Mở đầu về số phức phần 1

1. KHÁI NIỆM SỐPHỨC Một sốphức zlà một biểu thức dạng z = a+ bi, trong đó a, blà những sốthực và số ithỏa mãn i 2 = –1. Trong đó: ilà đơn vị ảo. a được gọi là phần thực của sốphức b được gọi là phần ảo của sốphức Tập hợp các điểm biểu diễn sốphức kí hiệu là C.



Chú ý: ♦Sốphức zlà sốthực nếu b = 0, khi đó z= a. ♦Sốphức zlà số ảo (hay sốthuần ảo) nếu a= 0, khi đó z= bi. ♦Hai sốphức z= a+ bivà z a b i = + nếu a a b b =   =  ♦Với i là đơn vị ảo ta có: ( ) 2 2 3 2 4 2 5 4 1; . ; 1; . ... i i i i i i i i i i i = − = = − = = = =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

5 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

5.1 Phép cộng, trừ hai số phức

♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i

Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i

♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i

Chú ý:

Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp

♦ Tính chất kết hợp :(z+z')+ = +z" z (z'+z")∀z, z , z' "∈ℂ

♦ Tính chất giao hoán : z+ = + ∀z' z' z z, z'∈ℂ

♦ Cộng với 0 :z+ = + = ∀ ∈0 0 z z z ℂ

♦ Với mỗi số phức z= +a bi (a, b∈ℝ , nếu kí hiệu số phức a) − −bi là –z thì ta có

z+ − = − + =( z) ( z) z 0

Số –z được gọi là số đối của số phức z

Ví dụ Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau

1 z = 2+ 3i ; z’ = 5 – 2i

2 z = –5 + 2i ; z’ = 3i

3 z = 2 – 3i ; z’ = 2 – i

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức z+ = +z' (a a ) (b' + +b )i' ; z z− = −' (a a ) (b' + −b )i' , ta có

1 z+ = + + −z' (2 5) (3 2)i= +7 i ; z z− = − + +' (2 5) (3 2)i= − +3 5i

2 z+ = − + +z' 5 (3 2)i= − +5 5i ; z− = − + −z' 5 (2 3)i= − −5 i

3 z+ = + − +z' (2 2) (3 1)i= −4 4i ; z z− = − + − +' (2 2) ( 3 1)i= −2i

5.2 Phép nhân hai số phức

♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i

Khi đó số phức w = z.z’ được tính bằng công thức : w = aa’ – bb ’ + (ab ’ + a ’ b)i

Nhận xét :

Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b∈ℝ), ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi

0z = 0 với mọi số phức z

Chú ý: Phép nhân các số phức có đầy đủ tính chất như phép nhân các số thực

♦ Tính chất giao hoán : z.z' =z z, z, z' ∀ '∈ℂ

♦ Tính chất kết hợp :(zz )z' " =z(z z ),' " ∀z, z , z' "∈ℂ

♦ Nhân với 1 : 1.z=z.1= ∀ ∈z, z ℂ

♦ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

( ' ") ' " ' "

Ví dụ Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau

1 a2 + 1 2 2a2 + 3

3 4a2 + 9b2 4 3a2 + 5b2

Hướng dẫn giải:

Sử dụng i2 = –1 ta được

1 a2+ =1 a2− = −i2 (a i)(a+i)

Tài liệu bài giảng:

01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

4 2 2 2 2 2 ( )( )

5.3 Phép chia cho số phức khác 0

♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1 12

z

♦ Thương

'

z

z của phép chia số phức z

’

cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là

'

' 1

z

z z

z

−

=

' ' ' '

a bi a b i

z z z

+ với z≠0

Nhận xét :

• Với z ≠ 0, ta có 1 1 1

z

• Thương

'

z

z là số phức w sao cho zw = z

’

Có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân

• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số

Ví dụ Thực hiện phép chia các số phức sau

1

z

1 i 4 3i

=

5 6i z

4 3i

− +

= +

3 z 7 2i

8 6i

−

3 4i z

4 i

−

=

−

Hướng dẫn giải:

1

3 Tính 7 2 (7 2 )(8 6 ) 682 262 17 13

i

i

′

−

Nhận xét :

Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức):

2 2

4 3 4 (3 4 )(4 ) 16 132 16 13

6 CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC

♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm:

Tính chất 1: Số phức z là số thực ⇔ = z z

Chứng minh:

Ta có : z= ⇔ +z x yi= − ⇔ =x yi y 0⇒z=x Vậy z là số thực

Tính chất 2: Số phức z là số ảo ⇔ = − z z

Chứng minh:

