Điểm C, tâm của vành tròn, cũng có thể xem như là một điểm thuộc vật rắn, mặc đầu tại C không có vật chất, bởi vì khi vành tròn chuyển động, điểm C cũng chuyển động cùng với vành tròn..
Trang 1Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 1
Chương I :
CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN (Référence : Mécanique des Solides, 2ème année)
§1 Vật rắn trong cơ học :
1) Khái niệm về vật rắn :
Trong cơ học, vật rắn là một vật thể không biến dạng : Khoảng cách
giữa hai điểm bất kỳ của vật rắn không đổi theo thời gian
Khái niệm vật thể không biến dạng chỉ là một mô hình Vì vậy, một tờ giấy
mỏng trượt trên mặt bàn và không bị biến dạng vẫn có thể xem như là một vật
rắn Trong khi đó một dầm kim loại đặt trên hai gối tựa và chịu lực
JG
F khá lớn, sẽ bị biến dạng khá nhiều trong qúa trình chịu lực ⇒ trong trường hợp này, không thể coi dầm là vật rắn
FG
gối tựa
dầm kim loại
Hình 1
2) Hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn :
(R)
S (R ) z
x O
M
zS
xS C
y = yS
Hình 2
zS
OS
yS
xS
( )S
O
z
y (R)
(R S)
Hình 3
xs e G
β α
γ
x
⊕
θ xs e G
Xét một vật rắn (S) có dạng hình vành tròn,
tâm C, chuyển động trong mặt phẳng thẳng
đứng trên mặt đất nằm ngang, trong hệ quy
chiếu trái đất R O e e e ( ; ; ; ) G G Gx y z
Điểm C, tâm của vành tròn, cũng có thể xem như là một
điểm thuộc vật rắn, mặc đầu tại C không có vật
chất, bởi vì khi vành tròn chuyển động, điểm C
cũng chuyển động cùng với vành tròn Tổng
quát hơn, mọi điểm trong không gian (mặc dầu
tại đó không có vật chất), liên kết chặc chẽ với
(S) và chuyển động cùng với (S) cũng có thể
xem là các điểm thuộc vật rắn (S)
Như vậy nếu gắn cứng trên vật rắn (S) một hệ
quy chiếu ( ; ; ; )
S S S
S x y z
R C e G G G e e
(1) liên kết chặc chẽ với vật rắn và chuyển động cùng với vật
rắn Khi đó, chuyển động của vật rắn (S) trong
hệ quy chiếu (R) có thể xem như tương đương
với chuyển động của hệ quy chiếu (RS) so với
hệ quy chiếu (R)
3) Thông số cần thiết để mô tả chuyển động của vật rắn :
• Đối với một hệ chất điểm (S) gồm n chất điểm Mi Để mô tả chuyển động của hệ (S) trong hệ quy chiếu(R), cần phải biết 3n thông số (với mỗi chất điểm cần biết ba tọa độ x, y, z của nó)
• Tuy nhiên, để mô tả chuyển động của vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R), chỉ cần biết nhiều nhất là 6 thông số, nhằm mô tả chuyển động của hệ quy chiếu (RS) gắn liền với vật rắn đối với
hệ quy chiếu (R):
1
Các hệ toạ độ ( ;O eG G Gx;e y;e x ) và là các hệ tọa độ De scartes
x y z
C eG G Ge e
Trang 2Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 2 + Ba thông số để xác định vị trí của gốc O S của hệ quy chiếu (RS) đối với hệ quy chiếu (R) : ba tọa độ xOS, yOS, zOS của điểm OS trong hệ (R)
+ Ba thông số (ba góc) để xác định phương chiều của vectơ đơn vị
S x
e G của hệ (RS) đối với hệ (R):
α, β, γ
• Trong trường hợp chuyển động của vật rắn được dẫn hướng bởi một số ràng buộc, số thông số cần thiết để mô tả chuyển động của vật rắn có thể < 6 Ví dụ, vành tròn chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng và luôn tiếp xúc với mặt đất nằm ngang chỉ cần hai thông số để mô tả chuyển động của vật rắn trong hệ quy chiếu (R) (Hình 2):
⇒
+ Hoành độ x của tâm C của vành tròn trong hệ (R)
+ Góc θ xác định phương chiều của véctơ đơn vị
S x
e G của hệ (RS) trong (R)
§2 Trường vận tốc :
Hình 4
y O
z
P
zS
° M ( )S
(R)
(R S)
xS
yS
1) Quan hệ vận tốc và gia tốc :
Xét một vật rắn (S) chuyển động trong hệ quy chiếu
(R) Gọi (RS) là hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn (S)
và có gốc P, với P là một điểm cố định trên (S)
@ Gọi là vận tốc của điểm M thuộc vật rắn
(S) trong hệ quy chiếu (R) Áp dụng định lý hợp vận
tốc :
/ ( ) R
v MK
( ) ( ) ( )
S
v MK =v MK +v MK
với : v MKe( ) : vận tốc theo của điểm M
: vận tốc của điểm M trong hệ
quy chiếu (R
/ ( )
S
R
v MK
S) (Điểm M cố định trong hệ quy chiếu (RS) : ( )/ 0
S
R
v MK = ) x
Gọi là véctơ quay tức thời của vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R) (véctơ quay của hệ quy chiếu (R
/
S
R R
ΩK
S) đối với hệ quy chiếu (R))
S
v MK =v MK =v PK + ΩK ×JJJJKPM
Viết gọn lại, ta có :
Như vậy, khi biết vận tốc của một điểm P và vectơ quay tức thời ΩK của vật rắn (S) có thể xác định vận tốc của một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn (S) theo biểu thức (1)
⇒
@ Tương tự, gọi là gia tốc của điểm M thuộc vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R) Áp dụng định lý hợp gia tốc :
/ ( ) R
a MG
S
với : a MGe( ) là gia tốc theo của điểm M :
/
R R
d
dt
Ω
G
a GC( M ) là gia tốc Coriolis :
( ) 2. / ( )/ 0 do
S
Trang 3Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 3 ( )/ : gia tốc của điểm M trong hệ quy chiếu (R
S
R
a MG
S) (Điểm M cố định trong hệ quy chiếu (RS) : ( )/ 0)
S
R
Viết gọn lại, ta có :
dt
Ω
(2) Như vậy, khi biết gia tốc của một điểm P, vectơ quay tức thời ΩK (còn gọi là vectơ vận tốc góc tức thời) và
vectơ gia tốc góc tức thời d
dt
ΩG
của vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R) ⇒ có thể xác định gia tốc của một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn (S) theo biểu thức (2)
2) Các trường hợp đơn giản :
z
(R)
( )S
O
a) Vật rắn (S) chuyển động tịnh tiến :
Nếu vật rắn chuyển động tịnh tiến trong (R) ⇒ S Ω =K 0
⇒ v M K ( ) = v P K ( ) = v t K ( )
Vận tốc của mọi điểm M trên vật rắn tại thời điểm t cho trước
đều bằng nhau
Tương tự cho gia tốc :
dt
K
)
x
O
z = zS
y
( )R
Hình 6
xS
yS
M
°
(R S)
ΩG
z
eG
z
θ
r
eG
eGθ
θ
r
H
x
b) Vật rắn (S) quay xung quanh một trục Oz cố
định trong (R):
Xét vật rắn (S) quay xung quanh trục Oz cố định
trong hệ quy chiếu ( ; ; ; )R O e e eG G Gx y z
Gắn cứng với vật rắn một hệ quy chiếu R O x S( ; S,y z S, S)như hình 6 với
Oz = OzS Gọi θ là góc quay của vật rắn (S) quanh
trục Oz (góc quay của hệ quy chiếu (RS) xung quanh
trục Oz của hệ quy chiếu (R))
Véctơ quay của vật rắn (S) trong (R): Ω = K θ ( ) t e JJKz
Mỗi điểm M của vật rắn vạch nên một quỹ đạo hình
tròn, có trục là Oz Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của M
được xác định bằng : JJJJ
r
OMG =r eG +z eGz (r và z không phụ thuộc vào t)
@ Vận tốc của điểm M trong (R) :
/
R
d OM
dt
=⎜ ⎟ = + Ω× = Ω× = Ω×
JJJJG
JJJJK JJJJK JJJJK
G K
(2)
⇒ v M K ( ) = r θ e JJKθ
Vectơ v M K ( ) vuông góc với HM và hướng theo chiều chuyển động của (S) trong hệ quy chiếu R
@ Gia tốc của điểm M trong (R) :
2
O và M là hai điểm thuộc vật rắn nên : v MK( ) =v OG( ) + Ω×K OMJJJJK; Ο cố định trong R nên v OG( ) = 0
Trang 4Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 4
θ
với :
(3)
/
( ( ))
R
d v M
@ Ghi chú : Gia tốc của điểm M có thể phân thành hai thành phần : Thành phần
hướng từ M về H (gọi là gia tốc hướng tâm) và thành phần a M
(
a M G )
2
n
vuông góc với HM (gia tốc tiếp tuyến)
3) Vật rắn quay xung quanh trục có phương không đổi trong (R):
a) Ví dụ 1 : Chuyển động của thanh truyền :
Xét cơ cấu tay quay- con trượt như hình 7î, dùng để biến chuyển động quay của khâu OA thành chuyển động tịnh tiến của con trượt B và ngược lại Hãy nghiên cứu chuyển động của thanh truyền AB có khối tâm là G
Để nghiên cứu chuyển động của thanh truyền AB,
ta xét thêm hệ quy chiếu khối tâm R* ( ;G e e eG G Gx, y, z)
tương ứng với hệ quy chiếu (R)
( )R
y
x A
O
B
M G
x y
θ
( *)R
⊕
z :
@ Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), thanh truyền
AB quay xung quanh trục Gz cố định Gọi M là
một điểm bất kỳ của thanh truyền AB, ta có : JJJJ
v MK( )*=v GK( ) *+Ω ×K * GMK
với : và là vận tốc của M và G
trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), là
( )
v MK
( )
v GK
*
ΩK
Hình 7
vectơ quay tức thời của thanh truyền AB
trong hệ (R*) : Ω =K* θ( ).t eJJKz
Do khối tâm G cố định trong hệ (R*) ⇒ v GK( )*=0 ⇒ v MK( )*= Ω ×K * GMJJJJK
Sử dụng định lý hợp vận tốc, trong hệ quy chiếu (R), ta có :
( ) e( ) ( ) *
v MK =v MK +v MK
Hệ quy chiếu khối tâm (R*) chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu (R)
⇒ v MKe( )=v GK( )
⇒ v MK( )=v GK( )+ Ω ×K * GMJJJJK (1)
@ Mặc khác, gọi Ω là vectơ quay tức thời của thanh truyền AB trong hệ (R), ta có : K
( ) ( )
v MK =v GK + Ω ×K GMJJJJK
).
(2) Từ (1) và (2), suy ra : Ω = Ω = K * K θ ( t e JJKz
3
Chú ý rằng trong R S , e Gθ
không đổi nên
/
0
S
R
de dt
θ
G
Trang 5Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 5 Véctơ quay tức thời của vật rắn là như nhau trong hai hệ quy chiếu (R) và (R*) Mở rộng ra, véctơ quay tức thời của vật rắn là như nhau trong các hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến tương đối đối với nhau
@ Ghi chú: Chuyển động của thanh truyền AB trong hệ quy chiếu (R) có thể xem như hợp của
hai chuyển động:
• Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm G trong hệ quy chiếu (R)
• Chuyển động quay xung quanh một trục Gz đi qua khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) (Trục Gz cố định trong hệ quy chiếu khối tâm (R*))
b) Ví dụ 2 : Chuyển động của một bánh xe :
@ Xét một bánh xe, coi như một đĩa tròn, bán kính b, tâm C, chuyển động trong mặt phẳng thẳng
đứng trên mặt đất nằm ngang cố định trong hệ quy chiếu (R) (Hình 8)
Gọi I là điểm tiếp xúc của bánh xe và mặt đất tại thời điểm t Tại chỗ tiếp xúc I vào thời điểm t, cần phân biệt ba điểm khác nhau:
• Điểm IS của mặt đất, cố định trong (R)
• Điểm IR của bánh xe Do bánh xe lăn ⇒ tại một thời điểm sau đó IR không còn nằm trên mặt đất nữa
• Điểm hình học I xác định vị trí tiếp xúc
y
O
z
x
(R)
x bb
I = IR = IS
Hình 8
JS = J
C C’
∆x
:
x
θ
tại t tại t + ∆t
J R
:ΩG = eθGz
⊕
y
( )R
z
C
I
Hình 9
C’
⊕
.dt
Ω
tại t tại t + δt
:
( )∆
: Ω G
O
y
x
Tại thời điểm t, ba điểm IS, IR và I có vận tốc khác nhau trong (R) :
( S) 0
v IK =
( ) ( )
v IK =v CK , bởi vì I và C luôn luôn nằm trên cùng một đường thẳng đứng
với : ( R) ( )
v IK =v CK + Ω ×K CIJJK ΩK là véctơ quay của bánh xe trong (R)
Vận tốc được gọi là vận tốc trượt của bánh xe trên mặt đất (nhớ rằng mặt đất là cố
định trong R) Ta thấy
( R)
v IK =vKg
g
vK nằm theo phương tiếp tuyến chung tại I giữa bánh xe và mặt dất
@ Bánh xe được gọi là lăn không trượt nếu như : vKg =v IK( R)=0
Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất, tại thời điểm t đang xét, điểm IR của bánh xe tiếp xúc với mặt đất có vận tốc bằng không ⇒ Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất, giữa hai thời
Trang 6Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 6 điểm t và t + dt rất gần nhau bánh xe có thể xem như chuyển động quay tức thời xung quanh một
trục ∆ đi I và song song với ΩK
y
Trục ∆ được gọi là trục quay tức thời của bánh xe (4) (Hình 9)
@ Chuyển động của bánh xe có thể xem như hợp của hai chuyển động :
+ Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm C (OCJJJG=x e.Gx+b e.G ) với vận tốc là vGC =x e.Gx
+ Chuyển động quay xung quanh trụcCz JJG
đi qua khối tâm C trong hệ quy chiếu khối tâm R* với vận tốc góc Ω =K θ( ).t eJJKz , trong đó θ là góc giữa trục Cx và một bán kính CM gắn cứng trên bánh
xe
@ Vận tốc của điểm IR trên bánh xe tại thời điểm t:
( R) ( )
v IK =v CK + Ω ×K CIJJK
⇒ v IK( R)=x e.Gx+θ.eGz× −( b e )Gy
x
⇒ v IK( R)=x e.Gx+θ .b eG
Suy ra vận tốc trượt của bánh xe trên mặt đất : vGg =v IK( R)= +(x θ ).b eGx
@ Bánh xe lăn không trượt trên mặt đất khi: vKg =v IK( R)=0 Thế mà : vGg =(x+θ ).b eGx Do đó, khi bánh xe lăn không trượt : x+θ.b=0
Mặt khác, nếu gọi ∆x và ∆θ lần lượt là dịch chuyển của tâm C của bánh xe và góc quay của bánh
xe trong khoảng thời gian ∆t; JR và JS lần lượt là các điểm của bánh xe và của mặt đất, mà tại thời điểm t + ∆t đến tiếp xúc với nhau tại J, ta có : I J S S = ∆ và cung x I J R R = ∆ b θ
Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất thì:
0
x+θb= ⇒ ∆ = ∆ ⇒ x b θ I J S S =I JqR R
@ Ghi chú : Chuyển động của thanh truyền (ví dụ 1) và của bánh xe (ví dụ 2) còn được gọi là chuyển
động song phẳng Trong chuyển động song phẳng, một điểm M bất kỳ của vật rắn chuyển động trong
cùng một mặt phẳng hay trong các mặt phẳng song song với một mặt phẳng quy chiếu định trước Chuyển động song phẳng của một vật rắn có thể xem là tổng hợp của hai chuyển động: Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm G và chuyển động quay xung quanh trục Gz đi qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng quy chiếu nói trên.
§3 Các đại lượng động học :
1) Trường hợp vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định :
a) Momen động lượng đối với một điểm trên một trục :
Xét một vật rắn (S) quay xung quanh một trục ∆ gắn cứng với (S) (trục ∆ cố định trong hệ quy chiếu R(O; x, y, z)), với véctơ quay là: ΩK
Lấy trục Oz của hệ R trùng với trục quay ∆ Gọi θ là góc quay của hệ quy chiếu (RS) gắn cứng với vật rắn so với hệ (R), ta có : Ω = Ω =K eGz θ G.e z
(Hình
10)
Gọi M là một điểm bất kỳ của vật rắn (S), dm là khối lượng của một phân tố thể tích vật rắn bao quanh điểm M
4 Khi bánh xe chuyển động, trục quay tức thời ∆ dịch chuyển theo điểm tiếp xúc I giữa bánh xe và mặt đất và luôn luôn song song với vectơ ΩK
Trang 7Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 7 Momen động lượng LGA
của vật rắn đối với điểm A cố định trên trục Oz trong hệ quy chiếu (R) :
( )
( )
A
S
LG =∫∫∫JJJJGAM×v M dmG
Do M và A là hai điểm thuộc vật rắn (S) nên
(Điểm A cố định trên trục Oz : )
v MG =v AG + Ω ×G JJJJGAM = Ω ×eG JJJJGAM
( ) 0
v AG = Suy ra :
( )
S
)
LG = Ω∫∫∫JJJJGAM× eG ×JJJJGAM dm
Hay :
2
( )
S
L = Ω ⎡AM e − AM e AM dm⎤
∫∫∫ JJJJG JJJJG JJJJG
(Ghi chú : A B CG× × =G G B C AG( )G G −C A BG G( )G )
Gọi H là hình chiếu của M trên trục quay ∆, ta có :
( ).z z
AM = AH +HM = AM e e +HM
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGG G JJJJG
z
y
x
O
z = zS (R)
yS
xS
( )R S
Hình 10
M
θ
r
H
A
( ) ∆
Ω G
(S)
θ
Suy ra :
2
( ) ( )
LG = ΩG ∫∫∫AM dm− Ω∫∫∫ JJJJGAM eG ⎡⎣ JJJJGAM e eG G +HM dmJJJJG⎤⎦
LG = ΩG ∫∫∫AM dm− Ω∫∫∫⎡⎣AH eG + JJJJGAM eGz HMJJJJG⎤⎦dm
LG = ΩG ∫∫∫AM dm− ΩG ∫∫∫AH dm− Ω∫∫∫JJJJJGAM eG JJJJGHM dm
Mặc khác : HM2 = AM2 - AH2
LG = ΩG ∫∫∫HM dm− Ω∫∫∫ JJJJGAM e HM dmG JJJJG
Như vậy, momen động lượng LGA
gồm hai phần :
//
( )
A
S
LG = ΩG ∫∫∫HM dm song song với véctơ quay ΩG
•
( )
(( ) )
S
LG ⊥ = −Ω∫∫∫ JJJJGAM e HM dmG JJJJG vuông góc với véctơ quay ΩG
Ghi chú : Thành phần LGA⊥ =0 khi :
@ Vật rắn nhận trục ∆ làm trục đối xứng
@ Khi vật rắn là vật rắn phẳng nằm trong mặt phẳng qua A và vuông góc với trục ∆
b) Momen động lượng đối với trục ∆ - Momen qúan tính :
• Hình chiếu L∆ của momen động lượng LGA
lên trục quay ∆ được gọi là momen động lượng của vật rắn (S) đối với trục ∆:
2 //
( )
A Z A Z
S
L∆ =L eG G =LG eG = Ω∫∫∫HM dm
dm
L∆ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên trục ∆
• Momen quán tính của vật rắn (S) đối với trục quay ∆ được định nghĩa như sau:
2
( )
S
J∆ =∫∫∫r
với : r là khoảng cách từ điểm M của vật rắn đến trục quay ∆
Trang 8Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 8
• Như vậy : L∆ =J∆.Ω và : LGA// =J∆.ΩG
Ghi chú : Trường hợp vật rắn (S) bao gồìm hai phần (S1) và (S2), lần lượt có momen quán tính đối với trục
∆ là J ∆1 và J ∆2 Khi đó, momen quán tính của (S) đối với trục đối với trục ∆ sẽ bằng : J ∆ = J ∆1 + J ∆2
c) Động năng :
Động năng của vật rắn (S) nói trên trong hệ quy chiếu (R) :
2
( )
1 ( )
2
K S
E =∫∫∫ v M dm với : v MG( )= Ω ×G JJJJGAM
Suy ra :
( )
1
2
K
S
E = ∫∫∫ Ω ×G JJJJGAM vG M dm
⇒
( )
1
2
K
S
⎣∫∫∫ JJJJG G m⎦ ΩG
Ta có : (Ω ×G JJJJGAM v M) (G )=(JJJJGAM×v MG( )).ΩG bởi vì : A B CG(G× G)=B CG(G×AG)=C A BG G( × G))
E = LG GΩ = L Ω
K
E = L∆ Ω = J∆ Ω
2) Áp dụng các định lý Koenig :
a) Momen động lượng và động năng của vật rắn:
Ω G
G
O
(R)
x
z
(R*)
z
y
x
Hình 11
@ Để nghiên cứu chuyển động của một vật rắn (S)
trong hệ quy chiếu R(O,x,y,z), ta đưa thêm vào hệ
quy chiếu khối tâm R*(G,x,y,z) Khi đó, áp dụng các
Về momen động lượng :
* ( )
LG =JJJGAG mv G× G +LG
với : là momen động lượng của (S) đối với khối
tâm G trong hệ quy chiếu (R*);
*
G
LG
// G
⊥
với : thành phần của song song với
*
//
G
G
LG
ΩG ; L*
G : thành phần của LGG*
vuông góc với ΩG
⊥
G
Về động năng :
1
( )
2
E = mv G +E
với : *
K
E là động năng của (S) trong hệ quy chiếu (R*)
@ Trường hợp vectơ quay của vật rắn (S) luôn luôn không thay đổi phương trong suốt quá
trình chuyển động, chẳng hạn Ω
ΩK K luôn nằm theo phương trục Oz (Hình 11) (5) : Trong (R*), (S) quay quanh trục cố định Gz, ta có:
G
LG =LG +LG ⊥ =J Ω +G LG ⊥
Với: J Gz: momen quán tính của vật rắn đối với trục Gz
5Vectơ quay ΩK là như nhau trong hai hệ quy chiếu (R) và (R*)
Trang 9Bài giảng Cơ Đại Cương, Phần I : Cơ học vật rắn, Chuyển động của vật rắn PFIEV Đà nẵng (V6) 9
*
Gz
L : momen động lượng của vật rắn đối với trục Gz trong hệ R
Ghi chú : Trong biểu thức của momen động lượng và động năng ta thấy gồm hai thành phần: Thành phần
( )
AG mv G×
JJJG G
hay 1 2
(
2 mv G)
G tương ứng với chuyển động tịnh tiến của toàn bộ vật rắn (S) cùng với khối
tâm G; thành phần * * hay
2
E = J Ω tương ứng với chuyển động quay của vật rắn (S) 2 quanh trục Gz trong hệ quy chiếu khốiï tâm (R*).
@ Trở lại bài toán chuyển động của bánh xe lăn trên mặt đất nằm ngang cố định trong hệ quy
chiếu trái đất (R) Trong hệ quy chiếu khối tâm R*(C, x, y, z), bánh xe quay quanh trục Cz cố định trong R*, ta có:LGC* =J CzΩeGz với: 1 2
2
Cz
2
z z
Áp dụng định lý Koenig, trong hệ (R) ta có :
* ( )
LG =OC mv CJJJG× G +LG ⇒ LGO =OC mv CJJJG× G( )+J GΩeG
1
( )
2
( )
(Chú ý : Đây là trường hợp vật rắn phẳng chuyển động trong mặt phẳng qua C và vuông góc với trục quay
Cz, do đó thành phần G
, chỉ còn lại thành phần
* 0
C
//
C
LG )
b) Định lý Huygens :
(∆)
G (∆G)
(S) (R)
ΩG
(R*)
Hình 12
Xét vật rắn (S) quay xung quanh một trục cố định
(∆) trùng với trục Oz của hệ quy chiếu R đang xét
với véc tơ quay ΩG Gọi G là khối tâm của vật rắn
(Hình 11) Trong (R*), (S) quay xunh quanh trục
cố định (∆G) trùng với Gz và song song với trục
Theo định lý Koenig :
1
( )
K
với m : khối lượng của vật rắn
K
E là động năng của vật rắn trong (R) :
2 1 2
K
x
*
K
E là động năng của vật rắn trong R* : * 1
2
Mặc khác, trong R, khối tâm G chuyển động trên vòng tròn tâm H bán kính a (H là hình chiếu của G trên trục (∆)) với vận tốc góc là Ω, do đó : 2 2 2
v G( )= Ωa (c) Thay (a) (b) (c) vào (1), suy ra : J∆ =ma2 +J∆G
Đây chính là định lý Huygens
***********
Bài tập chương Chuyển động của vật rắn:
AD1 (p29), AD2 (p30), Bài tập có giải (p41), BT2 (p42), BT3 (p42), BT6 (p42), BT7 (p43), BT8 (p43) Bài tập làm thêm: AD4 (p35), AD5 (p38), BT5 (p42)