force motion control of constrained robots using sliding mode

Force/Motion ConTrol of Constrained Robots Using Sliding Mode Chun-Yi Su, Tin-Pui Leung, and Qi-Jie Zhou Tóm tắt : Một thuật toán điều khiển trượt được trình bày để bám một quỹ đạo và mộ

Force/Motion ConTrol of Constrained Robots Using Sliding Mode

Chun-Yi Su, Tin-Pui Leung, and Qi-Jie Zhou

Tóm tắt : Một thuật toán điều khiển trượt được trình bày để bám một quỹ đạo và một phản ứng cuối trong một mặt ràng buộc với lực ràng buộc quy đinh bằng cách sử dụng định lí của hệ thống biến cấu trúc Sự phát triển thuật toán là cơ sở cho một công thức mới của mô hình động lực học và sự mở rộng mặt phẳng tượt bao gồm có sai lệch lực ràng buộc Đề xuất bộ điều khiển trượt rõ ràng, đảm bảo sự xuất hiện của chế độ trượt trên giao điểm của các bề mặt Một ví dụ bằng số chi tiết được trình bày để minh họa cho phương pháp phát triển

I GIỚI THIỆU

Trong nhiều nghành ứng dụng của robot, robot

end-effector tiếp xúc với một bề mặt ràng buộc Một danh

sách dài các ứng dụng như vậy có thể được đưa ra, bao

gồm cả đường bao quanh sau đây, mài, nghiền và lắp ráp

Trong trường hợp này, lực ràng buộc do sự tiếp xúc với

các bề mặt ràng buộc đã được đưa vào xem xét Trong

đó, khi bề mặt ràng buộc được mô tả bởi một bề mặt trơn

đa dạng holonomic, các lực ràng buộc được ngầm định

nghĩa là các lực cần thiết để đáp ứng các ràng buộc [1] -

[3] Sự điều khiển của hệ thống như vậy, trái với điều

khiển chuyển động thuần túy tự do, được gọi là điều

khiển ràng buộc robot [1] Mục tiêu của điều khiển robot

ràng buộc là để xác định mômen xoắn đầu vào để đạt

được quỹ đạo bám trên bề mặt ràng buộc với các lực

lượng ràng buộc xác định

Một số bài báo đã được trình bày nhằm giải quyết các

vấn đề về điều khiển ràng buộc robot, ví dụ, điều khiển

tách phi tuyến [4], điều khiển thích nghi [3], [5], điều

khiển mô-men xoắn [l], và những cái khác [2] Chế độ

điều khiển trượt, như là một phương pháp điều khiển

mạnh, đã được áp dụng thành công để điều khiển chuyển

động của tay máy tự do robot [6] Tính năng chính của

chế độ điều khiển trượt là cho phép chế độ trượt xảy ra

trên một bề mặt chuyển đổi theo xác định, do đó hệ thống

được chỉ định bởi phương trình trượt và vẫn còn nhạy

cảm với một lớp của nhiễu và tham số biến [7] Tuy

nhiên, do sự phức tạp của vấn đề điều khiển của robot

ràng buộc, Phương pháp điều khiển bằng chế độ trượt đã

không được phát triển đầy đủ Gần đây, Young [8] đã đề

xuất một chương trình điều khiển chế độ trượt cho

chuyển động Robot ràng buộc, tuy nhiên, điều khiển lực

ràng buộc không có trong cách tiếp cận của anh ấy

Trong lưu ý này, một thuật toán điều khiển trượt để bám

được quỹ đạo của một end-effector trên bề mặt ràng buộc

với các lực ràng buộc xác định được đề xuất nghiêm ngặt,

ràng buộc robot không rườm rà Bằng cách giả thuyết

hiểu biết đầy đủ của các bề mặt ràng buộc, và nhận ra rằng mức độ tự do của thao tác Robot giảm trong khi end-effector bị ràng buộc, một mô hình động lực học mới phù hợp với chuyển động và điều khiển lực ràng buộc được chuyển hóa Sau đó, bằng cách khai thác các cấu trúc đặc biệt động lực học của nó, là thuộc tính cơ bản của động lực học thu được để tạo điều kiện thiết kế bộ điều khiển Cuối cùng, bằng cách mở rộng kích thước của mặt trượt để bao gồm cả các sai lệch lực ràng buộc, một thuật toán điều khiển chế độ trượt không gian khớp được thành lập, chỉ sử dụng các phép đo vị trí khớp, vận tốc và lực lượng ràng buộc