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

Ta có : z= − ⇔ +z x yi= − + ⇔ =x yi x 0⇒z=yi Vậy z là số ảo

Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là |z| Khi đó: zz= z2

Chứng minh:

2 2

z z x yi x yi x y i x y

z z z

z x y x y



→ =





♦ Cho 2 số phức z 1 = x 1 + y 1 i ; z 2 = x 2 + y 2 i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp:

Tính chất 4: z1+ = +z2 z1 z2

Chứng minh:

z z x x y y i x x y y i

z z z z

z z x y i x y i x x y y i







Tính chất 5: z z1 2 = z z1 2

Chứng minh:

1 2 1 2

z z x y i x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i

z z z z

z z x y i x y i x x y y x y x y i







Tính chất 6: 1 1

=

Chứng minh:

2

z x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y

i

z

z x y i x y i x y i x x y y x y x y

i

x y i x y i x y i x y x y

z







1

z z

=

Nhận xét :

Ngoài cách chứng minh cổ điển trên thì ta có thể sử dụng ngay một “thành quả” đã chứng minh được là tính chất số 5 Thật vậy, đặt 1

2

z

z z z z

z

2

z z z z z z

z

z z

z z

=

♦ Cho 2 số phức z 1 = x 1 + y 1 i ; z 2 = x 2 + y 2 i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module:

Tính chất 7: z z1 2 = z z1 2

Chứng minh:

z z x y i x y i x x y y x y x y i

z z x x y y x y x y x x x y x y y y

1 2 1 1 2 2 ( 1 2) ( 1 2) ( 2 1) ( 1 2) , (2)

z z = x +y x +y = x x + x y + x y + y y

Từ (1) và (2) ta có (đpcm)

Tính chất 8: 1 1

z z

z = z

Chứng minh:

2 2

2

2

(1)

z x y i x y i x y i x x y y x y x y i

z x y i x y i x y i x y

x y x y

Nhận xét :

Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt 1

2

z

z z z z z

2

z z z z z z

z

z z

z = z

Tính chất 9: z1+z2 ≤ z1 + z2

Chứng minh:

2

1 2 2 1

z z z z x x y y x y x y

x x y y x x x y x y x y

x x y y x x x y x y y y

x y x y

Ví dụ 1 Thực hiện các phép tính sau :

a 7 2

8 6

i

z

i

−

  b z= +(1 i)(3 2 )− i c z= +(2 3 )i + −(1 i)

d 1

1

i

z

i

+

=

Hướng dẫn giải:

b z= +(1 i)(3 2 )− i = +1 i 3 2− i = 12+1 32 2+22 = 26

c z= +(2 3 )i + − = + + − = − + + = −(1 i) 2 3i 1 i 2 3i 1 i 3 2i

d 1 1 1 1 1

i i

z

i i

+

e z= +(5 i)(2 3 )− i = +5 i.2 3− = −i (5 i)(2+3 ) 13 13i = + i

Ví dụ 2 Tính module của các số phức sau

a z(1 2i)+ = − +1 3i b z 3 2i

1 3i= +

− +

c z ( )

z

+ =− +

Hướng dẫn giải:

Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có:

5

d 2 iz 1 3i 2 iz 1 3i 2 i z 1 3i 5 z 10 z 2 5

− +

Ví dụ 3 Tìm số phức z biết ( ) ( )3

z+ z= −i −i (1)

Hướng dẫn giải:

Giả sử z= +a bi ⇒z= −a bi

(1) ⇔ + +a bi 2(a−bi)=(23+3.22i+3.2i2+i3)(1−i)

a bi a bi i i i i i

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

2

3a bi 11i 11i 2 2i 13 9i

13

9 3

9

b

b



− =

Ví dụ 4 Cho z1= +2 3 ,i z2= +1 i Tính z1+3z2 ; 1 2

2

z z z

+

; z13+3z2 Hướng dẫn giải:

+) z1+3z2= + + + = +2 3i 3 3i 5 6i ⇒ 2 2

z + z = + =

2 2

i i

1 2 2

z z z

z + z = + i+ i + i − − = − +i i ⇒ 3

1 3 2 2437

z + z =

Ví dụ 5 Tìm số phức z biết: ( ) (2 )

z+ z= − i +i

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = a + bi, ta có:

