Toán tài chính (tiếng Anh: mathematical finance) là một ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài chính. Nói chung, tài chính toán học sẽ thừa kế và mở rộng các mô hình toán học hay con số mà không cần phải thiết lập một liên kết đến lý thuyết tài chính, bằng cách lấy giá cả thị trường quan sát như đầu vào. Tính thống nhất toán học là cần thiết, chứ không phải là tính phù hợp với lý thuyết kinh tế.
Trang 1Dạng 1 Tính lãi suất trung bình của 3 khoản vốn vay
Ví dụ: 3 khoản vốn vay v ào ngày 20/3 có giá trị là 200tr, 250tr, 300tr với lãi suất lần lượt
là 13%, 11.5%, 10% Ngày tr ả nợ lần lượt là 25/5, 15/6, 20/7 Hãy tính lãi su ất vay trung bình của 3 khoản vốn vay trên
Giải:
- B1: Tính số ngày vay của 3 khoản vốn vay
20/3 25/5 có 66 ngày
20/3 15/6 có 87 ngày
20/3 – 20/7 có 122 ngày
- B2: Xếp các con số theo cột nh ư sau tương ứng (xếp thế này sẽ ko bị nhầm lẫn khi tính toán)
200 250 300
66 87 122
13% 11.5% 10%
- B3: Tính lãi suất trung bình
= (200*13%*66+250*11.5%*87+300*10%*122)/(200*66+250*87+300*122)
= 11.01%
Đ/S: 11.01%
Dạng 2: Tìm 2 khoản đầu tư
Ví dụ: 2 khoản đầu tư có tổng số là 100000 USD đem đầu tư trong 13 năm Khoản thứ nhất đầu tư theo lãi đơn với lãi suất 11%/năm Khoản thứ 2 đầu t ư theo lãi gộp với lãi suất 8%/năm Sau 13 năm số tiền thu đ ược của 2 khoản vốn là như nhau Tìm khoản vốn thứ 2
Giải:
- Gọi khoản vốn thứ nhất l à C
Khoản vốn thứ 2 là: 100000 – C
- Số tiền thu được sau 13 năm của khoản vốn 1: C + C*13*0.11
Số tiền thu được sau 13 năm của khoản vốn 2: (100000 – C)*(1+0.08)^13
- Ta có phương trình: C+C*13*0.11 = (100000 -C)*(1.08)^13
- Giải pt trên : 2.43C = 271962.4 – 2C
Do đó : C = 52812.08
Vậy khoản vốn thứ 2 là : 100000 – 52812.08 = 47187.92
Đ/S: 47187.92
Dạng 3 Tính giá trị khoản ni ên kim cố định trả mỗi lần
Ví dụ: 1 DN mua 1 chiếc oto có giá trị 700tr d ưới hình thức sau Trả ngay 1 nửa số tiền cần thanh toán Phần còn lại thanh toán thành 4 lần, mỗi lần cách nhau 3 tháng L ãi suất
là 3.5%/3 tháng Hãy tính s ố tiền mỗi lần trả
Giải:
- Trả ngay 1 nửa số tiền tức l à số tiền còn phải trả bằng dãy niên kim là 700000000/2 = 350000000
Trang 2- Ta có công thức niên kim như sau :
350 000 000 = a * [(1-(1+0.035)^(-4))/0.035 ]
Suy ra a = 350 000 000 / [ …] ( ph ần trong ngoặc vuông tra bảng 4 l à ra)
Vậy a = 350 000 000 / 3.673079 = 95287904
Đ/S: 95.288 triệu
Dạng 4 Tính NPV của 1 hoạt động đầu t ư
Ví dụ: 1 hoạt động đầu t ư có dòng tiền thu chi như sau CF0=-50tr, CF1=-30, CF2=10, CF3=30, CF4=60, CF5=60 Tính NPV c ủa dự án trên
Giải:
- Tra bảng 2 (1+i)^(-n) với n chạy từ 1 tới 5 rồi viết th ành bảng như sau
- -50 -30 10 30 60 60
1 0.921659 0.849455 0.782908 0.721574 0.665045
- NPV = -50*1 - 30*0.921659 + 10*0.849455 + 30*0.782908 + 60*0.721574 +
60*0.665045 = 37.53 tr
Đ/S: 37.53 triệu
Dạng 5 Tính giá trị niên kim ở thời điểm cuối
Ví du 1 người gửi vào ngân hàng đều đặn hàng năm số tiền 3000Euro trong 20 năm 8 năm đầu lãi suất là 8.5%/năm Sau đó lãi suất tăng lên 9.5%/năm Tính số tiền người đó
có được khi gửi khoản tiền cuối c ùng
Giải.
