Tài liệu TẠP CHÍ CON ĐƯỜNG ĐẠI HỌC SỐ 1 - Đi về phía mặt trời docx

Đặt ẩn phụ để giải phương trìnhNguyễn Thanh Trà Ngày 11 tháng 12 năm 2012 cách đưa về hệ phương trình đối xứng Đặt ẩn phụ là một phương pháp quen thuộc trong giải toán nói chung và giải

Đặt ẩn phụ để giải phương trình

Nguyễn Thanh Trà Ngày 11 tháng 12 năm 2012

cách đưa về hệ phương

trình đối xứng

Đặt ẩn phụ là một phương pháp quen thuộc

trong giải toán nói chung và giải phương trình

nói riêng Trong dạng này, việc đặt ẩn phụ

rồi tìm liên hệ ngược lại giữa phương trình và

biến x sẽ dẫn ta đến một hệ phương trình Hệ

phương trình có giải được hay không tùy thuộc

vào sự khéo léo trong cách đặt ẩn phụ của các

Ví dụ 1 Giải phương trình:

x2+ 2 = 3√

3x − 2Lời giải Với bắt đầu đơn giản, ta sẽ đặt a =

Từ đây ta có thể dễ dàng giải bài toán F

Như vậy, một cách tổng quát, với phươngtrình:

Ví dụ 2 Giải phương trình:

x2− x − 9

4 = 3

√3x + 1

Lời giải Đặt√

3x + 1 = a −12 Ta có a2− a +1

4 = 3x + 1 ⇔ a2− a − 3

4 = 3x Vậy(

x2− x − 3

4 = 3a

a2− a − 3

4 = 3xTrừ theo vế hai đẳng thức Từ đây ta có thể

Việc đặt √

3x + 1 +12 = a có vẻ hơi thiếu tựnhiên Một cách tổng quát hơn, có thế giải bàitoán lại như sau

Lời giải

x2− x −9

4 = 3

√3x + 1

2) +

52Đây là dạng toán quen thuộc như trên khi ta

Như vậy, với mỗi cách thay x bởi các biểu

thức vào phương trình (1) thì ta sẽ có nhiều

bài toán thú vị Hãy xét một số vị dụ cụ thể

Ví dụ 3 Giải phương trình:

x2+ x + 13

4 = 2

√2x − 2

Ví dụ 4 Giải phương trình:

2x2− 2√2x − 2 = 3

q

3√2x

3x

2+ 1112

Để giải các bài toán này, ta làm ngược lại

Tức là ta sẽ phân tích phù hợp để xuất hiện

(ax − b)2+ d = epe(ax − b) − d Từ đó đặt ẩn

phụ at − b =pe(ax − b) − d Ta sẽ có các hệ

phương trình đối xứng

Thế nếu hệ số của x2 không phải là 1 thì sao?

Hay cụ thể hơn, ta xét các phương trình:

ax2+ b = c

r

cx − baĐiều này chỉ là tăng tính phức tạp chứ không

tăng độ khó Chia cả hai vế cho a 6= 0 Ta có:

2x2+ 4x + 3 Ta thử biến đổi như sau:4x2+ 5x = (x + 2)√

bx − a.Tương tự suy nghĩ như trên, ta đặtp(x + 2)(2x + 1) − (x − 1) = 2y + 1 Ta có:(

(2x + 1)2+ x − 1 = (x + 2)(2y + 1)(2y + 1)2 + x − 1 = (x + 2)(2x + 1)Trừ theo vế hai phương trình, ta có (2x + 1)2−(2y+1)2 = (x+2)(2y−2x) ⇔ 2(x−y)(2x+2y+2) = 2(y − x)(x + 2) ⇔ (x − y)(3x + 2y + 4) =

0 ⇔ x = y

3x + 2y + 4 Đối với mỗi phương trình

ta đều quy về phương trình bậc 2 Việc giải cácphương trình này là khá dễ dàng FMột câu hỏi đặt ra là làm sao để tìm ra phântích 4x2+ 5x = (2x + 1)2+ (x − 1) hay nói cáchkhác điều quan trọng nhất ở đây là tìm ra biểuthức 2x + 1

Để ý một chút là khi phân tích 4x2 + 5x =(x + 2)√

2x2+ 4x + 3 ⇔ (2x + 1)2+ (x − 1) =(x + 2)p(x + 2)(2x + 1) − (x − 1) Cộng biểuthức vế trái và biểu thức trong dấu căn, ta có:

