Giáo trình phương trình vi phân cơ bản

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 PHẦN 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình vi phân có biến sốphân ly 1. 0 sin 2 cos = − ′ y y y 2. sin cos yyy ′=+ 3. () 12 x yy y ′ −=− 4. 1 y dy e dx =+ 5. () () 22 110 xydxyxdy +++= 6. 1 1 y x ′= + 7. ()22 11 x y x x ′= +++ 8. ()() 2 2 21 11 dy x x dx xx +− = ++ 9. 3 1 x y x ′= − 10. 3 1 yy′=+ 11. 222 yyxyx ′=− − − 12. ()2 41 yxy ′=+− 13. 1 xy ye+ ′=− 14. 1 1 y x y ′= + − 15. 421 yxy ′= +− 16. ( ) ( ) 22 22 0 yxydxxyxdy + +− = 17. ( ) 22 210 yy ydx x dy − −+ = 18. 2 2 yxyx ′= +− 19. ( ) 10 xydx x dy + += 20. 2 1 ydxxydy += 21. ( )( ) () 22 110 xy y e dx e dy y dy + −−+= 22. 1 sin cos 1 sin cos + − − − = ′ x x y y y 23. 2 2 1 2 y xy x y + − + = ′ 24. 1 1 + − = ′ y x y 25. 2 1 1 y y + = ′ 26. ( ) ( ) 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 = + − + + − + − + − dy x y x xy y x dx x y xy 27. () ()()p n m y x y x y x y + + + + = + ′ 1 Đặt y x z + = . 28. ()y xy y 2 y x a ′ = + ′ (biến đổi về () ay 2 y y a x − = ′ − ) 29. 2 2 x 2 y y − = ′ (Đặt z = xy) 30. Giải phương trình vi phân ( ) ( ) 0 1 4 4 2 2 2 = − ′ + − ′ y x y y x y (coi là phương trình cấp 2 đối với y’) Phương trình vi phân thuần nhất 1. dx y x ydx xdy 2 2 + = − 2. x y xe y y x − = ′ 3. cos ln y xy y x ⎛⎞ ′= ⎜⎟ ⎝⎠ 4. ( ) 0 2 2 2 2 2 2 = + + ′ + + + y f cxy bx y cy bxy ax Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 5. 0 2 3 2 2 2 = + ′ − ′ y y xy y x 6. ()( )0 3 2 4 1 2 = − + − + + dy y x dx y x 7. ()y y y y x ′ = + ′ 2 2 . 8. 0 y 2 x y xy 2 2 = − + ′ 9. 0 ) ( ) 3 ( 2 2 2 2 = ′ − + + y x x y y y x 10. ()()e 1 y , x ln y ln 1 y y x = − + = ′ 11. y xy y x y 2 2 ′ = ′ + 12. () 1ln ln xyy y x ′=+−thỏa mãn (1) ye= 13. sin yy y x x ′=+ thỏa mãn (1) 2 y π = 14. 22 x yy xyy ′′+= 15. cos cos 0 yy xy dxx dy xx ⎛⎞−+= ⎜⎟ ⎝⎠ 16. ()2222 2(2)0 x xy y dx y xy x dy +− ++− = 17. ()() 240 x y dx x y dy +− + −+ = 18. ( )( ) 221 1 0 x y dx x y dy − −+−+= 19. ( ) ( ) 22 20 xx ydx x y dy + +− = 20. ( ) 22 0 x y dx xydy + −= 21. ( ) 22 0 x y dy xydx + += 22. ()ln x y xy y x y x + ′−= + 23. dx dy yx yx = + − 24. 222 222 4 dx dy x xy y y xy = −+ − 25. ( ) yxydxxdy += 26. ( )( ) 246 3 0 x y dx x y dy − +++−= 27. ( ) ( ) 214230 x y dx x y dy + +−+− = 28. ( ) ( ) 120 xy yx y′ − −+ −+ = 29. ( ) ( ) 22 40 ydxxydy + ++− = 30. 2x y y x + ′= 31. ( ) 2220 yxydxxdy − += Phương trình vi phân tuyến tính 1. arctgx x y y x 2 = − ′ 2. 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( x xy y x + = − ′ + 3. 2 x xe xy 2 y − = + ′ 4. ( ) ( ) 0 2 1 1 2 2 = + − − ′ + x y x y x x 5. x y x y cos 1 sin − = − ′ 6. ( ) 1 cot sin 2 = ′ + y y g x y − x hàm, − y biến 7. y x tgy y cos = + ′ Đặt y z sin = 8. ( ) 1 2 = ′ − y x e y − x hàm, − y biến 9. ()y xy ′ −2 1 ) 1 ( − = y y − x hàm, − y biến 10. 3 x xy y = + ′ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 11. () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − ′ 1 1 y x 3 y x 2 y 2 12. 0 y x 2 1 y 2 = − + ′ (coi x là hàm của y) 13. ( ), xe 2 y y ye y 3 y + ′ = với y(0) = 1 (coi x là hàm của y) 14. ( ) 0 xdy dx y x 2 = + − 15. Giải phương trình vi phân x 1 1 y y x 2 − = + ′ 16. ()( ) 0 x 1 x 2 y 4 x 3 y x 1 x 2 = + + + − ′ + 17. x x y y x sin 2 = − ′ 18. Tìm nghiệm riêng của phương trình tgy y x y = + ′ 2 cos thỏa mãn điều kiện y(0)=0. 19. Tìm nghiệm riêng của phương trình x y x y arcsin 1 2 = + − ′ thỏa mãn điều kiện y(0) =0. 20. x y y y x ln 2 = + ′ 21. 1 3 3 2 + = − ′ x ay y y 22. ( ) 1 3 2 = ′ + y y x xy − x hàm, − y biến 23. y y x y x y 2 sin 3 − ′ = ′ − x hàm, − y biến 24. ( ) 0 1 2 2 = + + + xydy dx y x 25. ( ) 3 2 2 2 cos 2 sin 1 x x y x y y x − = + ′ − Đặt y z cos = 26. ( ) 2 = ′ −y e x y Đặt y e z= 27. y x e y 2 1 + = − ′ 28. ( ) 0 ) 1 ( 2 2 2 2 2 = − + − + + dy y dx y x y x Đặt 1 − =y z 29. ()y x y y x 2 + = ′ (biến đổi vềdạng 2 2 y x 1 y x 1 y = − ′ ) 30. Tìm nghiệm của phương trình vi phân dy y cos x y 2 xdy 2 ydx 2 = + thỏa mãn điều kiện ( ) π = 0 y . Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 31. ()( ) y y y 1 x 2 − = + ′ + 32. ( )dx x y xydy 2 + = 33. ( ) xdy dx xy y = + 34. y y x y x 4 2 2 = − ′ 35. ()y y x y y x − ′ = ′ 2 2 2 2 (coi x = x(y)) 36. α x y y xy = − ′ 2 (αlà tham số) 37. 2 2 yyx ′+= 38. ()1 x yyx ′ ++= 39. 22 x yxyy ′−= 40. 322 220 xy xy y ′−+= 41. yx y x y ′−= 42. 2 cos tan yxy x ′ += 43. 2 22cos yy y xx ′+= 44. 2 23 yyx x ′− = thỏa mãn (1) 1 y = 45. 2 0 1 y yyx ′+ += + 46. 1 y y x y ′− = 47. 1 2 1 xy y x ′+= − 48. 23 xyy y x ′− = 49. 24 xyy y x ′− = 50. 2 2 yy y x x ′−= Phương trình vi phân toàn phần 1. 0 1 sin cos 1 1 cos sin 1 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − dy y y x y x x y x dx x y x y y x y . 2. 0 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dy y x e dx e x y x y x . 3. ( ) 0 1 2 2 2 = − − − + dy y x dx y x x . 4. ( )()()dx x x a ydx xdy y x 4 2 2 + = − + . 5. ()()0 cos sin sin cos = + + − dx y y y x dy y y y x . 6. ( ) 0 3 2 ln 2 2 3 4 = + − dy y x dx xy x x . 7. ()0 dy 3 xy 2 dx y 2 = + + 8. ( ) 0 ydy e 2 dx y x 2 2 e x 2 x = − − + 9. () ( ) 0 dy y 1 xy 3 y dx 1 y 2 2 2 3 2 = + + + + 10. ( ) ()dx 1 x sin y x cos y dy x sin x cos y 2 + = − 11. ( ) ( )dy x y 3 dx y x 3 x 2 3 2 2 − = + Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 12. () 0 y sin 2 y cos 1 x dx 2 y sin x 2 2 = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 13. ( ) ( ) 0 dy y cos e x dx y sin e y x x = + + + 14. ()( )0 sin cos sin = + + + dy y x x dx y x 15. dy y x y dx y x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + 3 2 2 ) ln 1 ( 3 16. ()2 23 0 xy dx x dy ++= 17. ()2 222 0 yy xe dx e y x dy −+− = 18. ( ) ()32 222 31 1 0 xxy xdxx dy ++++ = 19. ()( ) 23 2 323 x ydx y xydy −=+ 20. ()2 2 1cos 20 sin 2sin yx y dy dx xx+ ⎛⎞+− = ⎜⎟ ⎝⎠ 21. ()sin ( cos sin ) 0 xydxxyydy +++= 22. () 3 2 231ln y x dx y x dy x ⎛⎞−=+ ⎜⎟ ⎝⎠ 23. ()22 1sin2 2cos 0 y x dx y xdy +−= 24. ()2 2 2 2sin2 2 cos2 ln 0 y xy dxx yxdy xx ⎛⎞+++ += ⎜⎟ ⎝⎠ 25. ()2 sin cos cos ( sin 1) 0 yx ydxx yx y dy −+ += 26. ()()2 2cos sin 0 yy xy e x dx x e x dy +++= 27. () 22 ( cos 2 sin ) sin 0 y x x x dx y x dy +++= 28. () 3 22 3ln 2x x xydx y dyy ⎛⎞ +=−⎜⎟ ⎝⎠ 29. ()2 2 2 2cos2 ln 2sin2 0 x yxydx yxdy yy ⎛⎞ +++ += ⎜⎟ ⎝⎠ 30. 1 yyxxy edxyedy x ⎛⎞⎛⎞ −=+⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ Phương trình F(x, y’)=0, F(y,y’) = 0, F(x,y,y’)=0, Phương trình Lagrange Klero 1. y y x ′ + = ′ 1 3 . 2. 2 .y e y y ′ = ′ . Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 3. y e x y 1 2 = ′ . 4. ()y y y y ′ ′ + ′ = cos 1 . 5. y y x y ′ + ′ = sin 2 . 6. y e y x y ′ + ′ = 2 3 . 7. 3 2 2 y y x y y ′ + ′ = ( Nhân hai vếvới y, Đặt 2 y z= ). 8. 2 1 y y y x ′ + ′ = ( − x hàm, − y biến). 9. y y y x ′ = − ′ ln . 10. ()1 2 2 = ′ − ′ y x y y . PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phương trình vi phân tuyến tính 1. x cos x y 2 y x 3 2 = − ′ ′ , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1= x 2 2. Giải phương trình vi phân: () y 2 y 1 x x 2 = ′ ′ + biết một nghiệm x 1 1 y1 + = 3. Giải phương trình vi phân ( ) 0 y 2 y 1 x 2 = − ′ ′ + nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 4. Giải phương trình vi phân ()( ) x x y 2 y 1 x 2 y 1 x 2 2 + = − ′ − + ′ ′ + biết nó có hai nghiệm riêng 2 1 x y 2 1 x 4 x y 2 2 2 1 + = − + = 5. Xác định hằng số αsao cho 2 x e y α = là nghiệm riêng của phương trình vi phân ( ) 0 y 2 x 4 y x 4 y 2 = + + ′ + ′ ′ . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ( ) 2 2 12 4 6 2 1 3 x xy y y x x − = − ′ + ′ ′ + biết rằng nó có hai nghiệm riêng ( ) 2 2 1 1 , 2 + = = x y x y 7. Giải phương trình 2cot xyyxy x ′′ ′ ++= biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng 1 sinx y x = Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 8. ( ) 0 y 2 y 1 x 2 = − ′ ′ + nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 9. Giải phương trình 234 x yxyy x ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1= x 10. Giải phương trình 2 xyyx ′′ −= 11. Giải phương trình 2322 2 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1= x 12. Giải phương trình 1 1 11x yyyx xx ′′ +−=− −− , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x ye= 13. Giải phương trình () 2 ln 1 0 xxyxyy ′′ −−+=, biết một nghiệm riêng có dạng , yxα α = là hằng số. 14. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( ) ( ) ( ) 22 22210 xxy x y xy ′′ − +− +− =thỏa mãn () () 10,11 yy==, biết một nghiệm riêng của nó là x ye= 15. Giải phương trình ()() 2 22122 xxy x y y ′′ −+−−=−, biết nó có hai nghiệm riêng là 121, yyx = = 16. Giải phương trình 22 21 11 x yyxx ′′ +=++, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 1 y = 17. Giải phương trình ()( ) 21 428 0 xy x yy ′′ ++−−=, biết một nghiệm riêng có dạng , ax yeα = ∈ 18. Giải phương trình () ( ) 2 12 1 0 xy x y x y x ′′ −+ − − + =, biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng , ax yeα =∈ 19. Giải phương trình ()2 160 xyy′′ −−=biết một nghiệm riêng có dạng đa thức. 20. Giải phương trình 1 yyx x ′′ −= 21. Giải phương trình ()2212242 xyxyyx ′′ ++−=+, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 22. Giải phương trình 234 x yxyy x ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng có dạng đa thức. 23. Giải phương trình ()2 1426 x yxyyx ′′ −++=, biết nó có hai nghiệm riêng là 2 12 1 , 1 x x yxy x ++ ==+ 24. Tìm nghiệm riêng của phương trình 22 22 11 x yyy xx ′′ =− + + + thỏa mãn () ( ) 3 22, 1005 2000 yy==, biết một nghiệm riêng của nó là 1 yx= 25. Giải phương trình ()2 1220 xyxyy ′′ +−+=, biết một nghiệm riêng có dạng đa thức. 26. Giải phương trình ()2 44 2 0 yxy x y ′′ ++ +=, biết một nghiệm riêng có dạng 2 1 , x yeα α =∈ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 27. Giải phương trình 2cot x yyy x x ′′ ++= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 sinx y x = 28. Giải phương trình ()2 2 44 1 x yxy x ye ′′ −+ −=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 2 1 sin x ye x = 29. Giải phương trình 2 x xyyxye ′′ +−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x e y x = 30. Giải phương trình 2222 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 31. Giải phương trình 2322 sin x yxyyxx ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 32. Giải phương trình 2322 cos x yxyyx x ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 33. Giải phương trình 2322 ln x yxyyxx ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 34. Giải phương trình 23 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 35. Giải phương trình 228 x yxyy x ′′ −+=−, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 36. Giải phương trình 2 x yxyyx ′′ −+=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 37. Giải phương trình 2 ln x yxyyxx ′′ −+= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 38. Giải phương trình () 2 121 x yxyyx x ′′ −+−=−+, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x ye= 39. Giải phương trình () 10 xy xy y ′′ −+−=, biết một nghiệm riêng có dạng , x yeα α =∈ 40. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( ) 2 1220 xyxyy ′′ + −+=thỏa mãn 221, 1 xx yy====−, biết một nghiệm riêng là 1 yx= 41. Tìm nghiệm riêng của phương trình 22 22 11 x yyy xx =− + + + thỏa mãn 111, 1 xx yy====−, biết một nghiệm riêng là 1 yx= 42. Giải phương trình ()2 122 x yxyyx ′′ ++−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 43. Giải phương trình 222 221 111 x yyy x xx ′′ +−= +++, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 44. Giải phương trình ()2 1 122 xy xy y x ′′ ++−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 yx= 45. Giải phương trình 2 1 xyyxy ′′ +−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x e y x = 46. Giải phương trình 2 2 x e yyy x x ′′ +−=, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x e y x = Phương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng số 1. 0 12 13 = − ′ − ′ ′ ′ y y y . 2. 0 18 9 2 = − ′ + ′ ′ − ′ ′ ′ y y y y . 3. () 0 4 = +y y . 4. () 0 2 3 2 4 = + ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ + y y y y y . 5. () () () () 0 3 3 4 5 6 7 = + + + y y y y . 6. x e y y 4 = + ′ ′ . 7. 2 2 2 3 2 3 x e y y y x + = + ′ − ′ ′ . 8. x x y y cos 4 sin 2 − = − ′ ′ . 9. x e y y y x cos 4 2 − = + ′ − ′ ′ ′ . 10. nx y n y 3 2 sin = + ′ ′ . 11. x x y y 2 sin sin = + ′ ′ . 12. x x y y x y x ln 2 2 = + ′ − ′ ′ x t ln = . 13. () () 4 8 8 1 2 4 1 2 2 − − = + ′ + − ′ ′ + x y y x y x ( ) 1 2 ln + = x t . 14. ()x y x y x y ln sin 2 1 1 2 = + ′ + ′ ′ x t ln = . 15. () () ()x y y x y x + = + ′ + + ′ ′ + 1 ln cos 4 1 1 2 ( ) x t + = 1 ln . 16. 2 sin 2 ln 9 x y y = + ′ ′ 17. Dùng phép biến đổi hàm 2 x z y= đểgiải phương trình vi phân: ( ) x 2 2 e y 2 x y x 4 y x = + + ′ + ′ ′ . 18. ()x cos x sin e y y x − = ′ + ′ ′ − (Đặt y = e x z) 19. Giải phương trình ( ) x 3 x 2 x e y e y 1 e 2 y = + ′ + − ′ ′ bằng đổi biến x e t= Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 20. 0 x cos y x sin y x cos y 3 = − ′ + ′ ′ đặt t = sinx 21. Giải phương trình vi phân x e xy y 2 y x = − ′ + ′ ′ bằng phép đổi hàm z = xy. 22. 0 x cos y tgx y y 2 = − ′ + ′ ′ dùng t = sinx 23. Giải phương trình vi phân x e y x y x y x − = − + ′ − + ′ ′ ) 2 ( ) 1 ( 2 bằng phép đổi hàm z=xy 24. 0 x y y x 2 y x 2 2 = + ′ + ′ ′ bằng phép biến đổi x = 1t 25. x y y x y x 2 = + ′ + ′ ′ (biến đổi t e x= ) 26. 0 y 6 y x 4 y x 2 = + ′ − ′ ′ (biến đổi t e x= ) 27. x ln e 1 y 4 y 4 y x 2 − + = + ′ + ′ ′ 28. x xe y y − = ′ + ′ ′ 29. 2 x 4 x xe y 3 y 2 y + = − ′ − ′ ′ 30. x 3 sin x y 5 y 2 y = + ′ − ′ ′ 31. x e x y y − + = ′ + ′ ′ 32. ( ) 1 e x y 2 y 2 y x + = + ′ − ′ ′ 33. x sin x 29 y 5 y 2 = ′ + ′ ′ 34. x sin 1 y y = + ′ ′ 35. ()x 2 e x 4 2 y 4 y − = − ′ ′ 36. x cos x e y y 2 y x + = + ′ − ′ ′ 37. x e 1 y y 2 y x + = + ′ − ′ ′ 38. x cos e y 5 y 4 y x 2 + = + ′ − ′ ′ 39. x 2 sin e y 8 y 4 y x 2 + = + ′ − ′ ′ 40. 2 322 5 cos2 xxx yyye e ′′ ′ −+= −+ 41. x e x sin y y 2 y x − + = + ′ + ′ ′ 42. x sin 1 y y = + ′ ′ 43. x x e xe y y − + = + ′ ′ 2 44. x x y y y sin 3 cos 2 − = − ′ + ′ ′ 45. x y y 2 cos 2 2 = ′ − ′ ′ 46. x x y y 2 cos sin + = + ′ ′ 47. 22 323 2x yyye x ′′ ′ −+= + 48. 2sin 4cos yy x x ′′− =− 49. 23sin yny nx ′′ += . 50. sin sin 2 yy x x ′′+ = 51. 2 2ln x yxy yxx ′′ ′ −+= 52. () () 2 21 421 8 84 xy xyyx ′′ ′ + −++=−− 53. () 2 112sin ln yy y x xx ′′ ′ ++ = 54. () () () 2 11 4cosln1 x yxyy x ′′ ′ + ++ += + 55. ( ) 2242x x yxyx ye ′′ ′ + ++ = 56. 224ln x yxy yx x ′′ ′ +−= 57. ( ) sin cos x yye x x − ′′ ′ += − 58. ( ) 23 21xxx yeyeye ′′ ′ −++= 59. x yyxe− ′′ ′ +=+ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 60. () 22 1x yyyxe ′′ ′ −+= + 61. 3 cos sin cos 0 yxyxyx ′′ ′ +− = 62. 2529sin yy xx ′′ ′ += 63. 1 sin yy x ′′ += 64. ()2 424x yy xe ′′ −=− 65. 2cosx e yyy x x ′′ ′ −+=+ 66. 2 x xyyxye ′′ ′ +−= 67. 2 cos 0 yytgxy x ′′ ′ +− = 68. 25 sin3 yyyxx ′′ ′ −+= 69. 2(1 ) ( 2) x xyxyxye− ′′ ′ +− +− = 70. 42 23 x yyyxex ′′ ′ −−= + 71. 21x e yyy x ′′ ′ −+=+ 72. 2 x yxyyx ′′ ′ ++= 73. x yyxe− ′′ ′ += 74. 2 45 cos x yyye x ′′ ′ −+=+ 75. 2 460 xy xy y ′′ ′ −+= 76. 2 441 lnx yyy e x − ′′ ′ ++=+ 77. 2 48 sin2 x yyye x ′′ ′ −+=+ 78. 2sinx e yyy xx − ′′ ′ ++= + 79. 2 xx yyxe e− ′′ += + 80. 2cos3sin yy y x x ′′′+ −= − 81. 2 22cos yy x ′′ ′ −= 82. sin cos 2 yy x x ′′+ =+ 83. 2 44sin5x yyxxe ′′ += + 84. 2 sin x yy xe ′′ + =+ 85. 2 xx yye ex ′′ − =++ 86. 2 68 xx yyyee ′′ − +=+ 87. 22 2 sin yyyx x ′′+ +=− 88. ()2 2 1 23 2x yyy x x e ′′ −+=++ − 89. 22 44 cos x yyye x ′′ −+= 90. 2 cos yyx x ′′ −= 91. 4sin yy x x ′′+ = 92. 32 3 5sin2 yyyx x ′′− +=+ 93. 44 sincos2 yyy x x ′′− += 94. 69 3 8x yyyxe ′′ −+=− 95. 3 3 18 x yye x ′′ −=− 96. Tìm nghiệm riêng của phương trình 2 cos 3sin yy y x x ′′+ −= − thỏa mãn () ( ) 01,0 2 yy== 97. Tìm nghiệm riêng của phương trình cos yyx x ′′+ = thỏa mãn () () 3 00,04 yy= = Phương trình vi phân cấp cao chưa giải ra đối với đạo hàm 98. 1 2 2 = + ′ ′ ′ x y Đặt ϕ ϕ sin ; cos = = ′ ′ ′ x y . 99. Tìm nghiệm của phương trình: ( ) 1 4 2 − ′ = ′ ′ y y thoảmãn các điều kiện ban đầu: a) 0 2 , 0 = = ′ = x khi y y . b) 0 1 , 0 = = ′ = x khi y y . 100. ( ) 0 1 1 2 2 = + ′ + ′ ′ + y y x 101. ( ) y a y y ′ ′ = ′ + ′ 2 1 . 102. ()22 2 3 130 1 yyy yy yy yy ′′′ ′ ′′ ′′′ ′ ′ ′′ +− =⇒=′′ ′ + 103. 2 2 1 x y y y y y + ′ = ′ − ′ ′ dạng thuần nhất, đặt yz y = ′ . 104. 2 y y y ′ = ′ ′ . 105. y y y y ′ ′ ′ = ′ ′ ′ . Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 106. 1 1 1 2 = + ′ − ′ ′ y x y x y () 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ′ ⇒ x y d x y d 107. x y y y y y y y ′ = ′ + ′ + ′ ′ 2 2 2 2 2 chia hai vế cho y y ′. 108. y e y y ′ = ′ ′ 109. () y y y 1 y 2 ′ + ′ = + ′ ′ (Đặt y’ = p(y) ) 110. 1 y y y 2 = ′ + ′ ′ (Đặt y’ = p(y) ) 111. y 2 e y = ′ ′ thỏa mãn () () 0 0 y 0 y = ′ = 112. 