − t − +4 )t

Vì CH ⊥AB nên CH AB =0 Giải ra được t = 0,5 Và suy ra, H( 1; 0;1)−

Trang 30

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:

1

x y x

=+

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại các giao điểm của ( )C với ∆: y = x

3) Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng d: y =kx cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt

2) Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( )f x =2 lnx x , biết (1)F = − 1

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =x3+4x2−3x−5 trên đoạn [ 2;1]−

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Biết rằng AB = 3, BC = 2 và SA = 6

Tính thể tích khối chóp S.ADE

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có toạ độ các đỉnh:

(1;1;1), (2; 1; 3), (5;2; 0), ( 1; 3;1)

1) Xác định toạ độ các đỉnh C và B′ của hình hộp Chứng minh rằng, đáy ABCD của hình hộp là

một hình chữ nhật

2) Viết phương trình mặt đáy (ABCD), từ đó tính thể tích của hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

Câu Va (1,0 điểm): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y 1 1

x

= − , trục hoành và x = 2 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox

Câu IVb (2,0 điểm):Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có toạ độ các đỉnh:

(1;1;1), (2; 1; 3), (5;2; 0), ( 1; 3;1)

1) Xác định toạ độ các đỉnh C và B′ của hình hộp Chứng minh, ABCD là hình chữ nhật

2) Viết phương trình mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,D và A′ của hình hộp và tính thể tích của mặt

cầu đó

Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z2 – (1+5 ) – 6 2i z + i=0

- Hết -

Trang 31

y

1 -1 O 1

2

-2 0.5

BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I:

Hàm số

1

x y x

=+

Hàm số ĐB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị

Giao điểm với trục hoành: cho y = ⇔ =0 x 0

Giao điểm với trục tung: cho x = ⇒ =0 y 0

Trang 32

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=x3 +4x2 −3x−5 trên đoạn [ 2;1]−

Hàm số y =x3+4x2−3x−5 liên tục trên đoạn [ 2;1]−

y′ =3x2+8x−3

Cho

(loai) (nhan)2

f f

− = − + ⋅ − − ⋅ − − =

= + ⋅ − ⋅ − = −Trong các số trên số 149

497

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu IVa: A(1;1;1), (2; 1; 3), (5;2; 0),B − D A′( 1; 3;1)−

ABCD là hình bình hành ⇔AB=DC

Trang 33

1 5 6(1; 2;2)

Diện tích mặt đáy ABCD: B =S ABCD =AB AD =3.3 2 =9 2(đvdt)

Chiều cao h ứng với đáy ABCD của hình hộp chính là khoảng cách từ A′ đến (ABCD):

Câu IVb: (1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0), ( 1;3;1)A B − D A′−

Hoàn toàn giống câu IVa.1 (phần dành cho CT chuẩn): đề nghị xem bài giải ở trên

Giả sử phương trình của mặt cầu ( ) :S x2 +y2 +z2 −2ax−2by−2cz + = d 0

Vì (S) đi qua bốn điểm (1;1;1), (2; 1; 3), (5;2; 0), ( 1; 3;1) A B − D A′− nên:

a b c d

Trang 34

y = − +x x − có đồ thị là ( )C

2) Dựa vào đồ thị ( )C , hãy tìm điều kiện của tham số k để phương trình sau đây có 3 nghiệm

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =2x3 +3x2 −12x+ trên [ 1;2]2 −

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ′ ′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng a Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:

1

2 2( ) : 3

1) Chứng minh rằng hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 vuông góc nhau nhưng không cắt nhau

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 đồng thời song song d2 Từ đó, xác định khoảng

cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 đã cho

Câu Va (1,0 điểm): Tìm môđun của số phức: z = +1 4i+ −(1 i)3

Câu IVb (2,0 điểm):Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:

1

2 2( ) : 3

1) Chứng minh rằng hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 vuông góc nhau nhưng không cắt nhau

2) Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ),( )d1 d2

Câu Vb (1,0 điểm): Tìm nghiệm của phương trình sau đây trên tập số phức:

2

z =z , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z

- Hết -

Trang 35

y

y = m - 1

3 1

3 -1

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = k – 1

(*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ − < − < ⇔ < < 1 k 1 3 0 k 4

Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ < < 0 k 4

Đối chiếu với điều kiện (1) ta nhận: 3 < x < 5

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: S =(3;5)

Trang 36

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =2x3 +3x2−12x+ trên đoạn [ 1;2]2 −

Hàm số y =2x3 +3x2 −12x + liên tục trên đoạn [ 1;2]2 −

f f

Gọi ,O O ′ lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và A B C′ ′ ′

thì OO′ vuông góc với hai mặt đáy Do đó, nếu gọi I là trung

d1 đi qua điểm M1(2; 3; 0), có vtcp u1 = −( 2; 0;1)

d2 đi qua điểm M2(2;1; 0), có vtcp u2 =(1; 1;2)−

Vậy, d1 vuông góc với d2 nhưng không cắt d2

Mặt phẳng (P) chứa d1 nên đi qua M1(2; 3; 0) và song song d2

Trang 37

Khoảng cách giữa d1 và d2 bằng khoảng cách từ M2 đến mp(P), bằng:

2 5.1 2.0 17 10 30( ,( ))

330

Câu IVb: (1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0), ( 1;3;1)A B − D A′−

Hoàn toàn giống câu IVa.1 (phần dành cho CT chuẩn): đề nghị xem bài giải ở trên

1

2 2( ) : 3

d1 đi qua điểm M1(2; 3; 0), có vtcp u1 = −( 2; 0;1)

d2 đi qua điểm M2(2;1; 0), có vtcp u1 =(1; 1;2)−

Lấy A∈d B1, ∈ thì (2 2 ;3; ), (2d2 A − a a B +b;1−b b;2 )⇒AB=(b+2 ; 2a− −b b;2 −a)

AB là đường vuông góc chung của d1 và d2 khi và chỉ khi

1 2

Trang 38

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = − +x3 3x+ có đồ thị là ( )1 C

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục tung Vẽ tiếp

tuyến đó lên cùng một hệ trục toạ độ với đồ thị ( )C

3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x4 −2x3 +x2 trên đoạn [–1;1]

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính

diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình

chóp đã cho

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( 5;0;1), (7;4; 5) A− B − và mặt

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (0;6;4) A và đường thẳng d có

phương trình d: 2 1

x− = y− = z

1) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Câu Vb (1,0 điểm):Giải phương trình sau đây trên tập số phức

2 (3 4 ) ( 1 5 ) 0

x − + i x + − + i =

- Hết -

Trang 39

y

y = 3x + 1

1 3

-2

-1 -1 O 1 2

BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I:

Trang 40

O

C B

A

D S

Vậy, I = e + 1

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =x4 −2x3 +x2 trên đoạn [ 1;1]−

Hàm số y =x4 −2x3 +x2 liên tục trên đoạn [ 1;1]−

Vậy, khi hoặc khi

Gọi I là trung điểm AB ta cĩ (1;2; 2) I −

Mặt cầu ( )S cĩ đường kính AB, cĩ tâm (1;2; 2) I −

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	1,09 MB