ạng 1:Chứng minh ñẳng thức k n C bằng ñạo hàm Bài 1: CMR: ( ) ( ) 0 1 2 3 5 ... 2 1 1 2 n n n n n n C C C n C n + + + + + = + Bài 2: CMR: 1 1 2 2 3 3 1 2 2.2 3.2 ... 3 n n n n n n n n n C C C nC n − − − − + + + + = Bài 3: CMR: ( ) 1 1 2 3 4 2 3 4 ... 1 0 n n n n n n n C C C C nC − − + − + + − = Bài 4: CMR: ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 1 3 2 1 1 1 2 1 4 1 4 2 4 ... 1 2.2 ... 2 n n n n n n n n n n n n n n n C n C n C C C C n C − − − − − − − − + − − + − = + + + Bài 5. CMR ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ... 1 n n n n n C C n C n − + + + = −
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
_
THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐH-CĐ NĂM 2008-2009
Đề thi môn : TOÁN Khối : A - B
Thời gian làm bài : 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I (2,0 điểm ) Cho hàm số : y x= 3 + 3x2 +mx + ( m là tham số ) 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
2 Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt
C(0;1), D và E đồng thời các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau
Câu II (2,0 điểm )
1 Giải hệ phương trình : 7 2 5
⎪
⎨
⎪⎩
2 Giải bất phương trình : l go (x2 − −x 6)+ ≤x lo xg( + 2) 4 +
Câu III (1,0 điểm ) Tính tích phân :
3
4
sin 3 os 3
π
π
Câu IV (1,0 điểm ) Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm
S với SA = 2a Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’ Tính thể tích hình chóp SAB’C’D’
Câu V (1,0 điểm ) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện : x+y+z=1
2
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
1 Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a (2,0 điểm )
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3) Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ
Ox, Oy ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại A
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C): ( ) (2 )2 2
x− + y+ +z = và hai đường thẳng :
Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm của (C) đồng thời cắt (d1) và (d2) Câu VII.a (1,0 điểm) Cho n nguyên dương Chứng minh rằng :
1
2
C+ +C+ + +C+ ++ + +C ++ =
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b ( 2,0 điểm )
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3) Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ
Ox, Oy ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại B
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C): ( ) (2 )2 2
x− + y+ +z = và hai đường thẳng :
Hãy viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với (C) đồng thời song song với (d1) và (d2) Câu VII.b (1,0 điểm )Cho n nguyên dương Chứng minh rằng :
1
2
_Hết _
Chú ý : Thí sinh dự thi có thể download đáp án và thang điểm tại : http://k2pi.tk
Trang 2Phạm Kim Chung 0984.333.030
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI THỬ ĐH-CĐ LẦN I
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
I.1 Khi m = 3, hàm số đã cho trở thành : y=x3+3x2+3x+ 1
• Tập xác định : R
• Sự biến thiên :
Đạo hàm : y’ = 3x2+6x+3=3(x+1)2≥ 0, ∀ R∈ Hàm số đã cho đồng biến trên R
Giới hạn :
→+∞ = +∞ →−∞ = −∞ , hàm số đã cho không có tiệm cận
Bảng biến thiên :
x - ∞ -1 +∞
y’ + 0 +
y
-∞
+∞
• Đồ thị :
Giao với Ox : A(-1;0) Giao với Oy : B(0;1)
Đồ thị nhận điểm uốn U(-1;0) làm tâm đối xứng
0,25
0,25
0,25
0,25
I.2 Xét phương trình : 1 =x3 + 3x2 +mx+ ⇔ 1 x x( 2 + 3x+m)= 0 (*) 0,25
y=x + x + x+
y
x
O
Trang 3Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có ba
nghiệm phân biệt
Hay phương trình : 2+ + =
x 3x m 0 có 2nghiệm phân biệt khác 0
≠
⎧
≠
− > <
m 0
m 0
(a) 9
4 Giả sử D x ; y( D D) (; E x ; yE E), theo yêu cầu bài toán ta cần có :
