Gọi I là giao điểm của AC và BD.. Biết I thuộc đường thẳng xy.. Viết phương trình đường thẳng CD$.. Tìm điểm C thuộc sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.. Cho hình chóp SABCD có đá
Trang 1ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A, B LẦN 2 – 2012
Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
2
1 ( ) 2
x
2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )C đều không đi qua điểm (2;3) A
Câu II
1) Giải phương trình: 1 4 cos cos 3 x xtan 5x
y x x x
Câu III Tính nguyên hàm:
9
cos
x
dx
Câu IV Cho
20
2
x
P x
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Câu V
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 , điểm A(1; 0), (2;0)B Gọi I là
giao điểm của AC và BD
Biết I thuộc đường thẳng xy Viết phương trình đường thẳng CD$ 0
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (1; 2; 1), (2A B 2; 2; 3) và đường thẳng
2
x
z t
Tìm điểm C thuộc sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất
Câu VI Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy Góc nhị diện cạnh SC bằng 120 Tính thể tích khối chóp SABCD 0
Câu VII Cho các số thực x y z thỏa mãn , , 1 xyz Chứng minh rằng 1
2
1
Trang 2HƯỚNG DẪN
Câu I (lonelyplanet)
1 Tự giải
2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x y ( ;0 0)
0 2
Để tiếp tuyến đi qua A(3; 2)thì phương trình sau phải có nghiệm:
0 2
x
Giải phương trình này thì thấy nó không có nghiệm khác 2 nên tiếp tuyến không đi qua A
Câu II 1 (can_hang2007)
Ta có
và sin 5xsin (16sinx 4x20sin2x5)
Do đó, với điều kiện cos5x 0, phương trình đã cho tương đương với(16 sin4 20sin2 5) sin 1 0
cos 5
x
x
Đến đây thì khá dễ rồi
Câu II 2 (can_hang2007)
2
x
Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức a b 4 a4b4,a b, 0
Cụ thể, ta có
4
x x x x
2 x 3 2 x 16x(3 2 ) x 14x 3 3
Do đó,
Câu III. _
Gợi ý Đặt ttanx, bài toán đưa được về dạng tìm
1
dt I
là tích phân dạng phân thức
Câu IV (can_hang2007) _
Trang 3Từ giả thiết, sử dụng các lập luận đưa đến: Nếu hệ số của x là lớn nhất thì 1k19 và ta phải có
20 20
nhất trong khai triển là hệ số của x và 6 x 7
Câu V.1. Cách 1 (F7T7)
Phương trình đường thẳng AB là y 0 Do đó phương trình CD song song với AB có dạng y a
Suy ra a 0 chính là chiều cao của hình bình hành ứng với cạnh AB
Ta có a AB 4
Suy ra a Vậy phương trình CD là 4 y hoặc 4 y 4
Cách 2 (can_hang2007)
Giả sử I a a( , ) Ta có IA(1a,a), IB(2a,a)
Suy ra
IAB
S a a a a a
2
ABC ABCD
2
| | 2,a tức a 2 hoặc a 2
[*] Với a 2, ta có I(2,2) Suy ra C(3,4) và D(2,4) Từ đó, ta tìm được phương trình đường thẳng CD là 4
y
[*] Với a ta có ( 2, 2).2, I Suy ra C ( 5, 4) và D ( 6, 4) Và như thế, ta tìm được phương trình đường thẳng CD là y 4
Bài toán được giải quyết xong
Câu V.2 (kienqb)
Vì độ dài AB là không đổi Ta có chu vi tam giác nhỏ nhất khi: CA CB nhỏ nhất
2 2
CA CB
2
u t v t
Ta có: | | | | |u v u v| 1 2
2
Dấu bằng xảy ra khi ukv
từ đó ta tính được 2; ;7 4
C
2
Dấu bằng xảy ra khi M E F thẳng hàng và M nằm trong đoạn EF , ,
Kết quả: Giá trị nhỏ nhất bằng 11 tại (2; ;7 4)
Câu VI (jet_nguyen)
Trang 4Ta có: góc nhị diện của SC bằng 0 0
120 (SAC), (SBC)60
AM SB AN SDSC AMN SAC SBC MAN
2
a
AM AN AMNd uAM AN MN
Xét SAB A và AM SBSAa
- Vì
3
1
a
Câu VII _ Cách 1 (can_hang2007)
z c z
x a y b z b
Mà xyz nên suy ra (1 a1)(b1)(c1)abc, tức ab bc ca a b c 1 0
Mặt khác, cũng từ phép đặt, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a2b2c2 hay 1,
a b c ab bc ca a b c
Sau khi thu gọn, ta có(a b c 1)2 0,hiển nhiên đúng nên bài toán được chứng minh xong
Cách 2 (Lil.Tee)
Đổi biến như trên, và chúng ta luôn có:
Do đó bài toán chứng minh xong
Lời giải được tổng hợp bởi https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia
Từ lời giải các thành viên diễn đàn BoxMath.vn và Onluyentoan.vn