Đề thi Cao học-Quy Nhơn 2011

Chứng minh rằng tập hợp c0 không ñâu trù mật trong c.. Cho X là không gian Banach trên trường số.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

f  x, y   







 

x

n

n

k k 





BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO

TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN

ðỀ CHÍNH THỨC

ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2011

NGÀNH: TOÁN HỌC

Môn thi: GIẢI TÍCH

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề

Câu 1 Chứng minh rằng hàm số f : 2  xác ñịnh bởi



 x2  y 2

 sin



1

x2  y 2 khi  x, y   0, 0

0 khi  x, y   0, 0



liên tục, có các ñạo hàm riêng f ' , f ' gián ñoạn nhưng f khả vi tại 0, 0

Câu 2 a) Cho dãy số a n  và hàm số f : 0,1  xác ñịnh bởi f 0  0 và f  x   a n nếu

x   1 , 1 

với mọi n  1 Chứng minh rằng nếu a  bị chặn thì f khả tích trên 0,1; và

nếu a n  n với mọi n thì f không khả tích trên 0,1;

1

b) Xét tính khả tích Lebesgue của f và tính  L   fd  (nếu có) với

0

8x2011



, x   0;1

f  x    x2

 x ln x

, x   \

, x   \

  0;1 / 2

  1 / 2;1

Câu 3 a) Xét không gian ñịnh chuẩn c các dãy số hội tụ với chuẩn cho bởi x  sup n x n với mọi

x  x n   c Chứng minh rằng tập hợp c0

không ñâu trù mật trong c

các dãy số hội tụ về 0 là không gian con ñóng và

b) Cho X là không gian mê-tric ñầy ñủ và  f n : X  là các dãy hàm liên tục sao cho với

n

mọi x  X tồn tại lim f n  x  Chứng minh rằng tồn tại tập V  X

M  0 sao cho f n  x   M với mọi x V và mọi n 

Câu 4 Cho X là không gian Banach trên trường số Xét dãy x n n0 *  X * và không gian vectơ

l1  X   x  x n   X : n0 x n  

1) Chứng minh rằng l1  X  là không gian Banach với chuẩn x 0  



n0 n

2) a) Giả sử dãy x*  bị chặn Với mỗi n  0 ñặt A, A n : l1  X   cho bởi

Ax  x k *  x k ; A x  n  x k *  x k   x  x k k 0    l 1  X  

Chứng minh rằng A, A n xác ñịnh các ánh xạ tuyến tính liên tục Tính các chuẩn A , A n Chứng minh rằng  A n bị chặn và hội tụ theo ñiểm về A

b) Giả sử ánh xạ A cho trong câu a) hoàn toàn xác ñịnh Chứng minh rằng dãy x*

 bị chặn

3) Cho dãy a n   Sử dụng câu 2) chứng minh rằng các ñiều kiện sau là tương ñương:

k 1

 l với mỗi x  l ;

 

b) a n   l

n0

- HẾT - Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm