công thức cộng vận tốc;

Tôi đa ra một số bài tập có vận dụng công thức cộng vận tốc, khảo sátchuyển động của vật trong hệ quy chiếu có gia tốc và hệ quy chiếu đứngyên.. - Phần công thức cộng vận tốc: Các bài tậ

PHẦN MỞ ĐẦU: Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Trong cơ học lớp 10 có đề cập đến tính tơng đối của chuyển động: thể hiện

ở tính tơng đối của quỹ đạo vận tốc và gia tốc Đây là một trong những phầnkhó mà học sinh thờng mắc sai lầm khi giải bài tập Để giúp học sinh hiểusâu hơn, có kỹ năng tốt hơn khi giải các bài tập về tính tơng đối của chuyển

động Tôi đa ra một số bài tập có vận dụng công thức cộng vận tốc, khảo sátchuyển động của vật trong hệ quy chiếu có gia tốc và hệ quy chiếu đứngyên

- Phần công thức cộng vận tốc: Các bài tập đưa ra theo độ khú tăng dần.Cỏc bài tập về chuyển động thẳng cùng phơng v khác phà ơng, chuyển độngtròn đều, chuyển động thẳng và chuyển động tròn đều, Chuyển động trũnđều và chuyển động trũn đều

- Phần thứ 2 chủ yếu là các bài toán trong hệ quy chiếu gắn với thang máy

và mặt phẳng nghiêng chuyển động có gia tốc, phần này chỉ dừng lại ở việctính gia tốc của vật

- Cỏc bài tập ở phần này chủ yếu dành cho học sinh khụng chuyờn lớp 10nõng cao

PHẦN NỘI DUNG

I – CễNG THỨC CỘNG VẬN TỐC

Vận dụng công thức : V13 =V12 +V23

* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động

thẳng cùng phương

Câu 1: Trên một đường thẳng có ba người chuyển động, một người đi xe

máy, một người đi xe đạp và một người đi bộ giữa hai người kia Ở thời

điểm ban đầu, khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe đạp nhỏ hơn

khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe máy hai lần Người đi xe máy

và người đi xe đạp đi lại gặp nhau với vận tốc lần lượt là 60km/h và 20km/h

Biết rằng cả ba người gặp nhau tại cùng một thời điểm Xác định vận tốc và

hướng chuyển động của người đi bộ

Giải:

- Gọi vị trí người đi xe máy, người đi bộ

Và người đi xe đạplúc ban đầu lần lượt là A,

B và C

S là chiều dài quảng đường AC Vậy AB = 2S/3,

BC = S/3

- Chọn trục tọa độ trùng với đường thẳng chuyển động,

chiều dương là chiều chuyển động của người đi xe máy Mốc thời gian là

bộ là v 12

Ta có: v1 =v12+v2 ⇒v12 =v1 −v2 => v 12 = v 1 – v 2 (đk: v 12 >0 (1): để người đi

xe máy gặp người đi bộ)

Ta có: v2 =v23+v3 ⇒v23 =v2 −v3 => v 23 = v 2 – v 3 (đk : v 23 >0 (2): để người

đi bộ gặp người đi xe đạp).

- Kể từ lúc xuất phát, thời gian người đi xe máy gặp người đi bộ và người đi

bộ gặp người đi xe đạp lần lượt là:

+ t 1 = AB/v 12 = 2S/3(v 1 – v 2 )

+ t 2 = BC/v 23 = S/3(v 2 – v 3 )

Vì ba người gặp nhau cùng lúc nên: t 1 = t 2 ⇔ 2S/3(v 1 – v 2 ) = S/3(v 2 – v 3 )

⇔2( v 2 – v 3 ) = v 1 – v 2 ⇔ v 2 = (v 1 + 2v 3 )/3 = (60 – 2.20)/3 ≈ 6,67 (km/h)

- Vậy vận tốc của người đi bộ là 6,67 km/h theo hướng từ B đến C

* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động

thẳng đều có phương vuông góc

x

CB

A

Câu 2: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy và

qua O cùng một lúc Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều

dương với gia tốc 1m/s2 và vận tốc khi qua O là 6m/s Vật thứ hai chuyển

động chậm dần đều theo chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s2 và vận tốc

khi qua O là 8m/s Xác định vận tốc nhỏ nhất của vật thứ nhất đối với vật

thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua O cho đến khi vật thứ hai dừng lại

Giải:

Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O

- Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục Ox:

v 1 = v 01 + a 1 t = 6 + t

- Phường trình vận tốc của vật thứ hai trên trục Oy:

v 2 = v 02 + a 2 t = - 8 + 2t

- Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v 2 = 0 => t = 4s

- Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là:

2 1

Câu 3: Tại điểm O phóng một vật nhỏ với vật tốc ban đầu v01( Hướng đến

điểm M ) nghiêng một góc α = 45 0 so với phương nằm ngang Đồng thời tại

điểm M cách O một khoảng l = 20m theo đường nằm ngang một vật nhỏ

khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng OM theo chiều từ O đến M

với vận tốc v2 = 7,1m/s Sau một lúc hai vật va chạm vào nhau tại một điểm

trên đường thẳng OM Cho gia tốc rơi tự do g = 10m/s2 Xác định v01

Giải:

- Chọn trục tọa độ như hình vẽ:

Oy

Mốc thời gian là lúc các vật bắt đầu chuyển động.

- Vận tốc của vật 1 trên trục Ox là:

- Vận tốc của vật 1 đối với vật 2 trên trục Ox là:

2 1

OM

12 =

2

01 cos v v

- Từ (2) và (3) suy ra:

2

01 cos v v

2 2 1

82 , 900 2

82 , 900 2

1 , 7

s m

≈

+

(thỏa mản (1)).Vậy v 0 1 = 20(m/s).

* Các bài tập chuyển động thẳng đều khác phương

Câu 4: Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h Một hànhkhách cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô

tô Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là baonhiêu để đón được ô tô?

Giải:

- Gọi ô tô là vật 1, hành khách là 2, mặt đất là vật 3

Muốn cho hành khách đuổi kịp ô tô thì trước hết

véc tơ vận tốc v21 của người ấy đối với ô tô

A

C H

ban đầu véc tơ v21 hướng từ A đến B

có chung góc A và MN//AE//BC => góc AMN bằng góc ABC

Vậy ∆AMN đồng dạng với ∆ABC =>

AC

AN BC

MN = ⇔

AC

AN BC

AE

AC

v BC

v13 = 23

BC

.v AC v BC

AC = (v13 =v1)

BC AC

=> v 23 nhỏ nhất khi sinβ = 1, tức là β = 90 0 => (v 23 ) min = sinα .v 1 = v1

a

d

=

) / ( 8

=

- Vậy, người đó phải chạy với vận tốc 10,8km/h theo hướng vuông góc với

AB về phía đường.

Câu 5: Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l Chúng chuyển động

cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lượt là v1, v2 Tàu A chuyển độngtheo hướng AC tạo với AB góc α (hình vẽ).

a Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A Sau bao lâu kể

từ lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?

b Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với v1) thì các độ lớn vậntốc v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì?

Giải:

- Hai tàu gặp nhau tại M Ta có AM = v 1. t, BM = v 2. t

- Trong tam giác ABM:

- Cosθ = cos[180 0 – (α + β )] = - cos(α + β ) = sin α sin β − cos α cos β

- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 Tại thời điểm ban đầu v21 cùng

1 2 13 23

21 v v v v

1

2 2

2 2

=( 2

1

2 2 1

2 2

2 2 sin sin sin sin βv − α βv v + αv )+

1

2 2 1

1

2 cos )

1

2 cos )

β α

β α

β + = 90 0 ⇒ = 90 0 − ⇒ sin = sin( 90 0 − ) = cos

Theo (1) ta có:

1

2 2

1 sin tan cos

v

v v

α

Câu 6: Hai chiếc tàu chuyển động với cùng vận tốc đều v, hướng đến

O theo các quỹ đạo là những đường thẳng hợp với nhau góc α= 600 Xácđịnh khoảng cách nhỏ nhất giữa các tàu Cho biết ban đầu chúng cách Onhững khoảng l1 = 20km và l2 = 30km

Giải:

- Chọn các truc tọa độ Ox 1 , Ox 2 như hình vẽ.

- Mốc thời gian là lúc các tàu ở M 01 , M 02

( OM 01 = l 1 , OM 02 = l 2 )

- Phương trình chuyển động của các tàu là:

b = +

không thỏa mản (1).

+ f(vt) là tam thức bặc hai có hệ số a > 0 Vậy trên (D 1 ) thì f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = l 1 hoặc vt = l 2

+ f(l 1 ) = (l 1 – l 2 ) 2 (2)

+ f(l 2 ) = (l 1 – l 2 ) 2 (3)

2 Xét khi l 1 < vt < l 2 : (D 2 ) (4) Khi đó x 1 > 0 và x 2 < 0 tức là M 1 nằm ngoài OM 01 , M 2 nằm trên đoạn OM 02 => ( OM1,OM2 ) = 180 0 - α

=> f(vt) = (vt – l 1 ) 2 + (vt – l 2 ) 2 – 2(vt – l 1 )(l 2 – vt )cos(180 0 - α )

= (vt – l 1 ) 2 + (vt – l 2 ) 2 - 2(vt – l 1 )(vt – l 2 )cosα

= 2(1-cosα )(vt) 2

– 2(l 1 +l 2 )(1- cosα)vt + l 1 2 – 2l 1 l 2 cosα + l 2 2 + f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = - ' l1 2l2

a

b = + ∈

(D 2 ) + Vậy f(vt) min = f(

2

2 2

2 2 2 1 2

l l l

cos 1

cos 1

l

l − + α

2 2 1 1 20 30 2

cos 1

1

* Các bài toán về chuyển động tròn

Câu 7: Hai chất điểm chuyển động tròn đều đồng tâm, đồng phẳng,

cùng chiều Với bán kính và tốc độ góc lần lượt là R1, R2 và ω 1, ω2 Cho R1

> R2,,ω > 1 ω 2.Chọn mốc thời gian là lúc các chất điểm và tâm thẳng hàng.Viết biểu thức vận tốc của chất điểm thứ nhất đối với chất điểm thứ hai theothời gian t Từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của vận tốc này

Giải.

Sau khoảng thời gian t

Do v1 vuông góc với OM1

Và v2 vuông g óc với OM2

2

⇔

t R

R R

R

v ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2cos( 1 2)

2 2

2 1 1

2

⇔

t R

R R

R

v ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2cos( 1 2)

2 2

2 1 1

2 1

2 1

( ω R + ω R + ω Rω R = ω R + ω R

Câu 8: Chất điểm chuyển động theo đường tròn bán kính R với vận tốc góc

ω trên mặt bàn phẳng (P) Mặt bàn chuyển động tịnh tiến thẳng đều với vận

tốc v0 đối với mặt đất chọn mốc thời gian là lúc véc tơ vận tốc của chấtđiểm trong hệ quy chiếu gắn với (P) vuông góc với v0

Xác định vận tốc của chất điểm đối với mặt đất tại thời điểm t = ω

π

4

Giải:

- Do véc tơ vận tốc trong chuyển động tròn đều có phương tiếp tuyến

với đường tròn quỹ đạo Vậy tại thời điểm ban đầu chất điểm ở A

Sau thời điểm t chất điểm ở B, bán kính quỹ đạo quét được góc

4 4

π ω

) , (v v0 =π −ϕ=π

2R v ωRv

ω + +

0 2

2R v 2 Rvω

ω + +

Câu 9: Coi quỹ đạo chuyển động của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất

và Trái Đất quay quanh Mặt Trời cùng thuộc một mặt phẳng và cùng làchuyển động tròn đều Các chuyển động quay này là cùng chiều và có chu

kỳ quay lần lượt là TM =27,3 ngày và TĐ= 365 ngày Khoảng cách giữa MặtTrăng và Trái Đất là RM=3,83.105km và giửa Trái Đất và Mặt Trời làRĐ=149,6.106 km.Chọn mốc thời gian là lúc Mặt Trời, Trái Đất,

Mặt Trăng thẳng hàng và Trái Đất nằm giữa ( lúcTrăng tròn)

1 Tính khoảng thời gian giữa hai lần trăng tròn liên tiếp

2 Coi Trái Đất, Mặt Trăng là các chất điểm.Viết biểu thức tính vận tốccủa Mặt Trăng đối với Mặt Trời Từ đó suy ra vận tốc nhỏ nhất, tìm vận tốcnày

1 Xét trong khoảng thời gian ngắn ∆t , Trái Đất quay quanh mặt trời góc

* Xét chuyển động quay của Mặt Trăng trong hệ quy chiếu gắn với Trái

= ∆ α 1- ∆ α2

- Tốc độ quay là:

t t

T

T

1 1 1 2

365 3 , 27

=> Khoảng thời gian giữa hai lần Trăng tròn liên tiếp là 29,5 ngày

2 Gọi vận tốc của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất và vận tốc của Trái Đất quay quanh Mặt Trời là v T và v D Sau khoảng thời gian ∆t thì ( v T , v D ) =

α

∆ =ω ∆t (Do v T vuông góc với D 2 T 2 , v D v uông góc với SD 2 )

=> v TM2 =v T2 +v D2 + 2v T v Dcos ∆ α =v T2 +v D2 + 2v T v Dcos ωt

T

R T

R T

R T

R

π π

π π

cos 2

2 2 2

2

D

2 D

T

R R T

R T

R v

D M

D M D

D M

M TM

π

2 2

2

+ +

2 2

2

T

R T

R T

T

R R T

R T

M

M D

M

D M D

D M

8760

10 6 , 149 2

, 655

10 84 ,

Câu 10: Tàu sân bay chuyển động trên đại dương về hướng Đông với

vận tốc v1 Gió thổi về hướng Bắc với vận tốc v2 Khi hạ cánh, máy bay tiếngần đến con tàu với vận tốc v3 theo hướng thẳng đứng Hãy xác định giá trịvận tốc của máy bay đối với không khí chuyển động?

Giải: Gọi tàu sân bay là (1), gió là (2)

máy bay là (3), đại dương là (4)

- Áp dụng công thức:

pm np

2 24

3

2 2

2 1

2 12

2 31

Câu11: Một sợi dây mảnh chiều dài 2l Mổi đầu dây nối với một quả

cầu nhỏ khối lượng M = 2m Ba quả cầu cùng đứng yên trên mặt bàn nhẳn

nằm ngang, sợi dây kéo căng và ba quả cầu cùng nằm

trên một đường thẳng Bây giờ cấp cho quả cầu M

một xung lực làm cho nó đat vận tốc vo, hướng của vo

thẳng góc với dây Tính vận tốc của các quả cầu và

lực căng sợi dây tại thời điểm hai sợi dây nối các quả cầu m hợp với nhau

2 2

o o

m m

V m m

- Vận tốc của các quả cầu đối với khối tâm G ở thời điểm ban đầu:

+ Đối với quả cầu M:

2 2

O O O G O

V V V

+ Các quả cầu m:

2 2

01

V V

0 2 2

Vậy động lượng của hệ trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm luôn bằng 0.

trong hệ quy chiếu khối tâm là V1G,V2G,V MG Đặt V MG = u Vận tốc của các

quả cầu m đối với quả cầu M là: V 1M,V2M ( V 1M,V2M ) = 120 0 (Do V 1M,V2M

vuông góc với các sợi dây).

-Trong quá trình chuyển động khối tâm G dịch chuyển đối với vật M luôn có

2u = 4u

MG M

M G MG V V

V V V

1

2 1

2 1 2

2

− +

=

u u

u u

u

13 2

) 4 ( ) 13

V

V 1 = V 2 = 14 1328 0 147 0

2 0 2 0

V V

1) XÐt m trong hÖ quy chiÕu g¾n víi M

2 a XÐt c¸c vËt m, M trong hÖ quy chiÕu g¾n víi mÆt sµn:

- VËt m chÞu t¸c dông cña

+ lùc F

+ lùc ma s¸t do M t¸c dông

1

ms F

VËy muèn m trît trªn M th× F > (F ms1 ) max = F ms1Trît.

F 

g



2.b Các lực tác dụng lên M nh hình vẽ: Giả sử F thoả mãn để M trợt khỏi m

khi đó M cũng phải trợt đối với sàn Do đó các lực ma sát đều là lực ma sát

F− à1 − à2( + ) > à

1 g

⇔ F > (à 1 + à 2 ) ( M + m) g = ( 0,15 + 0,1) (3 + 1).10 = 10(N).

Câu 2: Thanh OA quay quanh một trục thẳng đứng OZ

với vận tốc gócω Góc ZÔA = α không đổi

Một hòn bi nhỏ, khối lợng m, có thể trợt không ma sát

trên OA và đợc nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng K

và có chiều dài tự nhiên là l0 Tìm vị trí cân bằng của bi?

Giải :

Xét hệ quy chiếu găn với thanh OA

Viên bi chịu các lực :

+ lực quán tính li tâm: F q = m.a = m ω2 r = m ω2 l sinα .

⇔ l =

α ω

α

2 2

0

Sin m

K

mgCos Kl

Tính gia tốc của m1 và m2 đối với đất a0

Bỏ qua các lực ma sát và khối lợng dây nối và

ròng rọc

Giải:

Xét các vật trong hệ quy chiếu gắn

với thang máy, vật m chịu tác dụng

của trọng lực P1, lực căng dây T1,

lực quán tính F 1, vật m 2 chịu tác dụng

lực quán tính F 2, (T 1 = T 2 = T).

Giả sử m 1 chuyển động duống dới với gia tốc a1

thì m 2 chuyển lên với gia tốc a2 ( a 1 = a 2 = a)

Vật m 1 : T1 + F1 + P1 = m 1 a1 ⇔ P 1 + F q1 – T = m 1 a (1)

Vật m 2 : P2 + F2 + T = m 2 a2 ⇔ T F– q2 P– 2 = m 2 a (2) Cộng (1) và (2) ⇔ P 1 + F q1 – F q2 P– 2 = (m 1 + m 2 )a

⇔ m 1 g + m 1 a 0 - m 2 a 0 m– 2 g = (m 1 +m 2 )a

a =

2 1

0 2

(

m m

a g m

T1

F1 P1 T1

P2 F 2

1

a 

, 1

a

0

a 

0 2

(

m m

a g m m

1 2 0

2

m m

g m m

a

m

+

− +

Gia tốc của m 2 đối với đất

0 2

(

m m

a g m m

1 2 0

2

m m

g m m a m

+

− +

.

Câu 4: Vật khối lợng m đứng yên ở đỉnh một cái nêm nhờ mat sát Tìm thời

gian vật trợt hết nêm và gia tộc của vật đối với đất Khi nêm chuyển độngnhanh dần đều sang trái với gia tốc a0 Hệ số ma sát trợt giữa mặt nêm và m là

à chiều dài mặt nêm là l, góc nghiêng là α và a0 < gcotanα

a 

Vật m chuyển động với gia tốc a trong hệ quy chiếu gắn với nêm,

Ta có:

a m F F

F q Cosα + P Sinα - F ms = m.a

⇔ ma 0 Cosα + mg Sinα - à m (g Cosα - a 0 Sinα ) = ma

) (

2

a Sin Cos

g Cos Sin

l

α à α α

à

a a

Tìm gia tốc của m đối với M

và của M đối với đất

*Xét vật m trong hệ quy chiếu gắn với nêm.

Ta có: P1+N+F q +F ms =m a12 (*)

Chiếu (*) lên oy: N + F q Sinα - mg cosα = 0

⇔ N = mg Cosα - F q .Sinα = mg Cosα - ma 2 Sinα (a 2 l gia à tốc của

M đối với mặt đất )⇔ N = m (g Cosα - a 2 Sinα ).

*Vật M trong hệ quy chiếu gắn với sàn.

⇔ N Sinα - F ms Cosα = M.a 2 (Theo định luật III Niu Tơn N=N’ ,Fms =F’ ms)

⇔ N Sinα - àN Cosα = M.a 2

Thay biểu thức của N vào ta đợc:

m(gCosα - a 2 Sinα ) Sinα - àm.(gCosα - a 2 Sinα ) Cosα = M.a 2

⇔ mg Sinα Cosα - ma 2 Sin 2α - àmgCos 2α +àma 2 Sinα Cosα = Ma 2

⇔ a 2 =

α α à

α

α à

α α

Cos Sin m mSin

M

Cos mg Cos

Sin mg

.

.

.

2

2

− +

Chiếu (*) lên ox ta đợc:

P 1 Sinα - F ms + F q Cosα = m.a 12

⇔P 1 Sinα - àN+ ma 2 Cosα = m.a 12

⇔ mg Sinα -àm (g.Cosα - a 2 Sinα ) + ma 2 Cosα = m.a 12

⇔ a 12 = g.( Sinα - àCosα ) + a 2 (àSinα + Cosα ).

⇔ a 12 = g (Sinα - àCosα ) +

α α à

α

α α

à α à α α

Cos Sin m mSin

M

Cos Sin

Cos Sin

Cos mg

.

) ).(

(

.

2 − +

+

−

Câu 6: Một khối nhỏ K khối lợng m đợc đặt nằm trên khối Q, khối lợng M

nh hình vẽ Ma sát giữa khối K và khối Q, giữa khối Q và mặt sàn nằm ngang x

là không đáng kể Tác dụng một lực F theo phơng nằm ngang vào Q nh thế nào

để ngăn không cho khối K trợt trên khối Q

Giải

khối K trong hệ quy chiếu gắn với Q

α

Cos

mg Cos

N

Fq

F

α