Đề tuyển sinh 2006-2011

Câu 4: 3 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB.. Chứng minh rằng 3 điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng... Chứng minh rằng 3 điểm D, B, F cùng nằm trê

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TS VÀO LỚP 10 THPT NH: 2010-2011 BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 30 - 6 - 2010

Đề chính thức Môn thi: TOÁN

Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: Sáng 01/7/2010

-

Bài 1: (1,5 điểm) Giải các phương trình sau:

a) 3(x – 1) = 2 + x b) x 2 + 5x – 6 = 0

Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x 2 – x + 1 – m = 0 ( m là tham số )

Tìm điều kiện của m để phương đã cho có nghiệm

b) Xác định các hệ số a, b biết rằng hệ phương trình ax 2y 2

bx ay 4

+ =





− =

 có nghiệm ( 2, - 2) Bài 3: (2,5 điểm) Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau

Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Kẻ các đường cao BB’ và CC’ (B’ ∈ cạnh AC, C’ ∈ cạnh AB) Đường thẳng B’C’ cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C’, B’, M)

a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AM = AN

c) AM 2 = AC’.AB

Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax 2

+ bx + c = 0 vô nghiệm Chứng minh rằng: a b c

b a

+ +

− > 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: (1,5 điểm) a) 3(x – 1) = 2 + x <=> 3x – 3 = 2 + x <=> 2x = 5 <=> x = 5

2 b) Ta có a + b + c = 1 + 5 +(-6) = 0 => x 1 = 1 ; x 2 = -6

Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x 2 – x + 1 – m ( m là tham số ) Để phương đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0 <=> (-1) 2 – 4(1 – m) ≥ 0 <=> 1 – 4 + 4m ≥ 0 <=> m ≥ 3

4 b) Hệ phương trình có nghiệm ( 2, - 2) nên ta có : 2a 2 2 2

2a 2b 4





+ =

 <=> a 2 2

b 2 2

 = −





= +



Bài 3: (2,5 điểm) Gọi x (xe là số xe được điều đến chở hàng (x: nguyên, x > 2)

Số xe thực chở hàng là x – 2 (xe)

Khối lượng hàng chở ở mỗi xe lúc đầu: 90

x (tấn); thực chở là: 90x 2 (tấn);

Ta có
BC'C BB'C =
= 90 (gt)

Hay B’ ; C’ nhìn BC dưới một góc bằng 90 0

=> BC’B’C nội tiếp trong đường tròn đường kính BC

b) Chứng minh AM = AN

Ta có:
AC'M 1sđ(AM NB) 

2

= + ;
ACB 1sđ(AN NB) 

2

Mà BC’B’C nội tiếp =>
AC'M B'CB ACB =
=

<=> 1 sđ(AM NB)  

2 + = 1 sđ(AN NB) 

<=>  AM AN =  <=> AM = AN

c) AM 2 = AC’.AB

Xét ∆ ANC’ và ∆ ABN có:

AM AN = =>
ANC' ABN =
(góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau); Và
NAB : chung

=> ∆ ANC’ ∼ ∆ABN => ANAB =AC'AN => AN 2 = AC’.AB hay AM 2 = AC’.AB

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho 0 < a < b và phương trình (ẩn x) ax + bx + c = 0 vô nghiệm CMR: 3

b a − >

• Vì đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c không có nghiệm (gt) nên f(x) cùng dấu với hệ số a của nó

• Mà a > 0 (gt) nên f(x) > 0 (với mọi x thuộc ℝ)

• Suy ra: f(−2) > 0

4a − 2b + c > 0

a + b + c − 3(b − a) > 0

a + b + c > 3(b − a)

a + b + c 3 (Chia hai vế cho số dương là b a)

b a

−

A

C

B

N

M B’

C’

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2009 – 2010

Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình: a/ 2(x + 1) = 4 – x

b/ x2 – 3x + 2 = 0

Câu 2: (2 điểm)

1/ Cho hàm số y = ax + b Tìm a và b biết rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(-2; 5) và B(1; -4)

2/ Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

a/ Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến

b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có haònh độ bằng 2

3

Câu 3: (2 điểm) Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân vào Qui Nhơn Sau đó 75

phút, một ô tô khởi hành từ Qui Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy

là 20km/h hai xe gặp nhau tại Phù Cát Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Hoài

Ân cách Qui Nhơn 100km và Qui Nhơn cách Phù Cát 30km

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB

Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC

1 Chứng minh tam giác ABD cân

2 Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E Kéo dài AE (về phía E) đoạn EF sao cho EF = AE Chứng minh rằng 3 điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng

3 Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O)

minh rằng:

Sm+n + Sm-n = Sm.Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n

BÀI GIẢI

Câu 1: a/ 2(x + 1) = 4 – x <=> 2x + 2 – 4 + x = 0 <=> 3x – 2 = 0 <=> x = 2

3

b/ Ta có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm x1 = 1 và x2 = 2

Câu 2: 1/ Vì đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(-2;5) và B(1; -4) nên ta có hệ

phương trình:

