dạy học bài tập hình học không gian ở trường trung học phổ thong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMĐÀO NGỌC DŨNG NGHIÊN CỨU VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CÁC YẾU TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI QUA DẠY HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO NGỌC DŨNG

NGHIÊN CỨU VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CÁC YẾU TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI QUA DẠY HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG

GIAN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

THÁI NGUYÊN - 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO NGỌC DŨNG

NGHIÊN CỨU VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CÁC YẾU TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI QUA DẠY HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG

GIAN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán

Mã số: 60.14.10LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2011

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, song luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2011

Tác giả

Đào Ngọc Dũng

MỞ ĐẦU .i

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Giả thuyết khoa học 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1.Tư d y và tư d y s n tạo 5

1.1.1 Tư d y 5

1.1.2 Sán tạo 1

1.1.3 Tư d y s n tạo 1

1.2 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông 20

1.3 Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 26

1.4 Một số dạng bài tập hình học không gian góp phần bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo 27

1.4.2 Dạng bài tập có nội dung biến đổi 30

1.4.3 Dạng bài tập không tường minh 31

1.4.5 Dạng bài tập có tính đặc thù 32

1.4.6 Dạng bài tập “Câm” 33

1.4.7 Dạng bài tập có nhiều kết quả 34

1.4.8 Dạng bài tập không theo mẫu 35

1.4.9 Dạng bài tập vui ngụy biện 35

1.5 Dạy và Học Toán HHKG lớp 11 ở trường THPT 36

1.6 Kết luận chương 1 40

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CÁC YẾU TỐ CỦA TDST CHO HSKG QUA DẠY HỌC BTHHKG Ở TRƯỜNG THPT. .4

2.1 Các yêu cầu có tính định hướng xây dựng biện pháp sư phạm 41

2.2 Đề xuất một số biện pháp sư phạm rèn luyện các yếu tố của TDST cho HSKG trường THPT qua nội dung dạy học BTHHKG 42

2.2.1 Rèn luyện cho học sinh thói quen dự đoán, mò mẫm, phân tích, tổng hợp, khái quát

hóa, đặc biệt hóa và tương tự 43

2.2.2 Rèn luyện cho học sinh biết tiếp cận và giải quyết bài toán dựa trên các cách nhìn bài toán theo những góc độ khác nhau 52

2.2.3 Rèn luyện cho học sinh biết cách phân tích bài toán để từ đó tìm ra cách giải độc đáo56 2.2.4 Rèn luyện cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và phương pháp đồng thời sáng tạo bài toán mới 58

2.3 Xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp véc tơ góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi bậc trung học phổ thông 77

2.3.1 Một số vấn đề về xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp véc tơ dành cho học sinh khá giỏi ở bậc trung học phổ thông 77

2.3.2 Hệ thống bài tập 80

2.4 Kết luận chương 2 100

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM. 1 1 3.1 Mục đích thực nghiệm 101

3.2 Nội dung thực nghiệm 101

3.3 Tổ chức thực nghiệm 101

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 104

3.4.1 Đánh giá định tính 104

3.4.2 Đánh giá định lượng 104

3.5 Kết luận chương 3 105

KẾT LUẬN 106

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xã hội tri thức và nền kinh tế tri thức đòi hỏi sự thay đổi cách tư duy của conngười Đó là kiểu tư duy phi tuyến tính, linh hoạt, không câu nệ vào những khuônmẫu đã định, biết dung nạp hơn là loại bỏ, biết chấp nhận cái khác mình, cái khônglường trước được, chấp nhận khả năng có thể sai, biết tự điều chỉnh, tự thích nghi vàkhông ngừng tìm kiếm sáng tạo Đó là kiểu tư duy đặt trên cơ sở tư duy lại, trênviệc coi trọng cách tiếp cận hơn là nhằm đạt tới một kết quả cụ thể nhất thời

Nền kinh tế tri thức đòi hỏi không chỉ tăng trưởng của số lượng tri thức, sốlượng người có học mà nó yêu cầu phải có sự thay đổi căn bản cách chiếm lĩnh và

sử dụng tri thức của người được đào tạo Người có học phải là người có khả nănghọc tập suốt đời, không ngừng nâng cao trình độ của mình để cập nhật hóa, để theokịp và thích nghi với những biến đổi đầy ngẫu hứng của nền kinh tế thị trường, đểkhông bị lệ thuộc vào những giáo điều, những công thức cũ, mạnh dạn và sáng tạotheo phương pháp thử và sai, để đi đến một lời giải tối ưu nhưng đồng thời cũngkhông bao giờ cho rằng nó là duy nhất đúng, luôn luôn đúng Nói tóm lại, đó lànhững người chủ động, sáng tạo, chấp nhận sự thay đổi và có khả năng tự thay đổi

Để đáp ứng xu thế toàn cầu hóa và các yêu cầu của nền kinh tế tri thức, Đảng

và Nhà nước ta đã xác định: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con ngườiViệt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghềnghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành vàbồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xâydựng và bảo vệ tổ quốc” (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2)

Theo điều 28 Luật giáo dục có ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặcđiểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh ”

Thực hiện quyết định số 1483/QĐ-TTg của Thủ tướng Chính phủ về:

“ Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2010 đến 2020”,

do Phó Thủ tướng Nguyễn Thiện Nhân đã ký ngày 17 tháng 8 năm 2010 với nhữngmục tiêu cụ thể: “Phát triển nền Toán học Việt Nam mạnh mẽ về mọi mặt: Nghiêncứu, ứng dụng và giảng dạy, cả về số lượng lẫn chất lượng, tương xứng với tiềmnăng trí tuệ của người Việt Nam, đáp ứng nhu cầu phát triển của đất nước trên cáclĩnh vực khác nhau như: Khoa học, công nghệ, giáo dục và đào tạo, kinh tế và củng

cố quốc phòng; phấn đấu đến năm 2020 Toán học nước ta có thể xếp vào hàng cácnước tiên tiến trên thế giới”; “Nâng cao chất lượng và quy mô đào tạo học sinh giỏiToán ở các cơ sở giáo dục phổ thông, đặc biệt là ở các trường chuyên Có hình thứcthích hợp đào tạo tiếp học sinh giỏi Toán ở trình độ Đại học, Thạc sĩ và Tiến sĩ ”

Điều đó càng khẳng định Đảng và Nhà nước rất quan tâm đến việc phát hiện

và bồi dưỡng năng lực học toán của học sinh, trong đó biểu hiện cơ bản là suy nghĩ

và vận dụng sáng tạo trong khi học toán Vậy làm thế nào để bồi dưỡng, phát triểnnăng lực sáng tạo cho học sinh khá giỏi, đáp ứng được mục tiêu của giáo dục phổthông Câu hỏi đó luôn mang tính cấp thiết và không hề đơn giản Việc học tập tựgiác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mụctiêu đặt ra và tạo được động lực trong việc thúc đẩy bản thân họ tư duy để đạt đượcmục đích đó

Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, mônToán đóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, Toán học có vai trò to lớn trong sự pháttriển của các ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có có ứngdụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất

và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là công cụ để học tập và nghiên cứu cácmôn học khác

Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh được nhiều tác giả trong vàngoài nước quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm “Sáng tạo toán học” nổi tiếng, nhàtoán học kiêm nhà tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giảitoán Đồng thời trong tác phẩm: “Tâm lý năng lực học toán của học sinh”,

V.A.Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh Ở nước ta,các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim,

Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, đã có nhiều công trình giải quyếtnhững vấn đề lý luận và thực tiễn trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Như vậy việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động dạyhọc toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồi dưỡng tư duysáng tạo cho học sinh khá giỏi qua dạy học bài tập hình học không gian ở trườngtrung học phổ thông thì các tác giả chưa khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể.Hơn nữa chương trình sách giáo khoa bậc trung học phổ thông đã có nhiều thay đổitrong thời gian qua Với các lý do trên, để góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo chohọc sinh khá giỏi bậc trung học phổ thông, đề tài được tôi chọn là: “Nghiên cứu và

đề xuất một số biện pháp góp phần rèn luyện các yếu tố của tư duy sáng tạo cho họcsinh khá giỏi qua dạy học bài tập hình học không gian ở trường trung học phổthông”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tưduy sáng tạo cho học sinh khá giỏi qua dạy học bài tập hình học không gian ởtrường trung học phổ thông

3 Giả thuyết khoa học

Với nội dung toán học được lựa chọn và các biện pháp sư phạm đã đề xuấttrong luận văn, qua kiểm nghiệm bước đầu trong thực tiễn, có thể tin rằng đề tài gópphần nâng cao trình độ nhận thức của học sinh, khơi dậy hứng thú học tập, phát huykhả năng tư duy sáng tạo toán học, tính tích cực học tập của học sinh, đặc biệt là họcsinh khá giỏi bậc trung học phổ thông Trang bị cho học sinh trung học phổ thôngmột phương pháp giải toán hình học hiệu quả bên cạnh các phương pháp khác

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, sáng tạo, tư duy sáng tạo

- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

- Xây dựng một hệ thống bài tập rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực,tính hiệu quả của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

* Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn Toán, Tâm lý học, Lý luận dạyhọc môn Toán, các công trình nghiên cứu có liên quan trực tiếp đến đề tài

* Quan sát, điều tra

Dự giờ, quan sát, điều tra việc dạy học của giáo viên, việc học của học sinhtrong quá trình khai thác bài tập sách giáo khoa hình học không gian lớp 11

* Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm đối với lớp học thực nghiệm và lớp học đốichứng trên cùng một đối tượng

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm rèn luyện các yếu tố của tư duy sángtạo cho học sinh khá giỏi qua dạy học bài tập hình học không gian ở trường trunghọc phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1.Tư duy và tư duy sáng tạo

1.1.1 Tư duy

1.1.1.1 Khái niệm tư duy

Từ điển tiếng Việt nêu rõ: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức,

đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thứcnhư: Biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”[54, tr 1070]

Trong cuốn “Rèn luyện tư duy trong dạy học toán”, tác giả Trần Thúc Trình

có ghi: “Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, nhữngmối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưabiết” [13, tr1]

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ nhậnthức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề Dùcho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung của tư duy cũngvẫn chứa đựng những thành phần cảm tính Trong quá trình diễn biến của mình, tưduy nhất thiết phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức cảm tính đem lại

Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành cácthao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy Ngôn ngữ được xem là phươngtiện của tư duy

Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạtbằng những từ, ngữ, câu , ký hiệu, công thức, mô hình

Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng

Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và lấythực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tư duy đểnhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quyluật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

1.1.1.2 Các đặc điểm của tư duy

Những công trình nghiên cứu về Tâm lý học và Giáo dục học đã khẳng định

tư duy có các đặc điểm sau:

* Tính có vấn đề

Tư duy chỉ nảy sinh khi con người gặp những hoàn cảnh, những tình huống

mà bằng những hiểu biết đã có, bằng phương pháp đã có, con người không thể giảiquyết được các nhiệm vụ đề ra cho họ trong tình huống đó Để giải quyết được cácnhiệm vụ đó, con người phải vượt ra khỏi phạm vi của những hiểu biết và nhữngphương thức hành động cũ và đi tìm cái mới, phương thức hành động mới, đạt đượcmục đích mới, lúc đó con người nảy sinh tư duy

* Tính gián tiếp

Tư duy được biểu hiện trong ngôn ngữ và thông qua ngôn ngữ Tư duy cònđược nhận thức gián tiếp nhờ các công cụ

* Tính trừu tượng và tính khái quát

- Tính trừu tượng: Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng,những thuộc tính, dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính, dấu hiệu bảnchất nhất của sự vật hiện tượng, từ đó khái quát chúng thành các nhóm và các lớp

- Tính khái quát: Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung,những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng

* Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Ngôn ngữ là phương tiện tư duy Nhờ có ngôn ngữ mà con người truyền đạtđược tư tưởng, nhận thức được tình huống có vấn đề, phản ánh được bản chất vàcác mối quan hệ của sự vật và hiện tượng Ngôn ngữ là cái vỏ “vật chất” của tư duy.Nếu không có ngôn ngữ thì tư duy không thể biểu hiện và phát triển được Đồngthời ngôn ngữ phát triển giúp cho tư duy phát triển, khi tư duy phát triển, ngôn ngữcũng phát triển theo và phong phú lên, nhiều khái niệm mới ra đời trên cơ sở nhữngthành tựu của tư duy

* Tính chất lý tính của tư duy

Tư duy là giai đoạn phát triển cao của nhận thức - giai đoạn nhận thức lýtính Chỉ có tư duy mới giúp con người vượt qua được những giới hạn trực quan,

nhận thức cảm tính để phản ánh được bản chất của sự vật và hiện tượng, những vấn

đề thuộc về trí tuệ và lý tính của con người

* Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

V.I Lênin đã nói: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tưduy trừu tượng đến thực tiễn là con đường biện chứng của nhận thức”, điều đó chothấy tư duy bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, tư duy dù trừu tượng đến đâu cũng cóchỗ dựa sâu xa từ nhận thức cảm tính

1.1.1.3 Quá trình tư duy

Theo K.K.Platônôp thì sơ đồ của quá trình tư duy như sau:

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định Phủ định

Chính xác hóa Tìm giả thuyết mới

Giải quyết vấn đề Hành động tư duymới

Theo các nhà Tâm lý học thì tư duy là một hoạt động trí tuệ với một quátrình gồm bốn bước cơ bản:

Bước một: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói

cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

Bước hai: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng hình thành giả

thuyết và cách giải quyết vần đề, cách trả lời câu hỏi

Bước ba: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn Nếu giả thuyết đúng thì qua

các bước sau, nếu giả thuyết không phù hợp thì phủ định nó và hình thành giảthuyết mới

Bước bốn: Quyết định, đánh giá kết quả và đưa vào sử dụng.

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trítuệ Các thao tác trí tuệ cơ bản là: Phân tích, tổng hợp  so sánh, tương tự  trừu

tượng hóa và khái quá hóa  cụ thể hóa, đặc biệt hóa  tưởng tượng  suy luận

 chứng minh.

1.1.1.4 Các hình thức cơ bản của tư duy

Theo các nhà nghiên cứu về Tâm lý học và Giáo dục học thì tư duy bao gồmcác hình thức cơ bản sau:

- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng

và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm Bảnthân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộctính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng đó Giữanội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm càng mở rộng thìngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại

- Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu

hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặcsai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi

Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: Trựctiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứucủa qua trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai phán đoán đượchình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các

khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đốitượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm.

- Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi

là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những quyluật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp Suy diễn đi từ cáitổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau Quy nạp

để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại suy diễn đểkiểm chứng kết quả của quy nạp

1.1.1.5 Các thao tác tư duy

Theo các nhà nghiên cứu về Tâm lý học và Giáo dục học thì tư duy bao gồmcác thao tác:

+ Phân tích - tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng

nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Còn tổng hợp làcác thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rờinhờ sự phân tích thành một chỉnh thể

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là haimặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp,tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Trong học tập môn toán, phân tích -tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giảiquyết vấn đề

+ So sánh - tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau

hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằngnhau giữa các đối tượng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổnghợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn cóthể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu,rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tự là sựgiống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

+ Khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp

nhất nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính,những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đốitượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bậtmột số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [6, tr51]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệtđến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trongtoán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm,định lý, bài toán, thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá

+ Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những

mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữlại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đâychỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.1.2 Sáng tạo

1.1.2.1 Khái niệm sáng tạo

Từ điển tiếng Việt định nghĩa: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyếtmới không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có” [54, tr 847]

I.Lecne quan niệm sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về chấtbằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao tác hoặchành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn quan niệm người có óc sáng tạo là người có kinhnghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra

Theo Renzuli thì sáng tạo là sở của cấu trúc tài năng, bao gồm:

1 Intelligence (thông minh)

2 Creativity (sáng tạo)

3 Motionvation (sự thúc đẩy)

4 Gift (năng khiếu tài năng)

1.1.2.2 Quá trình sáng tạo

Khi nghiên cứu về Tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực Toán học, các nhà nghiêncứu cho rằng quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn:

* Giai đoạn một - Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý thức

Trong giai đoạn này, người nghiên cứu đặt ra các nhiệm vụ nghiên cứu, tiếnhành thu nhập các tư liệu liên quan, huy động các nguồn thông tin có ích để giải đápvấn đề đặt ra và thử giải quyết vấn đề đặt ra bằng nhiều cách khác nhau Ở giai đoạnnày, các yếu tố suy luận trực giác của việc tìm kiếm lời giải cùng tồn tại và bổ sung chonhau Tuy nhiên yếu tố suy luận đóng vai trò chủ đạo

* Giai đoạn hai - Giai đoạn ấp ủ

Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề một cách có ý thức ngừnglại và công việc tiếp diễn lúc này chính là hoạt động của các lực lượng tiềm thức Tuynhiên để lôi cuốn hoạt động của các lực lượng tâm lý tiềm thức thì cần một sự nỗ lựccủa ý chí và sự lao động tích cực của trí óc

* Giai đoạn ba - Giai đoạn bừng sáng

Giai đoạn hai kéo dài cho đến sự bừng sáng trực giác, một bước nhảy vọt vềchất trong tiến trình nhận thức Đây là giai đoạn quyết định của quá trình tìm kiếm lờigiải Sự bừng sáng hay trực giác này thường xuất hiện đột nhiên, không thấy trướcđược Đây là giai đoạn mà tại thời điểm đó con người đột nhiên nhìn thấy sự le lói banđầu của giải pháp mà họ đã tìm kiếm rất lâu Sáng tạo thường xuyên xuất hiện trong sựbừng sáng bất ngờ như vậy

* Giai đoạn bốn - Giai đoạn kiểm chứng

Ở giai đoạn này, các nhà nghiên cứu xem xét, khái quát hóa kết quả, triển khailập luận và kiểm chứng lời giải nhận được từ trực giác Giai đoạn này là cần thiết vì trithức nhận được bằng trực giác là chưa chắc chắn, có tính giả thuyết, nó có thể đánh lừacác nhà nghiên cứu Công việc của các nhà nghiên cứu trong giai đoạn này là hoàn toàn

có ý thức và rất tích cực

Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo thì giai đoạn ấp ủ và bừngsáng là quan trọng nhất Tuy vậy, cũng chính hai giai đoạn này chứa đựng nhiều quanđiểm khác nhau nhất và đồng thời chưa được nghiên cứu đầy đủ.

1.1.2.3 Cấp độ của sáng tạo

Có thể nói, sáng tạo là hoạt động đa dạng và phong phú của con người, đượcthể hiện ở nhiều cấp độ và mức độ khác nhau Ta có thể nhận diện sự sáng tạo ở cácmức độ khác nhau sau đây

Thứ nhất: Sáng tạo là hoạt động cải tạo, cải tiến, đổi mới, nâng cao những cái

đã có lên một trình độ cao hơn Ở cấp độ này, sáng tạo đòi hỏi những nỗ lực cao củatoàn bộ năng lực tổng hợp của một cá nhân Chủ thể sáng tạo phải có khả năng tìmtòi, đánh giá các kinh nghiệm đang được vận dụng, phải có những khả năng vượtqua những khuôn mẫu, những giải pháp thông thường Kết quả của sự sáng tạo phải

có ý nghĩa nhất định đối với xã hội và được xã hội chấp nhận, phát triển liên tục cái

đã biết, mở rộng hình thức ứng dụng

Thứ hai: Sáng tạo là hoạt động tạo ra cái mới về chất Đây là cấp độ cao nhất

của hoạt động sáng tạo Nó đòi hỏi những năng lực đặc biệt của chủ thể Có thể nóichủ thể sáng tạo ở cấp độ này phải đạt tới cấp độ của những tài năng hoặc nhữngthiên tài Do đó kết quả là những phát minh, sáng chế, các lý thuyết khoa học mới,các giải pháp mới, trong lĩnh vực vật chất cũng như lĩnh vực tinh thần

Như vậy, chúng ta thấy các cấp độ của sáng tạo được biểu hiện ra thành cáccấp độ năng lực hoạt động của con người Đó là khả năng, tài năng và thiên tàitrong đó tài năng và nhất là thiên tài thể hiện sự sáng tạo cao nhất

1.1.2.4 Những biểu hiện đặc trưng của sự sáng tạo

Theo I.Lecne thì có 7 biểu hiện của sự sáng tạo sau đây:

- Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức, kỹ năng và kỹ xảo sang tìnhhuống mới gần hoặc xa bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiến thức

- Nhìn thấy những nội dung mới trong tình huống bình thường

- Nhìn thấy chức năng của đối tượng

- Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết tạo thành cái mới

- Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tượng quen thuộc.

- Nhìn thấy mọi cách giải quyết có thể, tiến hành giải quyết theo từng cách vàlựa chọn cách tối ưu

- Xây dựng những phương pháp mới về nguyên tắc khác với những phươngpháp quen thuộc đã biết

Bảy biểu hiện trên I Lecne đề cập đến hoạt động sáng tạo nói chung trong cơ

sở lý luận của các phương pháp dạy học, nên cũng thể hiện qua hoạt động Toán học.Tuy nhiên, trong hoạt động Toán học, theo tác giả Trần Thúc Trình thì cần thiết bổsung thêm một biểu hiện nữa đó là: Khái quát tri thức và phương pháp quen thuộc

đã biết, vì khái quát hóa là năng lực cơ bản của các năng lực toán học

1.1.3 Tư duy sáng tạo

1.1.3.1 Tư duy sáng tạo

Trong cuốn “Sáng tạo Toán học”, G.Polya cho rằng: “ Một tư duy gọi là cóhiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi làsáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này.Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạngmuôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cốgắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho các bài toánkhác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc

ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khácnhững suy nghĩ có hiệu quả”

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo đối với người học Toánnhư sau: “Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họđương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từngbiết Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thaotác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn),tức là người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu nhữngbước đi chưa biết trước nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵnsàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày”

Trong cuốn sách “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh quamôn Toán ở trường Trung học cơ sở” của các tác giả Nguyễn Bá Kim - VươngDương Minh - Tôn Thân, các tác giả cho rằng: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duyđộc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởngmới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặcduy nhất” [28, tr72].

Quá trình sáng tạo của con người thường bắt đầu bằng một ý tưởng mới.V.A.Kruxtexki đã đưa hình ảnh ba đường tròn đồng tâm biểu diễn: Tư duy tích cực,

tư duy độc lập và tư duy sáng tạo

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạoTrong đó Kruxtexki quan niệm tư duy sáng tạo là kết hợp cao nhất của tưduy độc lập và tư duy tích cực

Căn cứ vào các phân tích trên, chúng tôi quan niệm: Tư duy sáng tạo là mộtdạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả trong việc giải quyếtvấn đề

Như vậy, tư duy sáng tạo được hiểu là sự kết hợp ở đỉnh cao, hoàn thiệnnhất của tư duy tích cực và tư duy độc lập, tạo ra những cái mới có tính giảiquyết vấn đề một cách hiệu quả và chất lượng Tư duy sáng tạo là tư duy độclập vì nó không bị gò bó và không phụ thuộc vào những cái đã có Tính độc lậpcủa nó bị bộc lộ vừa trong việc đạt được mục đích vừa trong việc tìm giải pháp.Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang đậm dấu ấn của mỗi cá nhân tạo

ra nó

1.1.3.2 Thành phần của tư duy sáng tạo

Theo các nhà Tâm lý học và Giáo dục học thì thành phần của tư duy sáng tạobao gồm:

+ Tính mềm dẻo (Flexibility): Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng

trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quanniệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựngphương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổiquan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo gạt bỏ sự

sơ cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhaucủa chủ thể nhận thức

+ Tính nhuần nhuyễn (Fluency): Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng

sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới

và ý tưởng mới Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khảnăng tạo ra số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề

+ Tính độc đáo (Originality): Đó là năng lực độc lập tư duy trong quá trình

xác định mục đích cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm,tính hợp lý, tính tối ưu của giải pháp

+ Tính hoàn thiện (Elaboration): Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý

nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề (Problems Censibility): Là năng lực nhanh chóng

phát hiện vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu từ đó đề xuấthướng giải quyết, tạo ra cái mới

Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có một số yếu tố khách quan khác như: Tínhchính xác, năng lực định giá, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán

Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tư duy sáng tạo trongbài tập hình học không gian lớp 11

Ví dụ 1 Chứng minh rằng trong một hình tứ diện bốn đường thẳng nối đỉnh

tứ diện với trọng tâm của các mặt đối diện đồng quy tại một điểm (H1)

Phân tích Để giải bài toán này thông thường học sinh hay nghĩ đến việcchứng minh trực tiếp bốn trọng tuyến đồng quy như sau:

Cách chứng minh thứ nhất

Gọi A’, B’, C’, D’ là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Gọi E

là trung điểm CD Khi đó A’BE, B’AE Trong ABE ta có: ' ' 1

3

 

A’B’//AB  ABA’B’ là hình thang có hai đường chéo AA’; BB’ cắt nhau tại

G Chứng minh tương tự ta có: AA’, BB’, CC’ và DD’ đôi một cắt nhau mà đồngthời chúng không đồng phẳng do đó chúng đồng quy tại một điểm

Tuy nhiên đối với những học sinh có khả năng sáng tạo với sự mềm dẻo về kiếnthức có thể chuyển từ bài toán chứng minh đồng quy sang chứng minh thẳng hàng

Từ đó ta có cách chứng minh thứ hai

Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AC

Khi đó D’BN; B’DN  D, D’, G(BDN) Mặt

khác D’AM; A’DM nên D; G; D’(AMD) Khi

đó D, G, D’ thuộc giao tuyến của (AMD) và (BND)

Chứng minh tương tự ta có C,G,C’ thẳng hàng Vậy

trong một hình tứ diện bất kỳ bốn đường trọng tuyến

đồng qui

* Tính nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng

lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết và ý tưởng mới Tính nhuần nhuyễnđược đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởngnghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Tínhnhuần nhuyễn của tư duy thể hiện rõ ở hai nét đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giảipháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần giảiquyết người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất nhiều phương ánkhác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối ưu

H1a

G

B' D'

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh, có một cái nhìn sinhđộng từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bấtbiến, phiến diện và cứng nhắc.

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh AC’(BDA’)Phân tích Bài toán này có nhiều cách giải, tùy theo sự nhuần nhuyễn của họcsinh hiểu theo cách nào thì sẽ giải quyết theo cách đó Có học sinh thành thạo cáchchứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng cách chứng minh đườngthẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng Có học sinhthích thú và trở nên thành thạo cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặtphẳng dựa vào tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặtphẳng thứ ba Có học sinh lại nhuần nhuyễn với cách chứng minh vuông góc dựavào định lý Pitago đảo, có học sinh nhuần nhuyễn với phương pháp tọa độ, phươngpháp véc tơ,… Từ đó ta có các cách chứng minh bài toán trên như sau (H2)

+ Cách 1.

Do DBAC ; BDAA’  DB(ACC’A’)

BDAC’(1) Tương tự ta cũng chứng minh được

BA’(ADC’B’) BA’AC’ (2)

Từ (1) và (2) AC’ (BDA’) (đpcm)

+ Cách 2.

Do BD(ACC’A’) (ACC’A’)(BDA’)

Tương tự BA’(BDC’B’)  (ADC’B’)(BDA’)

Mặt khác, ta có (ACC’A’) cắt (ADC’B’) theo giao tuyến AC’

Vậy ta có AC’(BDA’) (đpcm)

+ Cách 3 Giả sử AC cắt DB tại O, I là trung điểm CC’ khi đó OI là đường

trung bình của CAC’ nên OI //AC’

Do IBD cân nên OI DB(1)

Do BDA’ đều OA' = 2 3  6  ' 23 2

H2

O B

I

Xét hai tam giác OCI vuông tại C và tam giác A’IC’ vuông tại C’ ta có :

a

A I  A O' 2OI2 A I' 2 OIA’ vuông tại Ohay OI OA’ (2)

Từ (1) và (2) có: OI(BDA’) kết hợp OI//AC’AC’(BDA’)

Ví dụ 3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các mặt bên tạo với đáy góc ,các cạnh bên tạo với đáy góc, độ dài trung đoạn của mặt bên hình chóp bằng a.Cắt hình chóp bởi mặt phẳng cách đều các đỉnh hình chóp Tính diện tích thiết diệntạo thành (H3)

Sự am hiểu, nhuần nhuyễn kiến thức ở bài toán này thể hiện qua các vấn đề sau:

- Học sinh phải biết được mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện là mặtphẳng đi qua trung điểm ba cạnh đồng quy hoặc là mặt phẳng qua trung điểm bốncạnh đối diện đôi một

- Học sịnh phải thành thạo mối quan hệ giữa góc tạo bởi mặt bên với đáy củahình chóp đều

Từ đó ta có tóm tắt lời giải bài toán như sau:

Bài giải

Gọi D là trung điểm của AB, hạ SO(ABC)

Từ giả thiết của bài toán ta được:

DS a ; SCO; SDO

2

1 os

Thiết diện cần tìm đi qua trung điểm các cạnh

bên của hình chóp Gọi (P) là mặt phẳng đi qua trung

điểm A1, B1, C1của SA, SB, SC của hình chóp Do đó

Trường hợp 3 (H6) Thiết diện đi qua trung

điểm các cạnh AC, CB và đi qua trung điểm cạnh bên SA, SB Khi đó mặt phẳng(P) cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp SABC và cắt hình chóp theo thiết diện làhình chữ nhật MNTR

3

os (1 4 tan )

td

a S

c

* Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy đặc trưng bởi các yếu tố sau :

- Khả năng tìm ra những liên tưởng mới và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng nhưkhông có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Ví dụ 4 Cho góc tam diện Oxyz có xOy = yOz = 45 ;   0 xOz = 600 Chứngminh rằng (xOy)(yOz) (H7)

N T

R

Phân tích: Trong bài toán này theo cách nghĩ thông thường để chứng minhhai mặt phẳng vuông góc ta cần chứng minh: Hoặc là có một đường thẳng của mặtphẳng này vuông góc với mặt phẳng kia (1) hoặc là góc tạo bởi chúng bằng 900(2)

Theo phương án (1), ở bài toán này chưa có sẵn kiểu đường thẳng như vậy.Theo phương án (2) ta phải tạo ra BAOB ; BCOB ; AOx, BOy, COz vàcần chứng minh ABC900

Chứng minh

Do OBAOBC  OA = OC.

Lại có AOC 60 0 AOC đều nên OA = OC = BC

ABC = ABO (c.c.c) Từ đó suy ra

thì yêu cầu của bài toán tương đương với việc chứng minh (ACD)(DAD’), tức

mặt bên và mặt đáy của hình lập phương vuông góc với nhau Hiển nhiên ta có DA

là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (ADD’) Trong mặt phẳng (ADD’) cóDD’AD nên (ACD) (ADD’)

Đó chính là khả năng tìm ra giải pháp lạ trong khi đã biết những giải pháp khác

1.2 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông

1.2.1 Vai trò của việc giải bài tập toán

- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm mộtcách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràngnhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó

- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giải bài tập,chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Nhưngđối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc

áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫntrực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết,cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống.

- Hiện nay trong sách giáo khoa toán trên thế giới, sau mỗi bài học đều có baloại bài: Bài thực hành, bài tập và bài toán, trình bày tách biệt với nhau, trong đónhững bài toán thực tiễn chiếm một tỉ lệ cao

- Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn Toán ởtrường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng,thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc, những hoạt động phức hợp,những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

- Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học,giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo vàứng dụng toán học vào thực tiễn

- Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra

- Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung vàphương pháp của quá trình dạy học

Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoànchỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết.

+ Về mặt phương pháp dạy học:

Bài tập toán là giá mang những hoạt động để học sinh kiến tạo những nộidung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốtbài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động vàbằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặctrong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau

Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc vớinội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiệnkhông thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập vàtrình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên

1.2.2 Phương pháp giải bài tập toán

Trong cuốn: “Giải một bài toán như thế nào”, nhà Toán học người Mỹ G.Polya đưa ra phương pháp chung để giải một bài toán gồm bốn bước:

-+ Bước một Hiểu rõ bài toán:

- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không? Điềukiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn?

+ Bước hai Xây dựng một chương trình giải:

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạnghơi khác?

- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùngđược không?

- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩnhay ẩn tương tự

- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nókhông? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp? Có cầnphải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay

về định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán cóliên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Một bàitoán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giảiđược một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi

đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể

từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện,hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện haychưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Qua các phần dẫn dắt của bước hai, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thểhiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan, hay tổngquát hơn, , chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo

+ Bước ba Thực hiện chương trình giải:

- Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúngchưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứng minhđược là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo đã đượcthể hiện đầy đủ

+ Bước bốn Trở lại cách giải (nghiên cứu cách giải đã tìm ra):

- Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giảibài toán không?

- Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực tiếpkết quả không?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nào kháckhông?

Trong quá trình giải toán cần làm cho học sinh biết các nội dung của logichình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm việc vớitoán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thường xuyên Đểthực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có phần nhìn lại phươngpháp đã sử dụng để giải Dần dần những hiểu biết về logic sẽ thâm nhập vào ý thứccủa học sinh

Ta có thể xét ví dụ cụ thể sau đây

Ví dụ 5 Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm

trong một tam giác đều tới ba cạnh của tam giác đó là một hằng số (H8)

Ta sẽ giải quyết bài toán theo từng bước cụ thể như sau:

Bước một Tìm hiểu nội dung đề bài

Để hiểu được nội dung đề bài ta sẽ phát biểu bài toán một cách cụ thể: “Chotam giác đều ABC, gọi M là một điểm nằm trong tam giác đó Hình chiếu vuônggóc của M lên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K Chứng minh rằng MH +

MI + MK không đổi khi M di chuyển trong tam giác ABC ”

Bước hai Tìm cách giải

Việc giải bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định được hằng số MH + MI + MKMuốn vậy, ta có thể đặc biệt hóa bằng cách lấy MA, II’, I’ là hình chiếu của Atrên BC Khi đó: MH + MI + MK = 0 + AI’ + 0 = AI’

Như vậy hằng số cần tìm là độ dài đường cao h của tam giác đều ABC Tađưa về bài toán chứng minh : MH + MI + MK = h

Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h ta nghĩ tới sắp đặt ba đoạn thẳngnày liên tiếp trên một đường thẳng nào đó để tạo thành một đoạn thẳng có độ dài h,

nhưng điều này khó thực hiện khi M di chuyển trong tam giác ABC Hướng khác cóthể biểu thị h qua những đại lượng không đổi khác như diện tích (S), cạnh của tamgiác đều khi đó ta nghĩ đến biểu thức: SMAB  SMBC  SMCA  SABC Hay:

h a MK a MI a MH

2

1

2

1

2

1

2

Do đó MH + MI + MK = h (*)

Để kiểm tra lời giải trước hết ta thử M ở vị

trí khác chẳng hạn M là giao điểm của ba đường

cao thì đẳng thức (*) có đúng không?

Do MH  MI  MK  1

3h nên ta có (*) đúng.

Bước ba Trình bày lời giải

Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đều

ABC, hình chiếu của M lên AB, BC, CA lần lượt là H, I, K Cạnh và đường cao củatam giác đó lần lượt là a và h

Ta có: SMAB  SMBC  SMCA  SABC  a MH a MI a MK a.h

2

1

2

1

2

1

2

Do đó MH + MI + MK = hĐẳng thức này chứng tỏ tổng MH + MI + MK không đổi khi M di chuyểntrong tam giác ABC

Bước bốn Nghiên cứu sâu lời giải.

Từ bài toán này ta có thể phát biểu và giải những bài toán khái quát hoặc mởrộng sau đây:

1 Mở rộng bài toán ra trường hợp đa giác đều: “Chứng minh rằng tổng cáckhoảng cách từ một điểm bất kì trong một đa giác đều tới các cạnh của đa giác đó làhằng số”

H8

A

M I' I

K H

2 Mở rộng bài toán cho trường hợp tứ diện đều: “Chứng minh rằng tổng cáckhoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong tứ diện đều tới các mặt của tứ diện đó làmột hằng số”.

Như vậy quá trình học sinh học sử dụng phương pháp chung để giải toán làmột quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giảitoán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể

Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể, áp dụngvào từng trường hợp nhất định là cả một chặng đường đòi hỏi phải có lao động tíchcực của người học sinh trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo Theo G.Polya thì “Tìmđược cách giải một bài toán là một phát minh”

1.3 Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Các nhà Tâm lý học cho rằng: “Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phươngpháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả khôngđáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giảipháp cũ”

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và

sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạobiểu hiện ở các mặt như: Khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giảikhác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả củamột bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán)

Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và pháthuy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tậpsách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệthống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển

tư duy sáng tạo của mình

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thốngbài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà tacần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh

Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách giáokhoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn,tính độc đáo của tư duy.

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc trưngcủa nó và dựa vào quan điểm: Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo chohọc sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực tư duy sáng tạo chocác em Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo vớicác đặc trưng: Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,suy nghĩ không dập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quenthuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết Các bài tập chủyếu nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: Khảnăng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năngxem xét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau Các bài tập chủ yếu nhằm bồidưỡng tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: Nhanh chóngphát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bài toán mới, khả năng nhanhchóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic

Ngoài ra tư duy hình học mang những nét đặc trưng quan trọng và cơ bảncủa tư duy toán học Việc phát triển tư duy hình học luôn gắn với khả năng pháttriển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duy hình học luôn gắn liền với việcphát triển của phương pháp suy luận; việc phát triển tư duy ở cấp độ cao sẽ kéo theo

sự phát triển tư duy đại số Như vậy để nâng dần cấp độ tư duy trong dạy học hìnhhọc, việc dạy học phải được chú ý vào phát triển trí tưởng tượng không gian bằngcách: Giúp học sinh hình thành và tích luỹ các biểu tượng không gian một cáchvững chắc, biết nhìn nhận các đối tượng hình học ở các không gian khác nhau, biếtđoán nhận sự thay đổi của các biểu tượng không gian khi thay đổi một số sự kiện

Như vậy tiềm năng của chủ đề hình học không gian trong việc bồi dưỡng tưduy sáng tạo cho học sinh là rất lớn

1.4 Một số dạng bài tập hình học không gian góp phần bồi dưỡng một số yếu

tố của tư duy sáng tạo

Hoạt động giải toán là một hoạt động chủ yếu giúp rèn luyện tư duy sáng tạotoán học cho học sinh, mỗi dạng bài tập đều có tác dụng nhất định đối với từngthành phần cơ bản của tư duy sáng tạo.

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo, cùng những yếu tố đặc trưng của

nó, dựa vào các căn cứ đã trình bày ở trên ta có thể đề xuất các dạng bài tập sau đây:

- Dạng 1: Bài tập có nhiều cách giải

- Dạng 2: Bài tập có nội dung biến đổi

- Dạng 3: Loạt bài tập khác kiểu

- Dạng 4: Bài tập có tính đặc thù

- Dạng 6: Bài tập mở

- Dạng 7: Bài tập có nhiều kết quả

- Dạng 8: Bài tập “Câm ”

- Dạng 9: Bài tập không theo mẫu

- Dạng 10: Toán vui, toán nguỵ biện, câu đố

Chúng tôi cho rằng, đối với nội dung hình học không gian cũng có thể xâydựng được những dạng bài tập trên để góp phần rèn luyện các yếu tố của tư duysáng tạo

1.4.1 Dạng bài tập có nhiều cách giải

+ Cấu tạo: Bài toán này có những đối tượng quen thuộc, những quan hệ cóthể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau, với mỗi cách nhìn nhận đó có thể cho

ta một cách giải quyết bài toán

+ Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạtđộng trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khíacạnh khác nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Ví dụ 6 Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và

OA = OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau AI, OC?

Một là xem khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AI và OC làkhoảng cách từ một điểm thuộc một đường thẳng (chẳng hạn OOC) đến một mặtphẳng song song đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại (mặt phẳng (AIJ)).

Khi đó bài toán được có cách giải quyết thứ nhất (H9)

- Qua I kẻ IJ//OC, (JOB)

- Gọi (P) là mặt phẳng qua AI, IJ khi đó (P)//OC

- Vậy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P))

- Dựng đường vuông góc chung của AI và OC

- Qua I kẻ đường thẳng IJ // OC (JOB)

- Qua O kẻ đường thẳng OH // AJ (HAJ)

- Qua H kẻ đường thẳng HE // IJ (IAI)

- Qua E kẻ EF // OH (FOC) Vì IJ // OC

Vì OHAJ (theo cách dựng) nên theo (1) ta có OH(AIJ)

OHAI mà EF // OH nênEFAI (2)

Ta lại có: OC(AOB)OCOH Do đó EFOC (OH // EF) (3)

Từ (2) và (3) ta có EF là đoạn vuông góc chung của AI và OC

Khoảng cách giữa đường thẳng AI và OC là: d(AI, OC) = EF = OH

H E F

1.4.2 Dạng bài tập có nội dung biến đổi

+ Cấu tạo: Bài tập gồm hai phần, phần thứ nhất là bài tập (H ), bài tập thứ

hai là bài tập (H ’), được dựa trên bài tập (H ) nhưng đó có biến đổi một vài yếu

tố của nó, do đó nội dung và cách giải của bài tập biến đổi hẳn đi

+ Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạtđộng trí tuệ khác một cách linh hoạt, chống tính ỳ của tư duy

Ví dụ 7 Bài tập (H ).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, SAABCD, SA a Tính góc giữa SC và (ABCD)?

Bài tập (H ’) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SB (ABCD), SB a Tính góc giữa BD và (ABCD)?

* Ta thấy bài tập (H ) là một bài đơn giản, bài tập này giúp học sinh biết

vận dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau: SC có hình chiếuvuông góc trên (ABCD) là AC Vậy góc SCA chính là góc giữa SC và (ABCD).

Ta dễ dàng tính được góc SCA = 45 0

Bài tập (H ’) về mặt hình thức thì có vẻ giống như bài tập (H ) nhưng thực

tế khó hơn vì muốn giải quyết nó ta phải dựng hình chiếu của điểm B trên (SCD)

Từ B dựng BHSC, HSC Khi đó dễ thấy BH(SCD) và góc BDH chính là

góc giữa BD và (SCD) Từ dữ kiện của bài toán ta tính được BDH 

1.4.3 Dạng bài tập không tường minh

+ Cấu tạo: Là bài tập trong đó điều cần chứng minh không được nêu lên mộtcách tường minh, bắt buộc người giải phải tìm hoặc chứng minh tất cả các kết quả

có thể có, hoặc phải đoán nhận, phát hiện các kết quả cần chứng minh

+ Tác dụng: Kích thích óc tò mò khoa học, đặt người học trước những tìnhhuống có vấn đề với những cái chưa biết, cái cần khám phá, làm cho họ thấy có nhucầu, có hứng thú để tìm tòi, phát hiện các kết quả còn tiềm ẩn, góp phần rèn luyệnkhả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc Khả năng nhìn thấy chứcnăng mới của đối tượng quen biết, bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy

Ví dụ 8 Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB a ,

BC b , CD c Hãy tính giá trị lượng giác sin và cosin của tất cả các góc nhọn.Bài toán không yêu cầu học sinh tính giá trị sin, cosin của cụ thể một góc nào

mà là của tất cả các góc nhọn Vì vậy để giải quyết được bài toán đòi hỏi phải tìmđược tất cả các góc có số đo nhỏ hơn 900, sau đó mới tính

sin và cosin của chúng

Với bài toán này học sinh phải thấy được giác

ABD,ABC vuông tại B,ACD và BCD vuông tại C

(H12) Do đó trừ góc vuông ra thì các góc còn lại đều là góc

nhọn Từ điều đó, học sinh phải tính được như sau:

1.4.4 Dạng bài tập thuận nghịch

+ Cấu tạo: Dạng này gồm cặp bài có nội dung trái ngược nhau

+ Tác dụng: Rèn luyện tính thuận nghịch của tư duy

Ví dụ 9 Trong không gian cho tam giác ABC

a Chứng minh rằng : Nếu điểm M(ABC) thì với mọi điểm O luôn tồn tại

bộ ba số x, y, z mà x y z  1sao cho OM x OA y OB z OC   

b Chứng minh rằng nếu có một điểm O trong không gian sao cho

OM xOA yOB zOC   

, trong đó x y z  1 thì điểm M(ABC)

Lời giải ngắn gọn của bài toán như sau:

a M(ABC) nên tồn tại x, y sao cho AM xAB yAC  

.Khi đó, với mọi điểm O ta luôn có : OM OA x OB OA y OC OA   (  ) (  )

OM x y OA x OB y OC

     

Đặt z = 1 – x –y , ta có điều phải chứng minh

b Từ giả thiết ta có : OM xOA yOB zOC   

đủ để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là với mọi điểm O luôn tồn tại bộ ba số x, y,

Ví dụ 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có các mặt bên là các hình

vuông cạnh a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và A’C’ (H13)

Hướng dẫn Nhiều học sinh cứ máy móc đi tìm đoạn vuông góc chung của

hai đường thẳng AB’ và A’C’, rồi từ đó đi tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.Song với bài toán này, ta thấy rằng khoảng cách từ AB’ đến A’C’ chính là khoảngcách từ A’C’ đến mặt phẳng (AB’C) chứa AB’, vì A’C’ // (AB’C)

Từ cách suy nghĩ trên ta có thể giải bài toán như sau:

Gọi I là trung điểm A’C’, J là trung điểm AC

Trong tam giác IJB’ kẻ IHB’J, HB’J.

Ta dễ dàng chứng minh được: A’C’(IJB’) A’C’IH

 ACIH  IH(AB’C)  IH = d(AB’; A’C’) Ta có:

+ Cấu tạo: Là loại bài tập chủ yếu sử dụng sơ đồ, hình

vẽ, ký hiệu, bảng, đồ thị, Trong bài tập dạng này thì lời văn

chỉ đóng vai trò thứ yếu, thường là một câu rất vắn tắt hoặc không có lời Nó baogồm một số loại sau:

- Lập đề toán trên cơ sở cho trước sơ đồ, hình vẽ

- Củng cố khái niệm, qui tắc, định lý

- Tìm tòi, phát hiện kiến thức mới

+ Tác dụng: Rèn luyện khả năng xem xét đối tượng dưới những khía cạnhkhác nhau, rèn luyện khả năng trừu tượng hóa, Bài toán “Câm” có sức hấp dẫnlớn đối với học sinh, thu hút sự chú ý và khêu gợi óc tò mò khoa học của người học

Ví dụ 11 Cho hình vẽ sau (H14) Liệu rằng BE(ACD)?

Bài toán này không có lời dẫn ngoài hình vẽ và ký hiệu toán học, học sinhphải từ hình vẽ mà phải tìm dữ kiện kiện quan để có thể giải quyết được bài toán

Rõ ràng với bài toán này học sinh phải đưa ra các phán đoán sau:

1 BCD là tam giác vuông

2 BCD là tam giác vuông đồng thời AB(BCD)

3 (ABC)(ACD) đồng thời BEAC

I H

* Phán đoán thứ nhất: Nếu BCD vuông tại bất kỳ đỉnh nào thì cũng không

đủ điều kiện để thỏa yêu cầu bài toán

* Phán đoán thứ hai:

- Khả năng thứ nhất: nếu BCD vuông tại B

hoặc D đồng thời AB(BCD) thì cũng không đủ điều

kiện để thỏa yêu cầu bài toán

- Khả năng thứ hai: Nếu BCD vuông tại C đồng

thời AB(BCD) thì khi đó đủ điều kiện để thỏa yêu

cầu bài toán Vì dễ dàng suy ra CD(ABC)

(ABC)(ACD) theo giao tuyến AC và BEACBE(ACD)

* Phán đoán thứ ba: Học sinh nghĩ ngay đến việc sử dụng tính chất: “Nếu haimặt phẳng vuông góc với nhau, cắt nhau theo một giao tuyến, bất kỳ đường thẳngnào nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặtphẳng còn lại”

Với bài toán này để trả lời được câu hỏi BE(ACD) ta phải tìm thấy từ hình

vẽ những giả thiết sau: AB(BCD), CDBC Từ những giả thiết như vậy học sinh

dễ dàng trả lời được câu hỏi của bài toán

1.4.7 Dạng bài tập có nhiều kết quả

+ Cấu tạo: Bài tập này thiếu những yếu tố xác định do đó có thể hiểu theonhiều cách khác nhau nên ta có những kết quả khác nhau

+ Tác dụng: Rèn luyện khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ vàhoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau

Ví dụ 12 Cho hình chóp S.ABC, O là hình chiếu của S xuống mặt phẳng

(ABC) Tìm điều kiện để S.ABC là một hình chóp đều

Rõ ràng với bài toán này ta phải xem xét ở nhiều góc độ, vì vậy có nhiều khảnăng xảy ra Chẳng hạn:

- Đáy ABC là tam giác đều và SA = SB = SC

- Đáy ABC là tam giác đều và O là trọng tâm của tam giác

- Đáy ABC là tam giác đều và các cạnh bên tạo với đáy góc không đổi

H14

A

C E

- O là tâm đường tròn ngoại, (nội tiếp) của tam giác ABC.

- O là trọng tâm đồng thời là trực tâm của tam giác ABC

Bài toán này đòi hỏi học sinh phải nhanh chóng tìm ra được càng nhiều càngtốt các phương án khác nhau để giải quyết cùng một vấn đề, với mỗi phương án đó sẽ

là một con đường để giải quyết một loạt các bài tập sau này liên quan Do đó nó cótác dụng rất lớn trong việc bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy cho học sinh

1.4.8 Dạng bài tập không theo mẫu

+ Cấu tạo: Dạng bài tập này không thể áp dụng thuật toán hoặc công thức để

giải, do đó cũng không có cấu tạo nhất định

+ Tác dụng: Rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết quả mới;nhìn ra những mối liên hệ trong những điều kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệvới nhau; khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phương thức giải quyết khác

Ví dụ 13 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB và CD;

P, Q lần lượt thuộc hai cạnh AC và BD sao cho

theo cơ sở rồi thay vào (3) ta tìm được:   2 2 ; k  2k

1.4.9 Dạng bài tập vui ngụy biện