TOÀN TẬP

L ỜI GIỚI THIỆU V ấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , t ứ giác , ngũ giác , lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp

L ỜI GIỚI THIỆU

V ấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác ,

t ứ giác , ngũ giác , lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới Cũng

t ương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như ( khối hộp chữ

nh ật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là kh ối đa diện ) học sinh đều được học công thức tính

th ể tích Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó

v ốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá Việc dạy và

h ọc các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 ,

11 v ốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân , trong

đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thi ếu

Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình ph ẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình gi ải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các

em h ọc sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình ph ẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay Khi h ọc vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công th ức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy

th ực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không

gi ải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để

“chia nh ỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa c ũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi ti ết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai

l ầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn y ếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế

Tài li ệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nh ằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn k ỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó

kh ăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng

nh ư tính thể tích của vật thể tròn xoay Từ đó giúp học sinh phát huy t ốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã

h ọc ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại

c ủa vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy

h ứng thú , thiết thực và học

t ốt vấn đề ứng dụng của tích phân Đây làm một tài liệu tham

kh ảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn

t ập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ

Tài li ệu này gồm các phần :

- Phần một :

Th ực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn

đề ứng dụng của tích phân hiện nay

1/ Nh ững khó khăn và sai làm mà học sinh thường mắc phải 2/ H ướng khắc phục

II Hình ph ẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị

2/ M ột vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm s ố

3/ Công th ức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ

th ị hàm số

- Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay

I Công th ức tính thể tích của vật thể tròn xoay

1/ V ật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh tr ục hoành

2/ V ật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh tr ục tung

II Th ể tích của khối cầu , khối trụ

PH ẦN MỘT

Th ực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt

v ấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay

Ch ủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức

c ơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy và học

v ấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân , đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn

b ởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo

b ởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , , đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh

(k ể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :

- N ếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình ph ẳng (hay vật thể tròn xoay )

Do dó h ọc sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về

di ện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác ,

th ể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu

“t ư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu

v ấn đề này

-Hình v ẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ ch ưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và

th ấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học -H ọc sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi

h ọc vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó

hi ểu

- H ọc sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (

th ể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc , khó phát huy tính linh ho ạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các bi ểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ

n ăng cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích Đây là một khó kh ăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

-H ọc sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa

d ấu giá trị tuyệt đối

Ch ẳng h ạn , th ường áp d ụng sai công th ức :

x

f

H ọc sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường

h ợp biểu thức f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b)

Ví d ụ : S = ∫3 x − x + dx

0

2

2 3

H ọc sinh viết sai là : S = ∫3 x − x + dx

0

2

) 2 3 (

- Giúp h ọc thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một

cách linh ho ạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một

trong các cách sau :

+ Ho ặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

+ Ho ặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới

d ấu giá trị tuyệt đối

x f

V ới điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b)

- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng

d ạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào

gi ải toán Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng T ừ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn ,

h ứng thú hơn

- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình v ẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên ch ọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh t ự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên

PH ẦN HAI

DI ỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

I/ HÌNH PH ẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH

1/ Công th ức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ

th ị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a ,

x = b

Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ ]a;b Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , tr ục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích

là S và được tính theo công thức :

∫

= b

a

dx x f

C Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy

ta ph ải “phá” dấu giá trị tuyệt đối

• N ếu f(x)≥ ∀x∈[ ]a;b thì =∫ =∫b

a b

a

dx x f dx x f

• N ếu f(x)≤ ∀x∈[ ]a;b thì =∫ =∫b(− )

a b

a

dx x f dx

x f

< Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu

thức f(x) Thường có hai cách làm như sau :

-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí

“d ấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x) ;

đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤

0 trên đoạn [ ]a;b

-Cách 2: D ựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [ ]a;b để suy ra dấu của f(x)

trên đoạn đó

• N ếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía

a

dx x f dx

Xét d ấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4

x - ∞

-2 0 + ∞

0

2 0

2

=

−+

−

−

=

−+

=+

=+

−

−

x x dx x dx

x I

Vd 2 : J =∫3 −x + x− dx

0

2

2 2

Xét d ấu tam thức f(x) = - x 2

+ 2x – 2 , có

0 1 2 1 ) 2 )(

1 (

f(x)= -x 2 +

2x - 2

- -2 - -5 -

Suy ra f(x)<0 ,∀x∈[ ]0;3

0

3 ) 2 3

( ) 2 2 ( 2

3 3

0 2 3

0

2

x x

x dx x x dx x x

6 0 6 9 3

27 0 2 0 3

0 3 2 3

3

=

− +

−

=

Vd 3 K =∫2 x − x+ dx

0

2

2 3

−

2

1 0

2 3

2

x

x x

x

x - ∞ 0

1 2 + ∞

f(x)= x 2 - 3x

+ 2

+ 2 +

0 - 0 + Suy ra f(x)≥0 ,∀x∈[ ]0;1 và f(x)≤0 ,∀x∈[ ]1;2

Do đó : =∫ − + =∫ − + −∫ − +

2

1 2 1

0 2 2

0

2

) 2 3 ( ) 2 3 ( 2

x K

1

2 ) 2 2

3 3

( 0

1 ) 2 2

3

3

(

2 3 2

3

x x x x x

x

+

−

− +

6

1 6

5 ) 2 3 ( )

2 3 ( 2

3

2

1 2 1

0 2 2

T ừ hình vẽ , suy ra 2x+4≥0 ,∀x∈[ ]-2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

0

2 0

2

=

− +

−

−

=

− +

= +

= +

−

−

x x dx x dx

x

Bài toán 2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các

đường y= - 2x - 4 , trục hoành Ox, trục tung Oy và đường

th ẳng x = - 2

Hình ph ẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x – 4 ,

tr ục hoành và hai đường thẳng x = - 2 , x = 0

T ừ hình vẽ , suy ra −2x−4≥0 ,∀x∈[ ]-2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

0

2 0

2

=

− +

−

−

=

− +

= +

0 2

3 0

3 ) 2 (

2 2 2

x

f x ( ) = x 2

3 4

-2

O 1

Hình 4 Hình ph ẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2

, tr ục hoành và hai đường thẳng

x = 0 , x = 2

Di ện tích S của hình phẳng trên là S =∫2 x dx

0 2

Vì x2 ≥ 0 ∀ x ∈[ ]0;2

3

8 3

0 3

2 0

2 ) 3 (

3 3 3

2

0

2 2

0

dx x dx

T ừ hình vẽ , suy ra x2 ≤0 ,∀x∈[ ]-1;2

3 3

1 3

8 3

) 1 ( 3

2 1

2 ) 3 (

3 3

3 2

1 2 2

x

Bài toán 6

Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 ,

1 A

9 0 2 2

0 3 2 2

3 0

3 ) 2 2 ( ) 2 ( 2

2 2

2 3

0 3

0

= +

= +

= +

-2 O

1 A

T ừ hình vẽ , suy ra −x2 + 2x− 2 ≤ 0 ∀ x ∈[ ]0;3

3 ) 2 3

( ) 2 2 ( 2

3 3

0 2 3

27 0 2 0 3

0 3

2 -1

= 1

1

2

2 2

T ừ hình vẽ , suy ra x2+2x+2≥0 ,∀x∈[ ]-1;1

1

1 ) 2 3

( ) 2 2 ( 2

3 2

1 2 1

1

2

− + +

= + +

= +

x dx x x dx x

1 3 3

1 ) 2 1 3

1 ( 3 3

1 2 ) 1 ( 3

) 1 ( 1

=

− +

−

− +

x

f x ( ) = x ( 3 -x 2 ) +2

3 6

2 -1

2

T ừ hình vẽ , suy ra x3 −x2 +2≥0 ,∀x∈[ ]-1;2

1

2 ) 2 3 4 ( ) 2 (

2

3 4 2

1

2 3 2

1

2

3

− +

−

= +

−

= +

x dx x

x

S

12

85 2 3

1 4

1 4 3

8 4 ) 2 3

1 4

1 ( 4 3

8 4

16 ) 2 3

) 1 ( 4

) 1 ( ( 2

−

− +

−

=

− +

− +

3

-4

2 -1

1 0

1 0

1

) 1

3 1 ( ) 1

3 ) 1 ( )

1

2 ( 1

2

dx x

dx x

x dx x

x dx

x

x

S

1 2 ln 3 2 ln 3 1 1 ln 3 0 ) 2 ln 3 1 ( ) 1 ln 3 0 ( 1

0 ) 1

Bài toán 11 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm s ố y = x 3

4

-2

O 1

x 0

3

x

0 2

3 ) 4

( 1

0 ) 4 (

4 4

2 3

0 3 0

1 3 0

1

2 3

0

3 3

2 3

1

dx x dx x dx

x dx x dx x

−

−

= +

−

= +

81 4

1 0 64

81 ) 4

1 0 ( 4

0 4

) 2

3 ( ) 4

) 1 ( 4

0 (

4 4 4

4

= +

=

− +

−

−

=

− +

Ghi nh ớ :

N ếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x 1 ,

x 2 , …, x k thu ộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x 1 ) , (x 1 ;

x 2 ) , …, (x k ; b) bi ểu thức f(x) có dấu không đổi

Khi đó để tính tích phân =∫b

a dx x f

S ( ) ta có th ể tính như sau :

x x

a b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2

1 1

tr ục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Gi ải

Tr ục tung có phương trình x = 0

Di ện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục

hoành và hai đường thẳng

x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức :

dx x

Cách tính 1

D ựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt

tr ục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1

3 2

−

=+

−

−+

−

4

1(2.224

20214

11

2)24

(0

1)2

4

4 3

4 3

4

x x

x x

x

x

2

5 2 1 4

1 4 8

− +

0

2 3 2

0

2 3

) 2 3 ( ) 2 3 ( 2

3x dx x x dx x x dx x

S

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

4 3

4

= +

=

− +

= +

− + +

−

Bài toán 13 Cho hàm số y = x 4

- 3x 2 + 2 có đồ thị ( C ) (Hình 13 )

(C) y

x

f x ( ) = x ( 4 -3 ⋅x 2 ) +2

3

2 -1

4

-2 A O 1

B

Hình 13

Hãy tính di ện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) ,

tr ục hoành , và hai đường thẳng x = - 1 , x = 1

Gi ải

Di ện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục

hoành và hai đường thẳng x = -1 , x = 1 được tính bởi công

th ức :

dx x

1 ) 2 5

( ) 2 3 ( 2

1

1

5 2

4 1

1

2

− +

−

= +

−

= +

x dx x

x dx x x

Bài toán 14 Cho hàm số y = -x 4

+ 5x 2 - 4 có đồ thị (C ) (Hình 14)

Hình 14

a/ Tìm to ạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành

b/Tính di ện tích của hình phẳng được tô màu ở trên

2

1 4

1 0

4 5

2

2 2

4

x

x x

x x

D ựa vào đồ thị , suy ra -x 4

x dx

x x dx x

x dx

x x

2

1

2 4 1

1

2 4 2

4 1

2 2

a/ Xét chi ều biến thiên của hàm số đó

b/ Tính di ện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15

4

0

1 3 0

ln ln

2

x v

dx x du xdx

dv

x u

Do đó

4

1 1

4 2 1

ln 2

1 2 1

ln 2 ln

2 2 2

1 2

1

2 2

x xdx x S

e e

=

x

x x

a/ Tìm to ạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành

b/Tính di ện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y =0 , x = 0 , x = 3

Gi aoDiem

3 -1

=

− +

⇔

= +

− +

⇔

=

2 1 1

2 1 0

1

0 2 0

1

2 0

'

2 2

x x x

x x x

x x x

x x y

Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ lần lượt là (

- 2 ; 0) và ( 1 ; 0)

b/ Di ện tích S cần tìm là

dx x

x x dx x

x x dx x

= +

0

2 3

0

2

1

2 1

2 1

2

1

3 ) 1 ln 2 2

( 0

1 ) 1 ln 2 2 ( ) 1

2 ( )

1

2

(

2 2

3

1 1

0

+

− + +

−

= +

− + +

−

x x dx

x

x

2 ln 4 2

9 2 ln 2 2

1 4 ln 2 2

−

− +

1 ) (

2

1 1

0 2

e e

Khi x =1 => u = 9

Do đó

15

38 ) 8 27 ( 15

2 ) 4 9 ( 15

2 4

9 15

2 4 9

2 3

5

1 5

1 5

3 9

4 2 1 9

O 1

Hình 20

Gi ải :

Hình ph ẳng đã cho được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − 5x+ 4

, tr ục hoành , trục tung và đường thẳng x = 0 , x = 1

15

38 4

5 4

5

1

0 1

0

= +

= +

2 3

0 2 3

0

2

) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 2

4

1 -4

x dx x

x dx

x

x dx x

x dx

4 0

2 2

4 0

2 1

2 1

2 1

2 1

2

Mà

4

2 ) 1 ln 3 ( ) 1

3 1 ( 1

3 ) 1 ( 1

4 2

4 2

dx x

x dx

3 1 ( 1

3 1 1

2 0

2 0

2

−

= +

=

− +

dx x

x dx x

x

B

5 ln 3 4 3 ln 3 2 ) 3 ln 5 (ln 3

x y

2

0

2 2 2

2 1

r dx

x r dx

x r S

r r

Ch ứng minh tương tự ta có diện tích của elip là : S =a.b π ( đvdt)

Bài toán 23 Cho hình phẳng sau Biết rằng hình phẳng đó được

x y

(E ) c ắt trục tia Oy tại điểm ( 0 ; 1)

Suy ra (E ) có n ửa trục lớn a = 3 , và nửa trục bé b = 1

9

2

2

= + y

G ọi S 2 là di ện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) ,

tr ục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = 3

Ta có

2

21)

33

1()

33

1

3

0 3

21 4

– 4 và tr ục hoành e) y = x 2

- 4x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 3 f) y = x 3

- 4x , y = 0 , x = -2 , x = 1 g) y = x 3 – 4x + 3 , y =0 , x = - 2 , x = 1

h) y = x 3

– x 2 – 4x + 4 , y =0 i) y = x 4

– 5x 2 + 4 , y = 0 , tr ục tung và đường thẳng x = 2 2/ Tính di ện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a/ y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e

II/ HÌNH PH ẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1/ Cách tìm to ạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

) (

x g y

x f y

Thay x = x 0 vào m ột trong hai phương trình của hệ (1)

ta tìm được tung độ của giao điểm

2/ M ột vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Vd1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y= x2 − 3x và

1 0

) 1 )(

3 ( 0 ) 3 ( ) 3 ( 0 ) 3 (

3

2

y

y x

x x

x x

x x x

x

x