( ) ( )= − ⇔( 2 + + )( 2 + + )= −
f ' x f ' x 1 3x 6x m 3x 6x m 1
Do xE , xD là nghiệm của phương trình : 2+ + =
x 3x m 0 , nên ta có :
9 65 3x 2m 3x 2m 1 4m 9m 1 0 m ( tho¶ m·n (a) )
8
±
0,25
0,25 0,25
II.1 Đặt : 7x+ =y a, 2x+ =y b a b( , ≥0)
Lúc đó : 2a2+3b2 =20x+5y
Hệ đã cho trở thành :
3 2
21 5
b a
b
a
⎡ ⎧ =
⎨
⎩
⎢
⎢⎪ =
⎢⎪⎩
⎣
• Với 3
2
b a
=
⎧
⎨ =
⎩ , thay trở lại ta có :
Với
4 5 21 5
b a
⎧ =
⎪⎪
⎨
⎪ =
⎪⎩
, thay trở lại ta có :
7
2
0,25
0,25
0,25
0,25
II.2
Điều kiện xác định :
3
2 0
x x
⎧ − − >
⇔ >
⎨ + >
⎩
Với điều kiện đó ta có :
( )
2
log(x − − + ≤x 6) x log x+2 +4 ⇔log(x− + − ≤ 3) x 4 0
Xét hàm số : ( ) log(f x = x− + − , ta có : 3) x 4
0,25 0,25
Trang 4Phạm Kim Chung 0984.333.030
( 1)
3 ln10
x
−
Suy ra : ( ) log(f x = x− + − ≤ ⇔ < ≤ 3) x 4 0 3 x 4
( Do x = 4 là nghiệm của phương trình : f(x) = 0 )
0,25 0,25
III Ta có :
sin 3 cos sinx os3 sin 3 cos sinx os3
8 os2
Do đó :
8 os2 4.sin 2 2 3 4
4
π π
0,5 0,5
IV
Ta có : '
' '
⎬
⊥ ⎭ , tương tự : AD'⊥SC⇒SC⊥(AB C D' ' ')⇒SC⊥ AC'
Do tính đối xứng ( tự CM ) ta có : V SAB C D' ' ' =2V SAB C' '
Áp dụng tính chất tỉ số thể tích cho 3tia SA,SB,SC ta có :
' '
SAB C SABC
' '
3 ' ' '
16 45
SAB C D
a V
(học sinh nêu và chứng minh tính chất tỉ số thể tích )
0,25
0,25
0,25
0,25
V Cách 1 :
Ta có :
Trang 5II PHẦN RIÊNG
1 Theo chương trình Chuẩn
xy xz xy yz xz yz
x y z
Suy ra luôn tồn tại tam giác ABC sao cho : tan ; tan ; tan
Lúc đó :
xz yz
xy
Hay bài toán đã cho trở thành, chứng minh BĐT :
3
sin sin sin (dÔ CM)
Cách 2 :
Ta có : xy+ =z xy+z x( + +y z) (= x+z y)( +z)
(1)
Hoàn toàn tương tự ta có :
1
(2)
1
(3)
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có ĐPCM
0,25 0,25
0,25
0,25
VI.a.1 Giả sử : A a( ), 0 ; B( )0,b , ta có :
Theo bài ra ta có :
( ) ( )
( )
2
9
b
AM AB
=
⎪
⎪⎩
1 3 5
a b a b
⎡⎧ =
⎨
⎢ = −
⎩
⎢
⇒ ⎢ = −⎧
⎢⎨ = −
⎢⎩
⎣ Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán : x 3y 3 0− − = và 5x 3y 15 0+ + =
0,25
0,5
0,25
Trang 6Phạm Kim Chung 0984.333.030
2 Theo chương trình nâng cao
VI.b.1 Giả sử : A a( ),0 ; B( )0,b , ta có :
Theo bài ra ta có :
0,25
VI.a.2 Mặt cầu (C) có tâm : I(1; 1;0− )
Lấy điểm A thuộc (d1) : A(0; -1; 1) ⇒JJGAI =(1;0;1)
Mặt phẳng ( )β chứa (d1) và I có véctơ pháp tuyến là :
1; 1;3; 1
nJJGβ =⎡⎣u AIJG JJG⎤⎦= − − ( Trong đó uJG1(1;1; 2)
là véctơ chỉ phương của (d1) ) Phương trình mặt phẳng ( )β là : −1(x− +1) (3 y+ −1 1) (z−0)=0 hay : − +x 3y− + = z 4 0
Toạ độ giao điểm B của ( )β và (d2) là nghiệm của hệ :
9 4
10 1
4
4
x
y
z
⎧ = −
⎪
⎧
⎩
⎪ = −
⎪⎩
Do đó véctơ : 13 6 5; ;
4 4 4
JJG
Vậy phương trình đường thẳng IB là : 1 1
x− = y+ = z
0,25
0,25
0,5
VII Ta có :
( )
1
2
! ( 1)!( 1)! !( 1)!( 1)
k
n
k
n k
2
1
2 1 2 1
2 1
1
2
n k n k
n n
C
+
Đẳng thức (1) đúng với mọi k từ 0 đến n Do đó :
1 1
2
2 1 1
2 1
n n n
C
0,25
0,25
0,5
Trang 7( ) ( )
( )
3
4
a
BM BA
=
⎪
⎪⎩
2 5 2
a b a b
⎡ ⎧ =
⎨
⎢ =
⎩
⎢
⇒ ⎢ = −⎧
⎢⎨ = −
⎢⎩
⎣ Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán : 2x y 2 0+ − = và 2x 5y 10 0+ + =
0,5
0,25 VI.b.2 Ta có véctơ chỉ phương của (d1) : uJG1(1;1; 2)
; Véctơ chỉ phương của (d2) : uJJG2(1; 2;1) Mặt phẳng song song với (d1); (d2) có véctơ pháp tuyến : nG =⎡⎣u uJG JJG1; 2⎤⎦= −( 3;1;1)
Phương trình của mặt phẳng này có dạng : − + + + =3x y z D 0 ( )α
Mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu : ( ) (2 )2 2
x− + y+ +z = khi và chỉ khi :
15
3 1
;( ) 11
11
7
D D
d I
D I
α
⎪⎩
Vậy mặt phẳng ( )α có dạng :
-3x+y+z+15=0 hoặc -3x+y+z-7=0
0,25 0,25
0,25
0,25 VII.b Ta có :
( )
1
2
! ( 1)!( 1)! !( 1)!( 1)
k
n
k
n k
2
1
2 1 2 1
2 1
1
2
n k n k
n n
C
+
Đẳng thức (1) đúng với mọi k từ 0 đến n Do đó :
1 1
2
2 1 1
2 1
n n n
C
0,25
0,25
0,5
