tong hop hsg cap huyen

Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại Q và K.. Vẽ AD và BC vuông góc với MN; BC cắt nửa đường tròn tại I.. Đường tròn đường kính BDcắt BC tại E.Chứng minh rằn

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I

NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN - LỚP 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Câu III (1 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-3 ; 2), B(3 ; 4) Xác định tọa độđiểm C trên trục hoành sao cho độ dài AC + CB nhỏ nhất

Câu IV (3 điểm).

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (HB < HC) Biết AH = 6cm,

BC = 13cm Tính độ dài cạnh AB (không làm tròn kết quả).

2) Cho đường tròn (O ; R) có dây AB = R 3 Tiếp tuyến tại A và B của (O ; R)cắt nhau tại M

-PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG HUYỆN.

CHU KỲ 2010-2012 MÔN THI: TOÁN

Câu 1 a Anh (chị) hãy cho biết trình tự dạy học định lý toán học

b Vận dụng trình tự đó vào việc dạy định lý “ Tổng ba góc trong của một tam giác”

Câu 5 Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M thuộc đường chéo AC Từ điểm M kẻ đường thẳng

song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại Q và K P là hình chiếu của M trên DC

a Chứng minh: ∆QMP = ∆BKM từ đó suy ra BM vuông góc với PQ tại H

Câu 6 Cho 3 điểm A, B, C cố định sao cho AB + BC = AC Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B

và C (BC không phải là đường kính của (O)) Từ A vẽ các tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O)(M, N là hai tiếp điểm) Lấy I là trung điểm của đoạn thẳng BC Gọi giao điểm MN với AC là H.Chứng minh:

a Năm điểm A, M, O, I, N cùng thuộc một đường tròn

b Khi (O) thay đổi thì độ dài AH không đổi

-Hết -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – HUYỆN HOẰNG HOÁ

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 01 trang)

NĂM HỌC : 2011 – 2012

1 1

a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9

b/ Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau thoả mãn hệ thức

Bài 5 (4.5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm

P Vẽ cát tuyến PMN ( M nằm giữa P và N) Vẽ AD và BC vuông góc với MN; BC cắt nửa đường tròn tại I Chứng minh rằng

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – HOẰNG HOÁ

Năm học : 2011 - 2012 Bài 1

+ Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi

1 1

min = 3

a và a5 Chia cho 3 có cùng số dư : Thật vậy

+) a = 3k + 1 => a5 = (3k + 1)5 chia cho 3 có số dư là 15 = 1

+) a = 3k + 2 => a5 = (3k + 2)5 chia cho 3 có số dư là dư của 25 chia cho 3, mà 25 = 32 chia cho 3 dư 2.

a +a +a + +a có chữ số tận cùng là 0 => B chia hết cho 2 và 5 (I)

A chia hết cho 3, căn cứ vào (2) => B cũng chia hết cho 3 (II)

Từ (I) và (II) Suy ra : 5 5 5 5

1 2 3 2011 30

a +a +a + +a M (ĐPCM)b/ Điều kiện: − 2 < <x 2

4 2

2

2

1 2

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1

Cách 2 :

2

2 2

2

1 (1) 2

b/ Chứng minh : xy + yz + xz – 2xyz ≥ 0 Thật vậy

(x + y – z)(z + x – y) ≤ x2

=> [(x + y – z)(y + z – x)(z + x – y)]2 ≤ (xyz)2

=> x + y – z)(y + z – x)(z + x – y) ≤ xyz

=> (1 – 2z)(1 – 2x)(1 – 2y ) ≤ xyz

=> 1 – 2y – 2x + 4xy – 2z + 4yz + 4xz – 8xyz ≤ xyz

=>1 – 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx – 2xyz) ≤ xyz mà x + y + z = 1

=> 4(xy + yz + zx – 2xyz) ≤ xyz + 1 mà xyz 1

I C

OA = OB = OI = R => Tam giác IAB vuông tại I

=> Tứ giác AICD có 3 góc D, C, I vuông => Tứ giác AICD là hình chữ nhật (đpcm)