(4x2 + 5x) + (2x2+ 4x + 3)

= ((2x + 1)2+ (x − 1))+ ((x + 2)(2x + 1) − (x − 1))

= (2x + 1)2+ (x + 2)(2x + 1)

= (2x + 1)(2x + 3)Như thế, khi cộng biểu thức vế trái và biểuthức trong dấu căn và phân tích thành nhân

tử thì một trong hai nhân tử là biểu thức cầntìm

Hãy áp dụng phương pháp này để giải ví dụsau:

Ví dụ 8 Giải phương trình:

x2+ x + 2 = (x + 2)√

x2+ 4x + 1Lời giải Cộng biểu thức vế trái và biểu thức

((y + 1)3+ 1 = 4(x + 1)(x + 1)3+ 1 = 4(y + 1)

Hệ phương trình đối xứng này được giải khá

Trừ theo vế các đẳng thức, ta có 2(x − y)[(2x −

5)2 + (2x − 5)(2y − 5) + (2y − 5)2] = 2(y −

x) ⇒ x = yvì a2+ ab + b2+ 2 > 0 Thay vào

phương trình trên ta được (2x−5)3 = x−2 Từ

đó ta tìm được nghiệm của phương trình F

Trên một phương diện khác, ta có: Tách một

cả nghiệm của phương trình

Đây là phương pháp "Sử dụng tính đơn điệu

của hàm số để giải toán" ở chương này, chúng

ta không đi quá vào chi tiết

Tương tự ý tưởng trên là một lớp các bài toán:

Ví dụ 16 Giải phương trình:

x3 = (x + 8)p3

(x + 4)2 + 16Lời giải Ta biến đổi phương trình như sau:

ta nhìn thấy phương trình quen thuộc x3− a =

Ví dụ 17 Giải phương trình:

x3− x =p3

4(x3+ 3x)Lời giải Ta có:

y3 = y + 2x ⇔

(

x3 = x + 2y

y3 = y + 2xPhương trình trên là phương trình đối xứng(x, y) trừ theo vế các đẳng thức, ta có (x −y)(x2 + xy + y2) = y − x ⇒ x = y ⇒ 2x =

3

= x

3+ 8x − 63

⇔ x

3− x + 33

3

= x

3− x + 3

3 + 3x − 3Một lần nữa ta đặt x3−x+33 = y Thế thì

(

y3 = y + 3x − 3

x3 = x + 3y − 3

Hệ phương trình nói trên là hệ đẳng cấp Ta có

(x − y)(x2+ xy + y2) = 3(y − x) ⇒ (x − y)(x2+

3 = x

2+13Đặt y =

giản, cần có sự tinh tế khi đặt ẩn phụ để xuất

hiện hệ phương trình và giải quyết chúng Ta

đến với một ví dụ khác

Ví dụ 21 Giải phương trình:

3x3+ 8x − 15 + 4√3

2x3+ 4x − 5 = 0Lời giải Ta biến đổi phương trình:

4x3+ 8x − 10 = x3− 4√3

2x3+ 4x − 5 + 5

⇔ 2(2x3+ 4x − 5) = x3− 4√3

2x3+ 4x − 5 + 5Đặt y =√3

2x3+ 4x − 5 Ta có:

(2y3 = x3− 4y + 52x3 = y3− 4x + 5Trừ theo vế của hai phương trình ta có: 2(y3−

x3) = x3− y3− 4(x − y) ⇒ 3(y3− x3) = 4(x −y) ⇒ x = y

Thay vào hệ phương trình, ta có: x3+ 4x − 5 =

0 Từ đây ta có thể tìm được tất cả nghiệm

r4x3− 9

12Lời giải Điều kiện x ≥ 3

q9

4 Đặt:

3

√3x2− 3x + 3 =

r4x3− 9

4x 3 −9

12 + 12 = t

⇔

(3(x2− x + 1) = t3 4x 3 −9

Ví dụ 24 Giải phương trình:

√

x3+ 8 = 2√3

x4+ 4x − 4 + 1

Phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông nói riêng và toán học nói chung Ứng dụng của phương trình bậc hai rất đa dạng

và phong phú, áp dụng trong các bài toán đa thức, bất đẳng thức, lượng giác…Trong phạm vi của bài viết này, Truonghocso.com muốn giới thiệu với bạn đọc một

số ứng dụng thú vị và phổ biến của phương trình bậc hai trong việc giải lớp các bài toán phương trình, hệ phương trình và hàm số

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THÚ VỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

(PHẦN 1)

Hoàng Minh Thi (Team Toán Trường học số)

Phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng

trong chương trình toán phổ thông nói riêng và

toán học nói chung Ứng dụng của phương trình

bậc hai rất đa dạng và phong phú, áp dụng trong

các bài toán đa thức, bất đẳng thức, lượng

giác…Trong phạm vi của bài viết này,

Truonghocso.com muốn giới thiệu với bạn đọc

một số ứng dụng thú vị và phổ biến của phương

trình bậc hai trong việc giải lớp các bài toán

phương trình, hệ phương trình và hàm số

Dạng 1: Ứng dụng giải phương trình bằng

phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Trong các ứng dụng cơ bản của phương trình bậc

hai, ứng dụng giải phương trình vô tỷ bằng

phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một

ứng dụng độc đáo Sau đây là một số bài toán

Nhận xét: Giải bài toán theo cách 1 “ đẹp đẽ” và

ấn tượng hơn so với cách 2 nhưng dựa vào kinh

nghiệm và may mắn nhiều hơn Cách 2 tự nhiên

và hợp logic tùy theo từng trường hợp

22

11

cos x sinx cosx

Dễ thấy hàm số này đồng biến với t>1 Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( )x y; = 2;1

Nghiệm này thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Nhận xét: Sử dụng điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc hai một cách linh hoạt đôi khi

cho ta lời giải đẹp của nhiều bài toán khó Sau

đây chúng ta xét một bài toán tương tự

Kết hợp lại thu đượcy= −1,suy ra x=1,thỏa

mãn hệ đã cho Hệ phương trình có nghiệm duy

tiểu tại hai điểm tương ứng ứng là độ dài hai cạnh

của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng

Hàm số có hai cực trị phân biệt khi và chỉ khi (1)

Nhận xét: Vận dụng linh hoạt định lý Viete và

tính đồng bậc của phương trình là một cách tiếp

cận hiệu quả các bài toán có biểu thức bất đối

xứng

Thí dụ 8:

Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau đạt cực

đại và cực tiểu tại x x 1; 2 sao cho

Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ

khi (1) có hai nghiệm phân biệt

m

m m

+ + = ++

Bài 2: Giải hệ phương trình

− tại hai điểm có hoành độ lần

lượt là x x sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn 1; 2nhất ( 2)( 2)

F= −x −x

NHỮNG SUY NGHĨ BAN ĐẦU TỪ MỘT BÀI TOÁN

Giang Mạnh Doanh

Kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2012

đã qua Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối

A và khối A1 năm 2012 bám sát chương trình

Toán trung học phổ thông hiện hành, kiến thức

trong đề thi được đánh giá là khá phù hợp và

vừa sức, tất yếu đòi hỏi tính toán chính xác và tư

suy có chiều sâu Trong đề thi có một số câu hỏi

mang tính phân loại thí sinh, về phần đại số đáng

chú ý hơn cả là câu 3 với kiến thức về hệ

phương trình Bài viết này trình bày những tìm

tòi ban đầu trong việc giải hệ phương trình, bất

phương trình với phương pháp sử dụng tính đơn

2111

21

2

41 02

1 Lời giải (1) cơ bản và súc tích Lời giải (2)

tinh tế và gọn gàng, mang đậm tư duy hàm số

2 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số là

một công cụ hữu hiệu trong các bài toán giải và

biện luận phương trình, hệ phương trình

Sau đây là một số thí dụ liên hệ và minh họa cho

thu được phương trình 2 4y + = +1 4 y

Tìm được nghiệm duy nhất của hệ( ) ( )x y; = 3;2

Nhận xét: Trong các bài toán chứa căn thức, chúng ta cần tìm miền giá trị của biến, thông qua đó đơn giản việc đánh giá hàm số

Bài toán 3 Giải phương trình

5

Giá trị này nghiệm đúng phương trình đã cho

Bài toán 4 Giải bất phương trình

− 2 + ≤ 3 − 2 +

8 x 2 x 3x 4x Hướng dẫn:

Hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 0;1

Bài toán 6 Giải phương trình:

Xét hàm số ( ) = 3 +3 ; ′( ) = 3 2 + >3 0 ∀ ∈

Hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 8 Giải hệ phương trình

f t t t Hàm này đồng biến, liên tục trên

R

Mục này giới thiệu một số bài toán đặc sắc

trên www.truonghocso.com

Bài toán 1 (Đề xuất bởi Hồ Văn Diên) Cho

các số không âm a, b, c thỏa mãn a2+ b2+ c2 =

tự như vậy:

a

1 + bc ≥ a2Tóm lại ta có:

−x2 + 7x +5

3

⇔ (x − 1)3+ 3(x − 1) = (−x2+ 7x + 5

3)+ 33

r

−x2+ 7x + 5

3Xét hàm số f (x) = x3+ 3x Dễ có f (x) đồngbiến mà f (x − 1) = f (33

q

−x2+ 7x + 53) ⇒

Nhận xét 1 Phân tích trong cách giải hơi

thiếu tự nhiện Suy nghĩ khi giải bài toán như

sau: Chia cả hai vế cho 3, ta có:

x3− 2x2− x −17

3 = 3

3r

−x2+ 7x +5

3Phương trình có một vế bậc 3 và một vế bậc

1/3 Ta định hướng tìm a sao cho:

(x − a)3+ 3(x − a) = −x2+ 7x +5

3+ 33

tìm được a = 1

Nhận xét 2 Việc giải phương trình 3x3−

6x3 − 12x − 8 = 0 đòi hỏi một kĩ thuật đặc

biệt, tách thành lập phương hai vế

Bài toán 3 Giải phương trình:

√3x2− 1+√x2− x−x√x2+ 1 = 1

2√

2(7x

2−x+4)

Lời giải Sử dụng bất đẳng thứcBunhiacopsky ta có:

2 .2 +

p1(x2− x) −

r

x2+ 1

2 2x2

Ta còn một cách nữaLời giải 2 Điều kiện x > 1 hoặc x < −1

√

3.Phương trình đã cho tương đương với:

2√

2 ·√3x2− 1 +√2 ·√

Đẳng thức xảy ra, suy ra 3x2 − 1 = 2 ⇒ x =

−1 Thay x = 1 vào phương trình ban đầu thấythỏa mãn Vậy x = −1 là nghiệm của phương

Nhận xét Với phương trình có nhiềucăn thức, nghĩ tới bất đẳng thức để đánh giáphương trình là một ý tưởng tự nhiên

Đồng hồ quả lắc lắc mãi cũng chậm dần rồi

dừng, quả bóng nảy lên, nảy xuống mãi thì

cũng sẽ chậm dần rồi nằm yên, xe đi trên

đường gặp ổ gà, xóc lên xuống 1 lúc rồi lại

chạy êm, không có cái gì là vĩnh cửu cả Bằng

cách này hay cách khác, năng lượng của một

vật chuyển động sẽ dần tỏa ra xung quanh,

vật sẽ chuyển động chậm dần rồi dừng hẳn

Đó chính là hiện tượng tắt dần chuyển động

rất hay gặp trong đời sống Tuy nhiên, đây là

một vấn đề rất phức tạp, khó nghiên cứu cụ

thể nên khi đưa vào chương trình học cho học

sinh, người ta thường mô hình hóa thành các

bài toán đơn giản như dao động điều hòa để

cho học sinh dễ tiếp cận Gần đây, một số đề

thi đại học đã xuất hiện một số bài về hiện

tượng tắt dần, đưa học sinh gần hơn đến hiện

tượng thực tế Mặc dù vẫn ở dưới hình thức

đơn giản nhưng vẫn khá mới lại và gây khó

khăn cho học sinh trong việc giải bài Dưới

đây, chúng tôi đã tổng hợp từ nhiều nguồn

được một số phương pháp giải cụ thể cho bài

toán dao động tắt dần Hy vọng nó sẽ giúp đỡ

các em có thể vượt qua những bài toán này

Chủ đề 1 Xác định độ giảm tương đối của

biên độ khi biết độ giảm tương đối của năng

lượng ?

Phương pháp:

Tại thời điểm t = 0, năng lượng: =

Tại thời điểm t =

Bài toán 1 Xác định độ dịch chuyển biên độ sau nửa chu kì Xác định biên độ sau

BÙI VĂN ĐẠT

Ta có: ⃗ − ⃗ = ⃗ ↔ − + = ′′↔

′′+ − = 0

Đặt: = − → ′′ = ′′

Vậy: ′′+ = 0, trong một nữa chu kì

đầu, vật dao động điều hòa quanh tâm có

tọa độ = ; Tương tự, trong nữa chu kì

tiếp theo vật dao động điều hòa quanh tâm

có tọa độ = − Do đó, hai tâm dao động

và đối xứng nhau qua tâm O

Chu kì dao động: = 2

2 Độ giãm biên độ sau nửa chu kì:

Độ giãm biên sau nửa chu kì: = 2 =

2 = 2

= = − = − 2

Hay: = −

Sau hai nữa chu kì: = – 2

Sau n nữa chu kì: = –

Bài toán 2 Xác định vận tốc cực đại của vật ?

Trong nữa chu kì đầu, khi quả nặng đi qua

tâm dao động ( hoặc ) thì vận tốc cực

đại:

2

c o

Gọi N là số nửa chu kì mà vật đi được cho đên lúc dừng lại

Như vậy: N = m + 1 Trong đó:

+ m là số nửa chu kì đầu tiên, lúc đó quả nặng tới vị trí biên nằm ngoài

Ta có: = − =

Vì nằm ngoài , nên > , từ đó ta suy ra: < − → < +

+ 1 là nửa chu kì cuối cùng khi vị trí biên nằm trong đoạn

Ta có: = − =

Vì nằm trong , nên ≤ , từ đó ta suy ra: ≥ −

Vậy, số nửa chu kì để con lắc dừng lại là số nguyên của đẳng thức:

−

1

2 ≤ < +

12

Thời gian để con lắc thực hiện được N nữa chu kì đến lúc dừng lại:

. =

Bài toán 4: Đoạn đường đi được cho đến lúc dừng lại?

Đoạn đường đi trong N nửa chu kì là:

thì vị trí tại cuối thời điểm t là

tâm dao động (hay ) nên vận tốc cực

số ma sát trượt giữa vật nhỏ với vật dao động là

=

Chú ý: = 2 = 2 → + =

Chủ đề 5: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm

quả nặng có khối lượng M đứng yên ở

VTCB Một viên bi có khối lượng m bay với

vận tốc va chạm vào M Tính vận tốc của

quả nặng sau va chạm và biên độ dao động

điều hòa của con lắc lò xo?

Phương pháp:

1 Trường hợp lò xo nằm ngang:

a Nếu va chạm là đàn hồi xuyên tâm: áp

dụng định luật bảo toàn động lượng và định

luật bảo toàn động năng, vận tốc của vật M

b Nếu va chạm là đàn hồi không xuyên tâm:

áp dụng định luật bảo toàn động lượng, vận

- Vận tốc của vật m khi chạm vào M: Áp dụng

định luật bảo toàn cơ năng: = 2 ℎ

- Biên độ của dao động điều hòa:

= + → = 1 +( + ) 2 ℎ

Áp dụng:

Bài số 1: Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng 100g gắn vào lò xo có độ cứng 0,01N/cm dao động tắt dần chậm từ thời điểm

t = 0 với biên độ ban đầu là 10cm Trong quá trình dao động, lực cản tác dụng vào vật

g, dao động trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số

ma sát trượt giữa vật và mặt ngang là 0,1

Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một

đoạn 10cm rồi thả nhẹ Cho gia tốc trọng

Câu 1: Một con lắc đơn có chiều dài l=1m,

đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật nặng

có khối lượng m.Điểm cố định cách mặt đất

2.5m Ở thời điểm ban đầu đưa con lắc lệch

thả nhẹ, khi vật vừa qua vị trí cân bằng thì sợi

dây đứt Bỏ qua mọi sức cản, lấy

( Lời giải của vatly@truonghocso.com )

Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2 π

g l

= 2 (s)

Thời gian đễn VTCB là T/4 = 0,5 (s)

Khi qua VTCB sợi dây đứt, chuyển động của

vật là CĐ ném ngang từ độ cao h 0 = 1,5m với

vận tốc ban đầu xác định theo công thức:

mv = mgh +

2

2

mv

thép khi bị đổ xuống đất bằng bao nhiêu? Biết rằng khi đổ xuống đất thì cột không bị trượt Bài giải:

( Lời giải của vatly@truonghocso.com)

Độ cao ban đầu của khối tâm cột thép là

42

l m

Với h=4m,

2, w12

I

h

= = ( vì vận tốc góc đối với mọi điểm tựa như nhau nên vận tốc góc đối với khối tâm bằng đối với chân cột thép)

Câu 3: Con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng

K, khối lượng M, vật nặng m Từ vị trí cân bằng kéo m ra một đoạn nhỏ, tính chu kì dao động Bỏ qua mọi lực cản

Bài giải: