Bài tập lớn sức bền vật liệu

tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và các mômen quán tính đối với hệ trục đó... 1- XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM TIẾT DIỆN: Tách tiết diện thành hai hình chữ nhật có diện tích F1,F2... tìm hệ tr

• CÂU A: cho sơ đồ như hình vẽ tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và các mômen quán

tính đối với hệ trục đó

H1: HÌNH A

30

10 10 10

(I)

(II)

1- XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM TIẾT DIỆN:

Tách tiết diện thành hai hình chữ nhật có diện tích F1,F2 với các hệ trục tương ứng là C1XY1 và

C2XY2

2 1

30

2

30

Chọn hệ trục làm chuẩn là : C1XY1

Vì tiết diện nhận trục X làm trục đối xứng trọng tâm C của hình thuộc trục X tọa độ điểm C

là C (XC ; 0)

1 2

.0 (15 ) 0 300

450 300

I II C

+

Vậy trọng tâm tiết diện có tọa độ C(9 ; 0)

Vì tiết diện nhận trục X làm trục đối xứng nên JXY=0

Hệ trục CXY cũng là hệ trục quán tính chính trung tâm như hình vẽ sau:

Y2

10

30

F2

c1

Y1

30

15

X

F1

H4: HTQTCTT (CXY)

1

1

( 9;0) (13,5;0)

C

C

−

⎧

⎨

⎩

2- TÍNH CÁC MOMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI HỆ TRỤC CXY

• Momen quán tính độc cực:

Đối với trục X :

15.30 30.10

Đối với trục Y:

4 122062.5(cm )

=

• Momen quán tính ly tâm:

Vì tiết diện nhận trục X làm trục đối xứng nên JXY=0

9

30

10 10 10

• SƠ ĐỒ B: cho sơ đồ như hình vẽ tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và các mômen quán

tính đối với hệ trục đó

H1: HÌNH B

(I)

(II)

Y 1

X 1

X 2

Y 2

C1

C2

U

1- ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA TỪNG LOẠI THÉP:

Tách tiết diện thành hai hình bao gồm: thép chữ I (NO24) và thép không đều cánh (125x80x12)

• Thép hình chữ I (N O 24):

h1=24(cm)

b1=11,5(cm)

d1=5,6(mm)

F1=34.8(cm2)

JX1=3460(cm4)

JY1=198(cm4)

H2: THÉP I (NO24)

• Thép không đều cánh (125x80x12)

b2=125(mm)

a2=80 (mm)

d2=12 (mm)

X0=4,22

Y0=2

F2=23,4

JX2=117(cm4)

JY2=365(cm4)

JU2=69,5(cm4)

Y 0 =2

X 0 =4,22

X2

Y2

C2

U 80

125

12

Y 1

X 1

C1

240

115 5,6

2- XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM TIẾT DIỆN:

Tách tiết diện thành hai hình bao gồm: hình chữ I và hình chữ L với các hệ trục tương ứng là

C1X1Y1 và C2X2Y2

Chọn hệ trục C2X2Y2 làm chuẩn

Nhận xét: tiết diện không có trục đối xứng nên trọng tâm có tọa độ C (XC ; YC) và JXY 0 

Xác định trọng tâm:

Y2 Y2 Y2

1 2

34,8.( ( 0,1 )) 0 34,8.( (12,5 4, 22 0,1.11,5)) 4, 26( )

I II

C

1 0 X2 X2 X2

1 2

24 34,8.( ) 34,8.( 2)

34,8 23, 4 34,8 23, 4

I II

C

h y

+

Vậy C(-4,26 ; 8,37) Hệ trục trung tâm là CXY như hình vẽ:

H4: HT TRUNG TÂM (CXY) 

Y

(I)

(II)

Y 1

X 1

X 2

Y 2

C1

C2

U

tọa độ của các điểm C1 và C2

C1 :

1

( 0,1 4, 26) 2,867( )

( 8,37) 5, 63( )

2

h

⎧

⎪

C2 : 2

2

4, 26( )

=

⎧

⎨ = −

⎩ C2 (4,26 ; -8,37)

3- XÁC ĐỊNH MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI HỆ TRỤC CXY:

• Momen quán tính độc cực:

+ đối với trục X :

1 1 1 2 2 2

(3460 (5, 63) 34,8) (117 ( 8,37) 23, 4) 6319, 4(+ + + − = cm )

+ đối với trục Y :

1 1 1 2 2 2

(198 (2,867) 34,8) (365 4, 263 23, 4) 1274,3(+ + + = cm )

• Momen quán tính ly tâm:

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

I II

Với : J X Y1 1= (vì tiết diện hình chữ I có một trục đối xứngY1) 0

Tính: J X Y2 2

1

X

2

2 Y2

4

X

+ Xác định dấu của J X Y2 2bằng vòng tròn Mo quán tính đối với thép L:

H5: VÒNG TRÒN Mo XÁC ĐỊNH DẤU JX2Y2

Ta có JU2= Jmin từ điểm B ta kẻ tia song song với U cắt vòng tròn tại điểm D(J2 , JX2Y2)

Trên hình vẽ ta thấy JX2Y2 <0 Vậy J X Y2 2 = − (J X2−J U)(JY2−J U2)

X Y

Vậy momen quán tính ly tâm đối với trục CXY là :

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

I II

4 (0 ( 2,867).5, 63.34,8) ( 118.5 4, 263.( 8,37).23, 4)+ − + − + − = −1515.156(cm )

4- XÁC ĐỊNH HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM (C uv ) VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM

Ta có : 2 2. 2.( 1515.156) 0.6

6319.4 1274.3

XY

J tg

2α =30 58'+k.180 α =15 29 '0 +k.900

Suy ra : 0

1 15 29'

2 1 90 105 29 '

Vậy xoay hệ trục CXY theo chiều ngược kim đồng hồ góc 0

1 15 29 '

α = ta được hệ trục quán tính chính trung tâm CUV

Giá trị các momen quán tính chính trung tâm :

Y

min

1

X

6319, 4 1274,3 4.( 1515,156)

max 6739, 46( ) U

U

J X2Y2

J XY

J X

O B

D

J 2

Y 0 =2

X 0 =4,22

X 2

Y 2

C2

U 80 125

12

4 min 854, 24( ) V

0

UV

H5: HTQTCTT (CUV) 

X

U V

15,48

C

Y

(I)

(II)

Y1

X1

X2

Y2

C1

C2

U

5- XÁC ĐỊNH TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH CHÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÒNG TRÒN Mo QUÁN TÍNH :

A> Vẽ vòng tròn mohr quán tính:

Lập hệ trục tọa độ (OJ J U UV)

Trên mặt phẳng tọa độ dựng (A J X,J XY)=A(6319, 4; 1515,156)−

( ,Y YX) (1274,3;1515,156)

Nối A với B cắt trục hoành tại ( ;0) ( ;0) (3796,85;0)

2

C

C J =C + =C là tâm vòng tròn Mohr

quán tính

Dựng đường tròn tâm C bán kính CA ta được vòng tròn Mohr quán tính

Với R=CA= ((CA')2+(AA')2) (= (J X −J C)2+J XY2 )

((6319, 4 3796,85)2 ( 1515,156)2) 2942,61

H6: VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH 

B> Xác định trục quán tính chính trung tâm và các momen quán tính chính:

Nhận xét: trên hình vẽ vị trí Jmax, Jmin nằm trên trục JU

Xác định trục quán tính chính trung tâm :

XY

J AA

tg

o

β =

Theo định lý thì β (góc ở tâm) và góc α1 cùng chắn cung JmaxA    1 30 58' 15 29'

o

o

β

Theo hình vẽ thì : α2 =α1+90o =15 29 ' 90o + o =105 29 'o

Vậy xoay hệ trục CXY theo chiều ngược kim đồng hồ góc 0

1 15 29 '

α = ta được hệ trục quán tính chính trung tâm CUV.( như H5)

Dựa vào hình vẽ ta có:

4 max 3796,85 2942, 61 6739, 46( )

4 min 3796,85 2942,61 854, 24( )

0

UV

Kết luận : kết quả giải được bằng phương pháp vòng tròn Mohr phù hợp với kết quả giải bằng phương pháp giải tích