(1)⇔ − +a bi 3a+3bi= −9 12i+4i 2+ = −i 5 12 2i +i

⇔4a+2bi= −10 24i+ −5i 12i2=22 19− i 11; 19

a b −

z= − i

Ví dụ 6 Tìm phần ảo của z biết: ( ) (3 )

z+ z= +i −i

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = a + bi

(1)⇔ + +a bi 3a−3bi= +8 12i+6i +i 2− = +i 2 11 2i −i

⇔4a−2bi= − +4 2i 22i−11i2=20i+15 15; 10

4

a b

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 7 Tìm môđun của z biết ( )2

(1 2) 1

2

z z

i

−

Hướng dẫn giải:

(1)⇔ + +a bi 2a−2bi= (1 2) 1 2( 2) 2 2 22

=

4 2 2; 4 2 2

a − b − −

32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2

Ví dụ 8 (A +A 1 năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 (1)

1

z i

i

z + = − +

Tính môđun của số phức ω= + +1 z z2

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = a + bi

2

3

a bi

i

−

5( )

1

a bi i

i

a bi

− +

+ +

2

a i b a bi ai bi i

a b i b b a

z i

ω= + + + + − = +1 1 i 1 2i 1 2 3i⇒ ω = 4 9+ = 13

Ví dụ 9 (D - 2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 ) 2(1 2 ) 7 8 (1)

1

i

i

+

+ Tìm môđun của số phức ω= + +z 1 i

Hướng dẫn giải:

Giả sử z= +a bi

2(1 2 )

1

i

i

+

+

1

i i

i

+

⇔2a+2bi+ − + − + −ai bi 1 i 2i 2i2 = +7 8i 2 3 7 3

Do đó ω= + + + = +3 2i 1 i 4 3i⇒ ω = 16 9+ =5

Ví dụ 10 (A - 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết 2 2

(1)

z = z +z Hướng dẫn giải:

(1)⇔ a+bi =a + + − ⇔b a bi a +b i +2abi=a + + −b a bi

2 2

;

;

b a

b ab

a b







Vậy 0; 1 1 ; 1 1

z= z=− + i z=− − i

Ví dụ 11 (A - 2011) Tính môđun của số phức z biết (2 z−1)(1+ + +i) (z 1)(1− = −i) 2 2 (1)i

Hướng dẫn giải:

(1)⇔(2a+2bi−1))(1+ + − +i) (a bi 1)(1− = −i) 2 2i

⇔2a+2ai+2bi+2bi2− − + − − +1 i a ai bi bi2+ − = −1 i 2 2i

⇔3a−3ba+ + − = −ai bi 2i 2 2i

1

3

a

a b

a b

b



=



z = + =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau :

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

z

=

+ − 4

3i 7 z

10 i

−

= +

7 ( 1 3i z − ) ( + + 4 3i ) = − 7 5i 8 3 7i 5 8i

z

z

2 i

−

=

−

11 7 i

z

2 i

+

=

13 5 5i 20

z

+

(3 2i)(4 3i)

1 2i

−

15

z

+

=

Bài 2 Tìm số phức z biết

a)

3

( 2 )

i

z

i

−

=

+ b) z z+3(z− = −z) 1 4i c)

1

z− = − i

Bài 3 Tính mô-đun của số phức z biết

a) 1 i (2 3 )2i z 2 i

b) Cho số phức

3 3

1

i i

z i i z

i

+ − −

+ Tính mô-đun của số phức z=z z1 2

c) Cho số phức ( )3

1

i z

i

−

=

− Tín mô-đun của số phức z+iz.

Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z= − +( 1 3 )i 2012+ +(1 3 )i 2012

Bài 5: Cho số phức z+ =1 i2013+i2012 Tìm z biết '' z = +z i z

Bài 6 Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

a) z2=2z b) z2− z2+ =1 0

2 ( ) 1

z i

i

z + = +

Bài 7 Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

a) ( ) 4 6

z z i z z

i

+ − b) (z+z)(1+ + −i) (z z)(2 3 )+ i = −4 i

c) z2+2z =0 d) z2+i z =0

Bài 8 Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

a)

2

z z

z

−

z

− là số thuần ảo

c) 2 ( 1)(1 ) 1

1

z

i

−

2 2

2

z +z =

Bài 9 Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

a)

2

z

z i z





z +z z− =

c) 4z+ +(1 3 )i z=25 21+ i d) 2 2 4 5 35

8

z + z − z=

Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:

a) z4=2z z2( −5) b) 3 3 10

z z

z i





2

1 0

iz + + =z

Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )− i z là số thực và z− +2 5i =1

Bài 12 Tìm số phức z biết: ( 2 )( 1 6 ) 37(1 )

i z

z z i

i

−