adaptive feedback linearizing control of nonholonomic wheeled mobilerobots in presence of parametric and nonparametric uncertainties

Một bộ điều khiển thích nghi tinh vi tự hiểu chỉnh cho WMRs được đề xuất để xử lí với cả trường hợp không rõ ràng của mô hình robot có thông số và không có thông số.. Đầu tiên, luật điều

Adaptive feedback linearizing control of nonholonomic wheeled mobilerobots in

presence of parametric and nonparametric uncertainties

Khoshnam Shojaei, Alireza Mohammad Shahrin, Ahmadreza Tarakameh

Tóm tắt: Trong bài báo này, giải quyết vấn đề về điều khiển tự hiệu chỉnh quỹ đạo động học và tích hợp tính động

của bánh xe robot di động (WMRs) Một bộ điều khiển thích nghi tinh vi tự hiểu chỉnh cho WMRs được đề xuất để xử

lí với cả trường hợp không rõ ràng của mô hình robot có thông số và không có thông số Đầu tiên, luật điều khiển thích nghi phi tuyến được thiết kế trên nền tảng kĩ thuật phản hồi tuyến tính để loại bỏ tính tiệm cận không chính xác của các tham số trong thông số WMR Thiết kế điều khiển thích nghi có hồi đáp được chỉnh sửa bởi 2 phương pháp để tăng cường độ khả thi của bộ điều khiển: (1) sửa đổi rò rỉ được áp dụng để sửa đổi các hoạt động không thể thiếu của luật thích nghi và (2) sửa đổi thứ 2 là một bộ điều khiển thích nghi tinh vi, được bao gồm luật điều khiển tuyến tính trong vòng ngoài của bộ điều khiển thích nghi phản hồi tuyến tính Bộ điều khiển thích nghitinh vi được thiết kế như vậy mà nó ức tính hằng số chưa biết của một hàm ranh giới trên không xác định được bởi ma sát, nhiễu và phi mô hình động học Cuối cùng, bộ điều khiển được đề xuất đã phát triển cho một loại (2, 0) WMR và mô pỏng được thực hiện

để minh họa cho sự tinh vi và tự hiểu chính hiệu suất của bộ điều khiển

1 Giới thiệu

Vấn đề của điều khiển chuyển động của bánh xe rôbôt di

động (WMRs) được nghiên cứu rộng rãi trong nhiều

thập kỉ qua [1,4,5,8,10] Một vấn đề điều khiển chuyển

động quan trọng là theo dõi quỹ đạo có liên hệ với thiết

kế của một bộ điều khiển để bược WMR theo một quỹ

đạo hình học liên hệ với luật thời gian [7] Một sự đa

dạng thuật toán điều khiển cho vấn đề quan sát được

phát triển trong các tài liệu [14,15,17,18,20,21] Bởi vì

sự thách thức của mô hình phi tuyến, các kĩ thuật phản

hồi tuyến tính là một trong những phương pháp thiết kế

thành công để giải quyết các vấn đề trên Có rất nhiều

công trình đưa ra các bộ điều khiển bám trên nền tảng

phản hồi tuyến tính cho WMRs [2,3,6,11,14,16,27]

Campion và các cộng sự [27] đã khám phá ra năng lực

kiểm soát và phản hồi tuyến tính của hệ thống

nonholonomic Andrea – Novel và cộng sự [13] áp dụng

kĩ thuật tuyến tính để đạt được sự bám theo của rô bốt di

dộng Trong [16], một bộ điều khiển theo dõi được đề

xuất dựa trên phản hồi đầu vào, ra tuyến tính cho một hệ

thống WMR không chính xác Oriolo và cộng sự[14] đã

giới thiệu một thiết kế và thử nghiệm xác nhận thông tin

phản hồi tuyến tính năng động để giải quyết vấn đề bám

quỹ đạo Tuy nhiên hầu hết trong số họ bỏ qua động học

WMR trong thiết kế các bộ điều khiển, thứ được cho là

không cần thiết cho tốc độ cao của WMRs Ngoài ra các

công trình đề nghị bộ điềukhiển phản hồi tuyếntính cho

cả động học và các mô hình động của các WMRs chủ

yếu là áp dụng mô hình chính xác và bỏ qua các tham số

không chính xác của nó (ví dụ trong [2]) Vấn đề này có

thể là lí do gây ra việc không thể loại bỏ được các quá

trình phi tuyến trong mô hình WMR bởi phản hồi vào, ra

kĩ thuật tuyến tính May thay, chiến lược điều khiển thích nghi giới thiệu một giải pháp hợp lí để vượt qua bất ổn tham số Có rất nhiều công trình trọng điểm để giải quyết các vấn đề điều khiển bám của hệ phản hồi tuyến tính [9] Tuy nhiên các tác giả tin rằng phiên bản thích nghi của điều khiển phản hồi vào ra tuyến tính, như

là 1 kĩ thuật mạnh chưa đủ để chú ý giải quyết các quỹ đạo bám của WMRs Lưu ý rằng nhược điểm chính của phương án này là kiểm soát của ước lượng các ma trận nghịch đảo có thể sẽ không tồn tại khi mà các thông số ước lượng tiến về 0 Vì vậy đây có thể dẫn đến sự khác nhau của các lỗi bám Vấn đề này được giải quyết bằng

kĩ thuật, cái hạn chế các thông số ước lượng nằm trong dải giới hạn trước [23,26] Một vấn đề khác là các loại luật đáp ứng có thể bị mất ổn định trong sự hiện diện thiếu các thông số chính xác như nhiễu Kế hoạch điều khiển tinh vi có thể sửa đổi các luật điều khiển thích nghi để xử lí được các tham số không chính xác Khả năng sửa đổi có thể mang lại trạng thái thiết kế của sự thích nghi hoặc luật điều khiển

Đóng góp chính và mới lạ của những công trình hiện tại yên vị trong thiết kế một bộ điều khiển phản hồi vào

ra tuyến tính thích nghi để giải quyết các tích động học

và động lượng về vấn đề bám quỹ đạo của WMRs Bộ điều khiển được đề xuất: (1) sửa các lỗi hở trên các bản cập nhật tham số luật để tránh các thông số trôi dạt do tham số bất định, (2) một bộ điều khiển tinh vi với thích nghi với hàm biên trên để bù đắp cho các tham số bất định, cái mà được thúc đẩy từ các sách của Lewis và các cộng sự [19] trên cánh tay robot Do đó việc xây dựng các luật thích nghi ngoài ra cũng phát triển cho loại

WMR(2, 0) Hơn nữa trái ngược với các công trình

trước, các đề xuất của bộ điều khiển cung cấp một tín

hiệu điều khiển truyền động từ một quan điểm thực tế

Phần còn lại của bài báo được cấu trúc như sau Sau khi

tổng hợp được mô hình động học và động lượng của

WMRs trong Phần 2, bộ điều khiển bám được đề xuất

dựa trên thiết kế SPR – Lyapunov tiếp cận trong phần 3

Bộ điều khiển bám được thiết kế để chống lại tham số

bất định trong phần 4 Kết quả mô phỏng được trình bày

cho loại (2,0) WMR để minh họa sự tinh vi và minh họa

bám được đề xuất điều khiển trong phần 5 Cuối cùng,

kết luận và các công trình tương lai phát triển được giới

thiệu trong phần 6

2 Động lượng và mô hình động học của WMR

nonholonomic

Trong phần này, chúng tôi xem xét một công thức

toán học của robot di dộng có bánh xe với ràng buộc

nonholonomic là cái di chuyển trên bề mặt phẳng

Người ta cho rằng cấu hình của các WMR được mô tả

bởitọa độ tổng quát hóa, q tùy thuộc vào ràng buộc m

(m<n) như sau:

 , 

1 (q) q 0, 1,

n

kj q q

i



Tại đó nó bao gồm k ràng buộc holonomic và m-k

ràng buộc nonholonomic, cái mà được viết bởi công

thức

k

Tại A q k( )m n là ma trận toàn phương Cho rằng

1

( ) [ (q), n m(q)]T

S q  s s là ma trận toàn phương được

tạo nên từ trường vector trơn và tuyến tính độc lập,

( ) n, 1, , n m,

i

s q   i  trong không gian rỗng của

Ak(q) (xem ở [2] chi tiết),

( )S( ) 0

k

Theo (2) và (3), nó có thể được viết phương trình động

học của chuyển động của WMR trong giới hạn của

vector phương trình thời gian phụ ( ) n m

v t   được ( ) ( )

Tại v t( ) [ ( ), v t1 v n m ( )]t T Mô hình động học WMR

nhận được từ máy Lagrangian Đầu tiên, Lagrangian L là

cái khác giữa động lực và năng lượng tiềm năng của hệ

thống phải được tính toán Vì sự chuyển động phẳng,

năng lượng tiềm năng của WMR là 0 Do đó Lagrangian

chỉ bằng động năng:

1

1 2

i

i



Sau đó một phương trình Euler Lagrange kết hợp chặt trẽ các điều kiện ràng buộc vận tốc trong các mẫu sau:

G

F

  

Tại FG biểu thị lực phổ biến Sau khi tính (6) mô hình động học của WMR có thể được viết lại như sau:

 

M q q C q q q  B q F q B q  B q A q  (7)

Với M q1( ) n n là ma trận quán tính, M q q1( , )  n n

là ma trận với lực coriolit và lực hướng tâm

( ) 1 ( ) n m

 

1( ) n n m

trận chuyển đầu vào, (n m) 1

  

  là vector lực do cơ cấu bánh xe gây ra, (n m) 1

d

  chỉ rõ biên không biết nhiễu, và  m1

 vector lực ràng buộc

Thuộc tính 1 M1(q) là 1 ma trận cân bằng xác định rõ ở cận trên và dưới, m1 M q1( ) m2, với m1, m2 là hằng

số xác định vô hướng

Chú ý 1 Ma sát trong (7),   (n m) 1

F q    bao gồm nhớt và ma sát động trong liên đới với bánh xe robot như

F q  f q  f với f1 và f2 là hằng số chính xác Vecto nhiễu  d (n m ) 1 có thể bao gồm mô hình không động, ví dụ, động học của bánh xe hải li, biên độ năng lượng cho cơ cấu và động học của cảm biến như

1

d

  với    là cận trên của 1  d

Với cơ cấu truyền động trong (7), nó được giả định rằng bánh xe robot được điều khiển bởi n-m động cơ DC chổi than với cực từ Hình 1 cho thấy hệ thống đơn giản hóa

Phương trình điện áp phần ứng được viết như sau:

a

di

    (8)

Khi Kb là hằng số EMF Các thông số La, Ra biểu thị cảm và trở kháng của mạch phần ứng, tương ứng Bằng cách bỏ qua các điện cảm phần ứng, và xem xét mối quan hệ giữa mô men xoắn và dòng điện phần ứng (tức

M K i  a

  ) và mối quan hệ giữa mô men và vận tốc trước và sau chu kì ( ( n  M M n  , mô men ) truyền với bánh xe WMR bởi cơ cấu được đưa ra bởi

1 a 2

Hình 1: Hệ thống lái của mỗi bánh xe

Tại K1 = (nK /Ra), K2 = mKbK1, n = nw/nM là tỉ lệ

truyền và K hằng số mô men động cơ Công thức (9) có

thể viết lại như sau:

= − (10)

Khi mà (n m) (n m)

 là ma trận truyền với vận tốc

bánh xe là vector vận tốc Cộng (10) với (7) được

 

d T

M q q C q q q B q F q B q





(11)

Từ thiết kế bộ điều khiển đề xuất, không gian trạng thái

đưa ra có thể được bắt nguồn bằng cách lấy thời gian

phát sinh của mo hình động học (4)

qS q v S q v (12)

Tiếp theo thay (4) và (12) vào (11) và tăng kết quả ST

xem lại (3) ta đưa ra

1 ( ) 1( ) v(t) F(q) d 1 1 a

M v t C q    K B u (13)

Với

, ( )

T





(14)

Mô hình động học (4) và phương trình động lực học đưa

bởi (13) có thể tích phân được bằng sự diện tả không

gian trạng thái trong dạng sau đây:

̇ = ̇

0

+ − ( ( ) + ̅ ) 0 Với ∈ là vector trạng thái Việc diễn tả này cho phép chúng ta áp dụng lý thuyết điều khiển hình học khác nhau để giải quyết vấn đề bám quỹ đạo

Thuộc tính 2: ( ) là một ma trận đối xứng và xác định dương, bị chặn trên và dưới, tức là ≤

| ( )| ≤ , với à là các hằng số dương

Chú ý 2 : Trong mô hình động lực học, nó được giả thiết

rằng động lực học của bánh xe nhỏ không tính đến để giảm bớt độ phức tạp của mô hình Tuy nhiên, giả thiết này áp đặt một vài các tham số bất đinh của hệ thống WMR

Chú ý 3: Trong bài báo này, nó được giả thiết rẳng các

thông số bất định là do đo không chính xác của thông số WMR như là khối lượng, momen quán tính và thông số các thiết bị chấp hành Hơn nữa, một vài tham số có thể

có thời gian khác nhau Ví dụ, khối lượng và momen quán tính có thể thay đổi phụ thuộc vào tải hoặc không tải của một số đối tượng trên khung gầm của WMR Các phi tham số bd có thể do việc mô hình hóa động lực học của hệ thống gây ra như là bánh xe nhỏ của WMR, hệ thống máy không lí tưởng như là khe hở và độ nhớt và các lực ma sát giữa các bánh xe robot và sự trượt của bánh xe,…Tuy nhiên, các nhiễu động học [30] vì sự trượt của bánh xe không được xét đến như các phi tham

số bất định trong thiết kế bộ điều khiển

3 Thiết kế bộ điều khiển

Một luật điều khiển bám quỹ đạo có thể được thiết kế trên cơ sở một kĩ thuật tuyến tính hóa thích nghi phản hồi cho hệ thống WMR như đưa trong [15] Hệ thống được trình bày trong (15) có thể được tóm tắt như mô hình phi tuyến affline MIMO sau đây:

̈ = ( ) + ( , ) + ( , ) + ( , ) (16) Với ∈ và ( ), ( , ), ( , ) à ( , ) là các

trường vector trơn trên ớ (0, ) ≠ 0

Chú ý 4: Cơ sở nghiên cứu của động lực học WMR thể hiện trong (15), kết quả dưới đây có thể thể được tóm tắt:

1 Hệ thống có thể điều khiển được và nó ổn đinh tại điểm = 0 có thể làm od Lyapunov, nhưng không thể làm ổng định tiệm cận bởi một thông tin phản hồi trạng thái trơn [24]

2 Động lực học quán tính của WMR là ổn định, khi robot di động di chuyển thẳng nhưng nó không ổn định khi nó di chuyển ngược lại [25]

3 Nếu ít nhất một ràng buộc là nonholonomic , nó

được chứng minh rằng hệ thống WMR không có

trạng thái vào tuyến tính Nhưng nếu chúng ta

chọn một tập các phương trình đầu ra, nó có thể

được đầu vào- đầu ra tuyến tính [2,12]

4 Các hệ thống phụ phản hồi con tuyến tính của hệ

thống (15) có kích thước 2(n-m) và mức độ quan

hệ của hệ thống với mỗi đầu ra là 2 [27]

Các phương trình đầu ra là hàm của các biến trạng thái

vị trí q Vì số bậc tự do của hệ thống WMR là n-m,

chúng ta có n-m phương trình vị trí đầu ra độc lập

= ℎ( ) = [ℎ ( ), … ℎ ( )] (17)

Định nghĩa 1: Đưa một quỹ đạo mẫu trơn bị chặn

( ) = ℎ( ( )), được sinh ra bởi một robot di động

mẫu, và giả thiết là đáp ứng các ràng buộc về tốc độ

( ) = 0, khi đó động học khả tích và vấn đề điều

khiển bám động lực học là để thiết kế một bộ điều khiển

phản hồi cho hệ thống 915) và (17) như là nó được thỏa

mãn

lim

→∞( ( ) − ( )) = 0 (18)

Phương pháp tiếp cận cơ bản để có được mối quan hệ

vào-ra tuyến tính là liên tục phân biệt các kết quả đầu ra

để chúng có quan hệ bới đầu vào một cách rõ ràng Sau

khi đạo hàm, người ta thu được:

= 1,2, … − (19)

mà nó không có liên quan đến đầu vào thiết bị truyền

động Bằng cách đạo hàm một lần nữa, được

+ ℎ (20)

Rõ ràng rằng ℎ ≠ 0 Sau một số đơn giản hóa,

chúng ta có thể viết lại (20) cho toàn hệ thống như sau:

Với ℎ( ) ≔ ( ) được định nghĩa là ma trận tách

( ) =

ℎ … … … : :

…

ℎ : : ℎ

Giả thiết điều kiện ( ) ≠ 0 được thỏa mãn, hệ thống (16) là tuyến tính vào-ra Các thông tin phản hồi phi tuyến sau:

Tuyến tính và tách được hệ thống WMR vào n-m đôi một tích hợp như sau:

⎣

⎢

⎢

⎢

⎡ ̈̈ : :

⎥

⎥

⎥

⎤

=

⎣

⎢

⎢

⎢

⎡ : :

⎦

⎥

⎥

⎥

⎤ +

⎣

⎢

⎢

⎢

ℎ : :

ℎ ⎦⎥

⎥

⎥

⎤ (24)

Với , = 1,2, , − là đầu vào mới Bây giờ, giả thiết rằng có p tham số bất định trong mô hình WMR và không có phi tham số bất định nào, tức là ℎ( ) = 0 Định lí 1 được trình bày để giải quyết các động học khả tích và vấn đề điều khiển bám động lực học của WMRs trong sự có mặt của các tham số bất định trên bổ đề và giả thiết sau đây :

Giả thiết 1 : đo được tất cả các trạng thái, tức là

= [ , ] là các biến thời gian thực

Giả thiết 2 : Các vận tốc ảo, tức là ( ) = [ ( ), … ( )] bị chặn với mọi > 0

Bổ đề 1 : Cho một hàm khả vi ( ): → ,

ế ( ) ∈ và ̇( ) ∈ ∞, khi đó ( ) có xu hướng tiến về 0 khi → ∞, khi ∞ biểu thị một tập hợp các hàm

bị chặn và biểu thị các tập hợp các hàm khả tích vuông [28]

Định lí 1 : Với điều kiện các quỹ đạo mẫu ( ) được lựa chọn bị chặn với mọi t>0, và theo giải thiết 1 và 2,

bộ điều khiển thích nghi bám dưới đây đảm bảo rằng tất

cả các tín hiệu trọng hệ thống vòng kín là bị chặn và sai lệch bám ( )= ( ) − ( ) hội tụ về 0 khi → ∞

= ̈ + ( ̇ − ̇ ) + ( − )

̇ = Γ (25) Trong đó, ∈ ( ) là ma trận hồi quy, ∈

là một vector của bộ lọc tín hiệu sai lệch và

Γ∈ là một ma trận đối xứng xác định dương như đạt được thích nghi ∈ ( ) ( ) và ∈ ( ) ( ) là ma trận đường chéo, biểu thị đạo hàm

và tỉ lệ đạt được của luật điều khiển tuyến tính cho toàn

hệ thống, tương ứng

Chứng minh : Theo như nguyên lí chắc chắn tương

đương, chúng ta cần phải thay thế ( ) à ℎ( ) bằng những ước lượng của chúng trong luật điều khiển tách [23]

Với

Bằng cách thế (26) và (21), chúng ta được :

ℎ (28)

Sau một vài bước biến đổi, công thức (28) có thể dễ

dàng được viết dưới dạng sau :

(29)

Khi

( ) = ( ) − ( ) (30)

Khi đó, một cách dễ dàng có thể lấy được các tham số

mô hình sau đây từ (29) »

̈ = + (31)

Với = , … , là một vector của sai lệch ước

lượng tham số và ma trận ∈ ( ) là ma trận hồi

quy, mà được tạo thành tử hàm thời gian đã biết với giả

thiết là đều bị chặn Bây giờ, luật điều khiển thích nghi

có thể được xây dựng bằng phương pháp thiết kế

SPR-Lyapunov cái mà được thúc đẩy từ Sastry và Bodson

[22] và Loannou [23] và công việc của Craig [26] Giả

sử rằng đầu vào điều khiển bên ngoài cho hệ thống

con thứ của (31) được chọn để đầu ra thứ j, ( ), bám

theo đầu ra mong muốn, ( ) trong vòng ngoài

= 1,2, , − (32) Điều này đưa ra phương trình sai lệch sau :

Với = , … , là ma trận hồi quy hàng thứ j

Với mục đích thích nghi, người ta có thể sử dụng bộ lọc

tín hiệu sai lệch cho đầu ra thứ j sau đây :

= ̇ + (34)

Vì ̇ = ̇ − ̇ được biết như một hàm của các trạng

thái được đo bằng cách xem xét (19), nó rõ ràng rằng

là có sẵn Tham số được chọn sao cho hàm truyền

dưới đây là thực sự thực

+ + (35) Điều này có nghĩa là ( ) được phân tích trong mặt

phẳng phải đóng một nửa và ( ) > 0 Theo đó,

bằng bổ đề thực dương [23], tồn tại các ma trận xác định

dương à như sau :

Với các ma trận , à được xác định bởi sự thực

hiện tối thiểu không gian trạng thái của (33) và (34) trong dạng sau :

̇ = + , = (37) Với = , ̇ là biến trạng thái và

= −0 −1 ; = 0

1 ; = 1 (38) Như một kết quả, phương trình sai lệch toàn hệ thống có thể được viết như sau :

là khối ma trận đường chéo

Và = [ , , … , ] Các phương trình Lyapunov (36) cũng được viết cho toàn hệ thống dưới đây :

Trong đó,

Bây giờ, ta có thể xác định hàm Lyapunov sau để thu được luật điều khiển thích nghi :

Đạo hàm theo thời gian phương trình trên và áp dụng (39) và (41), chúng ta có thể viết :

Ta có thể chọn

̇ = −Γ (45) đảm bảo rằng đạo hàm của hàm Lyapunov là xác định

âm Vì là mooth tham số hằng, khi đó ̇ = − ̇ và luật điều khiển trong (25) là dễ dàng có được Như một kết quả, chúng ta có :

Điều này có nghĩa là ∈ và nhờ vào lí thuyết Lyapunov, chúng ta có , ∈ ∞ Do đó, = ∈

à ∈ ∞ Bằng cách xét luật thích nghi, chúng ta

có ̇ ≤ |Γ| | | | | mà cùng với ∈

và ∈ ∞ nghĩa là ̇ ∈ Vì , ∈ ∞, khi đó

̇ = + ∈ ∞ và ̇ = ̇ ∈ ∞ Cuối cùng, vì , ̇ ∈ ∞ à ∈ , bằng bổ đề 1, chúng ta kết luận rằng → 0 ℎ → ∞ , suy ra ̇ → 0 khi → ∞ Kết

quả này cho thấy các sau lệch bám và ̇ là ổn định

tiệm cận Tuy nhiên, từ phân tích này, chúng ta chỉ kết

luận rằng tham số sai lệch ước lượng còn lại bị chặn

Chú ý 5 : Chú ý rằng nếu ∉ ∞, một đề án thích nghi

tương tự có thể được lấy bằng cách sử dụng cá kĩ thuật

thông thường để áp dụng với các ma trận hồi quy không

bị chặn

Chú ý 6 : Vì nó là tiêu chuẩn trong các tài liệu, để các

tham số sai lệch hội tụ về 0 theo hàm mũ, điều kiện (PE)

sau đó phải được thỏa mãn với bất cứ khoảng thời gian

của độ dài

≤ ( ) ( ) ≤ (47)

Trong đó, là mức kích thích và > 0 là một tham số

hằng

Chú ý 7 : Yếu tố quyết định của ma trận tách trong luật

điều khiển trong (25) có thể bao gồm một vài các tham

số nhận dạng Do đó, chặn trước trên các tham số là đủ

để đảm bảo không có các điểm kì dị trong ma trận tách

Đó là công việc của Sastry [9], một vài kĩ thuật có trong

tài liệu cho mục đích này [23] Chú ý này và các giả

thiết 1 và 2 ám chỉ ∈ ∞

4 Hiệu chỉnh tính bền vững

Trong thực tế, mô hình WMR cũng chịu những phi tham

số bất định được mô tả trong chú ý 3 Do đó, chúng ta

giả sử rằng ℎ( ) ≠ 0 trong (21) Từ (26) đến (31),

ta có thể viết lại (31) như sau:

̈ = + + (48)

Với ℎ( ) biểu diễn ánh xạ vào-ra của bất định

( , ) trong hệ thống Khi đó, bằng cách xét (32)-(39),

phương trình sai lệch của toàn hệ thống có thể được viết

lại như sau:

Bằng cách lấy vi phân (43) và thay thế (49) trong kết

quả, chúng ta có

+ 2 (50)

Để đạt được tính bền vững với bất đinh , sự hiệu chỉnh

sau đây có thể được áp dụng cho bộ điều khiển được đề

xuất

4.1 Sự hiệu chỉnh luật thích nghi

Sự điều chỉnh này dường như là cần thiết để tránh các

tham số trôi dạt vì bất định Định lí sau đây được trình

bày để tăng tính bền vững của luật thích nghi trong (25)

Định lí 2 Luật thích nghi sau trong bộ điều khiển được

đề xuất của định lí 1 bảo đảm rằng sai lệch bám và các

tham số sai lệch ước lượng cuối cùng đều bị chặn

̇ = − ̇ = Γ − Γ∑ (51)

Chứng minh: Sau khi thế từ (51) và (50) và sử dụng

= − , ta được

Xết những giá trị đơn nhỏ nhất của ma trận à ∑, tức

dụng | | ≤ ̅, chúng ta có:

+ 2 ̅ | | (53) Xết rằng

| | = 1

1

−1 2

1

− | | (54)

Ta có thể viết

| | ≤ 1

1

2 | | (55) Với ∈ Chúng ta cũng có thể viết

− | | + 2 ̅ | | ≤ − | | + 2 ̅ | | | |

≤ −1

−1

+ 2 | | ̅

≤ −1

2

| | ̅ (56) Dựa vào bất đẳng thức (55) và (56) có thể giúp viết (53) như sau :

+ 2 ∑

1

1

+ 2 | | ̅

≤ −1

2 + ∑ | | + 2 | | ̅ (57)

Ta xác định các thông số sau :

=1

2 > 0, = 2 ∑ 1 −

1

2 > 0 à

= ∑ | | + 2 | | ̅ (58) Bất phương trình (57) có thể được viết lại như sau :

̇ , ≤ − | | − + (59)

Mặt khác, hàm Lyapunov trong (43) có thể được được

quy đinh như :

Từ đó suy ra :

= min

Phương trình (59) trở thành

 ,   , 

Sau khi giải bất đẳng thức (62), ta có

   0 kt 1 kt

k



Sử dụng (43) viết lại:

min

V t  P X ,    1 2

min

Lưu ý (63), V bị chặn trên, cùng với (64) thu được:

 

2

min

V

X

P



2

1 min

|||| V





Từ  bị chặn, phương trình (62) X và  đều bị chặn và

bền vững của luật thích nghi là đạt được so với sự bất

định  Kết quả này cũng cho thấy rằng các sai lệch

bám e và j e , j = 1,2,…,n-m, cuối cùng đều bị chặn j

Nhận xét 8 Việc sửa đổi trình bày trên luật thích nghi

(51) được gọi là điều chỉnh sigma, được giới thiệu bởi

Ioannou và Sun [23] Hạn chế chính của điều chỉnh này

là kích thước của cuối cùng các ràng buộcsai lệch bám

phụ thuộc vào nhiễu bên ngoài và nó không thể được tự

do điều chỉnh các thông số điều chỉnh

4.2 Sự thay đổi của luật điều khiển

Luật điều khiển tuyến tính trong vòng lặp bên ngoài của

thông tin phản hồi điều khiển tuyến tính, i.e, , có thể

được tính bền vững bù cho bất định  như sau Có thể

viết (48):

W

R

y  

Với  R v R và v là giới hạn điều khiển vững chắc R

được đề xuất ở đây Một lần nữa, bằng cách xem xét

(32) – (39) và phương trình (66) Toàn bộ hệ phương

trình sai lệch được viết lại như sau:

X AXB W v

1

Để thiết lập v ta giả định R  q v,  và q v, là hàm bị chặn trên Từ (15) và (19) ta có:

      1   

1

L L h x  J q S q M F q 

Với   T1 , T2 , , T   T

J q  J q J q J  q  là ma trận Jacobian được tạo thành từ các ma trận Jacobian liên quan đến kết quả đầu ra Bằng cách xem xét các thuộc tín WMR đã được đề cập và Ghi chú 1, ta có thể kết luận rằng:

(69)

Do đó, hàm bao quanh được viết như sau:

( , )q v v

   được định nghĩa trong tham số hình thức, Y  với

1

Y v , 1 2T (70)

Và  được định nghĩa trong tham số hình thức là vectơ của các hằng số chưa biết của hàm bao quanh

Sau đó, điều khiển vững chắc v được đề xuất như sau: R

2 1 1

ˆ 2 ˆ

R

E v



 

Với  t  0 f t là hàm thời gian thực dương, thỏa mãn điều kiện

0

0

f

t s dsC    t

0

tt [29] Có một lựa chọn là:

( )t k  ( ), (0)t 0,

Với k là một hằng số vô hướng điều khiển dương và

ˆ Y ˆ

  ước lượng hàm bao quanh Để đạt được ˆ, luật thích nghi được định nghĩa là:

1

Định lý sau đây được trình bày nhằm tăng sự bền vững của các quỹ đạo điều khiển thích nghi bám được đề xuất trong định lý 1 đối với phi tham số bất định

Định lý 3 Theo giả định 1 và 3, các luật điều khiển sau

đây đảm bảo sự ổn định tiệm cận các sai lệch bám (e và

e ) trong vòng lặp bên ngoài của bộ điều khiển phản hồi

tuyến tính được nói đến trong định lý 1

        (74)

Với v là luật điều khiển thích nghi bền vững được xác R

định bởi (71) – (73)

Chứng minh: chúng ta hãy xem xét các hàm Lyapunov

V X    V X     k 

Với    ˆ và V X , được định nghĩa trong (43) 

Do sự khác biệt (75) và áp dụng (67) và (45), ta có

2

R T

k 

   





Sử dụng (72), giới hạn trên của  và xét đến Y  và

1

T

  ,

R

V X      X Q  v E  Y  E  Y  E 

(77) Thế vào (71), ta có

2

1 1 1

1

ˆ 4

ˆ 2

T



  





1

1 1

ˆ 2

ˆ 2 X+

ˆ 2

T

X Q





(78)

Và do đó

1

1

ˆ 2

ˆ 2







Kể từ số hạng cuối cùng luôn nhỏ hơn 0, ta có

1

V X , , ,     X Q T X (80)

Điều này có nghĩa rằng X,L và một lập luận tương

tự như Định lý 1 chứng minh rằng sai lệch bám ổn định

tiệm cận

Nhận xét 9 Khi  t được chọn như vậy mà nó không

có xu hướng không bị giới hạn, một luật thích nghi điều chỉnh sigma cho các tham số ược lượng ˆ trong (73) co thể cần thiết để nâng cao robustness Kết quả là, các boundedness cuối cùng đồng nhất các sai lệch bám có thể đạt được Người đọc quan tâm xem [29] để biết thêm chi tiết

5 Một ví dụ thiết kế

5.1 Áp dụng loại (2, 0) WMR

Cơ cấu của loại (2, 0) WMR được thể hiện ở trong hình

2 Các WMR có hai bánh xe cố định thường gắn đồng trục và một bánh xe nhỏ để duy trì trạng thái cân bằng của robot Trọng tâm của robot có tọa độ P C x C,y C Điểm P0x y0, 0 là gốc của khung tọa độ địa phương được gắn vào WMR và cách P một khoảng d Điểm C

P  x y là một điểm tham chiếu ảo trên trục x của

khung tọa độ địa phương ở khoảng cách L (về phía trước) của P Tham số 2b là khoảng cách giữa 2 bánh C

xe cố định Bán kính mỗi bánh xe được ký hiệu là r

Hình 2: Cấu hình của bánh xe robot di động kiểu (2,0)

Nếu tọa độ vector tổng quát được lựa chọn là

 0, 0, T

q x y  , một vận tốc ràng buộc thu được dưới dạng y c0 osx0sin0 Do đó, ta định nghĩa giả vận tốc như sau: v t( )v t( ), ( ) t T đó là vận tốc dài và vận tốc góc của WMR

Theo các ký hiệu được giới thiệu trước đây, các ma trận động học và động lực học được thu được dưới đây:

 

c

S q





m

M   

,

2 2

2 2

2

2

C C

K

m d r

C

b K

m d

r













và

1 1

b

X

b

w

II  I m d  m b và 1

T

B X Tham số m là khối lượng nền này mà không C

có bánh xe và các roto của động cơ DC m biểu thi w

khối lượng của mỗi bánh xe với rôt của động cơ I biểu C

thị momen quán tính ko có bánh xe và các roto của động

cơ về một trục thẳng thông qua P và C I biểu thị momen m

quán tính của mỗi bánh xe và roto động cơ về đường

kính bánh xe

Tham số khối lượng (m), momen quán tính (I), bán kính

bánh xe (r), khoảng cách giữa 2 bánh xe (2b) và các

thông số thiết bị truyền động (K và 1 K ) được cho là 2

bất ổn sau đó, bằng cách thay thế (81) vào (14) và (15),

và xác định các thông số bất ổn mới:

2

2

r

K

m

  , 2 m d C

m

  , 3 m d C

I

  ,

2

2

2b K

Ir

5

K mr

6

K b Ir

 

Ta có  

0

v

S

f x    

 

0 ,

,

q x

Q x





và

 

0 ,

g x

G





(83)

2

v

Q x

v

  



   





(84)

Các biến đầu ra sau đây đượ chọn để bám theo một quỹ

đạo mong muốn dựa trên phương pháp điều khiển

look-head n m 2

,

os , sin

T

T

(85)

Sau khi tính toán 2

( )

f

L h x , L L h x qf ( ) và D x D( )ˆ 1 trong

(29) nhận được

   

   

1 2

2

( )

h f

h

J q S q v S q v q

L h x

J q S q v S q v q







(86)

1

ˆ ( )

ˆ ˆ os sin ˆ sin ˆ cos

D x D

c

           

           







2

2

( )

q f

L L h x

          

          



Ma trận hồi quy trong (31) thu được dưới dạng:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

W

(89)

Với

11 2 12 13 14

21 2 22 23 24

cos cos sin sin

sin , sin os os

r

r

r r

r

r

r

r r

r

w

w w

w









 

 

 



 

 



 

25 ˆ5 1sin cos 2sin

26 ˆ6 1sin cos 2cos

(90) Với

 

1 1 1 11 1ˆ 12ˆ2 13 3ˆ 14ˆ4

J S S w w w w q



2 2 2 21 1ˆ 22ˆ2 23 3ˆ 44ˆ4

J S S w w w w q

Sơ đồ khối của bộ điều khiển phản hồi tuyến tính thích nghi được thể hiện ở hình 3

5.2 Kết quả mô phỏng

Trong phần này, một số mô phỏng trên máy tính đã được thực hiện để cho thấy việc thực hiện bám và bền vững

của các bộ điều khiển tham số bất định và phi tham số

Các thông số WMR được chọn để phù hợp với thế giới

thực của robot di chuyển, và nhiễu ồn trắng Gauss cũng

được thêm vào chế độ để mô phỏng hệ định vị Tất cả

các mô phỏng được thực hiện dựa trên xấp xỉ Euler với

bước nhảy thời gian là 20 ms Thông số vật lý của WMR

và thông số điều khiển được liệt kê như sau: r = 0.15 m,

b = 0.75 m, d = 0.3 m, L = 0.1 m, ckg, m  kg, w 1 0.0025

m

I  kgm2, I  C 15.625kgm2, thời gian trích mẫu 0.02 s

dt  K17.2 và K 2 2.59 Như vậy, giá trị thực của tham số mới trong (82) được tính

6.06, 0.284, 0.54, 6.48, 1.26, 1.8T

chuyển hướng mịn, một hệ thống tới hạn tắt dần được

Hình 3: Sơ đồ khối của bộ điều khiển đề xuất

Hình 4: Quỹ đạo WMRs của bộ điều khiển thích nghi (đường liền nét đậm) và bộ điều khiển không thích nghi (đường

nét chấm đứt) có sự có mặt của các tham số bất định chọn bằng đạt: 1j2 2j với 2j trong bộ điều 1

khiển vi phân tỷ lệ (PD) (32) Cùng với  j2j/1j

cấp cho SPR cho hàm truyền (35) Hơn nữa, khoảng

cách look-head L phải được chọn thích hợp Từ tham số

L trong định thức của ma trận tách, giá trị nhỏ của L có

thể dẫn đến tín hiệu điều khiển lớn, Giá trị lớn của L cũng có thể dẫ đến hiệu suất bám kém

Trong mô phỏng đầu tiên, bộ điều khiển bám thích nghi được thử chỉ cho các thông số bất định Giả định rằng không biết các thông số WMR Đối với mục đích mô phỏng, một quỹ đạo mịn mong muốn được chọn như sau: