ðề thi HSG môn Toán Trang 4 Bài 6 Một ñất nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kì ñều khác nhau và không có ba sân bay nào thẳng hàng.. ðề thi HSG môn Toán Trang 6
Trang 2ðề thi HSG môn Toán Trang 1
MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
Trang 3ðề thi HSG môn Toán Trang 2
Câu 2: (4 ñiểm)
Cho dãy số { }x n thoả mãn:
0 3
Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên R*+ và thoả mãn:
2 2
2
(1) 54
1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A
2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005
g x
=+ + −
Trang 4ðề thi HSG mơn Tốn Trang 3
Câu 4
Cho tứ diện ABCD cĩ BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y,
z, t lần lượt là khoảng cách từ G đến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC)
a Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t)
b Gọi α β γ, , là gĩc giữa các cặp đường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, AB và DC Giả sử
c < b < a Hỏi ba đoạn thẳng a cos ,α b cos ,β c cosγ cĩ thể dựng được một tam giác hay khơng ?
Dựđốn lim(sinn 1)n
n + Bài 5
Trang 5ðề thi HSG môn Toán Trang 4
Bài 6
Một ñất nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kì ñều khác nhau và không có ba sân bay nào thẳng hàng Cùng một thời ñiểm từ mỗi sân bay có một chiếc máy bay cất cánh và bay ñến sân bay nào gần nhất Trên bất kì sân bay nào cũng không thể có quá n máy bay bay ñến Tìm n
Bài 9
Trên bảng có 2008 số 1 , 2 , ,2008
2008 2008 2008 Mỗi lần xóa ñi hai số a và b ở bảng ñó người ta viết vào
bảng số (a + b – 2ab) Hỏi sau 2007 lần xóa như vậy số còn lại trên bảng là số nào ?
12
n n
n
x x
Trang 6ðề thi HSG môn Toán Trang 5
7 THI HSG TOÁN 10 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 1999 – 2000
Bài 1 Cho parabol (P) y = x2 – 3x + 3
a – Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A(1 ; 1
a b c
ab bc ca
+ + =
+ + =
Áp dụng hệ thức VIET chứng minh a, b, c ∈ [-4
3 ;
4
3] Bài 3
a) Giải hệ phương trình
2 2
4128
b) Tìm m ñể phương trình x+ +5 4− =x m có nghiệm duy nhất
Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD, ñiểm M bất kì Chứng minh rằng:
a MA AD =MB BC b MA MC =MB MD
Bài 5 Cho △ABC cân (AB = AC) với ˆA = 2α , các ñường cao AH, BI Chứng minh rằng:
a> sin 2α = 2sinα.cosα b> 1 – cos2α = 2sin2α Suy ra 1 + cos2α = 2cos2α
b – Dùng ñồ thị trên biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x2−3x + =m 0
Bài 3 (2 ñiểm) Tìm k ñể phương trình (k2− +5k 3)x2+(3k−1)x+ =2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x2 = 2x1
8 THI ðỊNH KÌ LỚP CHỌN 10A LẦN I TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2 (1999 – 2000)
Trang 7ðề thi HSG môn Toán Trang 6
Bài 4 (2 ñiểm) Các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD kéo dài thì vuông góc với nhau Hãy tính diện tích
của tứ giác này nếu AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm
Bài 5 (2 ñiểm) Cho △ABC có góc ˆA nhọn Vẽ ra bên ngoài △ABC các tam giác vuông cân ñỉnh A là
△ABD, △ACE Gọi M là trung ñiểm của BC Chứng minh rằng AM ⊥DE
xy yz zx
10 ðỀ THI HSG LỚP 11 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001)
Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sin 2 cos 1
Bài 5 Cho tam diện vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các ñiểm A, B, C Gọi H là hình chiếu của
O trên (ABC) Gọi α β γ, , lần lượt là góc gữa OH với Ox, Oy, Oz Chứng minh rằng
c α +c β +c γ = 1
Trang 8ðề thi HSG môn Toán Trang 7
Trang 9ðề thi HSG môn Toán Trang 8
f x =
+ Tính
2000 1