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là y = –3x – 1

4h Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x > 0)

Vận tốc ô tô là x + 20 (km/h)

+

1 1 5

x 20 x 4

<=> x2 + 20x + 16 = 0

Giải phương trình ta được x1 = -28 (loại); x2 = 40

Vậy vận tốc xe máy là 40km/h và vận tốc ô tô là 60km/h

Câu 4:

1 Chứng minh tam giác ABD cân

Ta có: ACB
= 900

=> BC⊥AC

Và AC = CD Tam giác BAD có BC vừa là đường cao vừa

là đường trung tuyến nên là tam giác cân tại B

2 Chứng minh rằng 3 điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng

Vì ∆BAD cân tại B (Câu a) => BD = BA

Tương tự ∆BAF cân tại B => BA = BF => A, D, F cùng nằm trên đường tròn tâm B

Mà FAD
= 900 (gt) => FD là đường kính => F, B, D thẳng hàng

Câu này có thể c/m góc FBD bằng 1800 hay dựa vào đường trung bình c/m FB, BD

cùng // CE

3 Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O)

Theo câu b/ thì tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F; Mà AB là đường kính => OA +

OB = AB

Hay OB = BA – OA nên đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường

tròn (O)

Câu 5: Ta đặt x = 2 + 1 và y = 2– 1 thì xn.yn = ( 2 + 1)n.( 2– 1)n = [( 2 +

1).( 2– 1)]n = 1n = 1

Sm.Sn = (xm + ym)(xn + yn) = xmxn + ymyn + xnym + xmyn = xm+n + ym+n + xnyn(xm-n + y

m-n) = Sm+n – Sm-n (vì m, n là số nguyên dương và m > n)

 <=> <=>

A

O

C

D

B

F

E

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2008 – 2009

2 + 5 +2 − 5

Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: 2x2 + 3x – 2 = 0

Câu 3: (2 điểm) Theo kế hoạch, một đội xe vận tải cần chở 24 tấn hàng đến một đại

điểm qui định Khi chuyên chở thì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên

mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 1 tấn hàng Tính số xe của đội lúc đầu

Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, A là điểm chính giữa

cung BC

1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R

2/ M là điểm di động trên cung nhỏ AC, (M khác A và C) Đường thằng AM cắt

đường thằng BC tại điểm D Chứng minh rằng:

a/ Tích AM.AD không đổi

b/ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < 1 Hãy tìm giái trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x2 – x + 1) + 3|2x – 1|

Giải đề : NĂM 2008 – 2009

2 5 2 5

Câu 2: Ta có: ∆ = (-3)2 – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 => ∆ = 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 3 5

4

− −

= -2; x2 = 3 5 1

− +

=

Câu 3: Gọi x (xe) là số xe của đội lúc đầu (x ∈ N, x > 2); Số xe khi chuyên chở là: x

= 2 (xe)

x 2 − − x = <=> x

2

– 2x – 48 = 0 Giải ra ta được: x1 = -6 (loại); x2 = 8 (chọn)

Vậy số xe của đội lúc đầu là 8 xe

Câu 4: 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R

Vì A là điểm chính giữa cung BC => AO⊥BC

SABC = 1

1

22R.R = R

2

2/ a/ Tích AM.AD không đổi

ADC = 1

2sđ(AB MC− ) =

1

2sđ(AC MC−) =

1

2sđAM = ACM

Và CAD
: chung => ∆AMC ∼ ∆ACD (g,g)

=> AC AM

AD= AC <=> AC

2

= AM.AD => AM.AD = (R 2)2 = 2R2 không đổi b/ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD

Ta có: CED 2CMD
=
(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm); Mà CMD
= 450 => CED =

900

=> ∆MEC vuông cân tại E => ECD
= 450 => ACE =
900 (vì ACO
= 450)

=> CE⊥AC

Mà AC cố định => CE cố định

Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố

định

Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x2 – x +

1) + 3|2x – 1|

Ta có: y = -(4x2 – 4x + 4) + 3|2x – 1| = -(4x2 – 4x + 1) + 3|2x – 1| - 3 = -(2x – 1)2 +

3|2x – 1| - 3

Đặt t = |2x – 1| thì y = - t2 + 3t – 3 = -(t2 – 3t + 9

4) –

3

4 = -(t –

3

2)

2

– 3

4 ≤ –

3 4

Dấu = xảy ra <=> t – 3

2 <=> t =

3

2 <=> |2x – 1| =

3

2 <=> x =

5

4 (loại vì không thuộc

-1 < x < 1) hay x = 1

4

− (thoả mãn)

A

B

M

E

Vậy maxy = – 3

4 <=> x =

1 4

−

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2007 – 2008

1 5

+ +

a b

a− b − a+ b − − = với a ≥ 0; a ≥ 0 và a ≠b

Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0

Câu 3: (2 điểm) Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km,

thời gian cả đi và về hết 11 giờ Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h

Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên

cạnh BC (M không trùng với B và C) Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM Chứng minh rằng:

a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?

c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất

Câu 5: (1 điểm) Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:

2a 3b 2b 3a 4

a b 2a 3b 2b 3a

+

Giải đề : NĂM 2007 – 2008

a b

a− b − a+ b − − = a( a b) b( a b) 2b a ab ab b 2b a b 1

Câu 2: Ta có: ∆ = (-3)2 – 4.1.(-108) = 9 + 432 = 441 => ∆ = 21

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 3 21

2

− −

= -12; x2 = 3 21

2

− +

= 9

Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2)

Thời gian ca nô lúc xuôi dòng là : 120

2

x+ (giờ)

Thời gian của ca nô lúc ngước dòng là : 120

2

x− ( giờ)

x 2 + +x 2 − = <=> 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)

<=> 11x2 – 240x – 44 = 0; ∆ = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884; => ∆ = 122

x1 = -2/11 (loại); x2 = 22

Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h

Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

Ta có: APM AHM AMQ
=
=
= 900

=> Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM

b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?

O là trong điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM

=> OP = OH = OQ và POH HOQ
=
= 600

∆OPH và ∆OHQ là các tam giác đều bằng nhau

=> OP = PH = HQ = OQ => Tứ giác OPHQ là hình thoi

c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ

có độ dài nhỏ nhất

2

PQ nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AM vuông góc BC

<=> M trùng H

Vậy M trùng H thì PQ có độ dài nhỏ nhất

b = Do a>o, b>o nên t>o

Khi đó BĐT đã cho trở thành

A

P

O

Q

( )

( 1)(12 13 13 12) 4(6 13 6)

12( 1) 13 ( 12 1) 0

12( 1) ( 1) 13 ( 1) 0

t t t t t t

t t t t t t t

t t t t t t t t

⇔ − − + − − + ≥

⇔ − + + + + − − ≥

⇔ −  + + + + − ≥

+ + + + − = + − 2 2

23t 12 0, t 0 + + > ∀ >

Do đó (*) đúng với mọi t>0 vậy BĐT đã cho đúng với mọi a, b dương

Dấu BĐT xảy ra khi và chỉ khi t=1 ⇔a=b

Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức A = 3 1 1 27 2 3

3 3− +

mx y 3

 − =



 + =



a/ Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

b/ Giải hệ phương trình khi m = 1

Câu 3: (2 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy

một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Câu 4: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC Vẽ ID

vuông góc với cạnh huyền BC, (D∈ BC) Chứng minh AB2 = BD2 – CD2

Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O

các đường cao AD, BK của tam giác gặp nhau tại H Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK kéo dài với đường tròn (O)

a/ Chứng minh EF//AC

b/ Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = 1

2 BH

Câu 6: (1 điểm) Cho a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = bc ac ab

a + b + c

BÀI GIẢIĐỀ 06 – 07

m 1

−

≠ <=> 3 ≠ -2m

<=> m 3

2

≠ −

b/ Với m = 1 ta có hệ phương trình:

12 x

3

x y 3 2x 2y 6 y

5

 =

 <=> <=>

Câu 3: Gọi x (h) là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể (x > 0)

x + 5 (h) là thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể

x+x 5 + =6

<=> x2 – 7x – 30 = 0

Giải phương trình ta được x1 = -3 (loại); x2 = 10

Vậy chảy riêng vòi 1 chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi 2 chảy trong 15 giờ

Câu 4: Ta có: AB2 = BI2 – AI2 = BD2 + DI2 – AI2 = BD2 + IC2 – DC2 – AI2 =

= BD2 – CD2 + IC2– AI2

Mà IC = IA => IC2= AI2 => IC2– AI2 = 0

Nên: AB2 = BD2 – CD2

Câu 5: a/ Chứng minh EF//AC

BE là đường kính => BFE
= 900 => EF⊥BF

Mà BF⊥AC (gt) => EF//AC

b/ Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = 1

2 BH

ta có H lá trực tâm => CH⊥AB, mà EA ⊥AB (góc EAB vuông)

=> CH//AE

Tương tự: AH//CE => AHCE là hình bình hành

Nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường,

mà I là trung điểm AC => I là trung điểm của HE

Hay 3 điểm H, I, E thẳng hàng

IH = IE và OB = OE => OI là đường trung bình tam giác BHE

A

I

D

A

H

C

O

I

E

F

K

a b c  a b c

2 2 2 2 2 2

b c a c a b 2

a + b + c +

Theo BĐT Cosi cho các số dương:

2 2 2 2 2 2 2 2

2

b c a c 2 b c a c. 2c

a + b ≥ a b =

2 2 2 2

2

b c a b 2b

2 2 2 2

2

a c a b 2a

2 2 2 2 2 2

2 2 2

b c a c a b a b c

a + b + c ≥ + + = 1

=> P2 ≥ 1 + 2 = 3 => P ≥ 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 <=>

2 2 2 2

b c a c

a = b ;

2 2 2 2

b c a b

a = c ;

2 2 2 2

a c a b

b = c <=> a

2

= b2 = c2 = 1/3

<=> a = b = c = 3

3