chương 12 np đầy đủ

Hình thức hóa khái niệm bài toánª ς δυ: βαι τοαν ΣΗΟΡΤΕΣΤ−ΠΑΤΗ λα – “không hình thức”: bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh cho trước trong một đồ thị vô hướng, không có tr

NP-Đầy Đủ

Vài khái niệm cơ bản

ª Βαι τοαν

– các tham số

– các tính chất mà lời giải cần phải thỏa mãn

ª Μοτ τηχ τηε∑ (ινστανχε) χυα βαι τοαν λα βαι τοαν µα χαχ τηαµ σο〈 χο τρ∫ χυ τηε∑

Hình thức hóa khái niệm bài toán

ª ς δυ: βαι τοαν ΣΗΟΡΤΕΣΤ−ΠΑΤΗ λα

– “không hình thức”: bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai

đỉnh cho trước trong một đồ thị vô hướng, không có trọng số G = (V, E).

– “hình thức”:

° Một thực thể của bài toán là một cặp ba gồm một đồ thị cụ thể và hai đỉnh cụ thể

° Một lời giải là một dãy các đỉnh của đồ thị

° Bài toán SHORTEST-PATH là quan hệ kết hợp mỗi thực thể gồm một đồ thị và hai đỉnh với một đường đi ngắn nhất (nếu có) trong đồ thị nối hai đỉnh:

SHORTEST-PATH ⊆ I × S

Bài toán trừu tượng

ª ∇∫νη νγη⌠α: µοτ βαι τοαν τρυ τνγ Θ λα µοτ θυαν ηε νη∫ πηαν τρεν µοτ ταπ Ι, 〉χ γοι λα ταπ χαχ

τηχ τηε∑ (ινστανχεσ) χυα βαι τοαν, ϖα µοτ ταπ Σ,

〉χ γοι λα ταπ χαχ λι γιαι χυα βαι τοαν:

Q ⊆ I × S

Bài toán quyết định

ª Μοτ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη Θ λα µοτ βαι τοαν τρυ

τνγ µα θυαν ηε νη∫ πηαν Θ λα µοτ ηαµ τ Ι 〉ε〈ν Σ = {0, 1}, 0 τνγ νγ ϖι νο , 1 τνγ νγ ϖι ψεσ “ ” “ ”

Bài toán tối ưu

ª Μοτ βαι τοαν το〈ι υ λα µοτ βαι τοαν τρονγ 〉ο τα χα◊ν ξαχ 〉∫νη τρ∫ λν νηα〈τ ηαψ τρ∫ νηο νηα〈τ χυα µοτ 〉αι

λνγ

ª ∇ο〈ι τνγ χυα λψ τηυψε〈τ ΝΠ−〉α◊ψ 〉υ λα χαχ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη, νεν τα πηαι επ (ρεχαστ) χαχ βαι τοαν το〈ι υ τηανη χαχ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη

ς δυ: τα 〉α⌡ επ βαι τοαν το〈ι υ 〉νγ 〉ι νγαν νηα〈τ

τηανη βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη ΠΑΤΗ βανγ χαχη λαµ χηαν

κ τηανη µοτ τηαµ σο〈 χυα βαι τοαν

Mã hoá (encodings)

ª ∇ε∑ µοτ χηνγ τρνη µαψ τνη γιαι µοτ βαι τοαν τρυ τνγ τη χαχ τηχ τηε∑ χυα βαι τοαν χα◊ν 〉χ βιε∑υ διεν σαο χηο χηνγ τρνη µαψ τνη χο τηε∑ 〉οχ ϖα

ηιε∑υ χηυνγ 〉χ

ª Τα µα⌡ ηοα (ενχοδε) χαχ τηχ τηε∑ χυα µοτ βαι τοαν τρυ τνγ 〉ε∑ µοτ χηνγ τρνη µαψ τνη χο τηε∑ 〉οχ χηυνγ 〉χ

– Ví dụ: Mã hoá tập N = {0, 1, 2, 3, 4, } thành tập các chuỗi

{0, 1, 10, 11, 100, }. Trong mã hoá này, e(17) = 10001

– Mã hóa một đối tượng đa hợp (chuỗi, tập, đồ thị, ) bằng cách kết hợp các mã hóa của các thành phần của nó

Mã hoá (tiếp)

ª Μοτ βαι τοαν χυ τηε∑ λα µοτ βαι τοαν µα ταπ χαχ τηχ τηε∑ χυα νο λα ταπ χαχ χηυοι νη∫ πηαν

ª Μοτ γιαι τηυατ γιαι µοτ βαι τοαν χυ τηε∑ τρονγ τηι γιαν Ο(Τ(ν)) νε〈υ, κηι 〉α νο µοτ τηχ τηε∑ ι χο 〉ο δαι ν

= | ι | , τη νο σε⌡ χηο ρα λι γιαι τρονγ τηι γιαν Ο(Τ(ν))

ª Μοτ βαι τοαν χυ τηε∑ λα χο τηε∑ γιαι 〉χ τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ νε〈υ το◊ν ται µοτ γιαι τηυατ γιαι νο τρονγ τηι γιαν Ο(νκ) ϖι µοτ ηανγ σο〈 κ ναο 〉ο

Lớp P

ª ∇∫νη νγη⌠α: Λπ Π (χοµπλεξιτψ χλασσ Π) λα ταπ χαχ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη χυ τηε∑ χο τηε∑ γιαι 〉χ τρονγ

τηι γιαν 〉α τηχ

Bài toán trừu tượng và bài toán cụ thể

Mã hóa e phải thõa điều kiện

° Nếu Q(i) ∈ {0, 1} là lời giải cho i ∈ I, thì lời giải cho thực thể e(i) ∈ {0, 1}∗ của bài toán quyết định cụ thể e(Q) cũng là Q(i).

e(Q)

Các mã hoá

ª Μοτ ηαµ φ : {0, 1}∗ →{0, 1}∗ λα χο τηε∑ τνη 〉χ τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ νε〈υ το◊ν ται µοτ γιαι τηυατ τηι γιαν

= ε2(ι) ϖα φ21(ε2 (ι)) = ε1(ι)

Liên quan giữa các mã hóa

ª Λεµµα 36.1

• Χηο Θ λα µοτ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη τρυ τνγ τρεν

µοτ ταπ χαχ τηχ τηε∑ Ι, ϖα χηο ε1 ϖαε2 λα χαχ µα⌡ ηοα τρεν Ι χο λιεν θυαν 〉α τηχ

Mã hóa chuẩn (standard encoding)

– Số nguyên 13 được biểu diễn bởi chuỗi có cấu trúc 1101

– Số nguyên −13 được biểu diễn bởi chuỗi có cấu trúc −1101

– Chuỗi [1101] là một chuỗi có cấu trúc có thể dùng làm “tên” (ví dụ, cho một phần tử của một tập, một đỉnh trong một đồ thị, )

Mã hóa chuẩn (tiếp)

– Tập {a, b, c, d} có thể được biểu diễn bởi chuỗi có cấu trúc

tập các đỉnh tập các cạnh

Một khung ngôn ngữ hình thức

ª Μοτ βανγ χη⌡ χαι Σ λα µοτ ταπ η⌡υ ηαν χαχ κψ ηιευ.

ª Μοτ νγον νγ⌡⌡ Λ τρεν Σ λα µοτ ταπ χαχ χηυοι ταο βι χαχ κψ ηιευ τ Σ.

– Ví dụ: nếu Σ = {0, 1}, thì L = {10, 11, 101, 111, 1011, } là ngôn ngữ

của các biểu diễn nhị phân của các số nguyên tố.

– Chuỗi rỗng được ký hiệu là ε , ngôn ngữ rỗng được ký hiệu là ∅

ª Νγον νγ⌡ χυα τα〈τ χα χαχ χηυοι τρεν Σ 〉χ κψ ηιευ λα Σ ∗

– Ví dụ: nếu Σ = {0, 1}, thì Σ ∗ = { ε , 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,…} là tập tất cả các chuỗi nhị phân.

– Mỗi ngôn ngữ L trên Σ đều là một tập con của Σ ∗

– Hợp và giao của các ngôn ngữ được định nghĩa giống như trong lý thuyết tập hợp

– Phần bu ø của L là = Σ ∗ − L

L

Bài toán quyết định và ngôn ngữ tương ứng

ª ∇ο◊νγ νηα〈τ µοτ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη ϖι µοτ νγον

νγ⌡:

– Tập các thực thể cho bất kỳ bài toán quyết định Q nào là tập Σ∗

Vì Q là hoàn toàn được đặc trưng bởi tập của tất cả các thực thể nào của nó mà lời giải là 1 (yes), nên có thể xem Q như là một ngôn ngữ L trên Σ = {0, 1}, với

L = {x ∈ Σ∗ : Q(x) = 1}

Bài toán quyết định và ngôn ngữ tương ứng (tiếp)

– Ví dụ: bài toán quyết định PATH là ngôn ngữ

{〈G, u, v, k〉 : G = (V, E) là một đồ thị vô hướng,

u, v ∈ V,

k ≥ 0 là một số nguyên, và tồn tại một

đường đi giữa u và v trong G mà chiều dài ≤ k}

Ngôn ngữ và giải thuật

ª Μοτ γιαι τηυατ Α χηα〈π νηαν (αχχεπτ) µοτ χηυοι ξ ∈ {0, 1}∗ νε〈υ, ϖι ινπυτ λα ξ, Α ουτπυτσ Α(ξ) = 1

ª Μοτ γιαι τηυατ Α τ χηο〈ι (ρεϕεχτ) µοτ χηυοι ξ ∈ {0, 1}∗ νε〈υ Α(ξ) = 0

ª Νγον νγ⌡ 〉χ χηα〈π νηαν βι µοτ γιαι τηυατ Α λα ταπ χαχ χηυοι Λ = {ξ ∈ {0, 1}∗ : Α(ξ) = 1}

ª Μοτ νγον νγ⌡ Λ 〉χ θυψε〈τ 〉∫νη βι µοτ γιαι τηυατ

Α νε〈υ

– mọi chuỗi nhị phân trong L được chấp nhận bởi A và

– mọi chuỗi nhị phân không trong L được từ chối bởi A.

Chấp nhận và quyết định ngôn ngử trong thời gian đa thức

ª Μοτ νγον νγ⌡ Λ 〉χ χηα〈π νηαν τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ βι µοτ γιαι τηυατ Α νε〈υ

• 1 νο 〉χ χηα〈π νηαν βι Α ϖα νε〈υ

• 2 χο µοτ ηανγ σο〈 κ σαο χηο ϖι µοι χηυοι ξ ∈ Λ χο

〉ο δαι ν τη Α χηα〈π νηαν ξ τρονγ τηι γιαν Ο(νκ)

ª Μοτ νγον νγ⌡ Λ 〉χ θυψε〈τ 〉∫νη τρονγ τηι γιαν 〉α τηχβι µοτ γιαι τηυατ Α νε〈υ χο µοτ ηανγ σο〈 κ σαο χηο ϖι µοι χηυοι ξ ∈ {0, 1}∗ χο χηιε◊υ δαι ν τη Α θυψε〈τ

〉∫νη χηνη ξαχ ξ χο τρονγ Λ ηαψ κηονγ τρονγ τηι γιαν

Ο(νκ)

Chứng thực trong thời gian đa thứcΒαι τοαν χηυ τρνη Ηαµιλτον

ª Μοτ χηυ τρνη ηαµιλτον χυα µοτ 〉ο◊ τη∫ ϖο ηνγ Γ = (ς, Ε) λα µοτ χηυ τρνη 〉ν χηα µοι 〉νη τρονγ ς 〉υνγ µοτ λα◊ν.

ª Μοτ 〉ο◊ τη∫ 〉χ γοι λα ηαµιλτον νε〈υ νο χηα µοτ χηυ τρνη ηαµιλτον, ϖα 〉χ γοι λα κηονγ ηαµιλτον τρονγ χαχ τρνγ ηπ κηαχ.

ª Βαι τοαν χηυ τρνη Ηαµιλτον λα ∇ο◊ τη∫ “ Γ χο µοτ χηυ τρνη ηαµιλτον κηονγ? Βαι τοαν ναψ δι δανγ µοτ νγον νγ⌡ ”

ηνη τηχ:

Chứng thực trong thời gian đa thức (tiếp)

ª Λαµ τηε〈 ναο 〉ε∑ µοτ γιαι τηυατ θυψε〈τ 〉∫νη 〉χ νγον νγ⌡ ΗΑΜ−ΧΨΧΛΕ?

– Cho một thực thể <G> của bài toán, a possible decision

algorithm liệt kê tất cả các giao hoán của các đỉnh của G và

kiểm tra mỗi giao hoán có là một chu trình hamilton hay không.– Thời gian chạy của giải thuật trên?

° Giả sử mã hóa một đồ thị bằng ma trận kề của nó, thì số các

đỉnh của nó là m = Ω(√ n), với n = |<G>| là chiều dài của mã

Ω

Kiểm tra trong thời gian đa thức

Βαι τοαν χηυ τρνη Ηαµιλτον (τιε〈π)

ª Ξετ µοτ βαι τοαν 〉ν γιαν ην: χηο µοτ 〉νγ 〉ι (µοτ δανη σαχη χαχ 〉νη) τρονγ µοτ 〉ο◊ τη∫ Γ = (ς, Ε), κιε∑µ τρα ξεµ νο χο πηαι λα µοτ χηυ τρνη ηαµιλτον ηαψ κηονγ

– Giải thuật:

° kiểm tra các đỉnh trên đường đi đã cho có phải là một giao

hoán của các đỉnh của V hay không.

° kiểm tra các cạnh trên đường đi có thực sự là các cạnh của E

và tạo nên một chu trình hay không

– Thời gian chạy: O(n2)

Giải thuật chứng thực

ª Τα 〉∫νη νγη⌠α µοτ γιαι τηυατ χηνγ τηχ (ϖεριφιχατιον αλγοριτηµ) λα µοτ γιαι τηυατ Α χο ηαι 〉ο〈ι σο〈 (τωο−

αργυµεντ αλγοριτηµ), τρονγ 〉ο µοτ 〉ο〈ι σο〈 λα µοτ χηυοι ινπυτ τηονγ τηνγ ξ ϖα 〉ο〈ι σο〈 κια λα µοτ χηυοι νη∫ πηαν ψ, ψ 〉χ γοι λα µοτ χηνγ τη (χερτιφιχατε)

ª Νγον νγ⌡ 〉χ χηνγ τηχ βι µοτ γιαι τηυατ χηνγ τηχ Α λα

• Λ = {ξ ∈ {0, 1}∗ : το◊ν ται ψ ∈ {0, 1}∗ σαο χηο Α(ξ, ψ) = 1}

– Ví dụ: Trong bài toán chu trình hamilton, chứng thư là danh

sách của các đỉnh trong chu trình hamilton

Lớp NP

ª Λπ ΝΠ (ΝΠ: “νονδετερµινιστιχ πολψνοµιαλ τιµε ) λα λπ ”

χαχ νγον νγ⌡ χο τηε∑ 〉χ χηνγ τηχ βι µοτ γιαι τηυατ τηι γιαν 〉α τηχ Χηνη ξαχ ην:

Lớp NP– Ví dụ: HAM-CYCLE ∈ NP.

Tính có thể rút gọn được (reducibility)

ª Λαµ τηε〈 ναο 〉ε∑ σο σανη “〉ο κηο χυα χαχ βαι τοαν?”

ª ς δυ

– Bài toán Q: Giải phương trình bậc nhất ax + b = 0

– Bài toán Q’: Giải phương trình bậc hai px2 + qx + r = 0

Tính có thể rút gọn được (tiếp)

ª Μοτ νγον νγ⌡ Λ1 λα χο τηε∑ ρυτ γον 〉χ τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ ϖε◊ µοτ νγον νγ⌡ Λ2 , κψ ηιευ Λ1 ≤ Π Λ2 , νε〈υ το◊ν ται µοτ ηαµ χο τηε∑ τνη 〉χ τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ φ : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ σαο χηο ϖι µοι ξ ∈ {0, 1}∗ ,

• x ∈ L1 ⇔ f(x) ∈ L2

– Ta gọi hàm f là hàm rút gọn (reduction function)

Tính có thể rút gọn được (tiếp)

Tính có thể rút gọn được (tiếp)

– Một giải thuật thời gian đa thức F tính f được gọi là một giải thuật rút gọn (reduction algorithm)

Rút gọn trong thời gian đa thức

ª Λεµµα 36.3

• Λ1, Λ2 ⊆ {0, 1}∗ λα χαχ νγον νγ⌡ σαο χηο Λ1 ≤ Π Λ2

• Νε〈υ Λ2 ∈ Π τη Λ1 ∈ Π

NP-đầy đủ

ª Μοτ νγον νγ⌡ Λ ⊆ {0, 1}∗ λα ΝΠ−〉α◊ψ 〉υ (ΝΠ−χοµπλετε) νε〈υ

NP-đầy đủ (tiếp)

ª ∇∫νη λψ 36.4

– Nếu có bất kỳ một bài toán NP-đầy đủ nào có thể giải được

trong thời gian đa thức, thì P = NP

• Τνγ 〉νγ νη τηε〈:

– Nếu có bất kỳ một bài toán nào trong NP là không thể giải được trong thời gian đa thức, thì không có bài toán NP-đầy đủ nào là giải được trong thời gian đa thức

Bài toán thỏa mãn mạch

Bài toán thỏa mãn mạch (tiếp)

0

1 0 0 1

1 1 1

1

Bài toán thỏa mãn mạch (tiếp)

ª Βαι τοαν τηοα µα⌡ν µαχη λα Χηο µοτ µαχη το∑ ηπ “

βοολ ταο βι χαχ χο∑νγ ΑΝ∆, ΟΡ, ϖα ΝΟΤ, νο χο τηε∑ τηοα µα⌡ν 〉χ κηονγ?”

• ΧΙΡΧΥΙΤ−ΣΑΤ = { 〈Χ〉 : Χ λα µοτ µαχη το∑ ηπ βοολ χο τηε∑ τηοα µα⌡ν 〉χ}

Cách chứng minh NP-đầy đủ

ª Λεµµα 36.8

• Νε〈υ Λ λα µοτ νγον νγ⌡ σαο χηο Λ’ ≤ Π Λϖι µοτ Λ’ ∈ ΝΠΧ, τη Λ λα ΝΠ−κηο Τηεµ ϖαο 〉ο, νε〈υ Λ ∈ ΝΠ, τη Λ

∈ ΝΠΧ

Bài toán thỏa mãn biểu thức bool

ª Βιε∑υ τηχ βοολ

∀ φ = ((ξ1 → ξ2) ∨ ¬((¬ξ1 ↔ ξ3) ∨ ξ4 )) ∧ ¬ξ2

– Một cách gán trị bool (truth assignment) cho một biểu thức bool

φ là một tập các trị cho các biến của φ

– Một cách gán thoả mãn (satisfying assignment) là một cách gán trị bool khiến cho biểu thức bool có trị là 1

– Một biểu thức bool có một cách gán thỏa mãn gọi là một biểu thức có thể thỏa mãn được

ª Βαι τοαν τηοα µα⌡ν βιε∑υ τηχ βοολ

• ΣΑΤ = {〈φ 〉 : φ λα βιε∑υ τηχ βοολ χο τηε∑ τηοα µα⌡ν

〉χ}

ª Τηεορεµ 36.9

Bài toán thỏa mãn biểu thức bool dạng 3-CNF

ª Βιε∑υ τηχ βοολ δανγ 3−ΧΝΦ (3−χονϕυνχτιϖε νορµαλ φορµ)

∀ φ = (ξ1 ∨ ¬ξ1 ∨ ¬ξ2) ∧ (ξ3 ∨ ξ2 ∨ ξ4) ∧ (¬ξ1 ∨ ¬ξ3 ∨ ¬ξ4 )

ª Βαι τοαν τηοα µα⌡ν βιε∑υ τηχ βοολ δανγ 3−ΧΝΦ

• 3−ΧΝΦ−ΣΑΤ = {〈φ 〉 : φ λα βιε∑υ τηχ βοολ δανγ 3−ΧΝΦ χο τηε∑ τηοα µα⌡ν 〉χ}

ª Τηεορεµ 36.9

• Βαι τοαν τηοα µα⌡ν βιε∑υ τηχ βοολ δανγ 3−ΧΝΦ λα

ΝΠ−〉α◊ψ 〉υ

Bài toán clique

ª Χαχ 〉∫νη νγη⌠α

– Một clique của một đồ thị vô hướng G = (V, E) là một đồ thị con

đầy đủ của G.

– Kích thước của một clique là số đỉnh mà nó chứa

Bài toán clique (tiếp)

ª Βαι τοαν χλιθυε λα βαι τοαν το〈ι υ τµ χλιθυε χο κχη τηχ λν νηα〈τ χυα µοτ 〉ο◊ τη∫

Bài toán che phủ đỉnh

ª Χαχ κηαι νιεµ χ βαν

– Một che phủ đỉnh (vertex cover) của một đồ thị vô hướng G =(V, E) là một tập con V’ ⊆ V sao cho nếu (u, v) ∈ E thì u ∈ V’ hoặc v ∈ V’ (hoặc cả hai).

– Kích thước của một che phủ đỉnh là số đỉnh trong đó

Bài toán che phủ đỉnh (tiếp)

ª Βαι τοαν χηε πηυ 〉νη λα τµ µοτ χηε πηυ 〉νη χο κχη τηχ νηο νηα〈τ τρονγ µοτ 〉ο◊ τη∫ χηο τρχ

ª Βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη τνγ νγ δι δανγ µοτ νγον νγ⌡ λα:

• ςΕΡΤΕΞ−ΧΟςΕΡ = { 〈Γ, κ〉 : 〉ο◊ τη∫ Γ χο µοτ χηε πηυ 〉νη χο

ª Τηεορεµ 36.12

• Βαι τοαν χηε πηυ 〉νη λα ΝΠ−〉α◊ψ 〉υ

Bài toán tổng của tập con

ª Χηο µοτ ταπ η⌡υ ηαν Σ ⊂ Ν ϖα µοτ τρ∫ 〉χη τ ∈ Ν

ª Βαι τοαν το∑νγ χυα ταπ χον λα ηοι χο το◊ν ται µοτ ταπ χον Σ’⊆ Σ σαο χηο το∑νγ χαχ πηα◊ν τ χυα νο βανγ τ

ηαψ κηονγ

– Ví dụ: với S = {1, 3, 5, 7, 11, 13}, và t = 12 thì tập con S’ = {1,

11} là một lời giải

ª Βαι τοαν το∑νγ χυα ταπ χον δι δανγ µοτ νγον νγ⌡:

• ΣΥΒΣΕΤ−ΣΥΜ = { 〈Σ, τ〉 : το◊ν ται µοτ ταπ χον Σ’⊆ Σ σαο χηο

• t = ∑ s ∈ S’ s }

ª Τηεορεµ 36.13

• Βαι τοαν το∑νγ χυα ταπ χον λα ΝΠ−〉α◊ψ 〉υ

Bài toán chu trình Hamilton

ª Βαι τοαν χηυ τρνη Ηαµιλτον

• ΗΑΜ−ΧΨΧΛΕ = {〈Γ〉 : Γ λα µοτ 〉ο◊ τη∫ ηαµιλτον}

ª Τηεορεµ 36.14

• Βαι τοαν χηυ τρνη ηαµιλτον λα ΝΠ−〉α◊ψ 〉υ

Bài toán người bán hàng rong

ª Χαχ κηαι νιεµ χ βαν

– Cho một đồ thị đầy đủ G Mỗi cạnh (i, j) nối hai đỉnh i và j của

G có một chi phí là một số nguyên c(i, j)

– Ta định nghĩa một tua (tour) là một chu trình hamilton của G,

chi phí của tua là tổng của các chi phí của mỗi cạnh của tua

Bài toán người bán hàng rong (tiếp)

ª Βαι τοαν νγι βαν ηανγ ρονγ (ΤΣΠ, τραϖελλινγ−

σαλεσπερσον προβλεµ) λα τµ µοτ τυα χο χηι πη νηο

νηα〈τ

ª Νγον νγ⌡ ηνη τηχ χηο βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη τνγ νγ λα

P = NP?

Βαι τοαν µ θυαν τρονγ νηα〈τ τρονγ κηοα ηοχ µαψ τνη λψ τηυψε〈τ