Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục... 3 f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược.. Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB là nh
Trang 1ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2
Môn: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4,0 ñiểm)
1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
1
2010 cos x
dx, ( 0).
x x 1
∞ α
+ α >
+
∫
2) Chứng minh rằng nếu chuỗi lỹu thừa n n
n 0
a x
∞
=
∑ hội tụ tại một ñiểm x= α
( α ≠ 0) thì nó sẽ hội tụ tuyệt ñối tại mọi ñiểm x0 thoả mãn x0 < α
3) Xác ñịnh cận lấy tích phân khi tính tích phân bội f (x, y, z)dxdydz
Ω
Ω là miền giới hạn bởi các mặt x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0 với thứ tự cho trong hai trường hợp sau: ∫ ∫ ∫dx dy f (x, y, z)dz và ∫ ∫ ∫dz dx f (x, y, z)dy.
Câu II (3,0 ñiểm)
Cho Q là tập các số hữu tỉ Xét sự khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của
hàm số sau trên ñoạn [0; e] và tính các tích phân tương ứng (nếu có):
x 1, khi x A [0; e]
x ln x, khi x B [0; e] \ A
=
∈ =
Câu III (3,0 ñiểm)
Cho C a; b[ ] là không gian các hàm liên tục trên ñoạn [ ]a; b với chuẩn
t a;b
x m ax x(t) , x C a; b
∈
Với α ∈(t) C a; b ,[ ] toán tử A xác ñịnh trên C a; b[ ] bởi công thức
[ ]
b
a
Ax(s) = α∫ (s).x(t)dt, x(t) ∈ C a; b , a ≤ ≤ s b.
Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục Tìm chuẩn của A
Q
www.VNMATH.com
Trang 2ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2
Môn: ðại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (3,0 ñiểm)
Cho V là một không gian vecto n – chiều trên trường K và f : V → V là một tự ñồng cấu có tính chất f2 =f Chứng minh rằng:
1) (IdV−f )2=(IdV−f ), trong ñó IdV là tự ñồng cấu ñồng nhất của V
2) V=Im f⊕Kerf
3) f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược
Câu II (2,0 ñiểm)
Cho f :R3 → R3 là một tự ñồng cấu có ma trận ñối với cơ sở chính tắc là
−
1) Hãy xác ñịnh các giá trị riêng, các không gian con riêng của f
2) Tự ñồng cấu f có phải là tự ñẳng cấu không? Vì sao?
Câu III (3,0 ñiểm)
1) Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB là nhóm con chuẩn tắc của G
2) Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G, G = AB và A∩ =B { }e
Chứng minh rằng ab = ba với mọi a ∈ A, b ∈ B và mọi phần tử g ∈ G ñều biểu diễn ñược duy nhất dưới dạng g = ab, với a ∈ A, b ∈ B
3) Nhóm cộng các số nguyên có biểu diễn ñược dưới dạng
{ }
A B, A B 0 ,
= + ∩ = với A, B là các nhóm con chuẩn tắc khác { }0 của không?
Câu IV (2,0 ñiểm)
Cho I là iñêan của vành các số nguyên , I≠{ }0 , chứng minh rằng:
1) I là iñêan nguyên tố khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố
2) Vành thương
I là một trường khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố
Z
Z
Z
www.VNMATH.com