Luật số lớn xác suất thống kê

Trên thực tế, nhiều khi ta cần biết những thông tin cô đọng phản ánh những đặc điểm quan trọng nhất của một bnn.. Ví dụ: khi xét điểm thi đại học toàn quốc khối A, ta cần biết điểm tập t

Trên thực tế, nhiều khi ta cần biết những thông tin

cô đọng phản ánh những đặc điểm quan trọng nhất của một bnn Ví dụ: khi xét điểm thi đại học

toàn quốc khối A, ta cần biết điểm tập trung vào

con số nào và sự phân tán của điểm so với con số

ấy Những thông tin kiểu này được gọi là các

tham s
đc trng ca bnn

 Mode

được xác định như sau:

∗ Nếu X rời rạc, thì biến cố {X = x*} có xác

Ví dụ

P 5/30 15/30 9/30 1/30

mod(X) = 1

30

0

3

081

4 3

x khi

x khi

x x

mod(X) = 3

Ví dụ

Gọi X = thời điểm 1 đoàn tàu đến ga Hà Nội Khi

mod(X) càng sát với giờ quy định tàu đến ga thì tàu càng đúng giờ

<

i m

x

x X

P

d i

và ∑ { = } ≤ 0,5

>

i m

x

x X

P

d i

(xi thuộc tập giá trị của X)

30

0

3

081

4 3

x khi

x khi

x x

081

Nếu lấy số đó =

2

11+

−

ánh đúng thực tế là hầu như X nhận giá trị bằng 1

Sở dĩ như vậy là do trung bình cộng này chưa gắn

hơn

Giả sử trong n lần quan sát X thấy m1 lần X = -1,

m2 lần X = 1 Gọi X là trung bình cộng của n giá trị của X đã quan sát được, thì

n

m n

m n

1{

)1

• Kì vng của bnn X, ký hiệu bởi E(X), là một con

số được xác định như sau

∗ Nếu X là bnn rời rạc với P{X = x i} = p i thì

∞

−

dx x

xp( )

(E là viết tắt của expectation)

Chú ý E(X) không phải bao giờ cũng tồn tại

Ý nghĩa của kì vọng trong kinh tế

Trong kinh tế người ta tính lợi nhuận trung bình theo kiểu kì vọng, gọi là li nhun kì vng hay lãi

kì vng Đó là một tiêu chuẩn để làm căn cứ khi lựa chọn chiến lược kinh doanh

Ví dụ

Viện thiết kế C lập dự án cho 2 công ty A và B

 Dự án này được A và B xét duyệt độc lập với xác suất chấp nhận tương ứng là 0,7 và 0,8

 Nếu A chấp nhận dự án thì trả C 4 triệu, còn

ngược lại thì trả 1 triệu

 Nếu B chấp nhận dự án thì trả C 10 triệu, còn

ngược lại thì trả 3 triệu

 Chi phí cho lập dự án là 10 triệu và thuế 10%

doanh thu

f ( ) , nếu X là bnn rời rạc với

P{X = x i} = p i

E[f(X)] = ∫

∞ +

∞

−

dx x

p x

f( ) ( ) , nếu X là bnn liên tục với hàm mật độ là p(x)

Ghi chú Các bnn X, Y được gọi là đ c lp nếu quy luật ppxs của bnn này không phụ thuộc gì vào bnn kia nhận giá trị bằng bao nhiêu

 Phương sai

Vấn đề Đo mức độ phân tán của bnn X xung quanh trung tâm E(X)

Giải quyết

Độ lệch của X so với trung tâm = X – EX

Nếu lấy mức độ phân tán = trung bình tất cả các độ lệch = E[X – E(X)] thì được số 0 Không thể hiện được sự phân tán

Để khắc phục điều này, ta có thể dùng E|X – EX| hoặc E[X – E(X)]2 để đo mức độ phân tán

• Phơng sai của bnn X, ký hiệu bởi D(X), là

D(X) = E[X – E(X)]2

∗ Nếu X là bnn rời rạc với P{X = x i} = p i thì

∞

−

− E X p x dx

x ( ) 2 ( )

Ý nghĩa của phương sai trong thực tiễn

• Trong sản xuất phương sai biểu thị độ đồng đều

của sản phẩm, biểu thị độ ổn định của năng suất

• Trong kinh tế phương sai biểu thị sự rủi ro của các quyết định

E(X) = 69,16 % D(X) = 3,0944 E(Y) = 68,72 % D(Y) = 1,8016

Nếu chọn phương án đầu tư sao cho tỉ lệ thu hồi

vốn kỳ vọng cao hơn thì chọn A

Nếu chọn phương án đầu tư sao cho độ rủi ro của tỉ

lệ thu hồi vốn thấp hơn thì chọn B

§4



MỘT SỐ QUY LUẬT PPXS THÔNG DỤNG

Chúng có xác suất không đổi qua mỗi lần kiểm tra

đến các kết quả của những lần kiểm tra còn lại.

Ta xét một lược đồ Bernoulli gồm n phép thử

Đặt X = số lần xuất hiện A trong n phép thử

X là một bnn có tập giá trị là {0, 1, 2, …, n}

Ta tìm quy luật ppxs của X

Đặc biệt, khi X ∼ B(1, p) ta nói X có phân bố

không-m t với tham số p

Ví dụ

Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên Bush trong bầu cử tổng thống là 60% Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn

một cách ngẫu nhiên Gọi X là số người bỏ phiếu cho

Bush trong 20 người đó

a) Tính số người bỏ phiếu có khả năng nhất và tính

trung bình số người bỏ phiếu trong 20 người trên

b) Tính P{X ≤ 10}, P{X>12}, P{X = 11}

200,6 0,4

i

i i

20

200,6 0,4

i

i i

i

P{X = 11} = C20110,611 ⋅ 0,49

Muốn tra bảng, ta dùng

P{X = 11} = P{X ≤ 11} - P{X ≤ 10}

= 0,404 – 0,245 = 0,159 ☺

 Phân bố siêu bội

Xét một tập gồm N đối tượng, trong đó có M đối

tượng có tính chất T và N-M đối tượng không có tính chất T Chọn ngẫu nhiên n (n ≤ M) đối tượng theo kiểu không hoàn lại

i M

N N

M

Ví dụ

Trong 500 vé xổ số bán ra có 50 vé trúng thưởng Một người mua 20 vé Tính:

1) Xác suất để anh ta có đúng 3 vé trúng thưởng;

2) Trung bình của số vé trúng thưởng

3 50

20 ⋅ = ☺

Chú ý

Khi n là rất bé so với N thì

i n

i i

n

n N

i

n M N

i M

N

M N

M C

hợp có hoàn lại cho đơn giản

P( ) ( / ) = … ☺