Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ pptx

Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không con của V... Định nghĩa Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K hay một K _ không gian vectơ, nếu V đ

Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ

4.2 Không gian con

4.2.1 Định nghĩa:

Cho V là một K – không gian vectơ và W là một tập con khác trống của V Khi

đó W được gọi là một không gian con của V nếu W là một K – không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W

4.2.2 Định lý:

Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thoả:

(i) (x,y) W2 , x + y W;

(ii) K, x W, x W

4.2.3 Định lý:

Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không con của V

4.3 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

4.3.1 Định nghĩa:

Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v, v1, v2, v3, … , vn là các phần tử của V Ta nói vectơ v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1, v2, v3, , vn nếu tồn tại các vô hướng 1, 2, , n K sao cho

v = 1v1 + 2v2 + + nvn

Ví dụ:

Cho V = R3, v = (5, 1, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (4, 2, 5), v3 = (2, 4, 5)

thì v = 3v1 + v2 – v3

4.3.2 Định nghĩa:

Họ các vectơ v1, v2, , vn của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính , nếu tồn tại các vô hướng 1, 2, , n không phải tất cả đều bằng không, sao cho

1v1 + 2v2 + + nvn= 0

Họ vectơ không phụ tuyến tính được gọi là họ độc lập tuyến tính Nghĩa là

( 1, , n) Kn,

Chú ý:

(i) Mọi họ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ không đều phụ thuộc tuyến tính

(ii) v V, {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v 0

4.1 Khái niệm về không gian vectơ

4.1.1 Định nghĩa

Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K hay một K _ không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thoả mãn các điều kiện sau:

i) Tính giao hoán của phép cộng:

(x,y) V2, x + y = y + x;

ii) Tính kết hợp của phép cộng

(x,y,z) V3, (x + y) + z = x + (y + z);

iii) Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0, thỏa mãn

x V , x + 0 = x;

iv) x V, tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là – x, thoả mãn x + ( - x) = 0; v) (x,y) V2, K, (x + y) = x + y;

vi) x V, ( ) K2 , ( ) x = x + x;

vii) x V, ( ) K2 , ( x) = ( )x ;

viii) x V, 1.x = x

Chú ý: Các phần tử của V được gọi là các vectơ và được ký hiệu bởi chữ la tinh nhỏ x,y,z, Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và được

ký hiệu bởi các chữ Hy Lạp nhỏ ,

4.1.2 Tính chất:

(i) x V, 0.x = 0, trong đó 0 ở vế phải là vectơ không, còn 0 ở về trái là phần tử không của trường K

(ii) x V, - x = (- 1)x

(iii) x V, K, -( x) = (- )x = (-x)

(iv) 0 = 0

(v) Nếu x = 0 thì hoặc = 0 hoặc x = 0

(vi)