Dễ dàng chứng minh được : ∆CIM đồng dạng với ∆CNB (góc – góc)

Từ E, F lần lượt kẻ EH và FK vuông góc với AB =>H, K cố định và EH, FK không đổi

Ta có : DE2 = EH2 + DH2 và DF2 = FK2 + DK2

Suy ra : DE2 + DF2 = EH2 + DH2 + FK2 + DK2 = (EH2 + FK2) + (DH2 + DK2)

DH2 + DK2 = (DH + DK)2 – 2DH.DK = HK2 – 2DH.DK

Suy ra : DE2 + DF2 = (EH2 + FK2) + HK2 – 2DH.DK

Do EH, FK, HK không đổi nên DE2 + DF2 nhỏ nhất <=> DH.DK Lớn nhất mà DH + DK =

HK không đổi => DH.DK lớn nhất <=> DH = DK tức D là trung điểm của HK

Vậy khi D là trung điểm của HK (Với H, K là chân đường vuông góc kẻ từ E và F đến AB) thì DE2 + DF2 đạt giá trị nhỏ nhất

Hết

-UBND HUYỆN KRÔNG NÔ

PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC

Môn Thi : TOÁN

Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài 1 : ( 2 điểm ) : Cho A =

x x

x

−

− +

+

1 1

1

-

1 1

a)Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa

b)Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x

Bài 2 : ( 2 điểm ) Cho hai số a , b thoả mãn điều kiện 2a + 3b = 5

Chứng minh rằng 2a2 + 3b2 ≥ 5

Bài 3 : ( 2 điểm ) Cho hàm số y = 2mx – 2m –1 ( m ≠ 0 )

a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O

b) Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox , Oy Xác định

m để diện tích tam giác AOB bằng 4 ( đvdt )

c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A = 9x2 −6x+1 + 25 − 30x+ 9x2

Bài 5 ( 2 điểm ) Chứng minh rằng : 4 nếu 2 ≤m≤ 0

2 2

2 m− 2 nếu m>6Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau :

x +

4

1 2

b) Tính giá trị của tổng ( a + b )2 + ( b + d)2 khi biết S = 3

Bài 8 : ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O’ ; r’ ) tiếp xúc ngoài tại A kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B ∈ (O) ; C ∈ (O’) )

a

+ b) sin

Bài 10 : ( 1 điểm ) Cho ∆ABC vuông tại A có AB = c , AC = b và đường phân giác trong góc A là AD = d Chứng minh rằng :

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008

Môn Thi : TOÁN

Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 2 điểm ) :

1-x ≥ 0

1- x2 ≥ 0 ( 0,25 điểm ) x ≤ 1 (0,25 điểm ) x ≠ 0 ( 0,25điểm)

x

−

− +

+

1 1

1

-

1 1

x

) 1 ( ) 1 (

) 1 1

( 1

x x

x x

x

−

− +

− + + +

-

2 2

2

2 ) 1 ( ) 1 (

) 1 1

)(

1 (

x x

x x

1

1

x x

x x

−

−

+

− +

2 2

2 2 1 1

) 1 1

)(

1 (

x x x

x x

x

− +

−

−

− +

2

1

1 + + − 2 -

) 1 ( 2

) 1 1

)(

1

x x

x x

x

−

− +

x x

2

) 1 1

( 1

b) A là giao điểm của đồ thị với trục Ox ta có y = 0 thay vào hàm số ta được x =

Ta có S = 4 ( 2m + 1 )2= 8m ( 2m – 1 )2= 0 m =

2 1

c) Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M( x0, y0 ) với mọi m Ta có : y0 = mx01

1

+ +

1 2

1 2 ) 4

1 (x+ + x+ + = 1

2

1 4

1 ( x+ + = 1

1

=

r R

r R

.

