nen dung tam thanh thang

Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 11 ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM I.KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, một thanh p

Trang 1

Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2

Chương 11

ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

I.KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG

Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, một thanh phải thỏa mãn điều kiện

bền và cứng, như đã được trình bày trong các chương trước đây Tuy nhiên, trong

nhiều trường hợp, thanh còn phải thỏa mãn thêm điều kiện ổn định Đó là khả năng

duy trì hình thức biến dạng ban đầu nếu bị nhiễu Trong thực tế, nhiễu có thể là các

yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính như: độ cong ban đầu, sự nghiêng hoặc lệch tâm của lực tác dụng Bài toán ổn định mang ý nghĩa thực tế rất lớn

Ta định nghĩa một cách khái quát: độ ổn định của kết cấu là khả năng duy trì ,

và bảo toàn được dạng cân bằng ban đầu trước các nhiễu có thể xãy ra

Khái niệm ổn định có thể minh họa bằng cách xét sự cân bằng của quả cầu trên các mặt lõm, lồi và phẳng trên H.11.1

Nếu cho quả cầu một chuyển dịch nhỏ (gọi là nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị trí lân

cận rồi bỏ nhiễu đi thì:

- Trên mặt lõm, quả cầu quay về vị trí ban đầu: sự cân bằng ở vị trí ban đầu là

ổn định

- Trên mặt lồi, quả cầu chuyển động ra xa hơn vị trí ban đầu: sự cân bằng ở vị

trí ban đầu là không ổn định

- Trên mặt phẳng, quả cầu giữ nguyên vị trí mới: sự cân bằng ở vị trí ban đầu là

phiếm định

Hiện tượng tương tự cũng có thể xảy

ra đối với sự cân bằng về trạng thái biến

dạng của hệ đàn hồi.Chẳng hạn với thanh

chịu nén Trong điều kiện lý tưởng (thanh

thẳng tuyệt đối, lực P hoàn toàn đúng

tâm ) thì thanh sẽ giữ hình dạng thẳng,

chỉ co ngắn do chịu nén đúng tâm Nếu

cho điểm đặt của lực P một chuyển vị bé

 do một lực ngang nào đó gây ra(bị

nhiễu), sau đó bỏ lực này đi thì sẽ xảy ra

H.11.1 Sự cân bằng về vị trí của quả cầu

P

R

TT ổn định

P< P th P = P th

TT tới hạn

R



P > P th

TTmất ổn định

R

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Trang 2

các trường hợp biến dạng như sau:

+ Nếu lực P nhỏ hơn một giá trị Pth nào đó, gọi là lực tới hạn, tức là P < Pth, thì

thanh sẽ phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng Ta nói thanh làm việc ở trạng thái

cân bằng ổn định

+ Nếu P > Pth thì chuyển vị  sẽ tăng và thanh bị cong thêm Sự cân bằng của

trạng thái thẳng ( = 0) là không ổn định Ta nói thanh ở trạng thái mất ổn định

Trong thực tế thanh sẽ có chuyển vị  và chuyển sang hình thức biến dạng mới bị

uốn cong, khác trước về tính chất,bất lợi về điều kiện chịu lực

+ Ứng với P = Pth thì thanh vẫn giữ nguyên chuyển vị  và trạng thái biến dạng

cong Sự cân bằng của trạng thái thẳng là phiếm định Ta nói thanh ở trạng thái tới hạn

H.11.2 giới thiệu thêm vài kết cấu có thể bị mất ổn định như dầm chịu uốn, vành tròn chịu nén đều…

Khi xảy ra mất ổn định dù chỉ của một thanh

cũng dẫn tới sự sụp đổ của toàn bộ kết

cấu.Tính chất phá hoại do mất ổn định là đột

ngột và nguy hiểm Trong lịch sử ngành xây

dựng đã từng xảy ra những thảm họa sập cầu

chỉ vì sự mất ổn định của một thanh dàn chịu

nén như cầu Mekhelstein ở Thụy

Sĩ(1891),cầu Lavrentia ở Mỹ (1907)

