Phương pháp giải phương trình vô tỷ

Khi đó phương trình có dạng cos sin osm kiện để phương trình có nghiệm là: 2 m m Với điều kiện đó ta đặt os 2 m  , với  0,  Ta được: * Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ dạng 2: Sử dụn

Chuyên Đề : Phương trình

1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

* Dạng 1: f x m ,   g x m , 

, cã nghÜa vµ , 0







Lưu ý rằng: Không cần đặt điều kiện f x m ,   0

* Dạng 2: f x m ,   g x m ,   h x m , 

, cã nghÜa vµ , 0

, cã nghÜa vµ , 0













Lưu ý rằng: Không cần h x m ,  0

2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ:

* Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

 Nếu bài toán chứa f x  và f x có thể:  

Đặt t  f x  , điều kiện t  , khi đó 0   2

f x  t

 Nếu bài toán chứa f x ; g x  và f x  g x   k với k là mộ hằng số thì ta có thể:

Đặt t  f x , điều kiện t  , khi đó 0 g x  k

t



 Nếu bài toán chứa f x   g x ; f x g x    và f x g x   k

Đặt t  f x   g x , khi đó    

2

2



 Nếu bài toán chứa a2  x2 có thể:

Đặt x  a sint với

   hoặc x  a cost với 0    t

 Nếu bài toán chứa x2 a2 ta có thể:

Đặt

sin

a x

t

2 2

hoặc

cos

a x

t

 với 0,  \

2

 Nếu bài toán chứa a2  x2 thì ta có thể:

Đặt x  a tant với ;

2 2

x  a ant với t0; 

 Nếu bài toán chứa a x



 hoặc



 thì ta có thể:

Đặt x  acos2t

 Nếu bài toán chứa x a b  x thì ta có thể đặt

sin

x  a ba t

Ví dụ 1: Giải phương trình x2 3x 3  x2 3x 6  3

Giải:

Đặt t  x2 3x  , ta có 3

2

Do đó 3

4

t  Khi đó phương trình có dạng:

t  t      t t t t    t t   t

1 1

t t

 







2 1

2

x

x





 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1;x  2

Ví dụ 2:

Cho phương trình  3 1 4 3 1

3

x

x



a Giải phương trình với m   3

b Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải

1 3

x x

x x







 

3

x

x





Khi đó phương trình có dạng: t2 4t m  (2) 0

 Với m   , 3 2 4 3 0 3

1

t

t

 



 



- Với t   , ta được 3

2

1

3

3 3

x x

x

x

x x

x

 









- Với t   , ta được 1

2

1

3

3

3

x x

x

x

x

x

x

 









Vậy với m   phương trình có hai nghiệm 3 x  1 13 và x  1 5

b Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm

Giả sử khi đó (2) có nghiệm là t thì 0 0  

1 3

3

x

x





- Với t0  0  x   1

- Với t0  suy ra: 0

2 0 2

0

3

x













2 0 2

0

3

x











 Vậy với m   phương trình (1) có nghiệm 4

Ví dụ 3:

Giải và biện luận phương trình x  1 x  m

Giải

x

x x







 Nhận xét rằng   x 2  1 x2  nên đặt: 1

cos







, với 0;

2

Khi đó phương trình có dạng cos sin os

m

kiện để phương trình có nghiệm là:

2

m

m

Với điều kiện đó ta đặt os

2

m

 , với  0, 

Ta được:

* Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ dạng 2: Sử dụng một ẩn phụ chuyển

phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ

số vẫn còn chứa x Khi đó ta thường được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ có biệt số  là một số chính phương

Ví dụ: Giải phương trình   3 3

4x1 x  1 2x 2x 1

Giải

Đặt t  x3 1 với t  0t2  x3  1

Khi đó phương trình có dạng:

4x1 t  2 x 1 2x 1 2t  4x 1 t 2x 1 0

Ta có  4x12 8 2 x1  4x32

Do đó phương trình có nghiệm là 4 1 4 3

4



 2

3

3 3

3

1

2

1

3 4

4

x x

x

x

x

x

























 



 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

* Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ dạng 3: Ta sử dụng k ẩn phụ chuyển

phương trình ban đầu thành một hệ phương trình vớ k ẩn phụ

Ta cần tìm ra mối liên hệ giữa các ẩn phụ với nhau để lập thành một

phương trình

Ví dụ: Giải phương trình 3 2  x  1 x  1

Giải

Điều kiện: x 1 0  x  1

Đặt

3

2

1

v









Ta có mối liên hệ giữa u và v để lập thành phương trình thứ 2 là

1

u v 

Do đó phương trình được chuyển thành hệ phương trình sau:

 

2 3

1

1



 



Giải ra u, v từ đó suy ra x

x  x  x 

Bài tập tự luyện

1 Với giá trị nào của a thì phương trình 31 x  31 x  có nghiệm a

2 Giải phương trình 3 9 x  2  x  1

4 Với giá trị nào của a thì phương trình 1 x  1 x  có nghiệm a

5 Giải và biện luận phương trình x  4  x  m

6 Giải và biện luận phương trình x  1 x2  m

* Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 4: Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương

trình ban đầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và 1 một ẩn x

Dạng 1: Phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai

 2

ax b  c dx e  x  

Với d  ac  và e  bc 

Phương pháp:

Điều kiện: ax b  0

Đặt dy  e ax b, điều kiện dy  e 0

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

2

2 2

1

2







 



Trừ vế theo vế ta được

   

3

, 4

h x y

 



- (3) thay vào (1) ta được một phương trình bậc hai theo x

- (4) thay vào (1) ta được một phương trình bậc hai theo x

Dạng 2: Phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba

 3

3

ax b  c dx e  x 

Với d  ac  và e  bc 

Phương pháp giải:

Điều kiện ã   b 0

Đặt dy  e 3 ax b, điều kiện dy  e 0

 

3 3

3 3

1

2







 



Trừ vế theo vế, ta được:

   

3

, 4

h x y

 



- Thay (3) vào (1) ta được một phương trình bậc hai theo x

- Thay (4) vào (1) ta được một phương trình bậc hai theo x

Ví dụ 1: Giải phương trình x 1 x2  4x  5

Giải

Điều kiện x  1 0  x   1

Ta tìm cách biến đổi về dạng: x  1 x 22  1

Ở đây a  b  c  d   1;e  2;  thỏa mãn điều kiện d0  ac

và e bc  

Đặt y  2  x 1, điều kiện y 2  0 y   2 (*)

Khi đó phương trình được chuyển về hệ:

 

 

   

   



- Với x  thay vào (1) ta được: y

2

x  x   vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x   1 4x2 13x  5

Giải

3

x   x   Viết lại phương trình

3x 1 2x 3  x 4  3x   1 2x3  x  4

Ở đây a  3;b 1;c  1;d  2;e  3; 1;  thỏa mãn điều kiện 4

d  ac  và e bc  

Đặt 2y  3 3x1, điều kiện 2 3 0 3

2

Khi đó phương trình chuyển thành hệ:



Tự giải tiếp

* Nhận xét: Ở bước biến đổi đầu tiên 3x   1 2x 32  x  ta 4 không thể được ngay 2y  3 3x 1, bởi khi đó các hệ số của phương

trình không thỏa mãn điều kiện d  ac  và e bc  

Ví dụ: Giải phương trình x3  2 3 33 x  2

Giải

Đặt y  3 3x 2

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ

 

3

Tự giải tiếp

* Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f x   g x 

- Bước 2: Xét hàm số y  f x  và y  g x  Dùng lập luận khẳng định hàm số y  f x  là đồng biến còn hàm số y  g x  là hàm hằng hoặc

Xác định x sao cho 0 f x 0  g x 0

- Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  x0

Ví dụ: Giải phương trình 4x  1 4x2  1 1 (1)

Giải:

Điều kiện:

2

2

x

x x

 





 



Nhận xét rằng: Số nghiệm của phương (1) là số giao điểm của hàm số

2

y  x   x  và đường thẳng y  1

Xét hàm số y  4x  1 4x2  1

Tập xác định 1;

2

   

Đạo hàm:

2

2

x

 hàm số đồng biến

Do đó, phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

2

x  thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

2

x 

Ví dụ: Giải phương trình x  1 x3  4x  5

Điều kiện x  1

Xét hàm số f x   x là hàm đồng biến trên 1 D 1; 

Xét hàm số   3

g x  x  x  Miền xác định D 1; 

Đạo hàm

  2

g x   x    x D  hàm số nghịch biến trên D

Do đó phương trình f t   g t  nếu có nghiệm đó là duy nhất

Thấy x  thỏa mãn phương trình 1

Vậy phương trình có nghiệm x  1

* Sử dụng phương pháp đánh giá

Phương pháp: Nhiều phương trình bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên

a Tam thức bậc hai

b Các bất đẳng thức cơ bản:

- Bất đẳng thức Côsi a b  2 ab với a  0;b  Dấu “=” xảy ra khi 0

a  b

Hay a2 b2  2ab

Dạng mở rộng 1 2 n 1 2

a  a   a  n a a a Dấu “=” xảy ra khi

a  a   a

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

 2 2 2 2

ax by  a  b x  y với x y a b, , ,   Dấu “=” xảy ra khi

a  b

Dạng mở rộng

 2 2 2 2

a b   a b  a   a b  b Dấu “=” xảy ra khi

1

1

n

n

b b

Ví dụ: Giải phương trình x2 2x 5  x 1 2

Giải

Điều kiện x  1 0  x  1

Dấu “=” xảy ra  x  1

Vậy phương trình có nghiệm x  1

Ví dụ: Giải phương trình x x2  1 x  x2  1 2

Giải:

Điều kiện:

2

2 2

1 0

1 0

x









Sử dụng bất đẳng thức Cosi, ta có

Dấu “=” xảy ra

2

1

x

Vậy phương trình có nghiệm x  1

Ví dụ: Giải phương trình 2 7x3 11x2  25x 12  x2 6x1

Giải

2 7x 11x  25x 12  x 6x 1

7

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho vế trái, ta được:

2 7x 4 x  x 3  7x 4  x  x 3  x 6x  1 VP

7

x

x