4 2 +

Suy ra BA =

r R

r R

= 1,92 cm2

DC BD

=

+ =

AC AB

BC

+Vậy

AB

BD

=

c b

a

+Tương tự ta có sin

2

B

=

a c

)(

(

.

b a c a c b

c b a

+ + +

≤Theo bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có :

Có tia AD là phân giác của góc ADE

 tứ giác AFDE là hình vuông

 DE = DF =

2

2

2

2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN

Khóa thi ngày : 30/12/2011

Môn thi : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Cho đường thẳng (d) có phương trình : (a – 1)x + 2y = a

Xác định giá trị của a để đường thẳng (d) :

a/ Song song với trục hoành.

b/ Vuông góc với đường thẳng 3x – 2y = 1.

Bài 5 (2,0 điểm)

Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 1 x 5 Hãy cắt tấm bìa thành các mảnh đề ráp lại thành một hình vuông Giải thích.

-HẾT -SỞ GD&ĐT TỈNH HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2

Năm học 2011 - 2012 Thời gian làm bài : 150 phút

Ninh Giang, ngày 15 tháng 12 năm 2011

Câu 1: (3.0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

2 2 2

Câu 4 ( 2,0 điểm ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên đoạn OB.

Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H Đường tròn đường kính BDcắt BC tại E.Chứng minh rằng:

a) AC song song với DE

b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD

Câu 5 (1.0 điểm)

Cho tam giác ABC có BAC=105· 0 Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhautại K sao cho KB = KC Kẻ đường cao AH (H∈ BC) Chứng minh HA = HB.

-Hết -Cán bộ coi thi không cần giải thích thêm.

Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2

MÔN TOÁN

* Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa

* Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm

ĐIỂM

1

2 5

4 2

−

−

=

2 5

1 2 5

1 2 2 5

2 2 5 2

1

4 2 2 5 2 5

2 5 2 5

=

2 2

2

2 2 2

−

−

=

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

−

+

− +

2 2 2

x

x x

A

0,25đ

0,25đ0,5đ

2

2

2 2 2

2 1 1

1

K

E C

0.25đ

4

Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề bài

a) Ta có ·ACB =·DEB =900 nên AC// DE

b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD

Có HK là đường trung bình của hình thang ACED

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

ĐỀ THI Năm học 2010-2011

Môn Toán -Lớp 9

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 : (2 điểm)

a) Tìm cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình: 100x + y2 + 3y= 109

b) Hãy viết các đa thức x3 + 4x2 + 6x+ 4 thành tổng các lũy thừa giảm dần của x +1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị lớn của biểu thức P

Câu 3 : (1 điểm)

Cho các cặp số thỏa mãn điều kiện: |x+y| ≤ 2 và |x-y| ≤ 2

Tìm giá trị lớn của biểu thức: 2 2 ( )2

P 19x = + 5y + 2010 x y +

Câu 4 : (2 điểm)

Cho ∆ABC vuông tại A

a) Chứng minh hệ thức: sin B sin C 1 2 + 2 =

b) Chứng minh rằng: sin sinB C 2

2 2 < 8

Câu 5 : (2,5 điểm)

Cho nửa (O, R) đường kính AB và một điểm M di động trên nửa đường tròn đó (Mkhông trùng A và B) Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tia AM cắt By tại C,tia BM cắt Ax ở D Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại E và F a) Chứng minh rằng: AD.BC = 4R2

b) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏnhất Tính diện tứ giác đó

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG

PHÒNG GD&ĐT KÌ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 VÒNG 1 Năm học: 2011-2012

Môn: Toán.

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi này gồm 01 trang Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

b) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a b c+ + + 2 abc = 1 Chứng minh biểu thức:

B= a −b − +c b −c − +a c −a − −b abc+ là hằng số

Câu 4: (2,5 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh

BC, CA, AB tại các điểm D, E, F Đường tròn tâm O’ bàng tiếp trong góc A của tam giácABC tiếp xúc với cạnh BC tại P và phần kéo dài của các cạnh AB, AC tương ứng tại cácđiểm M, N

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG

PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG 1

a)(1đ) §iÒu kiÖn: x≥ −3

a)(1đ) Từ đề bài suy ra ab + bc + ca = 1

DPM

K

.O

Ta có 2BP = 2BM = 2AM – 2AB = AM + AN – 2AB

= AB + BM +AC + CN – 2AB = AB + BP + CP + AC – 2AB = BC + CA – AB

Tương tự

2CD = CD + CE = CB – DB + CA – EA

= CB + CA – FB – FA = CB + CA – AB

Vậy BP = CD

0,5

0,5b)(0,75đ) Vì BI // AN (gt) ⇒ BIM· = ·ANM = ·AMN

⇒∆ BIM cân tại B ⇒BM = BI = BP

Mà BP = CE ( = CD)

⇒ BI = CE mà BI // CE Vậy BICE là hình bình hành

0,25

0,250,25c)(0,75đ) Theo chứng minh trên ta sẽ có BI = BP; CP = CK;

⇒ ∆BIP; ∆CPK cân tại đỉnh B; C

Gọi BI ∩ CK ={ }Q , phân giác góc IBP cắt phân giác góc PCK

tại S ⇒S là tâm đường tròn nội tiếp ∆ BCQ

Vì ∆BIP cân tại B ⇒ BS là trung trực của PI

∆CPK cân tại C ⇒ CS là trung trực của PK

⇒S là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆PIK

⇒ Đường tròn (S) ngoại tiếp ∆PIK tiếp xúc với BC, BI, CK

- Điểm các phần, các câu không làm tròn Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.

- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm.

Đề thi hsg huyện thanh miện năm 2011-2012

a)Tìm x để A có nghĩa , từ đó rút gọn biểu thức A

b)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Câu 2(2 điểm).Giải các phương trình sau:

a) x 7 5 + − = − x

b) x 2 − + 2x 5 − + x 2 3 2x 5 + + − = 7 2

Câu 3(2 điểm)

a)Cho a,b là hai số hữu tỉ thỏa mãn bất đẳng thức : a3b+ab3-2a2b2-2a+2b-1=0

Chứng minh rằng 1+ab là bình phương của một số hữu tỉ

b)Tìm các cặp số nguyên (x;y) sao cho : x2 2x 1 y 2 x 1

a) Chứng minh: AK.AE=AI.AB

b) Chứng minh: ∆AME : ∆AKM

c) Xác định vị trí của điểm I sao cho diện tích tam giác MNO đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R

b) Đặt a=3 2 − 3 + 3 2 + 3 Chứng minh rằng : 2 3

(a 3) −

− là số nguyên Câu2 (2 điểm)

a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=(m-2)x+3-m (m ≠ 3)

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) có giá trị lớn nhất

b)Tìm các số tự nhiên x,y biết rằng: (2x+1)(2x+2)2x+3)(2x+4)-5y=11879

Câu 4(3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH và đường phân giác trong

AD Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại I và cắt cạnh AC tại K

+ và n là số nguyên dương cho trước

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2011-2012

MÔN TOÁN LỚP 9 Ngày thi 06 tháng 12 năm 2011

Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề

Phần trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án

đúng Hãy chọn phương án đúng (viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án được lựa chọn).

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Tìm tọa độ giao điểm A của (d 1 ) và (d 2 )

b) Xác định m để ba đường thẳng trên là 3 đường thẳng phân biệt đồng quy.

Câu 4 (8 điểm) Cho D ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K.

Họ và tên thí sinh:……… .Chữ ký của giám thị 1:………

Số báo danh :……… … Chữ ký của giám thị 2:………

Kết hợp với điều kiện ta có 0 x 4 ≤ < là các giá trị cần tìm.

Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình ( ) 2

x x

Giải phương trình (2 và tìm được x =1 là một nghiệm của phương trình đã cho

Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm là x=1 0.5

Giải hệ phương trình ta được x = 1; y = 2.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại A (1; 2).

b) Ba đường thắng cắt nhau tai một điểm suy ra (d 3 ) đi qua A.

A

Câu 1 (2,5 điểm): Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành

+ Vì D ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK nên D ACK vuông tại C

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Câu 2a ( 1,0 điểm): Chứng minh 3 điểm H, M, K thẳng hàng

+ Chứng minh M là trung điểm của BC

+ Ta có tứ giác BHCK là hình bình hành (cmt) Suy ra 2 đường chéo BC và HK cắt

nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC (cmt)

Suy ra M cũng là trung điểm của HK

0,25đ 0,5đ

+ Suy ra 3 điểm H, M, K thẳng hàng 0,25đ

Chứng minh S AHG = 2S AGO

+ Vì M là trung điểm của BC (cmt) Suy ra AM là đường trung tuyến của D ABC

+ D ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt)

Suy ra G thuộc đoạn AM, AG = 2

3 AM + Vì M là trung điểm của HK (cmt)

Suy ra D AHK có AM là đường trung tuyến Mà G thuộc đoạn AM, AG = 2

3 AM (cmt) Suy ra G là trọng tâm của D AHK

+ Chứng minh HO đi qua G, HG = 2GO

+ D AHG và D AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO, HG = 2GO

Do đó S AHG = 2S AGO

0,25đ 0,25đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

Câu c (2,5 điểm): Chứng minh AD BE CF 9

+ Chứng minh bài toán phụ:

Cho x > 0, y > 0, z > 0 Chứng minh rằng (x y z) 1 1 1 9

x y z

ç + + çç + + ÷³÷÷

+0.25đ Kết luận nghiệm của hệ (x;y) = (1 ; 4 )

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O;R) Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại các điểm D, N, M Kẻ đường kính DI của đường (O;R) Qua I kẻ tiếp tuyến của đường (O;R) nó cắt AB, AC lần lượt tại E, F.

a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm Tính chu vi của tam giác AEF

b, Chứng minh EI BD = IF.CD = R 2

c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.

a b 4 a b Dấu “=” xảy ra khi nào?

b, Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn: 1+ + =1 1 8

Thời gian : 150 phút (không kể phát đề)

Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có cạnh BC cố định còn điểm

A thay đổi trên (O) Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tia AO kéo dài cắt (O) tại F Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì đường thẳng HF luôn đi qua một điểm cố định.

c) Giả sử AB>AC Chứng minh AB 2 + CE 2 > AC 2 + BD 2

d) Đường phân giác của góc A cắt BC tại K và (O) tại L Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn AK với AO Chứng minh rằng (I, IA) tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với BC tại K.

Câu 5 (2 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một

tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?

HẾT

-PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN CHÂU THÀNH

Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 THCS

Năm học 2011-2012

1

(4 đ) a) Điều kiện 1≤ x, y ≤ 9 và x, y nguyên Ta có xxyy xx= 2+yy2 ⇔

⇔1100x+11y=(11x)2 +(11y) 2 ⇔11(100x + y) = 112 (x 2 +y 2 ) ⇔99x+(x+y)

= 11(x 2 +y 2 ).

⇒(x+y) M11⇒x+y=11 (vì 2≤ x+y ≤ 18) Kết hợp với giả thiết x–y=5 hoặc y–

x=5 Từ đó (x;y) có thể là (3; 8), (8; 3) Thử lại chỉ có (x;y) = (8; 3) thỏa mãn.

Vậy số cần tìm là 83.

b) a 2 (a+1)–b 2 (b–1)+ab–3ab(a–b+1)= a 3 + a 2 –b 3 +b 2 +ab–3a 2 b +3ab 2 –3ab

= (a 3 –3a 2 b +3ab 2 – b 3 ) + (a 2 –2ab +b 2 ) = (a–b) 3 +(a–b) 2 = +(a–b) 2 (a–b+1)

thức liên hợp với vế trái (biểu thức này luôn dương) thì xuất hiện nhân tử

chung là x+ 3 Ta có :

(1) ⇔x+3 = 3

5

x+ ( 4x+ 1 + 3x− 2 ) ⇔(x+ 3)( 4x+1+ 3x−2–5) = 0

⇔ 4x+1 + 3x−2 = 5 (do x+ 3 > 0) (2)Giải bằng cách bình phương hai vế ta được:

b) Dùng phương pháp thế ta tính được x=m; y=2.

Do đó: m 2 – 3m + 2 >0 ⇔ 2

1

m m

(6 đ) a) Vì ·AEH =·ADH =900 nên các điểm A, E, H cùng nằm trên một đường tròn

đường kính AH và các điểm A, D, H cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH vậy bốn điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.

b) Vì AF là một đường kính của (O) nên ·ABF = 90 0 Hay BF ⊥

BA Mà CH ⊥ BA nên BF//CH Tương tự CF//BH Suy ra tứ giác BHCF là hình bình hành Vậy HF đi qua trung điểm của BC (là một điểm cố định), ta có đpcm.

d) Vì A, I, O thẳng hàng nên (I, IA) tiếp xúc trong với (O) tại A.

Ta có OIK· = 2OAK· =FOL· (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề) Suy

ra IK//OL Mà OL ⊥ AB (L là trung điểm »BC do AL là phân giác góc A) nên

IK ⊥ BC Vậy (I, IA) tiếp xúc với BC tại K.

(2 đ) Giả sử ∆ ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3 Chia

mỗi cạnh tam giác ABC thành ba phần bằng nhau.

Nối các điểm chia bởi các đoạn thẳng song song với các cạnh Tam giác ABC được chia thành 9 tam giác đều có cạnh bằng 1 Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BI=CJ=AK=1 Ba đường tròn bán kính 1, tâm tương ứng là I, J, K sẽ phủ kín được tam giác ABC (mỗi hình tròn sẽ phủ kín được ba tam giác nhỏ).

Như vậy dùng ba tấm bìa sẽ phủ kín được tam giác ABC.

Số tấm bìa ít nhất phải dùng là 3, vì nếu ngược lại sẽ có hai trong ba đỉnh

của tam giác ABC thuộc một hình tròn bán kính 1 Điều này không thể xảy ra

do cạnh của tam giác ABC bẳng 3.

2.0

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn: Toán (Thời gian: 150 phút)

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x =

3 2

2

+c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức: P x = 6 x - 3 - x− 4

Câu 2( 2,0 điểm):

a) Cho a + b + c = 0 và a,b,c khác 0 Chứng minh rằng:

c b a c b a

1 1 1 1 1 1

2 2

Câu 4(2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC

thành hai đoạn BH CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm Gọi D và E lần lượt là hình chiếucủa H trên AB và AC

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N Tính diệntích tứ giác DENM

Câu 5(1,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC) Trung tuyến AM Gọi

số đo của góc ACB là α Số đo của góc AMB bằng β Chứng minh rằng:

( sinα + cosα)2 = 1 + sinβ

x x

x x

1 1

:

1

x x

x x

x x

x

=

) 1 (

1 1

x x

x x

0,25

0,25

x x

x x

) 1 (

−

+

x x

x x

=

x

x 1 ) 2 ( +

0,25 0,25

b

0,75đ

Với x =

3 2

) 1 1 3

3

− = 2

3 ( 3 + 1 )

0,25 0,25 0,25 c)

x = 6 x - 3 - x− 4

⇔ ( x+ 1 ) 2 = 6 x - 3 - x− 4

⇔ x + 2 x + 1 = 6 x - 3 - x−4 ⇔ ( x − 2 ) 2 + x− 4 = 0 (*)

Do ( x − 2 ) 2 ≥ 0 ∀ x > 0; x− 4 ≥ 0 ∀ x ≥ 4 Nên để (*) xảy ra thì x− 2 ) 2 = 0 và x− 4 = 0

=

ab

c b a c

b a

) (

2 1 1 1

2 2 2

+ + + + + = 12 + 12 + 12 + 0

c b

1 1 1

c b

c b a c

b a c

b a

1 1 1 ) 1 1 1 ( 1 1

2 2

0,25 0,5 0,25

0,25 0,25

A 2 ≤ 8 hay A ≤2 2

0,25

0,25

0,25