Lưu ý này được sắp xếp như sau: một mô hình động lực học mới của Robot ràng buộc xuất phát tại mục II; Phần III trình bày các đề xuất thuật toán điều khiển trượt dựa trên mô hình động lực học cơ sở Mục IV cung cấp ví dụ minh họa bằng cách sử dụng phương pháp tiếp cận đề xuất Tại Mục V, một số kết luận được trình bày

II Động lực học Robot ràng buộc

Phương trình động lực học trong không gian khớp:

( ) ̈ + ( , ̇ ) ̇ + ( ) = + (1)

Trong đó: ∈ là vector chỉ vị trí trong không gian khớp ∈ là vector momen khớp; ∈ là vector lực ràng buộc trong không gian khớp ( ) ma trận quán tính xác định dương cho mỗi ∈ ( , ̇ ) ̇ ∈ là vector momen li tâm và lực cororiolit ( ) ∈ là vector momen trọng trường

Hai thuộc tính cơ bản của hệ trên là:

1 Thuộc tính 1: Tồn tại một vector thông số thỏa mãn phương trình: (với Y là ma trận có thể xác định được) ( ) ̈ + ( , ̇ ) ̇ + ( ) = ( , ̇ , ̈ ) (2)

2 Thuộc tính 2 : Ma trận ̇ ( )− 2 ( , ̇ ) đối xứng lệch

Để ∈ biểu thị vector chỉ vị trí tổng quát của end-effector trong không gian Descartes Nếu những ràng buộc áp đặt được mô tả bởi một đa tạp trơn holonomic,

thì phương trình đại số cho ràng buộc có thể được viết

như sau:

Với ánh xạ : → khả vi hai lần

Giả sử rằng các vector p có thể được thể hiện trong

không gian khớp bằng mối quan hệ:

với : → là ánh xạ thuận nghịch và khả vi hai lần,

khi đó phương trình ràng buộc trong không gian khớp

được viết như sau :

ψ( )= ( ) = 0 (5)

Ma trận Jacobien :

( ) = ψ ( ) (6)

Mô hình động học của giới hạn bởi đường ống với

= {( , ̇ ): ψ( ) = 0; ( ) ̇ = 0}

Lực ràng buộc được cho bởi :

= ( ) (7) với là hệ số lagrange cho ràng buộc

Khi hệ có m ràng buộc thì sẽ mất đi m biến tự do, khi đó

chỉ còn lại = − biến tự do, tức bậc tự do của hệ là

= = − Chọn − biến cho n biến khớp

là tọa độ tổng quát mô tả các chuyển động ràng buộc của

các tay máy Các biến khớp còn lại được biểu thị bằng

Theo định lí hàm ẩn, thì phương trình ràng buộc (5) có

thể được viết dưới dạng

Vậy ta có thể viết gọn lại thành

=

Khi đó: ( ) = ( ) ⇒ ̇ = ( ) ̇

⇒ ̈ = ( ) ̈ + ̇ ( ) ̇

Do đó , phương trình động lực học (1) của robot, khi ràng

buộc với bề mặt ràng buộc, có thể được thể hiện lại như

sau :

( ) ( ) ̈ + ( , ̇ ) ̇ + ( )

= + ( ) (14) Với B1 được xác định bởi :

( , ̇ ) = ( ) ̇ ( ) + ( , ̇ )) ( )

Ghi chú: phương trình (14) là phù hợp với mục đích điều

khiển mà là cơ sở cho sự phát triển tiếp theo Điều này là

do các phương trình ràng buộc bình đẳng được gắn vào

phương trình động lực học, kết quả là một hệ thống phi

tuyến affine mà không ràng buộc Bằng cách khai thác các cấu trúc của phương trình (14), ba thuộc tính có thể thu được:

3 Thuộc tính 3: Phương trình chuyển động (14) vẫn là tuyến tính trong điều kiện của một tập hợp đã chọn phù hợp của các thông số đã chọn, tức là

( ) ( ) ̈ + ( , ̇ ) ̇ + ( )

= ( , ̇ , ̈ ) Thuộc tính này có thể dễ dàng được chứng minh từ tài liệu tham khảo [9] và [10]

4 Thuộc tính 4 : Xác định ma trận

với ̇( ) − 2 ( ) ( , ̇ ) là ma trận đối xứng lệch

Vì :

Từ thuộc tính 2 với ( ̇ − 2 ) là ma trận đối xứng lệch nên ta dễ dàng biết được ( ̇− 2 ) cũng là một ma trận đối xứng lệch

5 Thuộc tính 5 :

( ) ( ) = ( ) ( ) = 0 Thuộc tính này cũng có thể được chứng minh một cách đơn giản nhờ ( ) , bằng việc sử dụng ̇ = 0, và chú ý rằng là độc lập tuyến tính Thuộc tính trên là cơ bản

để thiết kế luật điều khiển trượt Force/Motion

III ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO ROBOT CÓ RÀNG BUỘC

Trong phần này, một vấn đề bám cơ bản cho robot có ràng buộc được xem xét Mục tiêu của điều khiển là đưa

ra được một quỹ đạo và lực ràng buộc hoặc hệ số mong muốn thỏa mãn các điều kiện ràng buộc ψ( )= 0 à = ( ) , để xác định một luật điều khiển trượt cho tất cả ( (0), ̇ (0) ∈ ) , tức là →

à → khi → ∞

Ta nên chú ý rằng, khi = ( ), thì yêu cầu duy nhất chỉ còn là tìm luật điều khiển trượt để thỏa mãn →

khi → ∞

Xác định:

Với là sai lệch bám, là sai lệch lực tích lũy,

là quỹ đạo tham chiếu, , là ma trận điều hướng

là một vector hằng số r chiều, có chứa các yếu tố chưa

biết trong thiết lập đã chọn phù hợp của các thông số

động tương đương, sau đó các thông tuyến tính động lực

học ( từ thuộc tính 3) dẫn đến

̈ + ̇ + = ( , ̇ , ̇ , ̈ )

Với ( , ̇ , ̇ , ̈ ) là ma trận nxr của hàm đã biết của

, ̇ , ̇ , ̈

Mặt trượt được xác định như sau:

Bộ điều khiển trượt được xác định như sau:

= ( , ̇ , ̇ , ̈ ) − ( )

− ( ) (20) Với được xác định trong (18), L được

xác định trong (11), và = [ , … ]

là hàm được thiết kế theo các biến cấu trúc như lí thuyết

[7] dưới đây

Dựa trên các mặt trượt (19), sử dụng (14), (18), (19), (20)

và sau một số tính toán ta thu được:

Theo như thuộc tính 5, công thức trên được biến đổi

thành:

− (21)

Để xác định thuật toán điều khiển, ta xác định hàm

Lyapulov như sau:

Đạo hàm hai vế của V theo thời gian và sử dụng thuộc

tính 4 ta được:

̇ =1

Chọn:

Với > | |, ∀ , ta được kết quả

Từ (22) và (25), hiển nhiên ||s1|| ít nhất hội tụ theo hàm

mũ tới không, tức là → 0, và → 0 khi → ∞ Cũng

với = ( ) , điều này cho thấy rằng →

nếu → , do đó chúng ta đề xuất lí thuyết sau đây

Lý thuyết: Xét hệ thống robot mô tả bởi (1), sử dụng luật điều khiển (20) và (24) Hệ thống vòng kín là ổn định tiệm cận toàn cục theo nghĩa là:

→ và → khi → ∞

Với bất kì ( (0), ̇ (0) ∈ ) Dưới đây là một số nhận xét đáng lưu ý:

Trong định lý, luật điều khiển có liên quan đến các tham

số bị chặn trong một cách đơn giản để các biến thể tham

số trong có thể được đưa vào tính dễ dàng

Khi luật điều khiển là không liên tục qua mặt phẳng trượt, một luật điều khiển như vậy sẽ dẫn đến điều khiển chattering Chattering là hiện tượng không mong muốn trong thực tế vì nó ảnh hưởng đến hoạt động điều khiển

và xa hơn nữa có thế gây ra kích thích các tần số động lực học cao đã bỏ qua trong quá trình mô hình hóa Điều này có thể được khắc phục bằng cách xấp xỉ các luật điều khiển liên tục bằng một bộ ĐK liên tục bên trong lớp biên [13] Để làm điều này, các (∙) (24) được thay thế bằng cách đặt (∙/ ) với là độ dày lớp biên Điều này dẫn đến nó bám đảm bảo chính xác trong một độ chính xác cho trước

IV VÍ DỤ MÔ PHỎNG

Một cơ cấu robot với 2 khớp được ràng buộc trong một đường tròn được đưa ta trong tài liệu [8], được sử dụng

để xác minh tính hợp lệ của các phương pháp điều khiển được nêu trong báo cáo này Các ma trận trong mô hình (1), trong trường hợp này được viết như sau:

+

( , ) = − ̇̇ − ( ̇ + ̇ )

0

Trong đó, = , là gia tốc trọng trường ; và có 3 thông số chưa biết được xác định như sau:

Ràng buộc là một đường tròn trong không gian làm việc với tâm trùng với trục quay của liên kết đầu tiên Hình 1

mô tả các liên kết Mặt ràng buộc được mô tả bằng phương trình sau:

( ) = + − = 0, = [ ] (26) Chuyển từ không gian làm việc sang không gian khớp được đưa ra bởi:

Phương trình ràng buộc trong không gian khớp là

Khi đó là một hằng số được xác định bởi

= cos − ( + )

2

∗ (29)

Ma trận Jacobien của (28) là:

( ) = −2 0 (30)

Do đó ma trận trong (11) được xác đinh bởi :

( ) = [1 0]

Mô hình chuyển động ràng buộc trong (14), khi liên kết

là đường tròn, có thể được thể hiện như sau :

0

+

∗+ cos ( + ∗) cos( + ∗)

Lực ràng buộc là :

= 0; = −2 ( ∗) (33) Mục tiêu điều khiển là xác định điều khiển phản hồi đề khớp q1 bám được theo quỹ đọa mong muốn và duy trì lực ràng buộc → , với và được giả thiết để phù hợp với các ràng buộc

Khi → nghĩa là → , do đó mô phỏng này,

và được chọn như sau:

= −90 + 52,5(1 − cos(1,26 ))

= 10 (35) Các giá trị đúng của các tham số : = 0,8; = 0,32 và = 0,4 Do đó, = 1; = = 0,3 và hai thông số = 30 ; = 1

Khi bám quỹ đạo trong một bề mặt giới hạn với lực ràng buộc được quan tâm, vị trí ban đầu và vận tốc của tay máy được chọn trên quỹ đạo mong muốn là:

(0) = −90; (0) = 80; ̇ (0) = ̇ (0) = 0

Lực ràng buộc ban đầu được giả định như sau: =

0; tức là = 0 Trong việc điều khiển giảm hiện tượng

chattering, các ranh giới được lựa chon như sau: =

= = 0,05

Kết quả của mô phỏng được ở hình 2-7 Hình 2 mô tả

quỹ đạo khớp mong muốn Hình 2 mô tả quỹ đạo thực tế

của khớp 1 với sai lệch bám tối đa là 0,06 rad, và hình 3

thể hiện hệ số lực Cuối cùng giá trị sai lêch tối đa là

0,1 Mặt trượt được thể hiện ở hình 5 và hình 6 + hình

7 thể hiện momen xoắn tại khớp tay máy Những kết quả

trên thể hiện rằng mục tiêu điều khiển đã thành công

V KẾT LUẬN

Thuật toán điều khiển trượt để bám quỹ đạo kết thúc hiệu

ứng trong một mặt trựợt ràng buộc holonomic với lực

ràng buộc xác địnhđược trình bày bằng cách sử dụng các

lí thuyết về hệ thống cấu trúc biến Những đóng góp lớn

của chú ý này nằm trong việc thành lập một mô hình

động lực học mới để mô tả chuyển động Robot có ràng

buộc, làm cho nó có thể tìm kiếm một luật điều khiển chế

độ trượt Bằng cách mở rộng kích thước của mặt trượt để

để bao gồm những lực ràng buộc, một công thức chế độ

điều khiển mặt trượt rõ ràng thu được đảm bảo sự xuất

hiện của chế độ trượt trên giao lộ của các bề mặt mà

không cần phải ổn định mỗi một cá nhân Một ví dụ đơn

giản về 2 liên kết tay máy và ràng buộc bởi vòng tròn đã

được sử dụng để minh họa cho phương pháp phát triển

trong lưu ý này, và kết quả mô phỏng là khá khả quan

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] N H McClamroch and D Wang, “Feadback

stabilization and tracking of constrained robots,” IEEE

Trans Automat Contr., vol 33, pp 419-426, May 1988

[2] J K Mills and A A Goldenberg, “Force and position

control of manipulators during constrained motion tasks,

“IEEE Trans Robot Automat., vol 5, pp 30-46, Feb

1989

[3] L Lui, Y Han, R Lingarkar, N A Sinha, and M A Elbestawi, “On adaptive force/motion control of constrained robots,” in Proc ZECON’89, 1989, p 433 [4] X Yun, “Dynamic state feedback control of constrained robot manipulator,’’ in Proc IEEE ConJ Decision Contr., 1988, p 433

[5] C Y Su, T P Leung, and Q J Zhou, “Adaptive control of robot manipulators under constrained motion,”

in Proc IEEE Conf Decision Contr., 1990, p 2650 [6] V I Utkin, “Discontinuous control system: state of the art in theory and application,” Preprint 10th ZFAC World Congress, 1987, vol 1, p 75

[7] V I Utkin, Sliding Modes and Their Applications Mir: Moscow, 1978

[8] K D Young, “Applications of sliding mode to constrained robot motion control,” in Proc Amer Contr Conf., 1988, p 912

[9] M W Spong and M Vidyasagar, Robot Dynamics and Control New York: 1989

[10] P Khosla and T Kanada, “Parameter estimation of robot dynamics,” in Proc IEEE Conf Decision Contr.,

1985

[11] D Koditschek, “Natural motion of robot arms,” in Proc IEEE Conf Decision Contr., 1985

[12] N H McClamroch and H.-P Huang, “Dynamics of

a closed chain manipulator,” in Proc Amer Contr Conf.,

1985, p 50

[13] J J E Slotine and S S Sastry, “Tracking control of nonlinear system using sliding surface, with application

to robot manipulators,” Znt J Contr., vol 48, pp,

465-492, 1983

Comments On “Foce/Motion Control of Constrained Robots Using Sling Mode”

M T Grable and M M Bridges

I LỜI GIỚI THIỆU

Ghi chú này giải quyết sai sót trong phân tích ổn định của điều khiển lực được trình bày ở [1] Ở [1], các tác giả đã cố gắng sử dụng đồng thời chế độ điều khiển trượt bám quỹ đạo và điều khiển lực cho cánh tay robot Họ cho rằng luật điều khiển của họ, cùng với các sai lệchlực ràng buộc trong định nghĩa của bề mặt trượt, gây ra sai lệch của ổn định tiệm cận Tuy nhiên, luật điều khiển lực riêng biệt phải được thực hiện xác định và phân tích sự ổn định riêng biệt để xác định trạng thái sai lệch của lực Tổng quan về các sai sót trong [1] bây giờ sẽ được đưa ra, với số phương trình được đề cập ở [1]

Các mặt trượt được định nghĩa là:

s e   e   e (19)

Với em là véctơ sai lệch vị trí, e f là véctơ sai lệch lực

tĩnh lũy, và 1

2

 là ma trận điều hướng

Công thức này được xuất phát từ định nghĩa điển hình

của một mặt trượt như một phương trình vi phân tuyến

tính trong một biến sai lệch bám[2] Phân tích sự ổn

định thực hiện trong [1] cho thấy s 0 Điều kiện

đó đã dẫn đến kết quả là cả hai e m 0và e  f 0

Thật không may, emvàe f không có quan hệ với nhau

về động học hay kiểu đại số để có thể kết luận phải

dùng tới giới hạn của chúng, và cụ thể là s 0

Sai lệch lực tích lũy được định nghĩa là:

   

0

t

e  f v  f v  (16)

Với f và fd tương ứng là lực ràng buộc thực tế và

đặt (mong muốn)

Yêu cầu được thực hiện ở [1] đó là

0

e   f  f Nó tương đương với

e  e  Điều này không thể được chứng

minh trừ khi có thêm thông tin về e f Ví dụ, nếu có

thể chỉ được ra rằng e f đều liên tục, hoặc là e f bị

chặn, sau đó sử dụng bổ đề Barbalat để có đượcc kết

quả mong muốn [2] Cho e f như định nghĩa, điều này

đòi hỏi phải thể hiện rằng f  f dđều liên tục, hoặc

f fd bị chặn Phân tích lực bám được đưa ra

trong [1] không cung cấp thông tin đó

Dưới đây là một số gợi ý để sửa đổi định nghĩa của mặt trượt và luật điều khiển được đưa ra trong [1], và phân tích điều khiển lực thay thế

Trước tiên chúng ta loại bỏ (16), định nghĩa của sai lệch lực tích lũy Kết quả là, từ quỹ đạo (17) bây giờ được đưa ra bởi:

q q  e (A)

Với là ma trận điều chỉnh không đổi Giữ nguyên phương trình (18) và mặt trượt (19) bây giờ được cho bởi:

Chúng ta tiếp tục giả định rằng mong muốn quỹ đạo 1

d

q và các đạo hàm của nó q1d và q1d bị chặn Xác định lại luật điều khiển (20) bởi:

uY q q q q   L q s J q  (C)

Với c là lực điều khiển xác định bởi

c d Ke

K là ma trận không đổi m m của điều khiển lực phản hồi

d

Đó là hệ số sai lệch lực, và  được định nghĩa như trong (24)

Thay thế (C) vào trong mô hình động lực học để triệt tiêu (14) và sử dụng tính chất 3, chúng ta có:

1

T

T

  

Phương trình có thể được viết lại như sau:

1

r r





 

Khi J không phải là duy nhất

Phân tích tính ổ định từ (20) đến (25) trong [1] để thấy

rằng s 0 Sử dụng công thức (B) ở trên và lý

thuyết hệ thống tuyến tính dễ dàng có e m 0và

0

f

e  Do đó s1, em và em bị chặn Sử dụng (15)

và (17) dễ dàng có được q q q q1,  1, 1r, 1r đều bị chặn hết

do đó tất cả tín hiệu (“signals”) vế bên phải của 21 đều

bị chặn và chúng ta có thể kết luận rằng s1 bị chặn Sử

dụng (B) và (15) cho phép chúng ta kết luận rằng q 1 bị

chặn vì vậy tất cả các tín hiệu (“signals”) bên phải của

(G) đều bị chặn, ta có thể viết lại (G):

 1 1 1 1 1

      (H)

Với 0 là hàm bị chặn Sử dụng (15) và (17) lần nữa,

có thể viết lại (H) như sau:

 1 1 1 1 1 1 , , , , ,

Với  là hàm bị chặn Thay thế vào lực điều khiển ở

(D) vào (I) thu được:

1

Với I là ma trận đơn vị Do đó, e và sai lệch lực

f  f d bị chặn và có thể điều chỉnh được bằng các

ma trận phản hồi đầu ra (“feedback gain”) K Kết quả

này để điều khiển lực tương tự kết quả được trình bày

trong [3] và [4]

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C Y Su, T P Leung, and Q J Zhou,

“Force/motion control of constrained robots using

sliding mode,” IEEE Trans Automat Cont., vol 37,

no 5, May 1992, pp 668-672

[2] J J E Slotine and W Li, Applied Nonlinear

Control Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991

[3] M T Grabbe, J J Carroll, D M Dawson, and Z

Qu, “Robust control of a robot manipulator during constrained and unconstrained motion,” IEEE Int Conf Robotics Automation, Nice, France, May 1992, pp

21462 15 1, [4] R Carelli and R Kelly, “An adaptive impedance/force controller for robot manipulators,” IEEE Trans Automat Cont., vol 36, no 8, Aug 1991,

pp, 967-971

Correspondence Sliding-Mode Motion/Force Control of Constrained Robots

Kuang-Yow Lian and Chia-Ru Lin

Tóm tắt–Một bộ điều khiển trượt được đề xuất để điều khiển đồng thời vị trí và lực cho robot tay máy có

ràng buộc với những tham số bất định Trên cơ sở bộ điều khiển đó, những quỹ đạo của hệ thống vòng kín

sẽ đạt được một mặt trượt trong thời gian hữu hạn Với điều kiện đó, sự hội tụ tiệm cận của sai số chuyển động và sai số lực có thể được bảo đảm thành công so với các nghiên cứu trước đấy

Thuật ngữ: Robot có ràng buộc, điều khiển chuyển động và lực, điều khiển trượt

I GIỚI THIỆU

Những thuận lợi của việc sử dụng điều khiển trượt bao

gồm đáp ứng nhanh, bền vững với vấn đề sự thay đổi

tham số [3], [6] Trong việc xem xét các thuận lợi của

điều khiển trượt, mặt trượt riêng biệt, xác định sai số

chuyển động và sai số lực được sử dụng trong [1],[5]

để xây dựng bộ điều khiển cho robot có ràng buộc

Trong các chương trình, sai số lực bám được cho thấy

là tốt nhất, to be arbitrarily small by using high gain

Để đơn giản hóa phương pháp thiết kế và chứng minh

sự ổn định, các tác giả trong [4] đã cố gắng sử dụng

điều khiển chuyển động và lực đồng thời cho một

roobot tay máy có ràng buộc Tuy nhiên có một vài lỗi

trong bài báo này được chỉ ra trong [1] Việc nghiên

cứu của chúng tôi là dành cho điều khiển chuyển động

và lực cho robot có ràng buộc Dưới đây là một mặt

trượt mới về sai số chuyển động và lực dược chỉ ra,

theo đó sự ổn định tiệm cạn của sai số chuyển động

bám và sai số lực bám có thể được bảo đảm Do đó, sai

số trong [4] có thể tránh được trong khi hiệu suất được

cải thiện Ngoài ra, việc thiết kế điều khiển và chứng

minh ổn định có thể thực hiện một các đơn giản

II MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC CÓ RÀNG BUỘC

Xét hệ thống robot n thanh liên kết cứng với nhứng

điều kiện ràng buộc Cho q  n là vecto tọa độ tổng

quát và h q  ( ) 0, trong đó h : n  n, biểu thị các

điều khiện ràng buộc Để thực hiện các nguồn gốc tiếp

theo, các gả định dưới đây liên quan đến phương trình

ràng buộc h q  ( ) 0 được thực hiện

Giả định 1:Tồn tại tập  n m và hàm     : n

; q   ( ) q sao cho h ([q ,q ])=1 2 h([ (  q2), q2)  0.

Hơn nữa, sự bị chặn của  / q2 trong không gian

làm việc được giả định

Phương trình động lực học của robot tay máy có ràng buộc có thể được chứng minh từ [2]:

M q q C q q q G q         f (1) Trong đó M q C q q G q ( ), ( , ), ( )  và  lần lượt là ma trận quán tính, ma trận hương tâm và Coriolis, vecto trọng lực và môn men đầu vào, f  n và biểu thị cho

sự ràng buộc về lực

Lực ràng buộc là cần thiết để luôn luôn chủ động điều khiên thích hợp A q ( ) là ma trận Jacobien của phương trình ràng buộc Suy ra f  A qT( )  , với   n là vecto lực ràng buộc Như trong [2], ta giả định A q ( )

có đủ hạng hàng (row rank) trong không gian làm việc Chú ý, ta luôn có h q  ( ) 0, suy ra h q q  ( )  0.Cho:

( )

2 [0 In m] n m n

Và

2 2

( ) 0

m

n m

I 



Xác định:

2

( )

T

n m

q

I 



Từ đó suy ra : q   Jq 2, cũng chú ý ràng A q Jq  ( ) 2 0

với mọi q2(n m ) Điều đó có nghĩa rằng

( )T ( )T 0

n m m

J q A q    và A q J q( ) ( 2)0m(n m )

với mọi q  n Theo đó, mô hình đông lực (1) có thể

viết dưới dạng:

2 ( 2) 2T 2 2T 2 ( 2) 2

Trong đó:

M  T MT C  T MT   CT

G  T G   T 

Một số thuộc tính về mô hình động lực giản lược được

bổ sung dưới đây:

Thuộc tính 1: Trong không gian làm việc , (C q q2, 2)

và M q  ( )2 bị chặn nếu

2

q và q2 bị chặn; C q q( 2, 2)



bị chăn nếu q q2, 2 và q 2 bị chăn

Thuộc tính 2: Ma trận M xác định dương Hơn nữa,

với một lựa chọn thích hợp của C , M  2 C là ma

trận đối xứng lệch

Thuộc tính 3: Phương trình của chuyển động được

tuyến tính hóa:

2T 2 2T 2 1( 2, 2, 2)

ME q CE qL GY q q q   (3)

Trong đó Y 1( ) là ma trận n Y  chứa các hàm có thể

xác định được, và  là vecto r chiều chứa các thông số

chưa biết hoặc bất định

Các tính chất này có thể dễ dàng chứng minh tren cơ

sở các thuộc tính được trình bày trong ví dụ,[4]

III ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO ROBOT CÓ

RÀNG BUỘC

Bộ điều khiển trượt được đề xuất trong phần này để

điều khiển hệ thống robot có ràng buộc, do dó sai số

chuyển động bám và lực bám phải tiến tới 0,

( ) d( ), ( ) d( ), ( ) d( )

q t  q t q t   q t   t   t khi t  

Trong đó q td( ) là quỹ đạo đạt và d( ) t đại diện cho

lực ràng buộc đặt Quỹ đạo đặt phải thỏa mãn các

phương trình q1d  q2d Xác định:

0

( ) ( ),

n m

t













Trong đó e e q p, f, r lần lượt là biểu thị sai số chuyển động, sai số lực và tâp của tín hiệu phụ Tham số điều khiển  đặc trưng bởi nguời thiết kế, là một ma trận xác định dương( n m  ) (  n m  ) Sai số ước lượng

n

s   :

sq E q E e e e (4)

Trong đó bao gồm sai số chuyển động cũng như sai số lực Sai số ước lượng biểu thị độ lệch từ mặt trượt

( ) 0

s t  Chú ý rằng chuyển động bám và lực bám có thể được bảo đảm một lần sai số ước lượng s có thể được điều khiển tiến về 0 Để chứng minh điều này,

mở rộng (4) bởi JT sinh ra từ e pep  J s T Khi

( ) 0

s t  thì e p ep 0 Hơn nữa, limte f 0có thể được bảo đảm từ (4) Một các đơn giản, e e e p,p, f

hội tụ về 0 khi t   cũng như s t  ( ) 0 Mối quan

hệ của sai số ước lượng với sai số động lực có thế được viết lại theo mẫu dưới đây:

2 2

2 2

T r

r

Theo thuộc tính 3, Mqr Cq r G có thể được đơn giản như Y q q q q ( ,2 2, r, r) với định nghĩa thích hợp của những hàm đo được của ma trận Y   Vì vậy, nếu cài đặt luật điều khiển  theo mẫu:

Trong đó: K diag K K 1, 2, ,K n,K l 0,

1, 2, , ;

l  n và  1, 2, ,rT là hàm chuyển đổi được thiết kế theo lý thuyết trượt [6] như dưới đây:

1

sgn , 1, 2, ,

n

j



Với i i thì sai sô động lực (5) có thể được viết lại như sau:

     

T T

 

(7)

Phân tích ổn đinh hoàn toàn của sai số hệ thống được

đưa ra sau khi chứng minh định lý dưới đây

Định lý:Xét hệ thông vòng kín được xác định bời bộ

điều khiển (6) và robot có ràng buộc,đó là (1) với ràng

buộc h q  ( ) 0.Cho rằng giả định 1 được thỏa mãn

Thì quỹ đạo hệ thống đạt tới mặt trượt s t  ( ) 0 trong

thời gian hưu hạn Ngoài ra, q t q t ( ), ( ), ( )   t lần lựơt

tiệm cận giá trị đặt q t q td( ), d( ), d( ) t khi t  

Chứng minh:

Xét hàm Lyapunov 1

2

T

V  s Ms Đạo hàm của V theo thời gian ta có:

1

1

2

n

l l l











(8)

Trong đó (7) và thuộc tính 2 được áp dụng trong đẳng thức thứ 2

Do đó, tính bị chặn của tất cả tín hiệu có thể được kết luận qua (4) và (8) Ngoài ra, quỹ đạo sẽ tiến tới mặt trượt s  0 trong thời gian hữu hạn Sau những lập luận đó, theo (4), có thể chỉ ra rằng e e e p,p, f hội tụ về

0 khi t   Ngoài ra, limtq = q1 1d do

1 ( 2)

q   q và q1d   ( q2d) ;   d khi t   Thực tế rằng s   L có nghĩa là e ep, f Ldo (4) Tương tự s   Lvà thuộc tính 1, s   L; như vậy

f

e L

 được giải quyết bởi (4) và (7) Từ kết quả đó,

, ;lim

e e  L e , nó kéo theo limtef 0

theo bổ đề Barbalat Viết lại e f như dưới đây:

0

t

e A    dA  

Trong đólimt0t d  d 0vì limte f 0

và A có full row rank Vậy nên,   d khi t  

Nhận xét 1: Có thể thay thế (6) với

 

T T

      Sau đó theo các lập luận tương tự, có thể chứng minh rằng s tiệm cận 0 theo cấp

số nhân, đảm bảo hơn nữaq  q qd,   q d,   d

khi t  

Nhận xét 2: Luật điều khiển không liên tục (6) sẽ cho

kết quả trong một hiện tượng chattering Điều đó có thể được khác phục bằng cách sử dụng các bộ lọc kĩ thuật giống như kỹ thuật chặn lớp hay thay thế hàm signum bằng hàm liên tục [3],[4]

IV MỘT VÍ DỤ MINH HỌA

Là một ví dụ để xác minh tính hợp lệ của bộ điều khiển

đề xuất, đây là một máy phun hai chiều Cartesian với ràng buộc là đường tròn được xem xét Một hệ thông được phác họa trên hình 1 Động lực học của robot ràng buộc là:

+

0

0

Với một phương trình ràng buộc vô hướng được cho bởi ℎ( ) = + − 1 = 0 Để cho đơn giản, ta đặt