- Số tiền người đó thu được khi gửi khoản tiền cuối c ùng là
3000*[((1+0.085)^8-1)/0.085]*(1+0.095)^12 + 3000*[((1+0.095)^12 -1)/0.095]
- Tra bảng 1 và 3 tìm ra = 158805 Euro
Đ/S: 158805 euro
Dạng 6 Tính giá trị của khoản niên kim cuối cùng
Ví dụ: 1 khoản vay trị giá 200 000USD đ ược trả làm 10 lần mỗi lần cách nhau 1 năm với lãi suất 10.75%/năm 9 lần đầu mỗi lần trả 34000 USD Hỏi lần cuối c ùng phải trả bao nhiêu tiền?
Giải:
- Quy về giá trị hiện tại sau 9 lần trả số tiền ng ười đó còn phải trả là:
200000 – 34000*[(1-(1+0.1075)^(-9))/0.1075] = 9896.956
- Vậy lần trả thứ 10 có giá trị l à (Tương lai hóa khoản tiền vừa tính ở trên lên 10 thời kỳ) 9896.956*(1+0.1075)^10 = 27475.078
Đ/S: 27475.078
Dạng 7 Tìm khoản thanh toán nợ gốc cuối c ùng của các niên kim cố định
Trang 3Ví dụ: 1 khoản vay trị giá 1000000 USD đ ược thanh toán hàng năm bằng dãy 7 niên kim với lãi suất 6%/năm Tính khoản thanh toán nợ gốc cuối c ùng
Giải.
- Theo mục 4(trang 44 sách bảng t ài chính)
a=D*[i/(1-(1+0.06)^(-7))] = 1000000*0.1791350 = 179135 (tra b ảng 5)
- Theo mục 5c (trang 44 Bảng tài chính)
Mn = a/(1+i) = 179135/(1+0.06) = 168995.3 USD
Đ/S: 168995.3 USD
Dạng 8 So sánh 3 cách thanh toán n ợ
Ví dụ: 1 khoản nợ trị giá 20000 USD đ ược thanh toán bằng 3 cách sau
- Phương án A Thanh toán ngay 20000 USD
- Phương án B Thanh toán b ằng 17 niên kim mỗi niên kim có giá trị là 2000 USD cách
nhau 1 năm với lãi suất 5%/năm
- Phương án C Thanh toán b ằng 21 niên kim mỗi niên kim có giá trị là 1600 USD cách
nhau 1 năm với lãi suất 5%/năm
Sắp xếp 3 phương án trên theo thứ tự tăng dần giá trị đã trả
Giải.
- Phương án A số tiền đã trả là 20000 USD
- Phương án B số tiền đã trả quy về hiện tại là :
2000*[(1-(1+0.05)^(-17))/0.05] = 22548.132
- Phương án C đã trả quy về hiện tại là:
1600*[(1-(1+0.005)^(-21))/0.05] = 20513.8448
Vậy A<C<B
Đ/S: A<C<B
Dạng 9 Tính khoản thanh toán nợ gốc thứ k (k có thể chạy từ
1 tới 10)
Ví dụ: 1 khoản nợ trị giá 3 00000 USD được thanh toán bằng 10 dãy niên kim cố định với lãi suất 11%/năm Tính khoản thanh toán nợ gốc thứ 8
Giải
- Khoản thanh toán nợ gốc đầu ti ên
m1= D/[((1+0.11)^10-1)/0.11] = 300000/16.722009= 17940.428
- Khoản thanh toán nợ gốc thứ k (ở b ài này là thứ 8)
mk= m1*(1+i)^(k-1)=m1*(1+0.11)^7= 17940.428*2.076160= 37247.199
Đ/S: 37247.199 USD
Dạng 10 Tính giá trị niên kim thứ k (k có thể chạy từ 1-10)
Ví dụ: 1 khoản nợ 450 000 USD đ ược thanh toán bằng d ãy 7 niên kim cố định có khoản
thanh toán nợ gốc cố định Lãi suất là 11.5%/năm Tìm giá trị niên kim thứ 3.
Giải:
- Theo mục 6 trang 44 bảng tài chính thì giá trị niên kim thứ nhất
Trang 4a1=D*(i+1/n)=450000*(0 115+1/7)=116035.7143
- Giá trị niên kim thứ 3 (vì niên kim 3 cách niên kim 1 là 2 công sai ) là:
a3=a1 + 2*d = 116035.7143 + 2* ( -D*i/n) = 116035.7143-2*450000*0.115/7 =101250 USD
Đ/S: 101250 USD
Dạng 11 Tính lãi suất trong quá trình hiện tại hóa liên tục
Ví dụ: Giá trị hiện tại của số tiền C đ ược trả sau n năm khi t ư bản hóa liên tục là V Tìm lãi suất I biết C=20500, V=12458.77117, n=6
Giải
- Lãi suất I phải tìm tính theo công thức
i= ln(C/V)/n = ln(20500/12458.77117)/6 = 0.083=8.3%
Đ/S: 8.3%
Dạng 12 Tương tự dạng 4 Tính NPV
Dạng 13 Tìm thời điểm số tiền chiết khấu 2 th ương phiếu bằng nhau
Ví dụ: 2 thương phiếu có giá trị lần lượt là 10000USD và 2000USD có th ời hạn lần lượt
là 6 và 8 năm được chiết khấu theo lãi gộp với lãi suất 7%/năm Tìm thời điểm p mà số
tiền chiết khấu của 2 th ương phiếu bằng nhau
Giải:
- Gọi khoảng thời gian từ thời điểm p tới khi th ương phiếu 1 hết hạn (6 năm) là n
- Số tiền chiết khấu của th ương phiếu 1 tại thời điểm p l à: 10000(1-1.07^(-n))
Số tiền chiết khấy của th ương phiếu 2 tại thời điểm p l à: 2000(1-1.07^(-n-2))
- Ta có pt: 10000(1-1.07^(-n))=2000(1-1.07^(-n-2))
- giải pt: 8000 = 10000*1.07^( -n) – 1746.878*1.07^(-n)
1.07^n =8253.122/8000 = 1.03164
n= ln1.03164/ln1.07 = 0.46 (năm)
p=6-0.46=5.54 (năm)
Đ/S: 5.54 năm
Dạng 14 Tính giá trị tiền gửi ngân h àng
Ví dụ 1 người gửi đều đặn vào NH 1 số tiền theo cách sau: h àng năm vào ngày 15/1 gửi
1500 euro, vào ngày 15/7 g ửi 2000 euro Lần gửi đầu tiên 15/1/2000, lần gửi cuối cùng 15/1/2010 Hỏi số tiền người đó có được sau khi thực hiên việc gửi lần cuối cùng là bao nhiêu Lãi suất hàng năm là 6%
Giải.
Lãi suất bình quân 6 tháng là : i’=(1+i)^0.5 -1 = 1.06^0.5 – 1= 0.02956
Có thể coi người đó gửi tiền vào ngân hàng tạo thành 2 dãy niên kim
Dãy 1 gồm 11 niên kim= 1500* [(1.06^11 – 1)/0.06] = 22457.4645
Trang 5Dãy 2 gồm 10 niên kim (phải tương lai hóa thêm 6 tháng n ữa theo lãi suất 0.02956 để
đưa về cùng thời điểm là ngày 15/1/2010)
= 2000*[(1.06^10 – 1)/0.06] * (1+0.02956) = 27140.8386
Giá trị tại ngày 15/1/2010 là : 224547.4 645+27140.8386 = 49598 euro
Đ/S 49598 euro
Dạng 15 Tìm số tiền gửi C theo lãi đơn
Ví dụ 2 khoản tiền có tổng số l à 30000USD gửi vào ngân hàng theo lãi đơn Khoản tiền
1 gửi với lãi suất t%/năm mang lại thu nhập h àng năm là 1680 USD Kho ản tiền thứ 2 gửi với lãi suất (t+2)%/năm mang lại thu nhập h àng năm là 2880 USD T ìm khoản tiền thứ nhất
Giải:
- Gọi khoản tiền thứ nhất l à :C (C>0)
Khoản tiền thứ 2 là : 30000 – C
- Thu nhập hàng năm của khoản 1 : C*t/100 = 1680
Thu nhập hàng năm của khoản 2: (30000-C)*(t+2)/100=2880
- Ta có hệ pt
C*t = 168000 (1)
30000t+60000-C*t-2C=288000 (2)
Thay (1) vào (2) ta có: 30000t -2C-396000=0 (3)
Thay t=168000/C vào (3) quy đ ồng ta có: -2C^2 -396000 +5040000000 =0
Dùng máy tính giải pt bậc 2 ra nghiệm C =12000
Đ/S: 12000 USD
Chúc các bạn thi tốt