Câu 3 Giải biện luận phương trình 4sinx+21 sinx+ =m (m là tham số)
Câu 4 Cho hình chóp ñều S.ABC có trung ñoạn bằng a và lập với ñáy một góc một góc α
a – Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
b – Tìm khoảng cách từ A tới (SBC)
14 THI HSG 11 B C NINH (2004 – 2005)
Bài 1 (2,5 đi m) Tính giá tr c a: cos50
- cos310 - cos410 + cos670 + cos770
Bài 2 (2,0 đi m) Cho dãy s {an} th a a1 = 1, an+1 =
là s nguyên, v i m i giá tr nguyên n > 1
Bài 3 (2,5 đi m) Cho t di n ABCD, đ ng vuông góc chung c a AC và BD đi qua trung đi m BD và
Bài 4 (2,0 đi m) G i r, R là bán kính đ ng tròn n i ti p, ngo i ti p tam giác ABC, và r1 là bán kính
đ ng tròn n i ti p tam giác có các đ nh là ti p đi m c a đ ng tròn n i ti p tam giác ABC Ch ng minh
r ng r Rr1
Bài 5 (1, 0 đi m) Gi i ph ng trình x3
- 3x = x2
15 THI HSG 11 THPT YÊN PHONG 2 - B C NINH (2008 – 2009)
Bài 1: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = 2 11 2 y4 x y 5, v i x, y là các s th c tho mãn
x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0
Trang 10thi HSG môn Toán Trang 9
HG Bài 8: Ch ng minh r ng v i m i ABC nh n ta luôn có tanA.tanB.tanC > 1
Bài 9: Tìm t t c các hàm s f: tho mãn f(x3
– y) + 2y.(3f2(x) + y2) = f(y + f(x)), x, y
Bài 10: Cho các h ng s th c a, b, c v i a ≠ 0 Ch ng minh r ng đ ng th ng (d) x =
16 THI HSG 10 THPT YÊN PHONG 2 - B C NINH (2008 – 2009)
Câu 1 (3 đi m) Cho hàm s y = - x2
đ ng tròn ngo i ti p ABC Ch ng minh GI CM
Câu 4 (1 đi m) Ch ng minh 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 ( 1 2) ( 1 2)
a b a b a a b b
17 THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH – NĂM HỌC 2008 – 2009
Câu 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; +∞) thỏa mãn f(x) = f( ),1
x
∀ x > 0 Chứng minh rằng hàm số
Trang 11thi HSG môn Toán Trang 10
π
f(tanx) khi 0 x <
2g(x) =
Câu 2 Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 hàm số y = x(x – a)2 không phải là hàm ñồng biến
Câu 3 Giải phương trình
Câu 5 Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a Hãy tính theo a:
1) Góc tạo bởi A’B và B’C
2) Diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ñi qua A’B và trọng tâm G của tam giác ABC 3) Tỉ số thể tích hai phần của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bị phân chia bởi thiết diện nói trên
18 THI HSG LỚP 11 (2001 – 2002)
Bài 1 Có tồn tại hay không 2001 số dương phân biệt sao cho tổng các nghịch ñảo bình phương của chúng
là một số chính phương có dạng n2 + n + 1 (n ∈N*) ? Tại sao?
Bài 2
1 Cho n số dương a1, a2, …, an (n ∈N*) thỏa mãn a1a2…an ≤ 2n – 1 Chứng minh rằng 1
1
11
n k n
a a
1.Giải phương trình nghiệm nguyên 2 4x x+1+ +x2 2x+ +1 x24x+ −4x 2 4x x+ =4 42x+1+12.4x+4 2.Giải phương trình lượng giác cos6x – cos4x = 4(1 + cos3x)
Bài 4 Cho △OAB có C là trung ñiểm của AB, D là trung ñiểm của OC, AD cắt OB tại E, gọi F là ñiểm ñối xứng với E qua C, và G là ñiểm ñối xứng với D qua OB Chứng minh OF + 4.OG cùng phương với OB
19 THI HSG LỚP 11
Bài 1 Chứng minh hàm y = f(x) = x liên tục và có ñạo hàm tại x = 0, hàm y = g(x) = |x| liên tục nhưng không có ñạo hàm tại x = 0 Hàm y = f(x).g(x) = x|x| có liên tục tại x = 0 hay không, có ñạo hàm tại x = 0 hay không?
Trang 12ðề thi HSG môn Toán Trang 11
Bài 3 Cho hàm số liên tục f : [0; 1] → [0; 1], có ñạo hàm trên khoảng (0; 1) và f(0) = 0, f(1) = 1
a Chứng minh rằng phương trình f(x) = 1 – x có nghiệm trên khoảng (0; 1)
b Phương trình f’(x) f’(a) = 1 (hằng số 0 < a < 1) có nghiệm trên khoảng (0; 1) hay không?
Bài 4 Cho Ax và By chéo nhau, C ∈ Ax, D ∈ By, a b k
AC+BD= (a, b, k là hằng số dương cho trước)
a.Chứng minh CD luôn cắt một ñoạn thẳng cố ñịnh
b.Xác ñịnh C, D sao cho ABCD có thể tích nhỏ nhất
1.Giải biện luận theo tham số m phương trình lượng giác m.cos3x + sinx.sin2x – cosx = 0
2.Chứng minh với mọi △ABC ta có
1) Cho cấp số nhân u1, u2, … , un có các số hạng dương và thỏa mãn
1
n k k
k n k
a u b
= =
2) Tìm giới hạn
2 4
0
1 1lim
x
x x x
→
+ + −
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA ⊥ (ABCD)
a) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SC và BD
b) Mặt phẳng (α ) ñi qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R Tính diện tích tứ giác APQR theo a
Trang 13ðề thi HSG môn Toán Trang 12
a A = |2x + y – 7| b B = 2x + y – 7 c C = 4x2 + y2 + 4xy -28x – 14y + 49 Bài 2
a Giải phương trình x− −4 2x− = −9 x 5
b Cho hai phương trình x2 + bx + c = 0 (1) và x2 – b2x + bc = 0 (2) Phương trình (1) có hai nghiệm thực
x1 và x2, phương trình (2) có hai nghiệm thực x3 và x4 thỏa mãn x3 - x1 = x4 - x2 = 1 Xác ñịnh b và c
c Giải phương trình nghiệm nguyên 3x – y3 = 1
Bài 3
Cho bảng ô vuông kích thước 2009×2010, trong mỗi ô lúc ñầu ñặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy
2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô ñó 1 viên sỏi ñưa sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi) Hỏi sau hữu hạn bước thực hiện thao tác trên ta có thể ñưa hết số sỏi ở trên bảng về cùng một ô hay không?
Bài 4
Trong mặt phẳng Oxy cho B( - m; 0), C(m; 0) cố ñịnh, m ≠ 0 A là ñiểm thay ñổi trên mặt phẳng thỏa mãn tung ñộ của A gấp 3 lần tung ñộ của tâm I ñường tròn nội tiếp ∆ABC Tìm quỹ tích ñiểm I
22 ðỀ THI HSG LỚP 11 – THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 1
Bài 1 Cho dãy số {un} xác ñịnh như sau: u0 = 1, u1 = - 1, u n + 2 = k.un + 1 - un, ∀ n ∈N
Tìm số hữu tỉ k ñể dãy số trên là dãy tuần hoàn
Bài 2 Giả sử phương trình anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 có n nghiệm thực (n ∈ N, n ≥ 3, ai ∈ R,
i = 0, n , an≠ 0) Chứng minh (n 1)a− 2n 1− ≥2na an n 2− , ∀n ∈N, n ≥ 3
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T = a2 + b2 + c2 + 2abc, với a, b, c là ñộ dài ba cạnh
một tam giác có chu vi bằng 2
Trang 14ðề thi HSG môn Toán Trang 13
Bài 3 Cho hai hàm số liên tục f, g : [a; b] →R thỏa mãn f(x) = g(x), ∀ x ∈ [a; b] Chứng minh rằng
ta luôn có f(x) = g(x), ∀ x ∈ [a; b]
Bài 4 Tùy theo các tham số a, b, c dương, biện luận số nghiệm của phương trình ax+ bx = cx
Bài 5 Cho dãy số {an} thỏa mãn an+1≤ an – an2, ∀n ∈N Chứng minh rằng liman = 0
Bài 6 Trên nửa ñường tròn (O; R = 1) lấy 2n + 1 ñiểm (n ∈N*) P1, P2, …, P2n+1ở cùng phía ñối với mộñường kính nào ñó Chứng minh
2 1
1
1
n k k
24 ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 1
Bài 1 Người ta chứng minh ñược ñịnh lí sau, gọi là ñịnh lí Lagrăng: “Nếu hàm số f(x) liên tục trên ñ ạn [a; b], có ñạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại giá trị c∈(a; b) sao cho f c'( ) f a( ) f b( )
2; 1) Hãy tìm giá trị c như trong ñịnh lí trên nói tới
phương trình x3 – 3x = m3 – 3m
Bài 3
a Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) (x – 1)2+ (y + 2)2 = 4 Tìm quỹ tích các ñiểm M trong mặt
phẳng sao cho từ M kẻñược 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau
b Gọi T là tập hợp các ñiểm trên ñường tròn (C) và có các thành phần tọa ñộ ñều là số nguyên Tìm
ñiểm N trong mặt phẳng Oxy sao cho 2
25 ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 2
Bài 1 Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (a; b) và thỏa mãn 1 2 1 2
−
=+ (C)
Trang 15ðề thi HSG môn Toán Trang 14
Bài 4 Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình vuông ABCD nằm trong mặt phẳng Oxy, biết A thuộc ñường thẳng (d) x – y = 0, C thuộc ñường thẳng (d’) 2x + y – 1 = 0, và B, D thuộc trục Ox
x − − x − + + =x không thể có nghiệm âm
2) Tìm a sao cho với mọi x ≠ 0 ta luôn có (x2 12) (1 3sin )(a x 1) 3sina 0
Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c Gọi G là trọng tâm tứ
diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC)
27 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002)
Ngày thi 26 -11-2001 (bu ổ i 2)
+
=+
=+
1
)
1(5)
1(4)
1(3
zx yz xy
z
z y
y x
A
C B
A
coscos
cos
sinsin
sin
++
++
Bài 3 (2 ñiểm) Cho hàm số f : N→N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức
(1) f(f(n)) = 4n + 9 với mọi n ∈N; (2) f(2n) = 3 + 2n + 1 với mọi n ∈N*.
