Luận văn thạc sĩ khung gabor

Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễnmỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tửtrong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ THU HÀ

KHUNG GABOR

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ THU HÀ

KHUNG GABOR

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN QUỲNH NGA

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

1.1 Phép biến đổi Fourier 4

1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn 5

1.3 Khung trong không gian Hilbert 6

1.4 Định lý Balian-Low 13

2 Khung Gabor trong L2(R) 16 2.1 Khung Gabor 16

2.2 Điều kiện cần 21

2.3 Điều kiện đủ 23

2.4 Không gian Wiener 32

2.5 Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát 36

2.6 Các biểu diễn của toán tử khung Gabor 44

2.7 Các đối ngẫu của khung Gabor 49

2.8 Biến đổi Zak 57

2.9 Khung Gabor chặt 61

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắccủa TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắcđến cô giáo

Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáotrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy côgiáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, những người đãđem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho chúngtôi nhiều kiến thức cơ sở

Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hải Phòng nơi tôicông tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa họccũng như quá trình làm luận văn Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơngia đình, bạn bè, những người luôn động viên chia sẻ, giúp tôi trong quátrình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Vũ Thị Thu Hà

để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là mộtcông cụ như vậy Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễnmỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tửtrong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần

tử khung

Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [3] trongkhi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học đã khôngnhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trướckhi công trình tiếp theo xuất hiện Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách

có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của chuỗi Fourierkhông điều hòa Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann vàMeyer [2] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi.Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữliệu [4]

Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L2(R) dựa trên hai lớptoán tử trên L2(R) là:

Phép tịnh tiến với a ∈ R, Ta : L2(R) → L2(R) , (Taf ) (x) = f (x − a) ,

Phép biến điệu với b ∈ R, Eb : L2(R) → L2(R) , (Ebf ) (x) = e2πibxf (x)

Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L2(R) như một chồngchất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L2(R) Bàibáo năm 1986 của Daubechies, Grossmann và Meyer lần đầu tiên đã kếthợp giải tích Gabor với lý thuyết khung Các tác giả đã xây dựng khungtrong L2(R) có dạng {EmbTnag}m,n∈Z Từ sau bài báo đó có rất nhiềucông trình nghiên cứu ra đời

Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung vàkhung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn " Khung Gabor " làm đềtài luận văn cao học

Chương 1

Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị

1.1 Phép biến đổi Fourier

Cho f ∈ L1(R), biến đổi Fourier fˆđược định nghĩa bởi

(R) và hội tụ đến f trong khônggian L2, thì dãy

n

ˆ

fk

o∞ k=1 cũng hội tụ trong L2(R), với một giới hạn độclập với lựa chọn của {fk}∞k=1 Định nghĩa

Ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L2(R)

lên L2(R) Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này Đặc biệt

1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn

Ta hãy bắt đầu bằng cách đưa ra động cơ thúc đẩy sự xuất hiện phépbiến đổi Fourier thời gian ngắn Cho tín hiệuf (x) , biến số x thường đượcgiải thích như thời gian, và biến đổi Fourier f (γ)ˆ cung cấp thông tin về

độ dao động với tần số γ Trong thực tế xuất hiện vấn đề là thông tin thờigian bị mất trong biến đổi Fourier, nghĩa là, không có thông tin về tần

số nào xuất hiện ở thời gian nào Một cách để vượt qua khó khăn này là

“xem xét tín hiệu ở khoảng thời gian ngắn và lấy biến đổi Fourier ở đây”.Phát biểu này có nghĩa toán học là ta nhân tín hiệuf với hàm cửa sổ g, làhằng số trên khoảng bé, và giảm nhanh, trơn và bằng 0 ngoài khoảng nhỏnày; bằng cách lấy biến đổi Fourier của tích số này, ta có được ý tưởng vềtần số của f trong khoảng thời gian nhỏ Để có thông tin về f trên toàn

bộ trục thời gian ta lặp quá trình với phép tịnh tiến của hàm cửa sổ.Thảo luận này dẫn đến định nghĩa của biến đổi Fourier thời gian ngắn,cũng được gọi là biến đổi Gabor liên tục

Định nghĩa 1.2.1 ([1], [4]) Cố định hàm g ∈ L2(R) \ {0} Phép biến đổiFourier thời gian ngắn của một hàm f ∈ L2(R) tương ứng với hàm cửa

cf (a, b) e2πibxg (x − a) dbda.

Đặc trưng chủ yếu của một cơ sở trong không gian Hilbert H là f ∈ H

có thể được biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các phần tử

n∈Z,

ở đây {λn}n∈Z là một họ của các số thực hoặc số phức Rõ ràng là, cộngđồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khái niệm này; phảimất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện Vào năm 1980,Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung Khung đượcgiới thiệu một cách trừu tượng, và lại sử dụng trong ngữ cảnh của chuỗiFourier không điều hòa Sau đó vào năm 1986 khi bắt đầu kỷ nguyên sóngnhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [2] đã quan sát thấy rằng các khung

có thể được sử dụng để tìm ra khai triển chuỗi của các hàm trong L2(R)

tương tự như việc khai triển sử dụng cơ sở trực chuẩn Đây là thời điểmkhi nhiều nhà toán học đã bắt đầu nhận thấy tiềm năng của khung Điềunày trở nên rõ ràng hơn qua bài báo quan trọng của Daubechies, cuốn sáchcủa bà và bài báo trình bày tổng quan và nghiên cứu của Heil và Walnut[5] Kể từ đó, số lượng bài báo liên quan tới khung đã gia tăng đáng kể.Định nghĩa 1.3.1 Một dãy {fk}∞k=1 của các phần tử trong H là một khungcho H nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho:

ý rằng các cận tối ưu là các cận khung Chúng ta tập trung vào một vàiđịnh nghĩa nữa như sau:

Định nghĩa 1.3.2

(i) Một khung là chặt nếu chúng ta có thể chọn A = B như các cậnkhung

(ii) Nếu một khung sẽ không còn là một khung nữa khi một phần tử tùy

ý bị lấy đi thì nó được gọi là khung đúng

Khi chúng ta nói về cận khung cho một khung chặt thì điều đó có nghĩa

là giá trị đúng A vừa là cận trên vừa là cận dưới Lưu ý rằng điều này hơikhác với thuật ngữ khung tổng quát, ví dụ, cận trên chỉ là một số thỏamãn điều kiện Bessel

Trong trường hợp không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì dãy

{fk}mk=1 là khung cho H khi và chỉ khi span{fk}mk=1 = H

Thật vậy, giả sử {fk}mk=1 là khung cho H, tức là tồn tại các hằng số

A, B > 0 sao cho:

Bây giờ ta giả sử span{fk}mk=1 = H Sử dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz ta được:

f

kf k, fk

2

kf k2 > Akf k2

Vậy {fk}mk=1 là một khung cho H.Trong trường hợp không gian Hilbert H là vô hạn chiều thì ta chỉ cómột chiều nếu {fk}∞k=1 là một khung trong H thì :

span{fk}∞k=1 = H

Một dãy {fk}k được gọi là đầy đủ trong H nếu span{fk}k = H

Chúng ta thường phải xem xét các dãy không đầy đủ nằm trong H;chúng không thể hình thành khung trong H, nhưng chúng có thể hìnhthành khung cho bao tuyến tính đóng của các phần tử:

Định nghĩa 1.3.3 Cho {fk}∞k=1 là một dãy trong H Chúng ta nói rằng

{fk}∞k=1 là một dãy khung nếu nó là khung cho span{fk}∞k=1

Sau đây là một vài ví dụ về khung Chúng có thể xuất hiện khá là “thôsơ”, nhưng chúng có ích cho việc tìm hiểu lý thuyết khung

Ví dụ 1.3.4 Cho {ek}∞k=1 là một cơ sở trực chuẩn trong H

(i) Bằng việc lặp lại 2 lần mỗi phần tử trong {ek}∞k=1 chúng ta có:

{fk}∞k=1 = {e1, e1, e2, e2, },khung chặt với cận khung A = 2

Nếu chỉ có e1 được lặp lại thì chúng ta có

f,√1

kek

{fk} được gọi là một cơ sở Riesz.

Một dãy {fk}∞k=1 trong H được gọi là một dãy Bessel nếu tồn tại mộthằng số B > 0 sao cho

là bị chặn; T được gọi là toán tử tổng hợp

Toán tử liên hợp được đưa ra bởi công thức:

T∗ : H → `2(N), T∗f = {hf, fki}∞k=1 (1.6)

T∗ được gọi là toán tử phân tích

Bằng việc kết hợp T và T∗ chúng ta có toán tử khung

∞ k=1.Toán tử khung của S−1fk

∞ k=1 là S−1.Chứng minh:

(i) S là bị chặn do là hợp của 2 toán tử bị chặn,

kSk = kT T∗k = kT k kT∗k = kT k2 6 B

Từ S∗ = (T T∗)∗ = T T∗ = S, toán tử S là tự liên hợp Bất đẳngthức (1.4) có nghĩa là Akf k2 6 hSf, f i 6 Bkf k2 với mọi f ∈ H, hoặc,

nói một cách tương đương, AI 6 S 6 BI vì vậy S là dương Hơn nữa,

∞ k=1 bằng S−1 Toán tử

S−1 giao hoán với cả S và I, vì vậy chúng ta có thể “nhân các bất đẳngthức” AI 6 S 6 BI với S−1; sẽ tạo thành B−1I 6 S−1 6 A−1I , tức là

những điều chúng ta đã chứng minh cho khung S−1{fk}∞k=1 có toán tửkhung S−1, chúng ta thấy rằng {fk}∞k=1 = n S−1
−1S−1fko∞

k=1 có cậndưới C1 > A, nhưng điều này là mâu thuẫn Vì vậyS−1fk ∞k=1 có cận trêntối ưu A1 Các lập luận về cận dưới tối ưu là tương tự Khung S−1fk ∞k=1 được gọi là đối ngẫu chính tắc của {fk}∞k=1 vì nóđóng cùng vai trò trong lý thuyết khung như đối ngẫu của một cơ sở;Chúng ta thường xuyên bỏ qua từ “chính tắc” và chỉ nói về “khung đốingẫu”

Sự khai triển khung được phát biểu ở bên dưới, là kết quả khung quantrọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {fk}∞k=1 là một khung trong H, thì mỗiphần tử trong H có một biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính vô hạncủa các phần tử khung Do đó một cách tự nhiên ta có thể coi khung như

Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H

Chứng minh: Cho f ∈ H, sử dụng các tính chất của toán tử khung trong

Tương tự, chúng ta có biểu diễn sau:

f, S−1fk ∞k=1 Các số f, S−1fk được gọi là các hệ số khung

Bổ đề sau chỉ ra rằng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện khung trong mộttập trù mật.

Bổ đề 1.3.8 Giả sử rằng {fk}∞k=1 là dãy các phần tử trong H và tồn tạicác hằng số A, B > 0 sao cho

có hạn chế trên các tính chất của g nếu ta muốn {EmTng}m,n∈Z trở thànhmột cơ sở Riesz.

Định lý 1.4.1 Cho g ∈ L2(R) Nếu {EmTng}m,n∈Z là một cơ sở Riesztrong L2(R) thì

đồng thời xảy ra

Nếu sự giảm nhanh hơn của g và gˆ là cần thiết, ta hỏi liệu có cần tất

cả các tính chất đặc trưng của cơ sở Riesz hoặc liệu có thể giảm nhẹ một

số tính chất Tính chất chúng ta muốn giữ là với mọi f ∈ L2(R) có khaitriển hội tụ không điều kiện theo các phép biến điệu và tịnh tiến của hàm

g Tuy nhiên, tính chất khai triển (hội tụ không điều kiện) thực sự có thểkết hợp với g và gˆ giảm rất nhanh: phần trong định nghĩa của một cơ sởphải bỏ đi là tính duy nhất của khai triển đó Điều này đưa ta từ cơ sởđến khung.

cf (a, b) e2πibxg (x − a) dbda (2.1)

Ở đây chúng ta phải tìm một hàm cf của hai biến số làm điều này xảy

ra Phương pháp thứ hai là để hạn chế các tham số tịnh tiến và biến điệutrên một tập hợp con rời rạc Λ ⊂ R2 và yêu cầu biểu diễn chuỗi của f

theo các hàm



e2πibxg (x − a) (a,b)∈Λ (2.2)Chìa khoá cho phương pháp thứ nhất là phép biến đổi Fourier thời gianngắn, mà ta định nghĩa trong mục (1.2) Liên quan đến phương pháp thứ

hai, câu hỏi tự nhiên là làm cách nào ta có thể lựa chọn g ∈ L2(R) và tậphợp Λsao cho các hàm trong (2.2) tạo thành một khung trong L2(R) Vớicách đặt vấn đề tổng quát như vậy thì câu hỏi là rất khó, và ta sẽ chủ yếuthảo luận trường hợp trong đó Λ là một dàn trong R2.

Ý tưởng cơ bản thuộc về Gabor, người xét dãy các hàm có dạng

có rất nhiều công trình nghiên cứu ra đời

Chương này chứa các cơ sở thiết yếu, như các điều kiện tương đương(điều kiện cần và điều kiện đủ) cho {EmbTnag}m,n∈Z là khung Để cungcấp bức tranh đầy đủ ta cũng nói đến hệ Gabor là trường hợp đặc biệtcủa lớp lớn hơn, là hệ bất biến với các phép tịnh tiến Các kết quả kháiquát về khung Gabor có thể tham khảo ở tài liệu tham khảo [1], [4], [5].Các toán tử Eb và Ta sẽ đóng vai trò quan trọng trong chương này Chú

ý rằng, mặc dù Eb được định nghĩa là toán tử tác động trên L2(R) , ta sẽthường xuyên dùng cùng ký hiệu khi toán tử tác động lên các không gianhàm khác Chẳng hạn như, ký hiệu Eb một mình sẽ có nghĩa đơn giản làhàm x 7→ e2πibx

Bây giờ ta sẵn sàng định nghĩa đối tượng chính của chương này

Định nghĩa 2.1.1 Một khung Gabor là khung trong L2(R) có dạng

{EmbTnag}m,n∈Z , khi a, b > 0 và g ∈ L2(R) là một hàm cố định

Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl-Heisenberg Hàmg được

gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh Ta có thể viết lại như sau:

EmbTnag (x) = e2πimbxg (x − na) (2.3)Chú ý khi nói về khung Gabor, nghĩa là khung cho toàn bộ L2(R),nghĩa là, ta sẽ không làm việc với các khung cho các không gian con

Hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈Z chỉ bao gồm các tịnh tiến với các tham số

na, n ∈ Z và các biến điệu với tham sốmb, m ∈ Z Điểm {(na, mb)}m,n∈Z

tạo thành một dàn trongL2(R), và vì lý do này thường gọi{EmbTnag}m,n∈Z

là khung Gabor đều

Người ta đã chứng minh được rằng chọn a, b > 0 , ab < 1 và g (x) =

e−x2/2 thì {EmbTnag}m,n∈Z là khung Gabor

Ron và Shen đã đặc trưng tất cả khung Gabor có dạng{EmbTnag}m,n∈Z

Ta cần một bổ đề trước khi phát biểu kết quả của họ

Bổ đề 2.1.2 Giả sử f, g ∈ L2(R) và a, b > 0 , k ∈ Z cho trước Khi đó

chuỗi

X

n∈Z

f (x − na) g (x − na − k/b), x ∈ R (2.4)

hội tụ một cách tuyệt đối với hầu khắp x ∈ R ; nó định nghĩa một hàm với

chu kỳ a, có hạn chế trên [0, a] thuộc về L1(0, a) Nghĩa là,

"

x 7→ X

n∈Z



 > 0 (2.19)

Khi đó {EmbTnag}m,n∈Z là một khung trong L2(R)với các cận A, B

Chứng minh: Xét hàm f ∈ L2(R) là liên tục và có giá compac Từ bổ

đề 2.3.3,

X

m,n∈Z

n∈Z

Tnag (x) Tna+k/bg (x)

k6=0

X

n∈Z

Tna−k/bg (x) Tnag (x)

... khung Gabor khung L2(R) có dạng

{EmbTnag}m,n∈Z , a, b > g ∈ L2(R) hàm cố định

Khung có dạng gọi khung. .. e2πimbxg (x − na) (2.3)Chú ý nói khung Gabor, nghĩa khung cho toàn L2(R),nghĩa là, ta không làm việc với khung cho không gian

Hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈Z...

là khung Gabor Khi đó, với gc := Dcg, họ Gabor Emb/cTnacgc

m,n∈Z l? ?khung với cận khung