Tạp Chí Con Đường Đại Học số 2 Truonghocso.com

Đến đây, phương trình có thể giải một cách dễĐôi khi biểu thức không nhất thiết chỉ đơn thuần với biến x... KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Hà Thành Trung Đã nhiều

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Nguyễn Thanh Trà

Trong các kì thi nói chung và thi ĐH nói

riêng Ta hay gặp những bài toán với một đại

lượng khó xử lý (căn thức, biểu thức với số

mũ) Khi đó, một ý tưởng tự nhiên là đặt biểu

thức đó bằng một ẩn mới Điều đó làm đơn

giản phương trình để dễ nhìn nhận Sau đó, ta

tìm các mối liên hệ giữa ẩn mới và ẩn ban đầu

để được phương trình đơn giản hơn

Chúng ta đến với ví dụ đầu tiên

phương trình bậc 2 Sau đó coi đây là phương

trình bậc 2 theo ẩn y, giải phương trình này

ta tính được x theo y (hai phương trình có bậc

nhỏ hơn)

Ta nhìn nhận lại phương trình theo một góc

độ khác Ta xét cách giải phương trình:

y2− (x + 1)y + 2(x − 1)Xét ∆ = (x + 1)2 − 8(x − 1) = x2 − 6x + 9 =(x − 3)2

Như thế, phương trình có nghiệm:

Chúng ta có một số bài toán tương tự

Vẫn như tư tưởng bài toán trước, đặt

là đơn giản vì đó chỉ là phương trình bậc 2 F

Ta hãy thử với một bài toán nữa:

Ví dụ 7 Giải phương trình:

x2+ 12x + 2 = (x − 2)√

x2 + 8x + 1Đặt √

x2+ 8x + 1 = y Ta tìm số a thíchhợp:

∆y = (x − 2)2+ 4a[(a + 1)x2+ (12 + 8a)x + 2 + a]

= x2− 4x + 4+ 4a[(a + 1)x2+ (12 + 8a)x + 2 + a]

= (4a2+ 4a + 1)x2+ (48a + 32a2− 4)x + (4a2+ 8a + 4)

= (2a + 1)2x2+ (48a + 32a2− 4)x + 4(a + 1)2Bây giờ ta sẽ xét ∆0x = 0 Ta có:

 y = x−2+2x−1

3 x−2−2x+1 ⇔ y = x − 1

x+1

Đến đây, phương trình có thể giải một cách dễ

Đôi khi biểu thức không nhất thiết chỉ đơn

thuần với biến x Ta đến với một số ví dụ sau:

lượng ay2 vào hai vế của phương trình:

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn√

x + 4.Phương trình đã cho tương đương với:

"

y =

√ x+1−2+3√x+1−2 2

y =

√ x+1−2−3√x+1+2 2

x + 2 + (x − 1)√

x + 2 = 2x − 1 + (x + 1)√

x − 1

tìm được lời giải Ta đến với cách giải sau:

Lời giải Bình phương một vế để phương trình

chỉ còn có một biểu thức dưới căn Ta thử như

x2+ 2 Phương trình tươngđương với:

x2+ 2x = (x + 1)y

⇔ x2+ 2 + 2x − 2 = (x + 1)y

⇔ y2− (x + 1)y + 2x − 2 = 0

⇔ (y − 2)(y − x + 1) = 0

Đến đây phương trình trở nên đơn giản F

Ta có thể trình bày lời giải một cách đẹp đẽ

Như vậy từ phương trình với hai căn thức, ta

đã bình phương để phương trình chỉ còn mộtcăn Đến đây ta giải bằng cách đặt ẩn phụkhông hoàn toàn Tương tự, ta có:

Ví dụ 16 Giải phương trình:

√2x2+ 4 = 2(x − 2) +√

về một phương pháp đồng thời trang bị mộtcông cụ để giải phương trình trong kì thi Đạihọc sắp tới

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Hà Thành Trung

Đã nhiều lần trong nhiều bài bất đẳng thức,

bạn đọc một lời giải và tự hỏi: Tại sao lại

tách được hệ số như vậy? Đó là bí ẩn chỉ có

thể làm rõ khi hiểu cặn kẽ một bài toán bất

đẳng thức: Đó là dựa trên dự đoán về dấu

bằng của bất đẳng thức Bài viết này sẽ cũng

cấp cho bạn đọc một cái nhìn tới bản chất

của những lời giải: Kĩ thuật chọn điểm rơi

Kĩ thuật chọn điểm rơi trong BĐT gồm 2

bước:

1 Dự đoán dấu bằng xảy ra,đó chính là điểm

rơi cần tìm

(Thông thường cực trị BĐT đạt được khi các

biến nhận giá trị bằng nhau,một số biến bằng

nhau,cực trị tại biên…)

2 Từ điểm rơi đó ta lựa chọn các BĐT phù

hợp để đi đến lời giải

Sau đây chúng ta sẽ đến với một sô ví dụ từ dễ

đến khó trong các toán ,các bài thi ĐH,các

cuộc thi toán để thấy được ứng dụng vô cùng

rộng của kĩ thuật này

Để bắt đầu chúng ta xét một bất đẳng thức

hết sức đơn giản sau:

Ví dụ 1 Cho các số thực dương , , thỏa

Khi đã dự đoán được điều kiện xảy ra dấu bằng, bước tiếp theo ta sẽ tìm một cách phân tích thích hợp Biểu thức cần tìm có bậc nhất

và các biến , , , ở đầu bài có bậc 2 Ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy

Hãy để ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức Cauchy Đến đây ta có lời giải như sau:

bằng xảy ra khi = = = 1.Đến đây gặp khó khăn vì bậc vế trái nhỏ hơn vế phải không áp dụng Cauchy được Ta phải biến đổi

Phân tích để đi đến lời giải: Dự đoán dấu

bằng khi = = Ta nghĩ đến tách như sau

Ta dự đoán dấu bằng khi = = = 3

3nên phải là :

Ví dụ 7 Cho tam giác ABC chứng minh rằng

sin sin sin

sin sin sin cos sin cos

ý tưởng nghiệm duy nhất của phương trình

Lời giải Điều kiện: x ≥ 1

2.Đặt f (x) =

q

x+7 x+1 và g(x) = 2x2 +√

Do đó phương trình có không quá 1 nghiệm Dễ

thấy phương trình có nghiệm x = 2 Do đó x =

2 là nghiệm duy nhất của phương trình F

Ta nhận thấy phương trình trên không thể

giải theo cách thông thường (đặt ẩn phụ, phân

tích nhân tử) Hai vế của phương trình, một

vế là hàm số đồng biến, một bên là hàm số

nghịch biến Do đó phương trình có không quá

1 nghiệm Sau đó, ta thấy x = 2 là một nghiệm

của phương trình và kết luận phương trình có

nghiệm duy nhất

Trước khi đến với các ví dụ tiếp theo, chúng ta

đến với một chú ý:

• Nếu f (x) là hàm số đơn điệu (tăng hoặc

giảm), hay nói cách khác f0(x) luôn dương

(luôn âm) với mọi x ∈ A thì phương trình

f (x) = a không có quá 1 nghiệm trên A

• Nếu f (x) đồng biến và g(x) đồng biến thì

phương trình f (x) = g(x) không có quá 1

nghiệm

• Nếu f(n)(x) vô nghiệm trên A thì phươngtrình f (x) = a không có quá n nghiệmtrên A

Như vậy, tùy thuộc vào bài toán mà ta cónhững đánh giá khác nhau và chọn hàm số chophù hợp

Chúng ta đến với một bài toán khác:

Lời giải Nhận thấy rằng các biểu thức chứa

x với dấu + tập trung hết về một vế Ta liêntưởng ngay đến việc vế trái là hàm đồng biến.Xét f (x) = √3

x3+ 7 +√

2x − 1 + x3 Ta có:

f0(x) = x

2(x3+ 7)2/3 + √ 1

2x − 1 + 3x

2 > 0

Rõ ràng f (x) là hàm đồng biến Như vậyphương trình f (x) = 4 có không quá 1 nghiệm.Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

Dấu hiêu đặc trưng để nhận biết những phươngtrình có thể giải theo cách trên là rất rõ ràng.Bạn đọc hãy luyện tập với một số ví dụ:

Ví dụ 5 Giải phương trình:

x3− 2√x + 2 − 4 = 0

Phương trình trên có dạng khá lạ Dĩ nhiên là

chúng ta có thể làm mất căn thức và xuất hiện

phương trình bậc 6 Nhưng đây không phải

cách thông minh Chúng ta làm như sau:

Lời giải Xét hàm số

f (x) = x3− 2√x + 2 − 4

Ta có f0(x) = 3x2− √1

x+2.Đến đây, ta thấy không chắc f (x) là hàm đồng

biến, nghịch biến Tuy nhiên, ta hãy chú ý như

x+2−1

√

x+2 ≥ 0 Do đó f (x) đồng biến với x ≥ 1

Vậy phương trình f (x) = 0 không có quá 1

nghiệm Dễ thấy x = 2 là nghiệm của phương

trình

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 F

Lưu ý rằng chúng ta có thể giải phương trình

Ví dụ 9 Giải phương trình:

√4x2− 1 +√2x2− x =√x +√

2x + 1

Lời giải Điều kiện: x ≥ 1

2.

Dự đoán x = 1 là nghiệm của phương

√4x2− 1;√2x2− x;√x;√

2x + 1 lần lượt

là 3, 1, 1, 3 Do đó, ta biến đổi phương trình:

√4x2− 1 −√2x + 1 =√

x −√2x2− x

Với 1

2 ≤ x < 1 thì √4x2− 1 < √2x + 1 ⇒

√4x2− 1−√2x + 1 < 0 và√

x >√2x2− x ⇒

√

x −√2x2− x > 0 (vô lý)Với x > 1 Ta có √

4x2− 1 > √2x + 1 ⇒

√4x2− 1−√2x + 1 > 0 và√

x <√2x2− x ⇒

√

x −√2x2− x < 0 (vô lý)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

Lời giải Phương trình đã cho tương đương

Những bài toán trong dạng này có lời giải khá

tự nhiên và gọn gàng Tuy nhiên nó chỉ là một

phần của phương pháp "dùng liên hợp để giải

phương trình" Ta sẽ đến với một số bài toán

mà sử dụng lượng liên hợp phải "bó tay"

3x+2, 55x+1 > 5x+5 Suy ra:

22x−1+ 33x+ 55x+1> 2x+ 3x+2+ 5x+5Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 FPhương trình sau đây giải hoàn toàn tương tự:

−2x+42 + 5

 

2x+42 − 1< 0 (vô lí)Vậy x = −4 là nghiệm duy nhất của phương

log5(y + 3) (log2y − log3(y + 1))

= log3(y + 1) (log5(y + 3) − log4(y + 2))Đặt f (y) = log2y − log3(y + 1), g(y) = log5(y +3) − log4(y + 2) Ta thấy:

Với 0 < y < 2 thì f (y) < 0 và g(y) > 0

Với y > 2 thì f (y) > 0 và g(y) < 0

Vậy y = 2 là nghiệm duy nhất của phươngtrình Khi đó 4x + 1 = 2 ⇔ x = 1

có được suy nghĩ nhạy bén, không bị bối rốitrước mỗi phương trình

DAO ĐỘNG SÓNG CƠ NGUYỄN THỊ HẢI – BÙI VĂN ĐẠT

Sóng cơ học là một phần tiêu biểu trong các đề

thi đại học cao đẳng Các dạng bài tập sóng

ngày càng đa dạng về tư duy, độ khó và cách

giải bài tập Và thời gian để hoàn thành các bài

tập khá lâu nếu ta không chọn được cách giải

tối ưu cho chính mình Chúng tôi mong gửi tới

mọi người sự tối ưu hoá trong phương pháp và

giúp cho mọi người hiểu và giải quyêt các bài

toán về sóng cơ được tốt nhất

Phương pháp 1: Sử dụng độ lệch pha để giải

quyết các bài toán về giao thoa sóng

Xét phương trình sóng tại hai nguồn A,B:

Đến đây ta có thể sử dụng độ lệch pha để giải

quyết các bài toán về tìm số cực đại, cực tiểu và

các bài tập về biên độ dao động của vật một cách dễ dàng với các trường hợp dao thoa hai sóng khác biên độ và độ lệch pha hai sóng là bất kì góc nào

Sử dụng độ lệch pha là phương pháp tiêu biểu trong tổng hợp dao động cơ học Với bài toán sóng cơ thì giúp ta giải quyết kha nhanh để tìm mối liên hệ giữa khoảng cách thoả mãn điều kiện của bài toán

Biên độ dao động tại M:

•M dao động với biên độ bằng c thì khi đó từ

giá trị của c mà ta tìm được giá trị của cos ∆ ϕ

rồi sau đó sẽ đưa về tìm góc ∆ ϕ rồi tìm được

hiệu quãng đường của hai sóng mà M nhận

được

Phương pháp 2: Sử dụng đường tròn lượng

giác để giải các bài toán giao thoa

(các bài toán giao thoa với hai nguồn cùng

Từ biểu thức trên ta thấy biên độ dao động của

một điểm là một đại lượng biên thiên theo

khoảng cách theo hàm x = acos ( ω t )Như vậy

ta có thể biểu diễn giá trị thay đổi của biên độ

trên đường tròn lượng giác giống như đường

tròn ở trong dao động cơ học

• Xét hai điểm M và N nằm giữa AB với:

λ

λ Điều này chứng tỏ khi xét trên đường tròn biên

độ thfi độ lệch pha của các biên độ cũng chính

là 2 d π

λ với d là khoảng cách của hai điểm trong giao thoa sóng nói chung và sóng dừng nói riêng với các điểm thuộc đoạn AB Đến đây

ta xét biên độ của sóng tại I là trung điểm của AB:

Như vậy ta có điểm dao động với biên độ cực

đại gần trung điểm nhất sẽ gần nguồn 2 hơn hay

là gần nguồn chậm pha hơn

Đặc biệt khi hai nguồn cùng pha thì ta có

1 2

d =d hay đó chính là trung điểm của AB

⇒ Nếu thay đổi độ lệch pha thì hệ vân giao

thoa sẽ dịch chuyển về nguồn chậm pha hơn

Như vậy nếu ta tính được trung điểm I của

hainguồn dao động với biên độ bao nhiêu

( 0< <a a max) Khi xét về các điểm lệch vềnguồn

chậm pha hơn thì biên độ tăng, về nguồn sớm

pha hơn thì biên độ giảm Về phía nguồn nhanh

pha hơn ta chọn biên độ của I ở vị trí I còn về

phía nguồn chậm pha hơn thì biên độ của I ở

VT II Ta có thể áp dụng đường tròn vào bài

toán tìm cực đại, cực tiểu với bước sóng được

B2: Xác định biên độ của I trên đường tròn

B3: Tính số vòng mà biên độ của I quay được khi tính ở cả hai vị trí 1, 2

Cộng vào ta được đáp án

Ví dụ

Ví dụ 1 Cho hai nguồn A, B dao động cùng

pha với nhau và cùng biên độ a=2 cm Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên AB biết AB=27 cm và bước sóng là 2 cm

Bài giải Ta có biên độ A I =2 a cos0=4a Như vậy I dao động với biên độ cực đại Vậy I ở một trong hai vị trí biên.Vậy nếu tính từ vị trí biên dương thì vật qua 13 lần còn tính từ biên âm thì cũng là 13 lần Nếu tính cả I nữa sẽ là 13x2+1=27 lần

Như vậy có 27 điểm dao động với biên độ cực đại

Ví dụ 2: Cho hai nguồn sóng đặt tại hai điểm

A,B là:

Với bước sóng là λ= 20(cm) Xét hai điểm M,

N nằm đối xứng nhau qua trung điểm I của hai nguồn.Tính số điểm dao động với biên độ là

Bài 1 Trên mặt nước tại hai điểm S 1 , S 2 người ta

đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà

theo phương thẳng đứng với phương trình u A =

6cos40πt và u B = 8cos(40πt ) (u A và u B tính bằng

mm, t tính bằng s) Biết tốc độ truyền sóng trên mặt

nước là 40cm/s, coi biên độ sóng không đổi khi

truyền đi Trên đoạn thẳng S 1 S 2 , điểm dao động với

biên độ 1cm và cách trung điểm của đoạn S 1 S 2 một

đoạn gần nhất là

A 0,25 cm B 0,5 cm C 0,75 cm D 1

Bài 2. Trên mặt nước tại hai điểm S 1 , S 2 cách nhau

8 cm, người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao

động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương

trình u A = 6cos40πt và u B = 8cos(40πt ) (u A và u B

tính bằng mm, t tính bằng s) Biết tốc độ truyền

sóng trên mặt nước là 40cm/s, coi biên độ sóng

không đổi khi truyền đi Số điểm dao động với biên

độ 1cm trên đoạn thẳng S 1 S 2 là

A 16 B 8 C 7 D 14

Bài 3: Tại 2 điểm A,B trên mặt chất lỏng cách nhau 16cm có 2 nguồn phát sóng kết hợp dao động theo phương trình: u 1 = acos(30πt) , u 2 = bcos(30πt +π/2 ) Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 30cm/s Gọi

C, D là 2 điểm trên đoạn AB sao cho AC = DB = 2cm Số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn CD là

A.12 B 11 C 10 D 13

Bài 4: Trên mặt nước tại hai điểm S1 , S 2 người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình u A = u B = 6cos40πt (u A và u B tính bằng mm, t tính bằng s) Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40cm/s, coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi Trên đoạn thẳng S 1 S 2 , điểm dao động với biên độ 6mm và cách trung điểm của đoạn S 1 S 2 một đoạn gần nhất là

A 1/3cm B 0,5 cm C 0,25 cm D 1/6cm

Bài 1.Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn

kết hợp A,B cách nhau 10cm, dao động theo

phương thẳng với phương trình lần lượt =

3 cos 40 + 6 à = 4 cos 40 +

2

3 .Cho biết tốc độ truyền sóng là 40cm/s Một

đường tròn tâm là trung điểm AB nằm trên mặt

nứoc có bán kính R=4cm.Số điểm dao động với

biên độ 5cm có trên đường tròn là?

A:30 B:32

C:34 D:36

Chúng ta để ý thấy rằng với bài toán như thế này

liệu dung phương pháp như trên được không khi

mà biên độ của chúng khác nhau

Hoàn toàn dung được vì lúc đó ta có biên độ tại 1

điểm như sau :

12+ 22 + 2 1 2cos 2 ( 1− 2)

λ + 2 − 1

Nó cũng là 1 đại lượng biến thiên tuần hoàn theo

1 − 2 vậy ta làm hệt như trên

• Bài làm : biên độ tại trung điểm của AB là :

Câu hỏi suy ngẫm

Với 1 bài mà tìm trên 1 đoạn thẳng nằm ngoài đường thẳng nối hai nguồn thì các bạn hãy suy nghĩ xem nó còn going như vậy không nhé? Câu trả lời của tôi là có, các bạn hãy suy nghĩ vì sao lại có nhé

VD:Cho = 6 ( + 5 /6) và =

8 ( + /6) .Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là: v=100cm/s; Khoảng cách giữa hai nguồn là O 1 O 2 =4cm,O 1 O 2 PQ là hình thang cân với diện tích là 12cm2 và PQ = 2cm là một đáy của hình thang Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền sóng Số điểm dao động với biên độ 2√13 cm trên O1P là????

Bài 2.Tại hai điểm A và B trên mặt nước cách nhau

16 cm có hai nguồn phát sóng kết hợp dao động theo pt: = cos(30 ) à =

30 + Tốc độ truyến sóng trên mặt nước là 30cm/s Gọi E F là hai điểm trên đoạn AB sao cho AE=FB=2cm Tìm số điểm cực tiểu trên EF?

Như đã chứng minh ở trên thì :

ta sẽ tìm được đáp án của bài toán với EF = 12cm Vậy công thức khi tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu khi hai nguồn lệch pha 1 góc bất kì trong đoạn AB trên đoạn thẳng nối 2 nguồn trong vùng giao thoa là:

Câu hỏi suy ngẫm: nếu AB không nằm trên đường

thẳng nối hai nguồn thì sẽ ra sao, hãy cùng suy nghĩ

Bài 3 Trên mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp S1 ,

S 2 dao động với phương trình tương ứng u 1 =acosωt

và u 2 = asinωt Khoảng cách giữa hai nguồn là

S 1 S 2 =3,25λ Trên đoạn S 1 S 2 , số điểm dao động với

biên độ cực đại và cùng pha với u 2 là:

Hướng suy nghĩ : Khi mà bài toán còn liên quan

đến pha dao động thì chúng ta vẫn sẽ tìm số điểm

dao động cực đại hay cực tiểu như bình thường sau

đó sẽ giải quyết đến vấn đề cùng pha hay ngược

pha, ở trên tôi đã trình bày cho các bạn về độ lệch

pha của các điểm trên đoạn thẳng nối hai nguồn

nên

Hướng làm : tìm pha tại trung điểm , sau đó nếu

cùng pha như yêu cầu đề bài thì ta sẽ lấy những cực

đại ứng với k chẵn, còn nếu ngược pha thì ta sẽ lấy

cực đại ứng với k lẻ

Cách giải bài toán trên :

Số điểm dao động cực đại:

Có = − ( ) = -3,5

Vậy I ngược pha với nguồn 2 vậy ta sẽ lấy những k

lẻ

Vậy k = -3, -1,1 có 3 điểm

Cách giải quyết chung:

1 Tìm số điểm dao động cực đại, hay cực tiểu,

Câu hỏi suy ngẫm : liệu rằng nếu hai nguồn khác

biên độ ta còn làm vậy được không???

1 Lời giải cho kỳ trước

Câu 1: Ở VTCB lúc đầu, lò xo giãn ∆ =

=> biên độ = ∆ =

Khi vật ở vị trí thấp nhất, lò xo giãn 2 =

Khi vật giảm khối lượng, VTCB thay

đổi Ở VTCB mới, lò xo giãn ∆ = => vật

đang đứng yên tại vị trí cách VTCB mới này

− = và bắt đầu dao động mới

Biên độ dao động là =

Câu 2: Quãng đường mà vật chuyển động là

7cm Cần tính khoảng thời gian vật di chuyển

vị trí 2 vật là 2cm, vận tốc =

−40 sin(10 + ) = 20√3 / Sau khi tác

ra, tiếp tục chuyển động thẳng đều với vận tốc 20√3 / , dao động mới với tần

số = = 10√2, = + =

√10 Tìm được phương trình dao động là = √10 cos 10√2 − 0,886 => lò xo dãn cực đại lần đầu, vật ở vị trí biên, t=0,0626s Lúc này đã đi được20√3.0,0626 = 2,168 Khoảng cách

2 vật 2,168 − (√10 − 2) = 1,006

Câu 4: Điều kiện cực tiểu ( )

− = + , M gần I nhất → = 0; = +

; = − → − = → =Đáp án: A

Câu 5: Biên độ 1 điểm trên AB là =

10 cos ( )+ − = ±5√3

=>Hoặc:

( )

+ = + → − = − = 12 − 1 → −29 ≤ 12 − 1 ≤

29 → = {−2; −1; 0; 1; 2) → có 5 điểm Hoặc:

( )+ = − + → − = − = 12 − 5 → −29 ≤ 12 − 5 ≤

29 → = {−2; −1; 0; 1; 2) → có 5 điểm Tổng cộng có 10 điểm

Đáp án: D