Tính f(1789)
Trang 16ðề thi HSG môn Toán Trang 15
Bài 4 (2 ñiểm) Chứng minh rằng mọi mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai trung ñiểm của hai cạnh ñối
của một tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể tích bằng nhau
Bài 5 (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*) Chứng minh rằng có thể cắt n hình vuông ñó thành
những ña giác mà với những ña giác này có thể ghép lại ñược một hình vuông mới
1 2 cos
x
x x
π
ln(cosx) lim
8 Hãy chỉ ra một tứ diện như thế
29 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003)
Ngày thi 16 -10 -2002 (bu ổ i 1)
− +
=+ ,n∈N*, n> 1 Chứng minh
rằng a1 =a2 = = a n
Trang 17ðề thi HSG môn Toán Trang 16
Bài 4 (2 ñiểm) Tồn tại hay không hàm số f : R→R thỏa mãn (f(x) – f(y))2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ , và f không phải là hằng số?
Bài 5 (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ Chứng minh rằng các mặt (ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt nhau tại một ñiểm
Bài 2 (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1
1 Gọi x x x là hoành 1, 2, 3 ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành Tính giá trị của biểu thức
2 Tìm số k lớn nhất ñể với mọi ∆ABC ta luôn có sin2A + sin2B > ksin2C
Bài 4 (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến mặt phẳng (ABC) trùng
với trực tâm ∆ABC
1 Gọi , ,α β γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) vớ ñáy (ABC) Tính giá trị
của biểu thức T =cos2 +cos2 +cos2α β γ
2 Gọi m là cạnh lớn nhất trong các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp SABC, tính tỉ
Trang 18ðề thi HSG môn Toán Trang 17
của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ ư tương ứng trên ñồ thị Hãy xác ñịnh giá trị
T = R1 - R2 + R3 - R4
32 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006) Ngày thi 05 – 04 - 2006
Bài 1 Tìm giới hạn 1) lim s inx
1) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – 1 Tính số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0
2) Tìm m ñể phương trình |x|3 – 3|x| – 2 = m(x – 2) có 4 nghiệm thực phân biệt
Bài 3 Cho hình chóp SABC có ñáy ABCD là tứ giác nội tiếp ñường tròn ñường kính AC, SA = 2BD,
Câu 4 (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau ở Q,
tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở P Chứng minh rằng P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD
Câu 5 (4 ñiểm) Chứng minh rằng hai số 2005n và (2005n + 5n) có số chữ số bằng nhau với mọi n nguyên
dương
∧
R
RR
Câu 3 (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài 3 cạnh là a, b, c Giải hệ phương trình
Trang 19cos x cos 2x cos 3x
a) Giải bất phương trình đ( cho, khi m = 2
b) Xác định m để bất phương trình đ( cho có nghiệm x > 1
1/ Chứng minh rằng hàm số đ( cho có duy nhất điểm cực trị, đó là điểm cực tiểu 2/ Đồ thị hàm số đ( cho cắt trục hoành Ox tại hai điểm phân biệt A và B Tính cosin của góc tạo bởi các tiếp tuyến tại A và tại B của đồ thị hàm số đ( cho (với kết quả được rút gọn)
(Đề thi gồm 01 trang )
Họ và tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh : Chữ ký của giám thị 2:
34
Trang 2035
Trang 21ðỀ CHÍNH THỨC
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao ñề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================
Câu 1:(5 ñiểm)
y=x −3x+2 có ñồ thị là (T) Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các ñiểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các
ñiểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C) Chứng minh rằng A’, B’, C’
BAC=60 , CAD=120 Gọi E là chân ñường phân giác trong góc A của tam giác ABD Chứng minh rằng tam giác ACE vuông
Câu 5:(2 ñiểm)
x +y ≤ π Chứng minh rằng:
( )cos x+cos y 1 cos xy≤ +
