design and implementation of an inverse dynamics controller for uncertain nonholonomic robotic systems

Một bộ điều khiển bám được đề xuất để nó kết hợp kỹ thuật kiếm soát động lực học ngược và một bộ điều khiển PID thích nghi mạnh mẽ với chiến lược đảm bảo tính bất định cho cả tham số và

Design and Implementation of an Inverse Dynamics Controller for Uncertain

Nonholonomic Robotic Systems

Khoshnam Shojaei-Alireza Mohammad Shahri-Behzad Tabibian

Tóm tắt: Bài báo này đề tới vấn đề điều khiển bám quĩ đạo của hệ thống Robot nonholonomic với sự có mặt không

chắc chắn của mô hình Một bộ điều khiển bám được đề xuất để nó kết hợp kỹ thuật kiếm soát động lực học ngược và một bộ điều khiển PID thích nghi mạnh mẽ với chiến lược đảm bảo tính bất định cho cả tham số và phi tham số Lý thuyết SPR-Lyapunov phân tích ổn định chứng minh rằng lỗi bám quĩ đạo được thống nhất cuối cùng cũng bị chặn (UUB) và theo cấp số nhân hội tụ về một hình cầu nhỏ có nguồn gốc Mục đích của điều khiển bám động lực học ngược được áp dụng thành công cho Robot di động có bánh xe nonholonomic (WMR) và kết quả thử nghiệm đều có phần giới hạn để xác nhận hiệu quả của bộ điều khiển đề xuất

Keywords: Adaptive-robust, Inverse dynamics control, nonholonomic systems, uncertainty, trajectory tracking

1.Introduction

Vấn đề điều khiển chuyển động của chủ đề hệ thống cơ

khí nonholonomic constranins đã thu hút một sự chú ý

đáng kể trong những năm qua [9] Xe hai bánh, Robot di

động có bánh xe (WMRs), robot đa ngón tay và robot

không gian là những ví dụ điển hình của những hệ thống

như vậy Theo định lý cơ bản của Brockett [1], những hệ

thống như vậy không thể được ổn định ở bất kỳ trạng thái

cân bằng cấu hình bằng cách làm trơn tru thông tin phải

hồi ở trạng thái tĩnh Từ đánh giá của bài báo [9], định lý

nổi tiếng này và bản chất phi tuyến của hệ thống

nonholonomic đã thúc đẩy các nhà nghiên cứu tập trung

vào các vấn đề điều khiển chuyển động của hệ thống như

thế Mặc dù rất nỗ lực vào việc thiết kế ổn định cho bộ

điều khiển hệ thống nonholonomic, nhưng các thông tin

về hạn chế bộ điều khiển phản hồi đã được phát triển

Một số kết quả cơ bản trên mô hình, điều khiển và ổn

định của hệ thống nonholonomic đã được báo cáo trong

[3-5] Một số nhà nghiên cứu đề xuất bộ điều khiển ổn

định chi hệ thống nonholonomic bằng cách chuyển đổi

chúng thành dạng chuỗi [10, 17, 19, 21] Trong số các

vấn đề điều khiển chuyển động khác của hệ thống

nonholonomic, hầu hết cá nhà nghiên cứu tập trung vào

việc theo dõi quỹ đạo với luật điều khiển liên quan tới

thời gian được gọi là bám quỹ đạo Một loạt các thuật

toán điều khiển cho vấn đề bám quỹ đạo được phát triển

trong tài liệu [8, 18, 19, 21, 29] Khác biệt giữa lý thuyết

điều khiển hình học có thể sử dụngtruyền thống để thiết

kế bộ điều khiển phản hồi tuyến tính để giải quyết vấn đề

bám quỹ đạo của hệ thống nonholonomic [14] Từ việc

xem xét các tài liệu, kết quả sau đây được tóm tắt liên

quan việc áp dụng kỹ thuật này cho hệ thống

nonholnomic: 1 Một hệ thống nonholonomic được kiểm

soát và điểm cân bằng của nó được lý thuyết Lyapunov

đảm bảo ổn định, nhưng không thể làm cho ổn định tiệm

cận bởi

một phần phản hồi trạng thái tĩnh trơn [4] 2 Nó được chỉ

ra rằng hệ thống nonholonomic không tuyến tính hóa trạng thái vào Tuy nhiên, nếu lựa chọn một tập hợp các phương trình đầu ra, nó có thể được tuyến tính hóa đầu vào-ra [6, 8] 3 Kích thước của các hệ thống tuyến tính phản hồi của mô hình động học và mô hình động lực học của hệ thống nonholonomic là hai lần số lượng thiết bị truyền động của nó và chỉ số khả năng kiểm soát của mỗi

hệ thống là bằng 2 [3] 4 Bản chất động lực học của các

hệ thống là ổn định [13] Có một sự tồn tại vô giá các tài liệu đề xuất các bộ điều khiển bám quỹ đạo dựa trên thông tin phản hồi tuyến tính cho hệ thống nonholonomic

mà hầu hết trong số chúng được phát triển robot nonholonomic di động có bánh xe [3, 8, 15, 20, 22] Tuy nhiên, chúng sử dụng động học chính xác và mô hình động học của các hệ thống nonholonomic Thông tin phản hồi tuyến tính dựa trên việc lý tưởng hóa các điều kiện phi tuyến Do đó, việc lý tưởng hóa có thể không đạt được một cách hoàn hảo trong sự hiện diện không chắc chắn của hệ thống robot nonholonomic Trong [25], một thông tin phản hồi tuyến tính của hệ thống điều khiển thích nghi đã được phát triển để giải quyết vấn đề này cho một WMR nonholonomic Kết quả thực nghiệm của

bộ điều khiển được đề xuất trong [25] trên WMR thực được trình bày trong [27] Tuy nhiên, các mô phỏng máy tính và thí nghiệm thực tế cho thấy các đề xuất hệ thống điều khiển thích nghi của nó mất ổn định trong một số thí nghiệm vởi sự có mặt của nonparametric không chắc chắn như ma sát bề mặt và unmodeled castor wheels Martins và cộng sự [24] đề nghị một bộ điều khiển bám động học với sgnma-modification cho một ổ đĩa WMR khác Tuy nhiên, kích thước ràng buộc cuối cùng của lỗi bám phụ thuộc vào sự hỗn loạn bên ngoài và nó không thể tự do chỉnh định thông số Ngoài ra, việc thực hiện qua loa của bộ điều khiển đề xuất của họ không rõ ràng

Trong công việc trước đây [26], những vấn đề này được

giải quyết bằng cách thiết kế một luật điều bám thích

nghi Tuy nhiên, bộ điều khiển không phải là thực

nghiệm được đánh giá bởi WMR thực Dựa trên kiến

thức hiện tại của các tác giả, không có sẵn công việc hiện

tại đề xuất điều khiển động lực học ngược để giải quyết

vấn đề điều khiển bám quỹ đạocủa hệ thống robot

nonholonomic trong sự có mặt của cả tham số và phi

tham số bất định Hơn nữa, hầu hết các bộ điều khiển bền

vững đề xuất [16, 21, 26, 28, 30] đã không đánh giá thực

nghiệm trên hệ thống robot thực nonholonomic

Vì vậy, những đóng góp chính của bài báo này được nêu

rõ như sau Một bộ điều khiển bám động lực học ngược

thích nghi-bền vững được thiết kế cho một động học tích

hợp và trình bày rõ ràng động học của hệ thống robot

nonholonomic trong sự tham gia của tham số và phi tham

số bất định Công việc của Sarhar [8] là điều cần thiết để

phát triển bộ điều khiển Ngược lại với nhiều kết quả có

sẵn cái mà sử dụng các kỹ thuật backstepping trong thiết

kế bộ điều khiển cho những WMR, bài viết này đề xuất

một điều khiển bám cái mà bao gồm động lực học ngược

thích nghi-bền vững và luật điều khiển PID bền vững

SPR-Lyapunov phân tích tính ổn định được sử dụng để

chứng minh các lỗi bám là được thống nhất cuối cùng

cũng tiệm cận (UUB) và theo cấp số nhân hội tụ về một

hình cầu nhỏ chứa gốc, có đường kính có thể tự do chỉnh

định bằng điều khiển các thông số Kết quả thực nghiệm

dựa trên thương mại về WMR nonholonomic được trình

bày để đánh giá ý tưởng của bộ điều khiển được đề xuất

Kể từ khi thiết bị truyền động động học bị bác bỏ dựa

trên giả định momen xoắn bánh xe như đầu vào của hệ

thống robot trong hầu hết các nghiên cứu trước đây, nó

hợp lý và thiết thực hơn việc đưa điện áp đầu vào thiết bị

truyền động như là điều khiển đầu vào Tuy nhiên,

WMRs có thể được yêu cầu tốc độ và họ không chấp

nhận thiết bị truyền động đầu vào là điện áp [23, 24] Kết

quả bài báo [30] đề xuất một bộ điều khiển thích nghi

dựa trên mạng neuron cho một WMR nonholonomic

chứa thiết bị truyền động động học Tuy nhiên, bộ điều

khiển đề xuất của họ cung cấp tín hiệu điện áp ở đầu vào

và không thể áp dụng cho thương mại WMRs có sẵn Bộ

điều khiển đề xuất trong bài báo của Martins [24] đã xem

xét vấn đề này và cung cấp vận tốc đầu vào trong mô

hình động học của WMR dựa trên mô hình đươc trình

bày bởi De La Cruz và Carelli [23] Trong việc này, mô

hình trình bày trong [23] cũng được sử dụng để cung cấp

tính khả thi của việc đánh giá thí điểm bộ điều khiển

được đề xuất ở quan hệ WMR

Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau Trong phần 2, mô hình động học và động lực học của hệ thống robot nonholonomic được xem xét trong thời gian ngắn

và mục tiêu điều khiển được quy định Phần 3 đề xuất bộ điều khiển bám quỹ đạo và phân tích sự ổn định của hệ thống closed-loop Phương pháp đề xuất áp dụng cho một drive WMR vi sai nonholonomic trong phần 4 Kết quả

mô phỏng được trình bày trong phần này để đánh giá hiệu quả bộ điều khiển Phần 5 trình bày thí nghiệm trên robuLAB WMR 10 để xác minh hiệu quả của luật điều

khiển được đề xuất Cuối cùng, phần 6 kết luận bài báo

2 Trình bày vấn đề

Xét một lớp hệ thống robot nonholonomic m ràng buộc [8]:

M q qC q q q B q F q B q  B q  A q 

(1)

A q q 

(2) Với [q ,q , ,q ]1 2 T

n

q  là vector biến khớp tổng quát,

(n m) 1

  , M q( )n n là matran đối xứng xác định dương , C q q( , )  n n là matran lực hướng tâm và

( ) n m



 biểu thị vector ma sát,

(n m) 1

d

    biểu thị ranh giới của nhiễu không biết,

( ) n n m

B q   là matran biến đổi đầu vào, ( ) m n

A q   

là matran đầy đủ hạng và m1

 là vector nhân tử Lagrange cái mà biểu thị sự ràng buộc về lực Từ bình luận của [8, 16], để ( ) [s (q),s (q), ,s1 2 (q)]T

n m

matran đầy đủ hạng cái mà được tạo thành từ một tập hợp các vector độc lập tuyến tính, s q i( ) n,i1, ,nm, trong không gian trống của ( )A q mà ( ) ( ) A q S q  Xét 0 phương trình Ep.2, ta tìm được vector giả vấn tốc của hệ thống như sau: ( ) [v (t),v (t), ,v1 2 (t)]T

n m

( ) ( ) ( ) n m( ) n m

qS q v t s q v  s q v

Lấy vi phân Eq.3 ta có: qS q v( ) S q v( ) được kết quả thay vào Eq.1và nhân với T( )

S q ta được phương trình:

( ) ( , ) ( ) ( ) d

Mv t C q q v t F q  B  (4) Với M S MS C q q T , ( , ) S MS T S CS B T , S B T ,

F q BF  B  Xét thiết bị truyền động động học, người ta cho rằng robot được kích thích bởi n-m động cơ Brushed DC (động cơ một chiều không dùng chổi than)

với bánh răng cơ khí Phương trình điện thay thế cho mỗi

phần ứng động cơ là:

/

u L di dtR i k  (5)

Có k là hằng số EMF, b R L điện trở và điện cảm của a, a

phần ứng động cơ tương ứng, u là điện áp đầu vào a

Bằng cách bỏ qua điện cảm của mạch phần ứng và xem

xét mối quan hệ giữa mô-men xoắn và dòng phần ứng

(tức là  mk i  a)và mối quan hệ giữa mô-men xoắn và

tốc độ trước và sau bánh răng (i.e  n   m,m n  ),

mô-men xoắn được cho bởi:

k u k

Có: k1(nk  /R a),k2nk k n b 1, n w/n m là tỉ số truyền

và k là hằng số mô-men xoắn của động cơ Khi đó Ep.6

được viết là:

k u k X v

Lại có: X T(n m ) (n m )là matran biến đổi vận tốc bánh

xe thành vector giả vận tốc Sau khi thay thế Eq.7 vào

Eq.4 ta có:

2 1

( ) ( ( , ) ) ( )

Mv t C q q k BX v t

Tính chất 1: M q là matran đối xứng và xác định ( )

dương bị giới hạn trên và dưới m1 M q( ) m2với m1

và m là hằng số vô hướng 2

Tính chất 2: Giá trị động học và mô hình động học của

hệ thống nonholonomic:

, , ,

d

s f f c and





Có s f f c and1, 1, 2, 1 1là các hằng số tích cực vô hướng

Mô hình động học 3 và phương trình động học 8 có thể

được gộp vào không gian trạng thái như sau:

1 1

1

2

0 0

0

a

k M B





   

   



(10)

Với x là vector trạng thái Phép biểu diễn này cho phép áp dụng sự khác biệt giữa hình học lý thuyết điều khiển trong vấn đề điều khiển bám Dựa trên các vấn

đề thảo luận, công việc sẽ được tập trung vào kỹ thuật điều khiển đầu vào-đầu ra tuyến tính để giải quyết vấn đề điều khiển bám Vì vậy, bằng cách lựa chọn thích hợp để thiết lập đầu ra ( )y t h q t( ( )), mục đích điều khiển được thiết lập như sau Cho quỹ đạo đặt y t r( )h q t( ( ))r và q r

đáp ứng vấn tốc giả định ràng buộc 2, sau đó tổng hợp các động học và vấn đề điều khiển bám động học được thảo luận trong bài báo thiết kế luật điều khiển phản hồi cho hệ thống 10 với kết quả đầu ra y t( )h q t( ( ))đảm bảo lim ( ) 0

t e t

  với e t( )y t( )y t r( )là sai lệch bám Giả định sau đây rất cần thiết để phát triển bộ điều khiển trong phần tiếp theo

Giả thiết 1: Phép đo của tất cả không gian trong thái (tức

T T

x q v  ) là có tính thời gian thực,

Giả thiết 2: Giá trị đặt y t được chọn sao cho r( ) ( ), ( ), ( )

y t y t y t  là những tín hiện bị chặn

Giả thiết 3: Các thông số động học của hệ thống

nonholonomic là hình học và dễ dàng đo lường, chẳng hạn các thông số được giả định hợp lý để đảm bảo tính tin cậy của bài báo Tuy nhiên, sự phát triển của bộ điều khiển là đơn giản và tầm thường cho động học tham số bất định trong phần tiếp

3 Development of the Inverse Dynamics Control ()

3.1 Thiết kế SPR-Lyapunov

Phần này đề xuất một BĐK bám thích nghi-bền vững dựa trên kỹ thuật động lực học ngược cho việc xây dựng tích hợp động học và động lực học của hệ thống nonholonomic cho bởi Eq.10 Hệ thống 10 có thể được biểu diễn nhiều đầu vào mô hình phi tuyến:

1

n m

i





( ), ( , ) ( )

n m

i

x  andf x g x  and  x

trường ( 2n m )

 với g(0, ) 0 Tham số vector p

  

bao gồm tham số bất định ở matran đầu vào trong Eq.10 Kết quả đầu ra là hàm tọa độ tổng quát q Vì số lượng các bậc tự do của hệ thống là n-m (kết quả đầu ra độc lập):

( ) ( ), ( ), , n m( )T

Phương pháp tiếp cận cơ bản để có được quan hệ tuyến

tính đầu vào-ra là liên tục phân biệt các kết quả đầu ra để

có được quan hệ rõ ràng với đầu vào Sau qua trình nhận

dạng, ta có được:

1

n m

i







(13)

Nó không liên quan tới cơ cấu truyền động Trong Eq.13

( ) ( ) /

J q  h q  , nhận dạng lần nữa ta có được: q

gi f j ai gi j ai





(14)

Rõ ràng là L gi(L h f j) Sau khi đơn giản hóa, Eq.14 có 0

thể được viết như sau:

2

y L h x L L h x  L L h x u

Đặt L L h x g f ( ) :D x( )được gọi là matran tách:

1

( )

g f gn m f

g f n m gn m f n m

D x









Giả thiết rằng det( ( ))D x 0 Như vậy là hệ thống 11 và

12 là tuyến tính đầu vào-ra Các thông tin phản hồi phi

tuyến sau:

u D x  L h x

(17)

là hệ thống tuyến tính và riêng biệt với n-m nhiễu tích

hợp gấp đôi như sau:

f

yL L h 



có  jj=1, ,n-m là biến đầu vào mới Người ta cho rằng

có p tham số chưa biết trong mô hình động học của hệ

thống robot nonholonomic và L L h x  f ( )biểu thị tham số

bất định Theo nguyên tắc tương đương, D(x) phải được

thay thế bằng điều khiển tách ước lượng trong luật 17

u D x  L h x

(19) Với

ˆ

ˆ ( ) g f ( )

D x L L h x

(20)

Vì f(x) và h(x) không chứa bất kỳ giới hạn bất định và không gian hệ thống để phản hồi thông tin bằng phép đo cảm biến theo giả thiết 1 và 3, 2

f

L h cũng có sẵn Thay

Eq.19 vào Eq.15 ta được:

y L h x D x D x  L h L L h x 

Sau một số biến đổi, Eq.21 thay thế bởi:

ˆ

y  D x D x  L h L L h x 

với

ˆ

D x D x D x

(23) Sau đó viết gọn Eq.22 lại ta được:

y x  L L h x 



(24)

ở đó  1, ,pTlà vector ước lượng tham số lỗi và

Wn m plà matran truy hồi theo thời gian được tạo từ hàm đã biết Theo như thuộc tính cấu trúc của hệ thống nonholonomic, hình thức tham số này có thể đạt được cho hệ thống nonholonomic Bây giờ, luật điều khiển thích nghi được suy ra từ phương pháp thiết kế SPR-Lyapunov ở [2,12] Thừa nhận rằng đầu vào điều khiển bên ngoài  jchohệ thống con thứ j Eq.24 được chọn để đầu ra thứ j, y t , bám đầu ra mong muốn, j( ) ( )

jr

y t , trong vòng ngoài:

0

( )

1, 2, ,

t

j y jr k e pj j k e vj j k ai e j d v Rj



(25)

pj

k k vj k biểu thị hệ số khuếch đại vòng ngoài của vộ ai

điều khiển Điều khiển bền vững 25 được giải thích như sau:

1 Thuật ngữ điều khiển v là luật điều khiển bền Rj

vững, được thiết kế để bù cho phi tham số bất định L L h x  f ( )

2 Tác dụng điều khiển phản hồi  là bù cho sự y jr

tăng tốc của quỹ đạo mong muốn

3 Một BĐK phản hồi PID đóng vai trò quan trọng

để ổn định sai lệch hệ thống được phát triển như sau

Thêm luật điều khiển PID bền vững đưa trong Eq.25 để

hê thống con thứ j của Eq.24 dẫn đến phương trình sai

lệch sau:

0

( )

t

j vj j pj j ai j

L L h x  v

 





ở đó Wj w , w , , wj1 j2 jn m  là hàng thứ j của ma trận

hồi quy Với mục đích thích nghi, người ta có thể sử dụng

các bộ lọc lỗi cho tín hiệu đầu ra thứ j:

0

1, 2, ,

t

j t e t j j e t j j e j d





Vì ejyjy được biết như là chức năng của trạng thái jr

đo được xem bởi Eq.13, nó rõ ràng thấy  jlà có sẵn

Thông số  1 jvà  2 jđược chọn như vậy cho hàm truyền

của lỗi hệ thống vong kín 26 và 27, cái được xác định đầu

ra  j( )t từ đầu vào Wj   (L L h x  f ( ))j v Rj, sẽ được xác

định dương (SPR):

H s  s  s s k s k sk (28)

Hàm truyền H s thực xác định dương (SPR) dựa trên j( )

các định lý sau:

Định lý 1: Giả thiết rằng một hàm hữu tỷ H s có biến j( )

phức s j là không đồng nhất không cho tất cả s

Cho *

n ở mức độ tương đối của H s với j( ) *

|n  Khi | 1

đó, H s là SPR khi và chỉ khi j( )

i) H s có Re[s]>0 j( )

ii) Re[H (j )]>0,j       (- , )

iii) Khi

| |

*

| |

1, lim Re[ (j )]>0

j

j











Nội dung cụ thể trong bài báo [12]

Theo các điều kiện trong định lý 1, ta dễ dàng

thấy H s là SPR khi j( ) 2 2

pj vj pj vj aj pj aj vj

k k k k k k sk k

1j k pj/k vj

  và 2jk aj /k vj Bổ đề sau cần thiết cho

việc thiết kế SPR-Lyapunov trong đoạn tiếp

tuyến tính sau:

y=Cx

x 

Hệ thống được gọi là SPR khi và chỉ khi : a) cho Q bất kỳ đối xứng xác định, nếu tồn tại nghiệm P cũng đối xứng xác định thì phương trình Lyapunov T

A PPA  b) Q

matran B và C thỏa mãn phương trình: T

B PC[7] Theo như bổ đề 1, tồn tại ma trận Pj và Qj để mà

,

j j j j j j j j

A P P A  Q P B C

trong đó, Aj,Bj,Cj là ma trận không gian trạng thái cực tiểu của Eqs.26 và 27 trong hình thức sau:

j j j

C X











(30)

ở đó

0

( )

T t

X   e  d e e  

  là biến trạng thái và

1 1

(31)

Kết quả là phương trình sai lệch của hệ thống được viết như sau:

1

=AX+B(W ( f ( )) R), E

Với 3(n m) 3(n m), 3(n m) 3(n m), 3(n m) 3(n m)

là các ma trận đường chéo:

1 1 1

( , , ), ( , , ), ( , , )

n m

n m

n m













Và X [X ,X , ,X1T T2 T n m ]T Phươpng trình Lyapunov 29 được viết như sau:

,

Trong đó

1 1

( , , ), ( , , n m n m)

Q diag Q Q



Đee thiết kế điều khiển bền vững  R n m , ta giả sử

rằng L L h x  f ( ) ( , )q  với ( , ) q  là giới hạn trên của

hàm Xét Eqs.10 và 13, L L h x  f ( ) được tính như sau:

1

2







ở đó ( ) [J (q),J (q), ,JT1 T2 T (q)]T

Jacobian Xét Eq.36 và thuộc tính cấu trúc của hệ thống

nonholonomic (xem tính chất 2), có thể kết luận rằng:

2

( )

f

L L h x      

(37)

Vì vậy, giới hạn của hàm thu được là

2

( )

       nó có thể được xác định theo

tham số sau: ( )  Y( ) với

2

1 2 3

và  là vector của hằng số chưa rõ của giới hạn hàm số

3.2 Phân tích tính ổn định

Định lý sau đây được trình bày để giải quyết vấn đề động

học và động lực học điều khiển bám quỹ đạo của hệ

thống robot nonholonomic trong sự có mặt của tham số

và phi tham số bất định dựa trên các giả thiết 1 và 2

Định lý 2: với điều kiện là các quỹ đạo đầu y t được r( )

lựa chọn cho tất cả times t>0, dưới giả thiết 1-3, bộ điều

khiển bám thích nghi-bền vững đảm bảo rằng tất cả các

tín hiệu trong hệ thống vòng kín được giới hạn và sai

lệch bám quỹ đạo và tốc độ e và j e với j j1, 2, ,nm

là những giới hạn bị chặn thống nhất (UUB) và theo cấp

số nhân hội tụ về hình cầu có gốc:

1

0

t

f T

T

E

 









(39)

Trong đó ˆ ( )D x là ma trận tách được cho bởi Eq.20,

Wn m p là ma trận suy biến, ( )

1

n m

 là vector lọc tín hiệu lỗi và 1 p p

2



  là ma trận đối

xứng xác định dương như hệ số khuếch đại thích nghi

p K K v a    là ma trận đường chéo, biều thị

tỷ lệ, đạo hàm và tích phân của luật điều khiển tuyến tính trong toàn bộ hệ thống tương ứng Tham số 1và 2là hằng số tích cực nhỏ và ( )t hàm thời gian tích cực được coi là không đổi Thông số 0và 0là những giá trị ước tính của tham số  và 

Chứng minh: Xét hàm Lyapunov cho dưới đây

, , =1

Với = − và = − Bằng cách phân biệt công thức 40 và áp dụng công thức 32 và 34, ta được :

ℎ( ) + Γ ̇ (41)

Xét luật thích nghi trong công thức 39 và ̇ = − ̇ và

̇ = − ̇ công thức (41) được viết như sau :

ℎ( ) − | | + ( − ) (42)

Bằng cách sử dụng các dạng tham số bị chặn trên của ℎ( ), tức là = , chúng ta có được :

| | + − + ( − ) (43)

Sau đó, bằng cách chọn luật điều khiển bền vững khi

= −( ^2)/( || || + ) và thế vào công thức (43), ta nhận được bất đẳng thức sau :

̇ , , ≤ −1

| |

Vì

0 ≤ || || /( || || + ) ≤ (45)

Và xem rằng = − và = − , ta có thể viết công thức (44) như sau :

̇ , , ≤ −1

Bây giờ, bằng cách hoàn thành các điều kiện trong công

thức (46) và xem xét giá trị nhỏ nhất của ma trận Q, tức

là = ( ) , ta được :

̇ , , ≤ −1

0,5

+1

+1

2 | − | + (47)

Với = chỉ giá trị nhỏ nhất của ma trận

Bằng cách xác định các tham số dưới đây :

=1

0,5

> 0,

= 1 −0,5 > 0

=1

Với > √2/2, bất đẳng thức (47) được viết lại như sau :

Mặt khác, từ công thức (40) và thực tế rằng :

Cho bất kì ( ) ∈ , bất đẳng thức (49) trở thành:

̇ ( ), ( ), ( ) ≤ − ( ), ( ), ( ) + (51)

Với

( ),

2 ( ),

2 ( ) (52) Giải các bất phương trình khác trong (51)

∀ ∈ [0, ∞) (53)

Từ công thức (53), rõ ràng các hàm Lyapunov bị chặn

trên bởi

( ) ≤ max ( ), (54)

Cùng với định nghĩa của ( ) trong công thức (40) ta được kết quả

| ( )| ≤ 2

max ( ),

( ) (55)

Công thức (53) có nghĩa rằng V(t) cuối cũng cũng bị chặn bởi / Công thức (49) có nghĩa là ̇ ( ) thực sự

âm khi ≤ | | có nghĩa là ̇ < 0 bên ngoài các tập compact = ( )| | ( )| ≤ / Kết quả là,

||X(t)|| giảm bất cứ khi nào X(t) nằm ngoài tập compact , và do đó ||X(t)|| là UUB Bài thảo luận này hàm ý

rằng sai lệch bám là UUB và hội tụ theo hàm mũ về một hình cầu nhỏ chứa gốc tọa độ Xem xét những công thức (12) và (13) và giả thiết 2, khi ( ), ̇ ( ), ( ), ̇( ) ∈

∞, có thể kết luận rằng ( ), ( ) ∈ ∞ Phân tích ổn định chứng tỏ rằng một tính chuyển tiếp được đảm bảo và

độ chính xác cuối cùng cũng thu được khi tỉ lệ giảm theo cấp số nhân và bán kính của hình cầu của sai lệch bám có thế được tự do điểu chỉnh bởi các thông sô

Γ , Γ , , , , , và Nhận xét 1 : Yếu tố quyết định trong việc tách ma trận ( ) trong luật điều khiển trong công thức (39) có thể bao gồm một vài thông số ước lượng Do đó, những giới hạn đầu tiên của những tham số là đủ để đảm bảo không có điểm kì dị của ma trận tách Được nó đến trong công việc của Sastry [2], một vài kĩ thuật như là chiều toán tử tồn tại trong bài báo cho mục đích này [12] Nhận xét 2 : Sự biến đổi các rò rỉ cho luật thích nghi cho các tham số ước lượng trong công thức (39) là cần thiế cho sự tăng cường tính bền vững Sự biến đổi này đảm bảo sự bị chặn của các tham số ước lượng vector để cung cấp một chặn trên cho bất định ℎ( ) để áp dụng luật điều khiển bền vững [11]

Nhận xét 3 : Người ta có thể thỏa hiệp giữa độ bám chính xác cuối cùng và tín hiệu điều khiển trơn bằng cách điều chỉnh ( ) trong công thức (39) Điều khiển bền vừng

có thể được làm trơn bằng cách chọn một giá trị lớn hơn cho ( ) Tuy nhiên, giá trị lớn hơn đó có thể dẫn đến một ràng buộc cuối cugnf lớn hơn Người ta có thể chọn một hàm thời gian thích hợp cho ( ) để điều chỉnh độ trơn của tín hiệu điều khiển và độ bám chính xác Ví dụ,từ sự bất ổn lớn trong khoảng thời gian đầu của việc

bám, nó đòi hỏi hoạt động điều khiển cao của hệ thống cơ

cấu chấp hành vì hiện tượng chattering Do đó, ta chọn

+ ( ) ế >

Với , , > 0 ( ≫ ) giúp giữ độ dày của lớp biên

( ) ở một giá trị lớn ở thời gian bắt đầu để ngăn chặc

hiện tượng chattering của các cơ cấu chấp hành và sự bão

hòa Sau đó, ( ) giảm theo thời gian giúp bảo tồn độ

bám chính xác cuối cùng

Nhận xét 4 : Các chương trình điều khiển được đề xuất có

thể được mở rộng cho một số loại khác của bộ điều khiển

trong vòng ngoài được xác định bởi bộ lọc phụ sai lệch

bám ( ) ∈ trong công thức (27) khi ( )=

Λ ( ) ( ), trong đó

Trong đó s là toán tử Laplace và ma trận ( ) được chọn

khi Λ( ) là một ma trận hợp thức chặt, ổn định

Chú ý rằng ( ) phải được chọn khi ( ) không phụ

thuộc vào phép đo ̈ Cho mục đích này, Λ( ) được chọn

như nó có một sự liên quan tới nó Các bộ điều khiển có

tính đa dạng có thể được phát triển bằng cách lựa chọn

ma trận ( ) khác nhau

Nhận xét 5 : Vì hầu hết của việc thương mại hóa MWRs

cũng được trang bị cản biến, giả thiết 1 luôn luôn được

thỏa mãn Tuy nhiên, vì thường xuyên được báo cáo

trong tài liệu [31, 32], việc sử dụng một bộ quan sát vận

tốc là cần thiết từ quan điểm thực tế như là một thực hiện

có hiệu quả không là chủ đề của nghiên cứu này Tính bị

chặn của quỹ đạo tham chiếu và đạo hàm của nó đến bậc

2 trong giả định 2 là hạn chế để chọn tất cả các quỹ đạo

mong muốn trong các tình huống thực tế trên thế giới

Tuy nhiên, nó là cần thiết cho việc phát triển các lí thuyết

được trình bày

4 Simulation Study on a Nonholonomic WMR

Phần này trình bày ứng dụng của luật điều khiển dự báo

trong phần 3 trên hệ có ràng buộc robot 2 bánh phát

động Kết quả mô phỏng máy tính cũng đánh giá độ hiệu

quả của bộ điều khiển Hình dạng cảu robot 2 bánh phát

động như Fig.1 Robot có 2 bánh cố định thông thương

trên 1 trục và 1 bánh để duy trì trạng thái cân bằng Trọng

tâm của robot được đặt ở Pc( ,x y c c) Điểm

P  x y là giao của trục 2 bánh phát động và trục

đối xứng của xe, khoảng cách P P 0 cd Điểm

 , 

P  x y là một điểm ảo trên trục x có khoảng cách với P là L[8] Tham số 2b là khoảng cách giữa 2 bánh cố 0

định Bán kính của mỗi bánh kí hiệu là r Nếu véc tơ tọa

độ tổng quát được chọn là qx y0, 0,T, một ràng buộc vận tốc thu được y0cosx0sin Do đó, vận tốc 0 giả định của hệ WMR được định nghĩa là

  1 , 2  T

v t  v t v t  với v và 1 v lần lượt là vận tốc 2

tiếp tuyến và vận tốc hướng tâm của robot Theo các kí hiệu mô tả trước đó,các ma trận động học và động năng thu được dưới đây:

 

0

0

,

0

C

T C

m

r b r

m d

m d















(56)

Trong đó:

mm  m II  I m d  m b BX Tham số m là trọng lượng của thân xe, C m là khối w

lượng mỗi bánh xe, I là momen quán tính của thân xe C

theo trục thẳng đứng, I là momen quan tính của mỗi m

bánh xe trục đi qua tâm bánh xe

Hình 1: Cấu hình của một bánh xe robot di động Điện áp đầu vào của động cơ phải và trái của hệ được kí

là u a u a1,u a2T Momen quán tính và tham số cơ cấu chấp hành phải được cho là bất đính Sau đó, bằng việc

thế biểu thức 56 và 10 và định nghĩa là các tham số bất

định mới 1k1/m và2k1/I, ta thu được:

T T T





(57)

Các biến đẩu ra dưới đây được chon để theo dõi quỹ đạo

mong muốn dựa trên phương pháp điều khiển tiên đoán(

2

nm ):

,

Sau khi tính toán 2  ,   ˆ 1 

f

L h x D x D  x trong (22),

2

L h x   q J q S q v S q v

1

ˆ







Ma trận hồi quy trong (24) thu được dưới dạng sau:

W

(61)

Trong đó:

/ ( h h ) ,

q J Sv Sv

q J Sv Sv





Sơ đồ khối của bộ điều khiển động học ngược được thể

hiện trong Fig.2 Một số mô phỏng thực hiện để cho thấy

sự bám và bền vững của bộ điều khiển mục tiêu dưới

nhũng tham sô bất định Tham số của WMR được chọn

đê phù hợp với robot thực, và ồn trắng Gaussian cũng

được thêm các trạng thái để mô phỏng hệ thống bên

trong Tất cả các mô phỏng được thực hiện dựa trên xấp

sỉ Euler với bước nhảy là 20ms Nhưng tham số vật lý

thực của WMR và tham số điều khiển được liệt kê dưới

đây:

c

Trên cơ sở điều kiện SPR của hệ thống (28) được trình

bày trong phần 3 để đảm bảo sự ổn định SPR-Lyapunov của hệ kín, tham số bộ điều khiển được cài đặt

1

k  k  k    Tăng khả năng thích nghi trong phương trình (39) ta chọn  1 diag[1,1];

2 diag[1,1]

  Các tham số điều khiển còn lại được chọn

là 10.005,20.005, 10,00,00 Quỹ đạo hình số tám được coi như giá trị đặt đầu vào được tính bởi y1r t x gRsin(2 r t) và y2r t y gRsin(2 r t) trong đó (x y g, g) (2.5 ,5.5 ),m m R2m và r0.05 Các điều kiện ban đầu được cho là x(0)3 ;m

0 6.5 ; (0) 30 ;

y  m    v1(0)0;v2(0)0 Để đánh giá hiệu quả của luật điều khiển dự tính, giả định rằng tham số momen quán tính có 15-20% không chắc chắn,

ma sát được xem rằng F q( ) 0.5 0.8 v , nhiễu hình sin được coi là d  3sint/ 20 ,3sin t/ 20T



Hình 2: Sơ đồ khối bộ điều khiển để xuất Tín hiệu điều khiển u a 24V Mô phỏng máy tính thực

hiện thành công với các bộ khác nhau của tham sô WMR,

tham số điều khiển và quỹ đạo đặt Một vài kết quả được

chọn trên cơ sở các tham số nói trên và được báo cáo

trong Fig.3 và 4, bộ điều khiển ARFL (adaptive-robust

feedback linearrizing) cho thấy thực hiện bám và độ bền

vững tốt hơn bộ điều khiển AFL(adaptive feedback

linearizing) trong [27] Tuy nhiên, bộ điều khiển thích

nghi tạo ra tín hiệu điều khiển trơn trong Fig 5 và 6 chỉ ra

rằng hiện tượng chattering là không thể tránh khỏi trong

các tín hiệu điều khiển của bộ điều khiển AFL Sự kiểm

soát các loại bão hòa trong phương trình 39 có thể thực

hiện mượt hơn bằng các chọn giá trị lón hơn cho tham số

 Tuy vậy, giá trị lơn hơn của  làm tăng  trong

phương trình 55 có thể dẫn đến kết quả giá trị chặn cuối

cùng lớn hơn

Hình 3: Quỹ đạo thích nghi được tạo ra bằng bộ điều

khiển phản hồi tuyến tính (đường gạch nét) và bộ điều

khiển thích nghi-bền vững phản hòi tuyến tính (đường liền nét) Người ta có thể chọn một cách xấp xỉ hàm cho tham số  để có sự cân bằng giữa độ mượt của sự điều khiển và độ bám chinh xác

5 Các nghiên cứu thực nghiệm trên WMR thương mại

Robot di dộng RobuLAB 10 được sử dụng để đánh giả thử nghiệm bộ điều khiển (39).RobuLABlà một robot di động bánh lái khác nhau được sản xuất bởi Robosoft trong hình 7, có kích thước 450mm400mm243mm Cấu hình hai chiều của robutLAB 10 chính xác được minh họa bằng Fig.1 WMR được trang bị 2 vòng cảm biến siêu âm, một máy định tầm URG-04LX, một mạng LAN không dây để truyền thông, pin 12V và 2 động cơ một chiều kết nỗi với mỗi bánh xe qua hộp giảm số 5.5:1 Mỗi bánh được trang bị Encoder tương đối cho hệ thống bên trong mà được cập nhật ví trí tương đối của WMR mỗi 200ms.Vì vậy, thời gian trích mẫu của bộ điều khiển được giới hạn bời giá trị này trong thí nghiệm thực tế Khoảng cách giữa 2 bánh lái và trục đối xứng là 187.5mm, bán kính của mỗi bánh xe là 72.5mm Hai bánh bị động được đặt ở phía sau và trươc WMR để giữ trạng thái cân bằng Tải trọng của WMR là 30kg Thí nghiệm vòng mở chỉ ra rằng vận tốc tiếp tuyến và vận tốc góc của WMR lần lượt là 4m/s và 0.5 rad/s Đây là WMR không nhận điện áp motor là đầu vào Nó chỉ được chỉ huy bởi vận tốc tiếp tuyến và vận tốc góc, được kí hiệu là

   

v t v t Do đó, để kiểm tra luật điều khiển đề

xuất [39] qua thí nghiêm, mô hình dưới đây được sử dụng trình bày bởi De La Cruz[23]: