Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất.. Gọi I là giao điểm của AC và BD, gọi J là giao điểm của SI với B’D’.. Dễ thấy vì B’D’ là đường trung bình của tam giác SBD nên J là trung đ
Trang 1Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B',D' là trung điểm SB và SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C' Tính tỉ số thể tích S.A'B'C'D' và S.ABCD.
Bài 2 Cho tam giác đều OAB cạnh a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc (OAB), lấy M sao cho OM =x Gọi E, F là các hình chiếu của A lên MB và OB Gọi N là giao điểm EF và
d Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất.
Bài 3 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là HCN với AB a= , AD a= 2, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa SB,(ABCD) là 0
45 Gọi M,N là trung điểm AD và SC , I là giao điểm
BM và AC.
a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBM).
b) Tính V ANIB .
Lời giải.
Bài 1.
Gọi I là giao điểm của AC và BD, gọi J là giao điểm của SI với B’D’ Dễ thấy vì B’D’ là đường trung bình của tam giác SBD nên J là trung điểm của B’D’
Gọi V là thể tích của hình chóp S.ABCD ban đầu
Từ công thức thể tích của một hình chóp bất kì là 1
3
V = h S với S là diện tích đáy, ta thấy rằng nếu
hai hình chóp có chung chiều cao thì thể tích tỉ lệ với diện tích đáy
Ta thấy hai hình chóp S.ABCD và S.ABD có cùng chiều cao kẻ từ đỉnh S đến (ABCD) nên
SABD ABD
SABD SABCD ABCD
2
SCBD
V = V
Xét hai hình chóp A.SBD và A.SB’D’ có chung đường cao kẻ từ đỉnh A đến mặt (SBD), ta có ' ' ' '
' '
ASB D SB D
ASB D ASBD ASBD SBD
Theo định lí Menelaus cho tam giác SIC với cát tuyến AJC’, ta có ' 1 ' 2
AI JS C C C C
AC JI C S = ⇒ C S =
Trang 2Theo định lí Menelaus cho tam giác ACC’ với cát tuyến IJS, ta có ' 1 ' 1
IA JC SC JC
IC JA SC = ⇒ JA =
Từ đây suy ra đường cao kẻ từ A đến B’D’ bằng 3 lần đường cao kẻ từ C’ đến B’D’ Do đó
' ' 3 ' ' '
AB D C B D
S = S
Hai hình chóp SAB’D’ và SC’B’D có chung chiều cao nên
' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' '
SC B D C B D
SC B D SAB D SAB D AB D
Do đó ' ' ' ' ' ' ' '
SAB C D SAB D SC B D
V V V
V =V +V = + =
Bài 2.
Do AF vuông góc với OB và MO vuông góc với
AF nên AF vuông góc với mặt phẳng (OMB) Suy ra AF chính là đường cao của tứ diện AMNB
Dễ thấy độ dài AF không đổi nên cần tìm M sao cho diện tích tam giác MNB nhỏ nhất
Hơn nữa, tam giác MNB có đường cao là BO không đổi nên cần tìm M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất
Tam giác MAB cân tại M có hai cạnh bên là
2 2
MA MB= = a +x và cạnh đáy là AB a= .
Ta có:
ME MA AMB MA
Suy ra
2 2
2 2 2 2
2
EB MB ME a x
+
Do đó
2
2 2 2 2
:
Trang 3Theo định Menelaus cho tam giác OMB với cát tuyến EFN, ta có:
MN
Suy ra
2
+
Vậy thể tích của tứ diện ABMN nhỏ nhất là 1 1 1 3 2 3 6
ABMN
V = AF BO MN = a a =
đạt được khi 2
2
a
x=
Bài 3 (hình bên anh vẽ cũng không đúng kích thước lắm!)
Để chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SMB) vuông góc, ta chỉ cần chứng minh MB vuông góc với AC Gọi I là giao điểm của MB và AC Thật vậy, theo định lí Ta-let thì
AI IC AI AC
2
,
2
a
AM = AB a= nên nếu gọi I’ là hình chiếu của I lên MB, ta tính được:
2
2
'
3 2
a a
a
+ + , do đó I’ trùng với I hay AC vuông góc với MB
Ta được (SAC) và (SMB) vuông góc với nhau
Do góc tạo bởi SB và (ABCD) là 45 nên ·0 SBA=450, ta tính được SA AB a= =
Bằng cách dùng tỉ số thể tích như bài 1, ta có:
Trang 4AINB BACN BSAC SABCD
a