Vì vậy khi thiết kế cần phải đảm bảo cả điều kiện ổn định, độc lập với điều

kiện bền và điều kiện cứng đã nêu trước đây

Điều kiện ổn định :  

ôđ

k

P P



ôđ

k

P P

z  

kôđ : Hệ số an toàn về mặt ổn định, do quy định, và thường lớn hơn hệ số an

toàn về độ bền

P ( hay Nz ):Lực nén(nội lực nén ) thanh

II KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN ĐÀN HỒI

1- Tính lực tới hạn P th thanh có kết khớp hai đầu (Bài toán Euler )

Xét thanh thẳng liên kết khớp hai đầu, chịu nén bởi lực tới hạn P th Khi bị nhiễu, thanh sẽ bị uốn cong và cân bằng ở hình dạng mới như trên H.11.3a

Đặt hệ trục toạ độ (x,y,z) như H.11.3a Xét mặt cắt có hoành độ z Độ võng ở mặt cắt nầy là y(z)

Ta có phương trình vi phân đường đàn hồi:

q > q th

P > P th

H 11.2 Các dạng mất ổn định

Trang 3

EI

M

y''   (a) Với : mômen uốn M = Pth y(z) (b)

(từ điều kiện cân bằng trên H.11.3b)

(b) vào (a) 

EI

y P





''

hay  y0

EI

P

y'' th

Đặt:

EI

P th



2

  y''2y  0 (c)

Nghiệm tổng quát của (c) là:

sin( ) cos( )

Các hằng số A,B xác định từ điều kiện biên:

y(0) = 0 và y(L) = 0

Với: y(0) = 0  y=A.0+ B.1 = 0  B=0

y(L) = 0  sin( A L)  0

để bài toán có nghĩa y(z)  0  A  0,  sin(L)0

phương trình này có nghiệm  L  n  , với n = 1, 2, 3,

2 2

L

EI n

Thực tế, khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ nhất theo (e) ứng với n = 1 thì thanh

đã bị cong Vì vậy, các giá trị ứng với n > 1 không có ý nghĩa

Ngoài ra, thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng uốn nhỏ nhất Do đó,

công thức tính lực tới hạn của thanh thẳng hai đầu liên kết khớp là:

2

L

EI

 Đường đàn hồi tương ứng có dạng một nửa sóng hình sine:

y Asin( z)

L



 với: A là một hằng số bé, thể hiện độ võng giữa nhịp

2- Tính P th thanh có các liên kết khác ở đầu thanh

Áp dụng phương pháp trên cho thanh có các liên kết khác nhau ở hai đầu, ta

được công thức tính lực tới hạn có dạng chung: 2

2 2

L

EI m

với: m - là số nửa sóng hình sine của đường đàn hồi khi mất ổn định

Đặt

m

1



 , gọi là hệ số quy đổi, thì: 2

2 ) (

min

L

EI

P th







được gọi chung là công thức Euler

H 11.3

M

P th

y

P th

z

L

z y(z)

P th Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

Trang 4

Dạng mất ổn định và hệ số  của thanh có liên kết hai đầu khác nhau thể hiện

trên hình.11.4

3- Ứng suất tới hạn

Ứng suất trong thanh thẳng chịu nén

đúng tâm bởi lực Pth gọi là ứng suất tới hạn

và được xác định theo công thức:

2

2 2

2

) ( )

(

min

i L

E A

L

EI A

P th







vớiù:

A

I

i min

min  là bán kính quán tính

nhỏ nhất của tiết diện Đặt:

min

L i



  : gọi là độ mảnh của thanh ,

ta có: 2

2







th

Độ mảnh  không có thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết và đăïc trưng hình học của tiết diện;

Thanh có độ mảnh càng lớn thì càng dễ mất ổn định

4- Giới hạn áp dụng công thức Euler

Công thức Euler được xây dựng trên cơ sở phương trình vi phân đường đàn hồi,

vì vậy chỉ áp dụng được khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:

th tl

E











2

hay:

tl

E









2

(f)

Nếu đặt:

tl o

E









2 thì đều kiện áp dụng của công thức Euler là:   o

o : đượcgọi là độ mảnh giới hạn và là một hằng số đối với mỗi loại vật liệu

Thí dụ: Thép xây dựng thông thường o = 100, gỗ o = 75; gang o = 80

Nếu   o thì gọi là thanh độ mảnh lớn

Như vậy,công thức Euler chỉ áp dụng được cho thanh có độ mảnh lớn

III ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI

1- Ý nghĩa: Công thức Euler chỉ áp dụng được khi vật liệu đàn hồi Đồ thị của phương trình(11.6) là một hyperbola như trên H.11.5, chỉ đúng khi th tl .

H 11.4 Dạng mất ổn định và hệ số 

m=1/2

= 2

m= 1

= 1

m= 1,43

= 0,7

m= 2

= 1/2

Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only.

Trang 5

Khi th  tl  vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi, cần thiết phải có công thức khác để tính Pth

2- Công thức thực nghiệm Iasinski

Công thức Iasinski được đề xuất dựa trên nhiều số

liệu thực nghiệm, phụ thuộc vào độ mảnh của thanh

- Thanh có độ mảnh vừa: 1  o:

th  ab

với: a và b là các hằng số phụ thuộc vật liệu, được xác

định bằng thực nghiệm:

 Thép xây dựng: a = 33,6 kN/cm2; b = 0,147 kN/cm2

 Gỗ: a = 2,93 kN/cm2; b = 0,0194 kN/cm2

độ mảnh 1 được xác định từ công thức:

b

atl



1 (lấy th  TL )

thực nghiệm cho thấy phạm vi giá trị 1 3040

- Thanh có độ mảnh bé:  1

- Khi này thanh không mất ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại của vật

liệu Vì vậy, ta coi:

b

th  

  0  đối với vật liệu dòn

ch

th  

  0  đối với vật liệu dẻo

và Lực tới hạn của thanh : P th = th A

Thí dụ.1 Tính Pthï và th của một cột làm bằng thép số 3 có mặt cắt ngang hình chữ  số 22 Cột có liên kết khớp hai đầu Xét hai trường hợp:

a) Chiều cao của cột 3,0 m

b) Chiều cao của cột 2,25 m

Biết: E = 2,1.104 kN/cm2; tl = 21 kN/cm2 ; o = 100

Các hằng số trong công thức Iasinski : a = 33,6 kN/cm2, b = 0,147 kN/cm2

Giải

Tra bảng thép định hình (phụ lục) ta có các số liệu của thép  No22:

2 min i 2,27cm; A 30,6cm

i  y   ; theo liên kết của thanh thì ta có   1

+ Trường hợp a)

27 , 2

300 1

min







i

l







Thanh có độ mảnh lớn, áp dụng công thức Euler

2

4 2 2

2

/ 88 , 11 132

10 1 , 2

cm kN

E







Hyperbola Euler

I asinski

H 11.5 Ứng suất tới hạn

h



l

 

Trang 6

 P th th A  11 , 88 30 , 6  363 , 62kN

+ Trường hợp b)

min

11 , 99 27 , 2

225 1





i l

147 , 0

21 6 , 33



b

  1     0 Thanh có độ mảnh vừa, dùng công thức Iasinski:

2

Pth  thA  20 , 37 30 , 6  623 , 32 kN

Chú ý: - Nếu liên kết của thanh trong hai mặt phẳng quán tính giống nhau trong

các công thức đã có sẽ dụng Imin và imin

- Nếu liên kết của thanh trong hai mặt phẳng quán tính khác nhau thì khi mất ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ mảnh lớn và các đại

lượng I, i sẽ lấy trong mặt phẳng này

Thí dụ.2 Kiểm tra ổn định thép I.24 co ùA =34,8cm2,

Iy = Imin =198cm4, iy = imin= 2,37cm, 0 = 100,

Ix=3460cm4,ix=9,97cm, E = 2.104kN/cm2 , Kođ = 2,

Giải

97 , 9

600 2



x

x x

i

l



37 , 2

600 5 , 0



y

y y

i

l



) 6 , 126 (

10 2 ) 14 , 3 ( ) (

4 2

2 max

2













K

P P

ođ

th

2

428



Thanh thỏa điều kiện ổn định

Thí dụ.3 Kiểûm tra điều kiện ổn định

0 =100, Kođ = 4, E =2.104kN/cm2

Giải

cm b

12

10

89 2

400 1

, ,

min



i

l





> 0 dùng Euler

kN A

E A

4 138

20000 14

3

2 2 2

2



) , (







K

P P

ođ

th

Thanh thoả điều kiện ổn điïnh

10cm

P=200kN

L= 4m 15cm

P=150kN

I24a L= 6 m

x

I

y

Trang 7

Thí dụ.4 Xác địmh  P để thanh ổn định Cho biết

Kođ = 2, E = 2.104kN/cm2 , thép I.18 co ùA =23,4cm2,

Iy = Imin = 82,6cm4, iy = imin= 1,88cm, 0 = 100,

Giải

111 7 0

88 1

300 7 0





,

, min



i l

2 2 2

2

8 15 7

111

20000 14

3

cm kN

E

) , (







K

A P

ođ

th

2

8 15

, ,

,







IV PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN

1- Phương pháp tính: Thanh chịu nén cần phải thỏa :

 Điều kiện bền:   []n

gyếu

A

P

; với:

n

o n





]

[

trong đó: n - hệ số an toàn về độ bền

A gyếu :diện tích tiết diện giảm yếu (bị khoét lỗ); nếu không khoét lỗ

thì Agyếu = A là tiết diện nguyên

 Điều kiện ổn định:

ôđ

]

[

A

P

; với:

ôđ

k th



 ] 

trong đó: kôđ ( hay k)- hệ số an

toàn về ổn định

Vì sự giảm yếu cục bộ tại một số

tiết diện có ảnh hưởng không đáng kể

đến sự ổn định chung của thanh

Do tính chất nguy hiểm của hiện

tượng mất ổn định và xét đến những yếu

tố không tránh được như độ cong ban

đầu, độ lệch tâm của lực nén … nên chọn

k ôđ > n, và k thay đổi phụ thuộc vào độ mảnh Thép xây dựng có k ôđ = 1,8  3,5 như

minh họa trên H.11.7; gang k ôđ = 5  5,5; gỗ k ôđ = 2,8  3,2

Để thuận tiện cho tính toán thực hành, người ta đưa vào khái niệm hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất cho phép  được định nghĩa như sau:

k

n

o

th











] [

] [ ôđ

,kG/cm 2

2400 2000

1400 1000

k =1,7

k

k = 3,5

Euler Hyperbola 2400

Đường giới hạn ứng suất

Hình.11.7 Hệ số an toàn k ôđ cho thép

I18

P

L= 3m

Trang 8

 < 1, vì cả hai tỉ số:   1

o

th

và n k 1 từ đó:, []ôđ[] và điều kiện ổn định trở thành:

A

P

] [



A

P

] [

Hay có thể viết: P   P ôđ []n A

Điều kiện ổn định (11.18) thoả, điều kiện bền (11.16) không cần kiểm tra

Hệ số  =  [E,  ,k] được cho ở bảng

Bảng hệ số  thường gặp

Trị số  đối với Độ

2,3,4

Thép số

5

Thép

Vì  < 1 nên thường chỉ cần kiểm tra điều kiện ổn định là đủ

Tuy nhiên, nếu thanh có giảm yếu cục bộ do liên kết bu lông, đinh tán… thì cần kiểm

tra cả hai điều kiện bền và ổn định

- Điều kiện bền: n

A

P

] [ 

A

P

] [ 



trong thực tế, nếu thỏa (a) thì thường cũng thỏa (b)

Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán:

A

P

] [ 



  

Trang 9

1.Xác định tải trọng cho phép: [ P ]   A [  ]n

Trong hai bài toán trên, vì tiết diện thanh đã biết nên có thể suy ra hệ số 

theo trình tự: A, I      

A I

l

/ (tra bảng 11.1)

2.Chọn tiết diện:

n

P A

] [



 việc tìm A phải làm đúng dần, vì trong (11.22) chứa hai biến: A và  (A)

Trình tự như sau:

- Giả thiết: o = 0,5; tính được: o

n o o

P





] [

- Từ o tra bảng ta được '

o

 Nếu o'  o thì lấy:

2

'









]

1







n

P A

thường lặp lại quá trình tính khoảng 2 - 3 lần thì sai số tương đối giữa hai lần tính đủ nhỏ ( 5%)

Thí dụ.5 Chọn số liệu thép  cho thanh dài 2,0m, liên kết khớp

hai đầu và chịu lực nén P = 230 kN Biết vật liệu là thép số 2 có

2

/ k

14

]

[ n  N cm

Giải:

a)Chọn lần thứ nhất:

8 32 5 0 0 14

230

cm

P A

n

, ,

, ]







Tra bảng thép định hình ta chọn thép chữ  số 24 có A = 34,8

cm2,

i y = i min = 2,37 cm, ta có độ mảnh:

84,4

37 , 2

200 1

min



i

l



 Tra bảng quan hệ giữa  và  ta được   0,724

Hệ số này khác với giả thiết ban đầu nên ta phải chọn lại

b) Lần chọn thứ hai:

2

724 , 0 5 , 0







84 26 14 612 0

230

cm

.



Tra bảng thép định hình ta tìm được thép chữ  số 20 với A = 26,8 cm2,

i min = 2,07 cm Độ mảnh lúc đó bằng : 966

07 2

200 1

, ,





tra bảng ta tìm được  0,631

Ta dừng lại và kiểm tra lại điều kiện ổn định:

I

L= 2m P= 230kN

Trang 10

n

A

P

] [

/ k 14 ] [ /

k 6 , 13 8 , 26 631 , 0

230

cm N cm

Vậy ta chọn thép chữ  số 20

Thí dụ.6 Kiểm tra điều kiện ổn định của thanh chống có tiết diện vuông 10x10cm

cho LKB = LKC= 12m, cột bằng gỗ,

2

2 N cm

]

Giải

12 10

100 12 1





Tra bảng ta co:ù  = 0,22

 P od 0,22.10.10.2 44kN

Gọi N là lực dọc trong thanh

kN qL

N N N D

3 4

17 0



Vậy N<  P ođ

Thí dụ.7 Chọn [q]để thoả điều kiện ổn định của cột chống bằng thép CT3 có tiết

diện hình vành khăn

d = 6cm, D = 8cm (hình vẽ)

16 N cm

n k /

]

[ 

Giải

928 0 693 2

5 2 5

2

, ,

AB

L



) 4

3 ( 1 4 8

3 , 269

2







P ođ0,538.21,98.16189,2kN với  2 2

2

98 21 75

0 1

D

A   ( , )  ,

qL qL

N C

928 0 3

8

,

Điều kiện ổn định: 2,87qL< 189,2kN

 q < 65,8kN/m

Bài tập làm thêm

Bài 1 Cho giá đỡ bằng gỗ,thanh

chống KB có mặt cắt ngang 10x10cm

Xacù định [q] theo điều kiện ổn định

của thanh chống

Cho [ ] = 10 kN/cm2 ,L=1m

2,5L

q

M 0 = qL2

L

A P= qL

B



q

M 0 = qL2

I

L

P= qL

30 o

2L 10cm

10cm

1,8L



K

10cm

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	472,29 KB