1 y y y x 2 2 − ′ = ′ ′ ′ 113. ( ) ( ) y y x y 1 x 2 ′ = ′ + ′ ′ + 114. ( ) y y sin y y cos y 2 ′ = ′ + ′ ′ 115. y y y ′ = ′ ′ 116. 2 x y y x + ′ = ′ ′ (Đặt y’ = p) 117. y y y y y 2 ′ = ′ ′ + ′ 118. x y y x + ′ = ′ ′ 119. y y y 2 y x ′ − ′ = ′ ′ (Đặt z = xy’) 120. () () ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′ = ′ ′ 0 0 y ; 2 0 y y y 2 y CHƯƠNG 3. HỆPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = x y 4 dt dy y x 3 dt dx 2. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = − + = + − = z y x dt dz z y x dt dy z y x dt dx 2 2 2 3. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = − − 0 3 0 3 5 y x dt dy y x dt dx 4. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = x y dt dy y x dt dx 4 2 5. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = x y 4 dt dy y x 3 dt dx 6. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + − = − − = z x dt dz z x y dt dy z y 2 x dt dx 7. dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =−+ + ⎪ ⎪ = −+ ⎨ ⎪ =++ ⎪ ⎩ 8. 2 dx x yz dt dy x yz dt dz x y dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =+− ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ 9. 32 2 222 dx xz dt dy yz dt dz x yz dt ⎧ =+ ⎪ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =++ ⎪ ⎩ 10. 612 3 412 3 dx x yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− − ⎪ ⎪ =− − ⎨ ⎪ =− + + ⎪ ⎩ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 11. 2 23 32 2 dx x dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = ⎪ ⎪ =− + − ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 12. 22 22 2 dx xy dt dy x yz dt dz y dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =− + − ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ 13. dx x z dt dy yz dt dz x y dt ⎧ =+ ⎪ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ 14. 522 26 24 dx x yz dt dy x y dt dz x z dt ⎧ =−− ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ 15. 3 5 3 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =++ ⎪ ⎪ =+ + ⎨ ⎪ =++ ⎪ ⎩ 16. 32 222 2 dx xy dt dy x yz dt dz yz dt ⎧ =+ ⎪ ⎪ =++ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ 17. 23 36 dx x y dt dy x y dt dz z dt ⎧ = + ⎪ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 18. 32 23 5 dx x y dt dy x z dt dz z dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =−+ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 19. 4 24 5 dx x yz dt dy xz dt dz x yz dt ⎧ =++ ⎪ ⎪ =− ⎨ ⎪ =−+ + ⎪ ⎩ 20. 72 262 25 dx xy dt dy x yz dt dz yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =−+ − ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ 21. 34 2 77 44 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = −+ ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ 22. 3, 5 7 2, 5 813 4 10,5 15 3,5 dx x yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− + − ⎪ ⎪ =− + − ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 23. 4 31112 222 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =− − + ⎪ ⎪ =+ − ⎨ ⎪ =− + + ⎪ ⎩ 24. 9411 18 11 27 13 7 18 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =+− ⎪ ⎪ =+− ⎨ ⎪ =+− ⎪ ⎩ 25. 546 2 22 dx x yz dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =+− ⎪ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =+− ⎪ ⎩ 26. 2 445 dx yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =++ ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 27. 2 445 dx yz dt dy xyz dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ =− − + ⎪ ⎩ 28. 28 347 3 dx x yz dt dy x yz dt dz z dt ⎧ =− + + ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 29. 524 6213 3 dx x yz dt dy x yz dt dz z dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =−− ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 30. 2 131 222 115 222 dx xyz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 31. 133 222 113 222 dx x yz dt dy xz dt dz x yz dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 32. 133 222 131 222 22 dx x yz dt dy x yz dt dz xy dt ⎧ =−+ ⎪ ⎪ =−− ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ 33. 34 2 442 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =−− ⎪ ⎪ =− − ⎨ ⎪ =−− ⎪ ⎩ 34. 23 323 2 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ =− + + ⎪ ⎪ =− + + ⎨ ⎪ =− + + ⎪ ⎩ 35. 3 323 2 dx yz dt dy x yz dt dz xy z dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =−+ + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 36. 2 2 2 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = −+ ⎪ ⎪ =−+ + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 37. 32 2 222 dx x yz dt dy x yz dt dz x yz dt ⎧ = −+ ⎪ ⎪ =−+ + ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 38. 3 2 754 dx xy dt dy x dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 39. 3 2 33 dx xy dt dy x dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 40. 53 64 12 7 3 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ = −+ ⎪ ⎩ 41. 53 64 653 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 42. 3 2 85 dx xy dt dy x dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 43. 32 43 13 8 4 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =+−+ ⎪ ⎩ 44. 32 43 10 6 3 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =−+ ⎪ ⎩ 45. 53 64 12 7 3 dx xy dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− ⎪ ⎪ =− ⎨ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ 46. 410 3 811 3612 dx x yz dt dy xy dt dz x yz dt ⎧ =− + − ⎪ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =− − + ⎪ ⎩ Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7

M C L C

Ch ng 1 5 

LÝ THUY T PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 5 

§1 M U 5 

1.1 nh ngh a 5 

1.2 Ý ngh a c h c và v t lý c a ph ng trình vi phân 5 

1.3 C p c a ph ng trình vi phân 6 

1.4 Ý ngh a hình h c c a ph ng trình vi phân c p 1 7 

§2 NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M I V I PH NG TRÌNH VI PHÂN C P I 8 

2.1 nh ngh a 8 

2.2 nh lý 8 

§3 CÁC LO I NGHI M C A PH NG TRÌNH VI PHÂN 9 

3.1.Nghi m t ng quát 9 

3.2.Tích phân t ng quát 9 

3.3.Nghi m riêng 9 

3.4.Nghi m kì d 10 

3.5 Ph ng pháp tìm nghi m kì d 11 

Ch ng 2 14 

M T S PH NG PHÁP 14 

GI I PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 14 

§1 PH NG TRÌNH VI PHÂN V I BI N S PHÂN LY 14 

1.1.D ng M x dx( ) +N y dy( ) =0 14 

1.2.Ph ng trình đ a v ph ng trình tách bi n 15 

§2 PH NG TRÌNH THU N NH T 15 

2.1 nh ngh a 15 

2.2 Ph ng trình đ a đ c v ph ng trình thu n nh t 17 

§3 PH NG TRÌNH TUY N TÍNH 18 

3.1 nh ngh a 18 

3.2.Cách gi i 18 

3.4.Ph ng trình đ a đ c v ph ng trình tuy n tính 20 

§4 PH NG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CH NH - TH A S TÍCH PHÂN 23 

4.1.Cách đoán nh n ph ng trình là ph ng trình vi phân hoàn ch nh 23 

4.2.Th a s tích phân 26 

Ch ng 3 30 

PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 30 

CH A GI I RA I V I O HÀM 30 

§1 PH NG TRÌNH F x y ( , ') = 0 HAY ( , ')F y y =0 30 

1.1.Ph ng trình ( , ')F x y =0 30 

1.2.Ph ng trình ( , ')F y y = 310   §2 PH NG TRÌNH ( , , ')F x y y = - PH0 NG TRÌNH LAGR NG-KLERÔ 32 

2.1.Ph ng trình ( , , ')F x y y =0 32 

2.2.Ph ng trình Lagr ng 33 

2.3.Ph ng trình Klerô: Khi ( ')φ y ≡ 34y'   Ch ng 4 35 

PH NG TRÌNH VI PHÂN C P CAO 35 

§1 NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M 36 

1.1.D ng t ng quát c a ph ng trình vi phân c p cao 36 

1.2 nh lý t n t i và duy nh t nghi m 37 

1.3 Ph ng trình c p n 38 

§2 CÁC PH NG TRÌNH GI I C B NG C U PH NG 39 

2.1.D ng F x y( , ( )n )=0 39 

2.2.D ng F y( (n−1),y( )n )=0 42 

2.3 D ng F y( (n−2),y( )n )=0 43 

§3 TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PH NG TRÌNH H C P C 44 

3.1 Tích phân trung gian 44 

3.2 Các tr ng h p ph ng trình h c p đ c nh tích phân trung gian 44 

3.3 Ph ng trình thu n nh t đ i v i hàm và đ o hàm 46 

3.4 Ph ng trình mà v trái là đ o hàm đúng 47 

Ch ng 5 48 

LÝ THUY T T NG QUÁT 48 

V PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH 48 

§1 NH NGH A VÀ TÍNH CH T T NG QUÁT 48 

1.1 nh ngh a 48 

1.2 Tính ch t 48 

1.3 S t n t i và duy nh t nghi m 48 

§2 PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T 49 

2.1 Tính ch t c a toán t L 49 n   2.2 Khái ni m v s ph thu c tuy n tính 49 

2.3 nh th c Wrônxki 50 

2.4 H nghi m c b n 52 

§3 PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHÔNG THU N NH T 54 

3.1 Tính ch t: 54 

3.2 Ph ng pháp bi n thiên h ng s 55 

§ 4 PH NG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ H S H NG S 57 

4.1 Ph ng trình tuy n tính thu n nh t h s h ng s 57 

4.2 Ph ng trình tuy n tính không thu n nh t h s h ng s 60 

Ch ng 6 65 

H PH NG TRÌNH VI PHÂN 65 

§ 1 KHÁI NI M, NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M 65 

1.1 nh ngh a 65 

1.2 nh lý t n t i và duy nh t nghi m 65 

1.3 Các lo i nghi m c a h chu n t c 66 

§2 A H PH NG TRÌNH VI PHÂN V PTVP C P CAO 66 

2.1 M t s ví d 66 

§3 PH NG PHÁP L P T H P GI I TÍCH 68 

§ 4 H PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T 70 

4.1 nh ngh a 70 

4.2 Toán t vi phân tuy n tính 71 

4.3 Khái ni m v s ph thu c tuy n tính 72 

4.4 H nghi m c b n 74 

§5 H PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHÔNG THU N NH T 75 

5.1 M t s đ nh lý v nghi m c a h ph ng trình 75 

5.2 Ph ng pháp bi n thiên h ng s 77 

§6 H PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T 79 

CÓ H S H NG S 79 

Ph n 1: Ph ng trình vi phân c p 1 85 

Ph n 2: Ph ng trình vi phân c p cao 91 

Ph n 3: H ph ng trình vi phân 95 

TÀI LI U THAM KH O 97 

l ng m Hãy tìm quy lu t chuy n đ ng

Ch n h ng oy nh hình v

Theo c h c n u g i quãng đ ng là y thì gia t c c a v t là w d y22

dt

= M t khác ta bi t r ng v t r i t do trong chân không có gia t c không đ i là

29,8 ( / )

Ph ng trình

2

2( , ,dy d y, )

ph ng trình N u cho C C1, 2, ,C nh ng giá tr c th ta s n đ c nghi m riêng c a

Khi đó t p h p m i đi m c a G mà t i m i đi m có xác đ nh đo n th ng nh

trên đ c g i là m t H NG TR NG Khi đó trong G đ ng cong tích phân có

tính ch t là nó ph i ti p xúc v i H NG TR NG t i m i đi m c a nó

Nh v y: Ý ngh a hình h c c a vi c l y tích phân ph ng trình (1.4) là hãy

v đ ng cong y=φ( )x sao cho h ng c a ti p tuy n t i m i đi m c a nó trùng v i

h ng c a h ng tr ng t i đi m y

§2 NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M I V I PH NG TRÌNH VI PHÂN C P I

Xét ph ng trình dy f x y( , ) (2.1)

Khi đó bài toán tìm nghi m y= y x( ) c a (2.1) sao cho khi x= thì x0 y= y0 đ c

g i là bài toán Côsi, đây ( ,x y0 0) là các giá tr tu ý cho tr c đ c g i là giá tr ban đ u (đi u ki n đ u)

M t v n đ đ t ra là ta hãy xét xem v i đi u ki n nào thì:

1 Bài toán Côsi c a ph ng trình có nghi m

2 Nghi m c a bài toán là duy nh t

Gi i quy t các v n đ nêu trên là n i dung c a đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m

Lipsit đ i v i y n u ∃ > sao cho v i b t k , , N 0 x y y mà ( , ) x y ∈G x y,( , )∈ thì G

(vì f liên t c trong G kín, gi i n i nên M∃ đ ( , ) f x y ≤M ∀( , )x y ∈ ) G

2 ( , ) f x y tho mãn trong G đi u ki n lipsit đ i v i y

Khi đó t n t i duy nh t m t nghi m y=φ( )x c a ph ng trình (2.1) xác

đ nh và liên t c đ i v i các giá tr c a x thu c đo n x0− ≤ ≤h x x0+ trong h đó

đ nh và có đ o hàm liên t c theo x đ c g i là nghi m t ng quát c a ph ng trình (3.1) trong G n u:

a) ∀M x y( , )∈ t G y=φ( , )x c có th gi i ra đ c c=ψ( , )x y

b) y=φ( , )x c là nghi m c a ph ng trình (3.1) v i c∀ thu c mi n đang xét khi M x y( , ) ch y kh p G

3.2.Tích phân t ng quát

H th c: ϕ( , , )x y c = hay ( , )0 ψ x y = g i là tích phân t ng quát c a c

(3.1) trong G n u nó xác đ nh nghi m t ng quát y=φ( , )x c c a ph ng trình trong

mi n đó

3.3.Nghi m riêng

Nghi m y= y x( ) đ c g i là nghi m riêng c a ph ng trình (3.1) n u t i

đi m c a nó đi u ki n duy nh t nghi m c a bài toán Côsi đ c tho mãn

Nghi m nh n đ c t nghi m t ng quát v i h ng s c xác đ nh luôn luôn là nghi m

y = y Ta có

1 223

f y y

∂ = ∞

∂ khi y= 0

Ta th y: +) y= là nghi m 0

+) Nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân trên là 27y=(x+c)3 đây

là h đ ng Parabol b c 3, ta th y t i m i đi m c a y= tính ch t duy nh t 0nghi m b phá v do đó y= là nghi m kì d 0

=

Gi s ph ng trình (3.2) xác đ nh m t s các giá tr th c 'y (hay vô h n) 'y = f x y i( , ) (i=1, 2, ) (3.3)

gi s f x y liên t c và có i( , ) đ o hàm riêng theo y khi đó lý lu n nh trên ta có th

F

gt F

H th c (3.4) g i là 'y − bi t tuy n (hay p bi t tuy n) c a ph ng trình (3.2)

* Th xem p bi t tuy n có ph i là nghi m c a ph ng trình (3.2) hay không

* N u ph i thì xem tính ch t duy nh t có b phá v hay không N u có thì

p-bi t tuy n là nghi m kì d

Ví d : Tìm nghi m kì d c a ph ng trình F x y y( , , ')= y'2+ y2− = 1 0

Ta có 2 ' 0

'

F y y

T y'= ± −1 y2 ta có nghi m arcsin y= ± +x c⇒ =y sin(± + hay x c)sin( )

0

x y c

x y c c

0

x y c

R x y

x y c c

nghi m kì d

gi s M x N y( ), ( ) liên t c trong mi n nào đó c a 2

R , khi đó tích phân t ng quát

Nh ng tr ng h p y= làm cho ( ) 0y0 N y = c ng là nghi m c a ph ng trình (1.2) N u mu n tìm c nghi m d i d ng x=x y( ) thì nh ng giá tr x= x0

C z

+ = thay y

z x

−

V y nghi m t ng quát c a ph ng trình (3.3) là y=Ce−∫P x dx( ) trong đó C là h ng

s tu ý

b) B c 2: Ta th tìm nghi m c a (3.2) d i d ng (3.4) trong đó coi C =C x( ) khi

c a nghi m t ng quát c a ph ng tình vi phân tuy n tính thu n nh t v i m t nghi m riêng c a ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t

2 Nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t tìm đ c b ng hai l n l y tích phân (mà ta th ng nói là b ng hai l n c u ph ng)

Th t v y: đ t y=Y x( )+ trong z đó ( )Y x là m t nghi m riêng c a ph ng trình không thu n nh t Còn z là hàm ph i tìm, l p ph ng trình vi phân đ i v i z

ta có dz P x z( ) 0

Nh v y n u bi t đ c m t nghi m riêng c a ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t thì nghi m t ng quát tìm đ c b ng m t phép c u ph ng

b) N u bi t đ c m t nghi m riêng không t m th ng (khác không) c a ph ng

Th t v y xét ph ng trình sau: dy P x y( ) 0

dx + = Gi s y=φ( )x ≠ là 0nghi m riêng đã bi t

Nghi m t ng quát c a ph ng trình đang xét có d ng P x dx( )

y=Ce−∫Nghi m này ch a m i nghi m riêng, gi s ng v i C ta có 0

( ) 0

( )x C e P x dx

φ = −∫ do đó

0( )

C = ta đ c y=C1φ( )x c) N u bi t đ c hai nghi m riêng khác nhau c a ph ng trình không thu n nh t thì

có th tìm đ c nghi m t ng quát c a nó mà không c n c u ph ng

Th t v y: Gi s y x y x là hai nghi m khác nhau c a ph1( ), 2( ) ng trình không thu n nh t thì ta có th d dàng ch ng minh đ c y x1( )−y x2( ) là nghi m không

§4 PH NG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CH NH - TH A S TÍCH PHÂN

u x y =∫M x y dx+φ y (4.6) Trong đó ( )φ y là m t hàm tu ý theo y (tích phân này có ngh a vì G đ n liên) Ta

φ = ∫ + (4.8)

M t khác t (4.13)

( , )( , )

u

M x y x

Ta ch ng minh r ng ph ng trình có vô s th a s tích phân

Ta s ch ng minh r ng µ1= Φ( ) ( , )u µ x y c ng là th a s tích phân Trong đó ( )u

1 1

00

u u

u

u

µµ

a) Th a s tích phân ch ph thu c x µ µ= ( )x Khi đó 0

( )1

dx x

2(1 ) 1

t x

φφ

v= Ω u C Khi đó nghi m t ng quát c a (2.1) d i d ng tham s là

x =φ[u, ( , ) ;Ω u C ] y =ψ[u, ( , )Ω u C ]

Sau đây ta s xét hai d ng ph ng trình

Ph ng trình tuy n tính đ i v i x và y có d ng y=φ( ')y x+ψ ( ')y (2.4) Trong đó gi thi t ( ')φ y ≠ y' (n u ≡ là ph ng trình Klero)

Dùng ph ng pháp nh trên v i tham bi n: u=x v; = = Khi đó (2.4) có d ng p y'( ) ( )

ây là nghi m t ng quát c a ph ng trình Lagr ng d ng tham s

Chú ý: Khi bi n đ i ph ng trình ta ph i gi thi t ( )φ p − ≠ D th y r ng các p 0giá tr nghi m p= p i c ng là nh ng nghi m c a ph ng trình Tu t ng tr ng h p nghi m đó có th là nghi m riêng hay nghi m kì d

Ph ng trình có d ng y= y x' +ψ ( ')y (2.7)

y ph i có m t

Gi s : Hàm F liên t c theo t t c các bi n và t i đi m ( ) ( )

0, k ( 0) 0k

x=x y x = y tho mãn đi u ki n

' 1

1 2

2 3

( , , , )

n n

i v i (1.4) bài toán côsi đ c đ t ra nh sau:

Hãy tìm nghi m {y x y x1( ), 2( ), ,y x n( )} Sao cho khi x= thì x0

(Khi đó t s liên t c c a các f trong G đóng i ⇒ f i ≤M (i =1 )n )

2 Trong mi n G các hàm f tho mãn i đi u ki n Lipsit đ i v i các bi n

i

y t c là ∃ > N 0 đ

f x y y i( , 1, 2, ,y n)− f x y y( , 1, 2, ,y n) ≤N y( 1−y1 + + y n−y n )

Khi đó t n t i duy nh t m t nghi m {y x1( ), ,y x n( )} c a h (1.4) xác đ nh trong

( ) ( 1 )

Chú ý: N u các hàm f có i đ o hàm gi i n i theo y trong G thì nó s tho mãn i

đi u ki n Lipsit đ i v i các y trong G i

Xét ph ng trình y( )n = f x y y( , , ', ,y(n−1)) (1.5)

T đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m c a h chu n t c ta suy ra đ nh lý t n

t i và duy nh t nghi m c a h chu n t c c a (1.5) nh sau:

x−x0 ≤a y, −y0 ≤b y, ′−y0′ ≤b, , y(n−1)− y0(n−1) ≤ b

T đó M∃ sao cho f ≤M trong G

đi u ki n t n t i duy nh t nghi m là hàm φ( ,x C C1, 2, ,C n) có đ o hàm riêng liên

t c theo x đ n c p n và ph thu c vào các h ng s C C1, 2, ,C sao cho n

( , , , )

n n

2 Tho mãn ph ng trình đang xét v i ∀ trong mi n C i đang xét

T ng t nh ph ng trình vi phân c p 1 ta có th đ a ra đ nh ngh a nghi m riêng, tích phân t ng quát và nghi m kì d c a ph ng trình vi phân c p cao

§2 CÁC PH NG TRÌNH GI I C B NG C U PH NG

2.1.D ng F x y( , ( )n ) =0 (2.1)

x n x

x x n

2 0 2 0

0 1

φψ

2

φψ

n n

φψ

ay′′= − + y′

2 21

z= y′⇒az′= − +z hay

2 2

11

dz

dx a z

= −+

2 2(1 )

C a

φφ

Hay Φ( ,x y(n−2),C C1, 2)= ây là ph ng trình d ng (1) 0

b) Gi s r ng ph ng trình không gi i ra đ c ( )n

y nh ng có th bi u di n m t cách đ n tr theo tham s t

( 2)

( )

( )( )

n n

φψ

§3 TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PH NG TRÌNH H C P C

3.1 Tích phân trung gian

( ) ( )( , k , , n ) 0 ( 1)

( 1)

( , , , )

n n

n n

C y

C z

21

nh ngh a : H hàm {φk( )x } đ c g i là ph thu c tuy n tính trong kho ng ( )a b ,

( )

1 1( )x 2 2( ) x n n( )x 0 x a b,

N u không t n t i các αi nh v y đ đ ng nh t th c (2.3) tho mãn thì ta nói {φk( )x } là đ c l p tuy n tính

( ), ( ) , ( )

n n

Chú ý: Do các đ nh lý 1,2 suy ra W l p nên b i n nghi m c a ph ng trình (2.1)

n

k k k

=

Trong đó C k =const

Ta ph i ch ng minh hai đi u:

Hàm ( )y x xác đ nh t (2.6) tho mãn L n( )y = 0 đi u này hi n nhiên theo tính ch t c a toán t L n

Chú ý: Công th c ( )2.6 cho ∀ nghi m riêng c a ph ng trình L n( )y = 0

Th t v y ta tìm nghi m riêng ( )y x sao cho y x( 0) = y0, ,y(n−1)(x0)= y0(n−1), t c là

ph i ∃C k đ

1

n

k k k

nh lý 5 : N u ta có ( n + nghi m riêng 1) y y1, 2, ,y y n, n+1 thì các nghi m đó s ph thu c tuy n tính

Ch ng minh

Gi s y y1, 2, ,y là ph thu c tuy n tính thì hi n nhiên n đ nh lý đúng

Gi s y y1, 2, ,y là n đ c l p tuy n tính, khi đó y y1, 2, ,y l p nên m t h nghi m n

nh lý : N u bi t đ c m t nghi m riêng c a ( )3.1 thì nghi m t ng quát c a ( )3.1

là tông c a nghi m riêng đó v i nghi m t ng quát c a (3.2)

V y ta có h

1 1

1 1

1 1

n n

n

dC dC

dC dC

dC dC

Nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t là y=C x1 2+C2 coi

122

dC dx

Chú ý: Trong tr ng h p ph ng trình đ c tr ng có nghi m ph c k = ±α iβ thì thay cho nghi m e(α±iβ)x c a ph ng trình (4.2) ta s có hai nghi m th c là

y x( ) =C e1 x +C2cos 2x+C3sin 2x+ x C( 4cos 2x+C5sin 2x)

Trong ph n này ta xét d ng ph ng trình *[ ]

( )

n

L y = f x Tr c h t ta ch ng minh m t b đ quan tr ng g i là NGUYÊN LÝ CH NG CH T NGHI M

Gi s h s a n ≠ ta ch ng minh r ng ph ng trình có nghi m riêng là m t 0

đa th c b c S Ta tìm nghi m riêng d ng * 1

Thay vào ph ng trình (4.4) và so sánh các lu th a x k ta s xác đ nh đ c các h ng s B k (k =1 )S theo A k

Gi s a n =a n−1 = = a n− +α 1=0 còn a n−α ≠ (0 đi u này có ngh a k = là 0nghi m b i α c a ( )F k = ) 0

Ta ch ng minh r ng ph ng trình (4.4) có nghi m riêng d ng

(chú ý V x V x là liên h p), áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m ta có: 1( ), 2( )

(*) p iq+ không là nghi m c a ( ) 0F k = ⇒ ta tìm nghi m riêng ng v i v ph i là

Ta có quy t c: N u p iq + không ph i là nghi m c a ( ) 0 F k = thì ph ng trình

, , , , , , , , 0

n n

( , , , , )

n n

l p thành m t h đ ng cong ph thu c n tham s

N u h (1.2) tho mãn trong mi n D nào đó ∈E n+1 đi u ki n t n t i duy

nh t nghi m thì t i m i đi m c a D ch có m t và ch m t đ ng cong tích phân đi

qua

b) Nghi m riêng

Ng i ta g i nghi m riêng c a h (1.2) là nghi m mà có đ c b ng cách cho

1, 2, , n

C C C trong nghi m t ng quát các giá tr xác đ nh C1=C C10, 2 =C20, ,C n =C n0

c) Nghi m kì d : Nghi m y i = y x i i( ) =1 n đ c g i là nghi m kì d n u t i m i

đi m c a nó tính ch t duy nh t nghi m b phá v

§2 A H PH NG TRÌNH VI PHÂN V PTVP C P CAO

2.1 M t s ví d

dx y dt dy x dt